Sucesione Infinitas Y Finitas 4b5l56

Sucesiones

Sucesiones aritméticas Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez. Ejemplos: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

Sucesiones geométricas Una sucesión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez. Ejemplos: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 2 cada vez. 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.

Sucesiones especiales Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.

Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se hace elevando su posición al cuadrado. El segundo número es 2 al cuadrado (22 o 2×2) El séptimo número es 7 al cuadrado (72 o 7×7) etc. Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo. El segundo número es 2 al cubo (23 o 2×2×2) El séptimo número es 7 al cubo (73 o 7×7×7) etc. Números de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... El siguiente número se halla sumando los dos números delante de él. El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13) El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)

¿Qué es una sucesión? Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita Ejemplos {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo" {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras! Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces). Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1} La regla Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el: 10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos). Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo: Probamos la regla: 2n n Término

Prueba

1 3

2n = 2×1 = 2

2 5

2n = 2×2 = 4

3 7

2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco: Probamos la regla: 2n+1 n Término

Regla

1 3

2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5

2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7

2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona! Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1 Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201 Notación Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así: xn = 2n+1 Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir: x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21 ¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º? Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas: Tipos de sucesiones Sucesiones aritméticas El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Ejemplos 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Ejemplos: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos. La regla es xn = 2n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos. La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2 Ejemplo: El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21 Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es xn = n2

Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. La regla es xn = n3

Números de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13) La regla es xn = xn-1 + xn-2 Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores. Por ejemplo el 6º término se calcularía así: x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8 Series "Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión. Sucesión: {1,2,3,4} Serie: 1+2+3+4 = 10 Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

La sucesión s1 = a1, s2 = a1 + a2, s3 = a1 +a2 + a3, …,sn = a1 + a2 + … + an, …, se denomina sucesión de sumas parciales de la serie a1 + a2 + … + an + … La serie es convergente (divergente) si la sucesión de sumas parciales converge (diverge). Una serie de términos constantes es aquella en la que los términos son números; una serie funcional es aquella en la que los términos son funciones de una o más variables. Un caso especial es la serie de potencias, que es la serie a0 + a1(x - c) + a2(x - c)2 + … + an(x - c)n + …, en la que la c y la a son constantes. Para la serie de potencias, el problema es encontrar los valores de x para los que la serie es convergente. Si la serie converge para una cierta x,entonces el conjunto de todas las x para las que la serie converge es un punto o un intervalo. La teoría básica de la convergencia fue estudiada alrededor de 1820 por el matemático francés Augustin Louis Cauchy. La teoría y el uso de las series infinitas son importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas tanto, puras como aplicadas. Sucesiones Finitas CONCEPTOS BÁSICOS

SOBRE

SUCESIONES

En matemáticas la palabra sucesión se utiliza en un sentido casi igual que en

el

lenguaje ordinario.

de eventos" queremos orden, primero uno,

decir

Cuando que

nos

referimos

a

los eventos ocurrieron

después

una en

"sucesión un

cierto

otro,

etc.

Se define como una función cuyo dominio son los enteros positivos. Los números del contra dominio de una función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden. Aunque es una función suelen denotarse mediante subíndices; Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión f(1), f(2), f(3), f(4), http://www.buenastareas.com/ensayos/Sucesiones-y-SeriesFinitas/563667.html

Límite finito de una sucesión Consideremos la sucesión an = 1/n. a1 = 1 a2 = 1/2 = 0.5 a3 = 1/3 ≈ 0.33 a4 = 1/4 = 0.25 a5 = 1/5 = 0.2 a6 = 1/6 ≈ 0.17 a7 = 1/7 ≈ 0.14 a8 = 1/8 ≈ 0.12 a9 = 1/9 ≈ 0.11 a10 = 1/10 = 0.1 A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.

Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0. Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0. Definición Límite finito lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε. Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.

Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno. Límite infinito de una sucesión Consideremos la sucesión an = n2. a1 = 1 a2 = 4 a3 = 9 a4 = 16 ... a10 = 100 ... a100 = 10.000 Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito. Definición Límite infinito lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K. Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande. Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K. http://matematica.50webs.com/sucesiones.html

Una sucesión se representa como a1, a2…, an… Las “a” son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2 el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece, es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una sucesión infinita definida por la fórmula an = n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16… La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, que se conoce como sucesión de Fibbonacci.

Toda sucesión es una función. Las sucesiones se clasifican en sucesiones infinitas y sucesiones finitas. Los tipos de sucesiones más comunes son: * Las sucesiones aritméticas

* Las sucesiones geométricas

* Las sucesiones aritmeticogeométricas

Sucesión finita Sucesión en la que el número de términos es limitado, es decir, la sucesión termina y existe un último término de la sucesión.

