Transformasi Laplace Ppt-1 31o1h

TRANSFORMASI LAPLACE

SUTIYONO

Definisi :

L f t 



  0

e st f t dt

= F (s)

L

 f (t ) 

= Transformasi Laplace dari

f t 

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari Jawab : F (s)

=



0

= -

Jadi



e

-st

(1) dt

e  st  |0 s

L  f (1) 

=

=

1 s

1 s

f t  = 1

Beberapa sifat transformasi Laplace :

1)

Transformasi Laplace didefinisikan untuk t  0

2)

Tidak semua f (t) mempunyai transformasi Laplace

3)

Transformasi Laplace mempunyai sifat linier

Laf1 t   bf 2 t  4)

  aL f1 t    bL f 2 t  

Bila F (s) adalah transformasi Laplace dari F (s) =

f (t ) atau

L  f (t ) 

maka :

dn L  dt n

f (t )

 = s

n

f (s) – s

n -1

f (0) – s

n -2

misal : n = 1

L

df t  dt

  s'

f s   f 0 

f ‘(0)– f

n-1

(0)

5).

Bila F s   L f t 

,

maka :





F s  a 

L e  at f t 

Sifat translasi Transformasi 6).

Bila F s   L f t 

 ,maka

L f at  7).

F s   L f t 



L .t 8).

n

f

 maka



:

1  s  F  a a  

:

t     1

n

Bila F1 s   L f1 t 

F2 s   L f 2 t 

,

dn F s  n ds

 maka :

t  L   fiu  f 2 t  u du   F1 s   F2 s  0  Disebut Teorema Konvolusi

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

No

f t 

1

0

F s  0

1

1 s

t

1 s2

tn

n!

2

3

4

s n 1 5

6

e at

sin at

1 sa

a s  a2 2

7

cos at

s s  a2 2

8

sinh at

9

cosh at

a s  a2 2

s s  a2 2

No

f t 

F s 

10

e  at t n

n!

11

12

13

14

e  at sin bt e  at cos bt

t sin at

t cos at

s  a n1 b

s  a 2  b 2 sa

s  a 2  b 2

s

2as 2

 a2



2

s2  a2

s

2

 a2



2

Untuk mencari transformasi Laplace fungsi-fungsi yang tidak ada di tabel  di perlukan sifat-sifat transformasi di atas. Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari f t   t 2 e t cos t Penyelesaian :

f t   t 2 e t cos t



diselesaikan dulu L .t

2



cos t  ..... ?

jawab : Bila

 t  

F s   L f



 L .t

n



f

Lcos t   L.t cos t 2



t     1

n

s s2 1

   1

d2  s    ds 2  s 2  1 

 s 2  1  s 2 s     2 2   s 1  

d  ds 

(7)

(dari tabel)

n

d  ds

dn F  s  ......sifat n ds





  s2 1   s2 1 2 









 2s s 2  1

2

   







 2  s 2  1 s 2  1 2 s 

s

2



1

4





L .t cos t  2





s





2



1

4

 2s 5  4s 3  2s  4s 5  4s







 2s s 2  2s 2  1  4s  s 4  1

L .e t t 2 cos t

s



1

2

4

2s 5  4s 3  6s

s

2



1

4

  g t ........

  g s  1......... sifat 5 2s  1  4s  1  6s  1 5



s  1

3

2



1

4

4.1

Penggunaan Transformasi Laplace Pada

Persamaan Differensial : Tahapan-tahapan penyelesaian : 1) Opersikan transformasi Laplace pada P.D  di dapat persamaan aljabar dalam variable dependent dengan domain s. 2) Selesaikan persamaan aljabar ini untuk mendapatkan variable dependent ini. 3) Cari kebalikan transformasi dari variabel dependent dengan domain s untuk memproleh variabel dependent dengan domain t.

Contoh : Selesaikan P.D berikut dengan transformasi Laplace.

dy  3 y t   1 ; dengan y0  0 dt Penyelesaian : Di pakai sifat no (4)

 dy  L   3Ly t   dt 

  L1

sy s   y 0   3 y s   y s  

1 s

1 s s  3

  1 y t   L1 y s   L1    s s  3  



1 1  e  3t 3



4.2 Menentukan Kebalikan Transformasi Laplace (Invers Transformasi laplace) Dengan Cara Partial Fraksi

f

s  

f

s 

f t 

yang bias di tentukan inversnya dengan cara

partial fraksi adalah

f

s 

yang merupakan fungsi

pecahan.

f

s  

P s  Q s 

Derajat polinom Qs  > derajat polinom Ps  . Dengan cara partial fraksi  Qs  harus diuraikan.

