Sucesiones Finitas E Infinitas 11762

SUCESIONES FINITAS E INFINITAS Sucesión finita: Se presenta cuando el dominio de la función es un subconjunto finito de . Esto significa que se limita el número de términos que se deben hallar a una cantidad finita. Para encontrar los términos de una sucesión finita, hallamos los términos de la sucesión hasta el número n que se indique. Ejemplo: Encontrar los 5 primeros términos de la siguiente sucesión finita:

; Solución: Reemplazamos para n = 1,2,3,4 y 5. Luego:

;

Sucesión infinita: Se presenta cuando el dominio de la función es el conjunto de los números enteros positivos, es decir cuando el dominio es infinito. En este caso los términos a hallar no se limitan a unos cuantos si no a todo el conjunto de números enteros positivos hasta el infinito. Como es dispendioso encontrar todos los términos de una sucesión infinita, hallamos en orden algunos de los primeros términos e indicamos con puntos suspensivos que la sucesióncontinua. Ejemplo:

Hallar los términos de la sucesión Solución: Observemos que en las sucesiones finitas se indica la cantidad de términos que se deben hallar, en este caso no se indica, lo que significa que es una sucesión infinita.

DANILO CAICEDO ROSADO

2DO SEMESTRE

GRUPO 6

INTEGRACION DE RIEMANN

La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

Donde n es la cantidad de subintervalos. Normalmente se nota como:

El símbolo

, es una "S" deformada. En el caso en que la función f tenga varias variables,

el dx especifica la variable de integración. la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función. Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)|0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.

DANILO CAICEDO ROSADO

2DO SEMESTRE

GRUPO 6

El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.

Al aumentar el número de rectángulos se obtiene una mejor aproximación.

La idea fundamental de la teoría de la integración de Riemann es la de utilizar aproximaciones del área del dominio S. Determinaremos un área aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al área del dominio S, y buscaremos un área aproximada que sepamos que es mayor al área de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces podemos obtener el área del dominio S. Por lo tanto, el límite del área para infinitos rectángulos es el área comprendida debajo de la curva.

FORMA INDETERMINADA E INTEGRALES IMPROPIAS Existen formas indeterminadas y formas determinadas. Formas indeterminadas: Todas estas formas indeterminadas se refieren a cuando una variable tienda a ese valor.

1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 6. 7. Formas determinadas:

DANILO CAICEDO ROSADO

2DO SEMESTRE

GRUPO 6

1. 2. 3. 4. Ejemplos

1)

aplicando la definicion se realiza

2)

aplicando la definicion se realiza

DANILO CAICEDO ROSADO

2DO SEMESTRE

GRUPO 6

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.

Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua existe ), y definimos:

x

a. Si

f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, +

f (x) dx =

f (x) dx

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).

De igual modo, definimos también

f (x) dx =

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx, y

f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = 1.

dx =

dx =

=

con el eje X, a partir de x =

- (- 1)

=1

u.a.

Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe

f (x) dx =

DANILO CAICEDO ROSADO

f (x) dx, definimos:

f (x) dx

2DO SEMESTRE

GRUPO 6

Si el límite no existe, diremos que

f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:

ln x dx =

ln x dx =

x ln x - x

=-1-

ln

= - 1.

El recinto tendrá 1 u.a.

Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) =

entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.

S= dx =

= =

dx +

-

dx =

+

-

dx +

=

(

- 1) +

(- 1 +

)

.

La integral impropia es divergente.

DANILO CAICEDO ROSADO

2DO SEMESTRE

GRUPO 6

DANILO CAICEDO ROSADO

2DO SEMESTRE

GRUPO 6