Sucesiones Infinitas 2n5w53

SUCESIONES INFINITAS Una sucesión es una lista de números

en un orden dado. Cada

etc., son los términos de la sucesión.

El término

se llama n-ésimo término.

Ejemplo 1: 2, 4, 6,…, 2n,…  El entero n se denomina índice de La sucesión n al n-ésimo término

e indica donde aparece

en la lista.

es una función que envía e , por lo tanto:

y en general el entero positivo

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Ejemplo 2, la función asociada a la sucesión 2, 4, 6,…, 2n,… envía sucesivamente. 

y así

El comportamiento general de las sucesiones se describe por medio de la fórmula Igualmente podemos hacer que el dominio sea los enteros mayores un número dado Ejemplo 3: la sucesión 12, 14, 16, 18, 20,… se describe por medio de la fórmula medio de la fórmula  Las sucesiones pueden describirse anotando las reglas que especifican sus elementos: (

√ O bien listando sus términos: *

+

{√ √ √

*

+

{

* +

{

*

*

+

}

√ (

)

} }

(

)

+

)

(

)

. o por

O también: *

+

{√ }

Convergencia de sucesiones. Una sucesión {an} tiene el límite L, o converge a L, lo cual se denota por 𝑎𝑛

𝑛

Si para todo 𝜀 >

𝐿

existe un número positivo N tal que

𝑎𝑛

𝐿 < 𝜀 siempre que n > N.

Si tal número L no existe, la sucesión no tiene límite o diverge.

Teorema 1: Sea *𝑎𝑛 + una sucesión infinita y sea f(n) = 𝑎𝑛 , donde f(x) existe para todo número real 𝑥 . 𝑖) S

𝑖𝑖) S

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥 )

𝑥

𝐿e

ces

𝑓(𝑛)

𝑛

∞ ( be

𝐿.

∞)e

ces

𝑓(𝑛)

𝑛

Determine si * + converge o diverge.

Ejemplo 4: Sea Solución:

( ) ( )

d (

e

e

)

Entonces por el teorema 1(i) ( Por lo tanto, la sucesión *

)

+ converge. 

Ejemplo 5: Determine si cada sucesión diverge o converge. a) *

+

{

}

b)*

+

*(

)

+

∞( b e

∞).

Solución (a): ( )

(

)

∞

Entonces, (

)

∞

Por lo tanto la sucesión diverge.  Solución (b): Si tomamos n = 1, 2, 3,… vemos que los términos de *( – 1: 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1,… Por lo tanto, (( Teorema 2:

)

𝑖) 𝑖𝑖)

)

𝑛

𝑛

e se

𝑟𝑛 𝑟𝑛

s ces 𝑠𝑖 𝑟 <

∞

𝑠𝑖 𝑟 >

Ejemplo 6: Determine si cada sucesión diverge o converge ) {(

) *( .

) }

) +

Solución (a): De acuerdo al teorema 2(i), {(

|

) }

|<

Por lo tanto la sucesión converge. 

Solución (b): *( .

) +

∞

Por lo tanto la sucesión diverge. 

.

>

d e e. 

)

+ oscilan entre 1 y

Teorema 3: Teorema de intercalación para sucesiones infinitas. Si *𝑎𝑛 + * 𝑏𝑛 + *𝑐𝑛 + son sucesiones infinitas tales que 𝑎𝑛 para todo n, y si 𝑎𝑛

𝑛

𝐿

𝑏𝑛

𝑐𝑛

𝑐𝑛

𝑛

Entonces, 𝑛

e

c

e

e de

s ces

{

𝑏𝑛

𝐿

}

Solución: , multiplicando la desigualdad por

( ) de

e e

s

Por el teorema de intercalación se deduce:  Teorema 4: Las seis sucesiones siguientes convergen a los límites que se listan:

)

)

𝑛

𝑛

𝑛 𝑛

) 𝑥 𝑛

𝑛

𝑒𝑥

)

𝑛

𝑛

𝑛

√𝑛

𝑥𝑛

)

(𝑥 < )

En las fórmulas (3) a la (6), x permanece fija cuando n

) ∞

1

𝑛

𝑛

𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛!

(𝑥 > )

EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 20, escriba los primeros cuatro elementos de la sucesión y determine si es convergente o divergente. Si la sucesión converge, calcule su límite. ){

)*

}

( . ) +

){

){

){

}

(

)

}

){

}

se ){

}

){

}

){

}

⁄

){

}

){

⁄

}

)√

) {( )

}

}

√

){

( √

) }

SERIES INFINITAS DEFINICION:

Dada una sucesión infinita *𝑎𝑛 + de números, una expresión de la forma: 𝒂𝟏

𝒂𝟐

𝒂𝟑

𝒂𝒏

es una serie infinita. El número 𝒂𝒏 es el n-ésimo término de la serie.

La sucesión definida como:

. . . ∑ . . .

es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde

es la n-ésima suma parcial. Si la sucesión

de sumas parciales converge a un límite L, se dice la serie converge y que su suma es L. es decir: ∑

Si la sucesión de sumas parciales de la serie no converge, decimos que la serie diverge.