Tugas 2 Alin Kelompok 2 1i4440

Tugas Kelompok 2 Aljabar Linear Nama : Dita Zakiah (18) Fariz Azhar Abdillah (15) Ria Apriliani (19) Rian Gilang Prabowo (25) Ridha Moulina (22) TeguhSamudra F.(24) Yonathan RakaPradana (20) 3.3 nomor 8 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19) (a) Tunjukkan bahwa v = (a, b) dan w = (-b, a) adalah vector-vektor orthogonal. (b) Gunakan hasil pada bagian (a) untuk mencari dua vector orthogonal terhadap v = (2, 3) (c) Cari dua vektor satuan yang orthogonal terhadap (-3, 4) Jawab : (a) Vector v dan w adalah vector orthogonal jika hasil kali titik dari vector tersebut bernilai 0 v . w = -ab + ab = 0 (b) Dua vector lainnya yang orthogonal terhadap v = (2, -3) adalah x = (3, 2) dan y = (-3, -2), karena hasil kali titik v . x dan v . y bernilai 0 (c) Vektor satuan yang orthogonal terhadap (-3,4) adalah vektor (-4, -3) dan (4, 3) dengan nilai vector satuan 5 3.3 nomor 10 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19) Jelaskan mengapa setiap ekspresi berikut ini tidak masuk akal. (a) u . (v . w) (b) (u . v) + w (c) |u . v| (d) k . (u + v) Jawab : (a) Hasil (v . w) adalah vektor skalar sehingga tidak dapat dikalikan dengan vektor u, karena vektor dot hanya dapat di operasikan antara vektor (b) Hasil (u . v) adalah vektor skalar sehingga tidak dapat ditambah dengan vektor u, karena operasi penjumlahan hanya dapat dioperasikan antara vektor (c) Hasil dari u . v adalah vektor scalar sehingga tidak dapat dijadikan vektor satuan

(e) Penjumlahan dari vektor u dan v dalam bentuk vektor dan jika dikalikan dengan konstanta tidak perlu menggunakan perkalian dot, karena perkalian dot hanya dikalikan antara vector 3.3 nomor 11 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19) Gunakan vektor-vektor untuk mencari cosinus sudut dalam dari segitiga dengan titik-titik sudut (0, -1), (1, -2), dan (4, 1) Jawab :

(4, 1)

(0, -1) (1, -2)



Sudut di titik (0, -1) Vektor sudut lainnya adalah u(1, -2) dan v(4, 1) u . v = |u||v|cos θ 4 – 2 = √ √ cos θ cos θ =



cos θ = 

√

Sudut di titik (1, -2) Vektor sudut lainnya adalah u(0, -1) dan v(4, 1) u . v = |u||v|cos θ 0 – 1 = √ √ cos θ √

Sudut di titik (4, 1) Vektor sudut lainnya adalah u(0, -1) dan v(1, -2) u . v = |u||v|cos θ 0 + 2 = √ √ cos θ cos θ =

√

3.3 nomor 12 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19) Tunjukkan bahwa A(3, 0, 2), B(4, 3, 0), dan C(8, 1, -1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku. Di titik sudut manakah sudut siku-sikunya terletak? Jawab : z

A(3, 0, 2) y

B(4, 3, 0) x 

Sudut A(3, 0, 2) Vektor sudut lainnya adalah B(4, 3, 0) dan C(8, 1, -1) B . C = |B||C|cos θ 32 + 3 + 0 = √ √ cos θ cos θ =



√

=

√

Sudut B(4, 3, 0) Vektor sudut lainnya adalah A(3, 0, 2) dan C(8, 1, -1) A . C = |A||C|cos θ 24 + 0 - 2 = √ √ cos θ cos θ =



C(8, 1, -1)

√

Sudut C(8, 1, -1) Vektor sudut lainnya adalah A(3, 0, 2) dan B(4, 3, 0) A . B = |A||B|cos θ 12 + 0 + 0 = √ √ cos θ cos θ =

√

3.1 nomor 7 oleh TeguhSamudra F.(24) Anggap u = (-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dan w = (6, -1, -4). Cari komponen- komponen vektor x yang memenuhi 2u – v + x = 7x + w Jawab :

Jika x = (x1, x2, x3). Maka, 2u – v + x = (–6, 2, 4) – (4, 0, –8) + (x1,x2, x3) = (–10 + x1, 2 + x2, 12 + x3) 7x + w = 7(x1, x2, x3) + (6, –1, –4) = (7x1 + 6, 7x2 – 1, 7 x3 – 4) 7x1 + 6 = x1 – 10 7x2 – 1 = x2 + 2 7x3 – 4 = x3 + 12 x = (–8/3, 1/2, 8/3)