Sucesión finita Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo: Genéricamente: general si hiciese falta. ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

, donde

sería el término

1.5 Sucesiones Las sucesiones son un modelo matemático importante en computación para representar estructuras de datos, como son las listas de objetos. Es decir, las sucesiones sirven para representar conjuntos de objetos donde interesa tener una noción de orden lineal entre ellos. El orden en este caso está definido en términos de la “posición” que ocupan los elementos dentro de la sucesión. Para fijar la posición de un elemento dentro de una sucesión se utilizan los números naturales o un subconjunto de ellos, asociando cada número natural con un elemento y sólo un elemento del conjunto de objetos. Definición: 1.5. 1 Sucesión finita. Sea A un conjunto. Una sucesión finita con valores en A es una correspondencia que asocia con cada número un elemento de A. Utilizamos la representación

para referirnos a la sucesión finita que asocia el elemento con esta correspondencia la podemos ilustrar de la siguiente forma:

un elemento y sólo

. Gráficamente

Decimos en este caso que:



N es la longitud de la sucesión. (el número de elementos)



es el primer elemento.



es el último elemento.



precede a



está en la posición



para

. .

es el conjunto de valores. Ejemplo: Considérese la sucesión

De acuerdo a las definiciones anteriores para esta sucesión tenemos que: 1 es el primer elemento; 1/6 es el último elemento; 1/3 precede a 1/2; 1/2 sucede a 1/3y 1/4 está en la posición 4. La longitud de la sucesión es 6 y su conjunto de valores es

.

La sucesión

es una sucesión finita de longitud 7 con elementos repetidos.

Es decir;

En este caso el conjunto de valores es Además el elemento 0 aparece en las posiciones 2, 3, 4 y 5 Por consiguiente el elemento 0 en la posición 2 precede al elemento 0 en la posición 4.

Dos sucesiones son iguales, es decir,

y

son iguales si sus correspondientes elementos

Ejemplo: Las sucesiones

   Son distintas. Obsérvese, sin embargo, que el conjunto de valores de las tres sucesiones es el mismo:

.

Una sucesión que asocia con cada número natural infinita.

un objeto

se le llama sucesión

Definición: 1.5.2 Sucesión infinita. Sea A un conjunto. Una sucesión infinita con valores en A es una correspondencia que asocia con cada número elemento de A.

un elemento y sólo un

Utilizamos la representación

para referirnos a la sucesión infinita que asocia el elemento esta correspondencia la podemos ilustrar de la siguiente forma:

con

. Gráficamente

Las mismas definiciones dadas para sucesiones finitas se utilizan para las sucesiones infinitas. A excepción de los conceptos de último elemento y longitud. En este caso no están definidos. En la sucesión infinita Es decir,

Su primer elemento es 1; 1/50 está en la posición 50; precede a 1/20 y 1/30 sucede a 1/10. Su conjunto de valores es:

.

En matemáticas es costumbre nombrar las sucesiones por letras minúsculas como a, b, s, y referirnos a las sucesiones

y

de manera abreviada

por respectivamente. Con frecuencia llamamos al elemento está en la posición nde la sucesión s, el término n-esimo de la sucesión.

,que

En computación es más usual nombrar una sucesión por un identificador, por ejemplo, “fact.”. También se prefiere la notación sucesión s. Así

para el término n-esimo de la

representa el término n-ésimo de la sucesión fact.

Ejemplo:



Consideremos la sucesión



Consideremos la sucesión dada por donde



donde

.Esta es la sucesión para

.Esta es la sucesión

. Es decir, .En este caso, su conjunto de

valores es . Una sucesión importante en computación que se utiliza en problemas de conteo es la sucesión factorial, definida por . Es decir, el término n-ésimo de la sucesión factorial es el producto de los primeros n números. Por ejemplo,

,

costumbre considerar esta sucesión definida a partir de 0, y definir notación tradicional para denotar esta sucesión es 1!=1, 2!=2x1=2, 3!=3x2x1=6

. Es . Una

. De esta forma, por ejemplo, 0!=1,

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030029/lecciones/capitulo2/cap2.ht m

Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, ... A cada uno de los números que forman la sucesión se le llama término de la sucesión. Por tanto, en la sucesión 1, 11, 111, 1.111, 11.111, ...: a1 = 1 a2 = 11 a3 = 111 a4 = 1.111 a5 = 11.111 ... Los números 1, 11, 111, ..., son los términos de la sucesión. Las sucesiones numéricas pueden ser finitas, cuando el número de términos es limitado, o infinitas, si tienen un número ilimitado de términos. Un ejemplo de sucesión finita es la formada por todos los números naturales menores que 100: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99 → Tiene 99 términos. Un ejemplo de sucesión infinita es la formada por todos los números naturales impares: 1, 3, 5, 7,..., 99,... → Tiene un número ilimitado de términos. Desde el punto de vista matemático, las sucesiones más interesantes son las infinitas o ilimitadas, como la de los números pares, la de los números primos, etc.

http://ve.kalipedia.com/matematicasaritmetica/tema/sucesiones.html?x=20070926klpmatari_333.Kes&ap=0