Qs   s   1 s   2 .......s   n



dimana :

 1 ,  2 ,........ n  akar-akar f

s  

P s   Q s 

dari persamaan Qs  = 0

P s  s   1 s   2 .......s   n



Ada beberapa kemungkinan akar-akar Qs  = 0 1) Qs  = 0, mempunyai akar-akar riil dan berlainan satu sama lain

Ps  Ps  f s    Qs  s   1 s   2 .......s   n 

An A1 A2    ......... s  1 s 2 s n A1, A2, .......= konstanta yang dapat ditentukan dengan rumus

A1  lim  f s s  1  s  1

Contoh :

xs  

1  xt ......... ? s s  3

jawab :

x s  

A1 A2 1   s s  3 s s  3

1 1 s  s s  3 3

A1 

lim

A2 

lim ss  3  s  3   3

s 0

1

1

s  3

1 1 3 3 xs    s s3 xt   L

1

xs  

1

L

1   1   3  1  3   L   s s  3        



1 1  3t  e 3 3



1 1  e  3t 3





1) Qs  = 0, mempunyai akar kembar

f s  

Ps  Ps   Qs  s   1 s   2 .......s   i m .........s   n 

1

m 1

Ai Ai Ai An A1 A2    ....    .... s   1  s   2  s   n  s   i m s   i m1 s   i  A1, A2, .....dihitung dengan cara yang sama seperti no.1. Ai, Ai(1) dihitung dengan rumus.



Ai  lim f s s   i  s i

Ai

k 

1 dk  k k! lim s  1 ds

m



 f s s  

i

m 

Contoh : Tentukan invers transform dari

f

s  

2

s s  1

3

s

 3

jawab :

A1 f s    s

s

A2

 1

3



A2

s

1

 1

2 

2

A3 s  2

A2   s  1

Akar-akar nyata berlainan Akar-akar kembar A1 

lim s s

A2 

lim s s

A2

1

s 0

s 0



2

 1 s  2  2 3

 1

3

s

 2

 s 1 

s

 1

3

 2

1 2  d    lim 3 1! s  1  ds s s  1 s  2 



lim s  1

d 2 ds s s  2 

s

 1

3



A2

2 

2  1 2 d 3  lim  2   s  1  3 2! s 1  ss  1 s  2   ds

1 d2 2  lim 2  2 s 1 ds ss  2 1 d 2  22s  2  lim  2 2 2 2 s 1 ds s  2s



 lim s  1

A2

2 

 lim s  1



d  2s  1  ds s 2  2s 2





 2 s 2  2s





2





  2 s  1 s 2  2 s 2 s  2 

s

2

 2s



4

 2

A3  lim s  2

f s  



2

ss  1

3

2

ss  1

3

s  2

 s  2  1

s  2

1 2 2 1    s s  13 s  1 s  2

f t   L1  f s    1    1  1  1 1 1  1   2L   L    2L    L  3      2  s 1  s s    1  s          1

2t 2 t e  2e t  e  2t 1 2  1  t 2 e  t  2e  t  e 2t

1) Bila

f s  

Qs  = 0 mempunyai akar imajiner Ps  Ps   Qs  s   1 s   2 .......s   i s   i 1 .........s   n 

 i ,  i 1  merupakan akar imajiner f s  

Ai Ai 1 An A1 A2 Ps     ....   .... s   n  Qs  s   1  s   2  s   i  s   i 1 

A1, A2,.....Ai,Ai+1  dihitung seperti keadaan satu

Ingat :

e iat  cos at  i sin at e  iat  cos at  i sin at

Contoh : Tentukan kebalikan transformasi dari jawab :

f

f

s  

2 s s  4

s  



2

A1  s 

lim  s s

A2 

lim ss s  2 i



A3 

A3 s  2i 

 2 2  s   0.5  2 4  4 



2  s  2i   2i s  2i 

2 2 1    2  2i  2i  21 8i 4

lim ss



f



2 s s  2i s  2i 

A2  s  2i 

A1 

s 0





s 2i

2  s  2i   2i s  2i 

2 2   2i 2i  21 8i 2

s  

 

0,5 0, 25 0,25   s s  2i s  2i

1 4

f

s  

2 s s  4



2



Contoh : Tentukan kebalikan transformasi dari jawab :

f s  

f s  

2 2  s s  2i s  2i  s s2  4





A1  s

A2  s  2i 

A3 s  2i 

  2 2 A1  lim   s   0.5  2 4 4 s 0  s s 



A2  lim s  2 i





2  s  2i  ss  2i s  2i 

2 2 1     2i  2i  21 8i 2 4

f s  

2 s s2  4





A3  lim s 2i



2  s  2i  s s  2i s  2i 

2 2 1     2i 2i  21 8i 2 4

f s  

0,5 0,25 0,25   s s  2i s  2i

    1  1 1  1 f t   0,5 L1    0,25 L1   0 , 25 L        s s  2 s s  2 i       

 0,5  0,25e 2it  0,25e 2it

 0,5  0,25cos 2t  i sin 2t   0,25cos 2t  i sin 2t   0,5  0,5 cos 2t

 0,51  cos 2t 