3.3 nomor 13 oleh TeguhSamudra F.(24) Anggap bahwa a . b = a. c dan a

0. Apakah dengan demikian maka b = c? Jelaskan.

Jawab : Belum tentu b = c. karena tergantung sudut yang mengapit a dengan b dan a dengan c. Jika sudutnya sama maka b=c. Kalau berbeda maka b tidak sama dengan c. Contoh nya misalkan a=(1,1,1) b=(1,-1,0) dan c=(-1,1,0). a.b=0 dan a.c=0. Walau b dan c berbeda tetapi hasil perkalian dot sama

3.3 nomor 14 oleh TeguhSamudra F.(24) Anggap p = (2, k) dan q = (3, 5). Cari sedemikian sehingga : a. p dan q sejajar b. p dan q ortogonal c. sudut antara p dan q adalah d. sudut antara p dan q adalah Jawab : (a) Karena sejajar, Jika maka, (2, k) = c(3, 5). Jadi, k/5 = 2/3 atau k = 10/3

(b) Ortogonal jika Maka,

( )

( )

| || | | || |

(c)

√

( )

√ √

| || | | || |

(d)

3.3 nomor 15 oleh TeguhSamudra F.(24) . Gunakan rumus (13) untuk menghitung jarak antara titik dan garis berikut ini. a. 4x + 3y + 4 = 0 ; (-3, 1) b. y = -4x + 2 ; (2,-5) c. 3x + y = 5 ; (1, 8) Jawab : Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah

a) b)

|

| √

|

| √

= =

| (

)

( )

|

√ | ( )

(

√(

)

)

|

= =

| √ | | √

|

= =1 =

√

c)

|

| √

=

| ( )

( )

√

|

=

√

3.1 nomor 9 dikerjakan oleh Ridha Moulina(22) Diasumsikanbahwaadatigaskalaryaitu , ,dan padasetiapvektor . Jikakitamembuatpersamaandengan scalar-skalar yang ditambahkan di vektortersebutdanmenjadikannyapersamaandibawahini :

–2c1 –3c2 +c3 =0 9c1 +2c2 +7c3 =5 6c1 +c2 +5c3 =4

Matrix di reduksimenjadisepertiini :

2

3

9

6

Barisketiga 0 C3

-1

2

1

7

5

+0

0

5

4

+ 0

2

3

-1

0

0

2

-2

-1

0

0

0

-1

= -1 , sehinggadapatdibuktikanbahwatidakadaskalarC1, C2 dan

3.3 nomor 1.d dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)

U = ( -2, 2, 3)

V= ( 1, 7, -4 )

U.V = (-2)(1) + (2)(7) + (3)(-4) = -2 + 14 -12 = 0

3.3 nomor 2.d dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)

cos = ‖

‖‖ ‖

cos = ⁄√

√

= 0 = 90 derajat (orthogonal)

3.3 nomor 3.b dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)

U = (-6, 0, 4)

U.V = (-6)(3) + (0)(1) + (4)(6) = -18+0+24 = 6

V = (3, 1, 6)

cos = ‖

= ⁄ √

‖‖ ‖

√

= suduttumpul. 3.3nomor 6d Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20)

‖ Pada setiap bagian cari ‖ u = (3, -2, 6), a = (1, 2, -7) Jawaban: ‖

‖

|

|

‖ ‖ u . a = (3)(1) + (-2)(2) + (6)(-7) = 3 – 4 – 42 = - 43 | | | | ‖ ‖ ‖ ‖ √ ( ) √

√

√

3.3 nomor 8 Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20)

a. Tunujukkan bahwa v = (a, b) dan w = (-b, a) adalah vektor ortogonal. b. Gunakan hasil pada bagian (a) untuk mencari dua vektor yang ortogonal terhadap v = (2, 3) c. Cari dua vektor satuan yang ortogonal terhadap (-3, 4) Jawaban: a. Dua buah vector dapat dikatakan ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika v . w = 0. v . w = (a)(-b) + (b)(a) = -ab + ab = 0 b. Dengan menggunakan hasil pada (a), dapat diketahui jika diketahui v = (2, 3) maka vektor yang ortogonal dengan v adalah (-3, 2). c. Dari bagian (a) dapat diketahui bahwa vektor (-4, -3) dan (4, 3) ortogonal terhadap (-3, 4). 3.3 nomor 12 Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20) Tunjukan bahwa A(3, 0, 2), B(4, 3, 0), dan C(8, 1, -1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku. Di titik manakah sudut siku-sikunya terletak? Jawaban: Sudut siku-siku dapat diketahui jika hasil perkalian dot (.) dari dua vektor di atas hasilnya 0. ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )( ) ( )( ) ( )( ) Dari hasil di atas dapat diketahui bahwa kedua vektor tersebut ortogonal, maka segitiga tersebut siku-siku di titik B.

Latihan 3.4 nomor 4 Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20) Cari luas segitiga yang mempunyai titij di P, Q, dan R

P(2, 6, -1), Q(1, 1, 1), R(4, 6, 2) Jawaban: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ (| | | | ‖⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

)

√(

|

( )

|) (

)

(

)

√

√

3.4 nomor 10a dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25) Cari luas paralelepidum dengan sisi-sisi u,v, dan w. a. u = (2, -6, 2), v = (0, 4, -2), w = (2, 2, -4) Diketahui

:

u = (2, -6, 2) v = (0, 4, -2) w = (2, 2, -4) Ditanya

:V=?

Jawab : V=|

[

]|

V=|

[

]|

V=| *

+–(

)*

+

*

V=| *

+–(

)*

+

*

V = | [(

)

(

)]

V=|

)

+| (

)]

[(

)

(

– |

V=| V=|

[(

+|

| |

V= Karena volume tidak ada yang negatif, jadi volume paralelepidum adalah 16.

)]|

3.4 nomor 19a dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25)

Gunakan hasil latihan 18 untuk mencari jarak antara titik P dan garis yang melalui titik A dan B: a. P(-3, 1, 2), A(1, 1, 0), B(-2, 3, -4) Diketahui : Hasil latihan 18

=

||

|| || ||

P(-3, 1, 2) A(1, 1, 0) B(-2, 3, -4) Ditanya : jarak (d) =? Jawab :  misalnya u = ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-3-1, 1-1, 2-0) = (-4, 0, 2) v = ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-2-1, 3-1, -4-0) = (-3, 2, -4) 

d = = =

) (

||( ||( ||(

)|| )|| )||

√ √ √

3.4 nomor 24 dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25)

Buktikan identitas-identitas berikut ini. a. (u + kv) x v = u x v Diketahui : (u + kv) x v = u x v Ditanya : membuktikan identitas tersebut = ? Jawab : (u + kv

v = (u = (u =u

= (u v) + (kv v) + k(v v) v) + k 0 v

v)

3.5 nomor 4a dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25) Cari sebuah persamaan untuk bidang yang melalui titik-titik yang diberikan di bawah ini.

a. P(-4,-1,-1), Q(-2, 0, 1), R(-1, -2, -3) Diketahui : P(-4,-1,-1) Q(-2, 0, 1) R(-1, -2, -3) Ditanya : persamaan = ? Jawab :  ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-2+4, 0+1, 1+1) (2, 1, 2)  ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-1+4, -2+1, -3+1) (3, -1, -2) ⃗⃗⃗⃗⃗  x ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 10, -5)  ⃗⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗⃗ tegak lurus terhadap bidang ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ dan misalnya P adalah titik di bidang itu. Oleh karena itu persamaan untuk bidang tersebut adalah 0(x + 4)+ 10(y + 1) – 5(z + 1) =0 2y – z + 1 =0 Jadi, persamaannya adalah 2y – z + 1 = 0

3.5 nomor 6.a oleh Dita Zakiah (18)

Tentukan apakah garis dan bidang berikut sejajar. X= -5 -4t, y = 1-t, z = 3+2t ; x+2y+3z-9 = 0 Jawab : Persamaan bidang : Ax + By + Cz + D = 0 Persamaan simetrik : (x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c = t (x+5)/(-4) = (y-1)/9-1) = (z-3)/2 Persamaan :

(Aa + Bb + Cc)t + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0

Sejajar apabila : -

Aa + Bb + Cc = 0

-

Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0

Diketahui :

A = 1, B = 2, C = 3, D = -9, a = -4, b = -1, c = 2, x1 = -5, y1 = 1, z1 = 3 -

Pembuktian syarat 1 Aa + Bb + Cc = 0 1(-4) + 2(-1) + (3)(2)= 0

-

Pembuktian syarat 2 Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0 1(-5) + 2(1) + 3(3) + (-9) ≠0 -5 + 2+ 9+ (-9) ≠ 0

3.5 nomor 10.a oleh Dita Zakiah (18) Cari persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik-titik yang diberikan, yaitu (5, -2, 4), (7,2, -4) Jawab : r = ro + tv (x, y, z) = (5, -2, 4) + t( 7-5, 2-(-2), (-4)-4) = (5, -2, 4) + t (2, 4, -8) Persamaan parametriknya adalah : x = 5+2t, y = -2+4t, z = 4-8t 3.5 nomor 17 oleh Dita Zakiah (18)

Cari sebuah persamaan untuk bidang yang melalui (-2, 1, 7) dan tegak lurus dengan garis x-4 = 2t, y+2 = 3t, z = -5t Jawab : Vektor u = (-2,1,7) - (4,-2,0) u = (-6,3,7) v = (-6,3,7) x (2,3,-5) v = (-36,-16,-24) (x+2 , y-1, z-7) dot (-36,-16,-24) = 0 Maka persamaannya 9x + 4y + 6z - 28 = 0 3.5 nomor 23 oleh Dita Zakiah (18)

Cari sebuah persamaan untuk bidang yang mengandung garis x = -1 + 3t, y= 5 +2t, z = 2 – t dan tegak lurus dengan bidang 2x-4y+2z = 9 Jawab : Vektor normal bidang : w = (2, -4, 2) Pers. garis : (x+1)/3 = (y-5)/2 = (z-2)/(-1) Vektor normal garis : m = (3, 2, -1) Vektor n = w x m = (2, -4, 2) x (3, 2, -1) = 0i + (-8)j + 16k Ambil sebarang titik (x,y,z) pada bidang yang akan dicari, maka terdapat vektor p = (x-1, y-0 , z0) yang pastinya akan tegak lurus terhadap vektor n (x-1, y-0 , z-0) • n = 0 (x-1, y-0 , z-0) • (0, -8, 16) = 0 -4y + 8z = 0 ⇐ ini adalah persamaan bidang yang dicari

3..5 nomor 24 Oleh Fariz Azhar Abdillah (15) Soal Find an equation for the plane that es through (2,4,-1) and contains the line of intersection of the planes x-y-4z=2 and -2x+y+2z=3 Jawab: Dengan melakukan eliminasi gaus jordan

= Misalkan z=t maka x=-5-2t dan y=-7-6t z=t untuk t=0 maka titiknya (-5,-7,0) dan untuk t=-1 maka titiknya (-3,-1,-1) maka

-5a-7b+d=0 -3a-b-c+d=0 2a+4b-c+d=0 Dengan eliminasi gaus Jordan [

]=[

[

]

[

] ]

[

]

[

]

[

Misalkan d=t Maka A=-1/2t B=1/2t c=2t dan d=t Misalkan t=-2 maka persamaan menjadi x-y-4z-2=0 x-y-4z=2

3.5 nomor 39.a) Oleh Fariz Azhar Abdillah (15) Soal

:

Jarak antara titik (3,1,-2) dengan bidang x+2y-2z=4 Jawab : ( )

(

√ 3.5 nomor 40.a) Oleh Fariz Azhar Abdillah(15) Soal

:

Jarak antara bidang 3x-4y+z=1 dan 6x-8y+2z=3 Jawab : Titik (0,0,1) terdapat pada bidang 3x-4y+z=1 maka

) (

)

√

[

] ]

| √

|

√

√

3.5 nomor 44 Oleh Fariz Azhar Abdillah(15) Soal

:

Dua bidang yang berpotongan dalam ruang dimensi 3 menentukan dua sudut perpotongan, suatu sudut lancip (0≤ ≤90) dan suplemennya 180- . Jika n1 dan n2 adalah normal tak nol terhadap bidang-bidang tersebut maka sudut antara n1 dan n2 adalah atau 180- , tergantung pada arah normal tersebut. Pada setiap bagian di bawah ini cari sudut lancip perpotongan bidang sampai derajat terdekat. a) x=0 dan 2x-y+z-4=0 b) x+2y-2z=5 dan 6x-3y+2z=8 Jawab: a) Normal terhadap bidang adalah (1,0,0) dan (2,-1,4) maka sudut antaranya (

Cos

)(

)

√ √

Arc Cos

√

√

b) Cos Arc cos

(

)(

√

√

) √ √

= 101

3.5 nomor 21 Oleh Fariz Azhar Abdillah Soal

:

find an equation for the plane that es through the point (3,-6,7) and its parallel to the plane 5x-2y+z-5=0 Jawab: 5(x-3)-2(y+6)+(z-7)=0 5x-2y+z=34