Tema 7 Elementos Sometidos A Torsion 416y1i

ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN

Tema 7. 7.1

ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN

INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE TORSIÓN

Torsionar es ‘retorcer’. Sea una pieza prismática de eje recto, la torsión de la misma se produce cuando alguna acción tiende a retorcerla en torno a su eje. Este efecto se produce siempre que alguna acción genere como esfuerzo de sección un momento en la dirección del eje de la pieza, es decir, es decir siempre que se tenga como esfuerzo interno un momento torsor, .

𝑇

𝑇

𝑇 Fig. 7.1

El estudio de la torsión es típico de piezas de sección transversal circular, ya sea maciza o hueca, que normalmente hacen las funciones de ejes, de transmisión de giro. Vamos a analizar las tensiones y deformaciones que produce este tipo de carga, esta forma de trabajo.

7.2

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN EJES CIRCULARES

Cuando se tienen dos pares torsores que se equilibran en los extremos de la pieza, se dice que el eje está cargado en torsión pura. Bajo este tipo de carga el eje se deforma retorciéndose, las secciones transversales ‘giran’ en torno al eje respecto de su posición inicial. En ejes circulares las secciones transversales giran como ‘rodajas rígidas’, no sufren ningún tipo de alabeo, o distorsión, es decir, tras deformarse la pieza:  

𝑅

𝐿 𝜑 𝑇

Cualquier sección se mantiene plana y circular Cualquier radio se mantiene recto

Esto es debido a la simetría polar que tienen las secciones circulares (macizas o huecas), y no se cumple para otras geometrías de secciones transversales. En régimen elástico lineal los giros son muy pequeños, por lo que es correcto asumir que al deformarse la pieza no varía su longitud , ni su radio .

Fig. 7.2

A continuación se verá qué sucede en una rodaja infinitamente fina de la pieza, cómo se deforma. Esta rodaja se encuentra a una distancia genérica en el eje de la pieza de una sección de referencia y su espesor es . Si en la periferia de dicha rodaja se dibuja un cuadrado antes de aplicar la carga, al torsionar la pieza, puesto que las secciones giran unas respecto a otras, dicha forma se distorsiona angularmente, los ángulos del cuadrilátero, inicialmente rectos, dejan de serlo. Como las dos secciones que definen la rodaja están infinitamente cerca, el giro de una respecto de la otra también será infinitesimal, .

1

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ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN

𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑅

𝜑

𝑅𝑑𝜑

𝛾

𝑑𝜑 𝑇

Fig. 7.3

La distorsión de la forma del cuadrado original, la variación de los ángulos originales, define la deformación angular que está experimentando el material del eje en la periferia. Como el valor de es muy pequeño se puede hacer la aproximación siendo

, parámetro que expresa la cómo varía del ángulo girado por una sección de la

pieza con la posición de la misma a lo largo del eje, o también, el ángulo de torsión por unidad de longitud de la pieza. Es sabido que una deformación angular siempre va asociada a (o es producida por) una tensión tangencial: 𝜏

𝜏

Esta es tangente al borde periférico (a la circunferencia).

Fig. 7.4

Las expresiones de deformación angular y tensión tangencial se han obtenido en la periferia de la sección transversal, pero un análisis del mismo tipo se podría haber hecho en cualquier punto interno de la sección, a una distancia arbitraria del centro de la misma, llegando a las expresiones: ,

𝑟 𝜏

Fig. 7.5

2

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ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN Se observa cómo y varían linealmente con , aumentando desde un valor nulo en el centro de la sección hasta un valor máximo en la periferia de la misma. Todos los puntos equidistantes del centro ( ) poseen un mismo nivel de tensión (y deformación). Recuérdese que la dirección de la de cualquier punto es siempre circunferencial, es decir, tangente a la circunferencia que pasa por dicho punto (o perpendicular al radio que pasa por dicho punto) y que su sentido es el produce un giro hacia el mismo lado que el momento torsor que existe en la sección. 𝜏

𝜏 𝑇 𝑇

Fig. 7.6

El siguiente paso será relacionar la distribución de tensiones en la sección con el esfuerzo que las genera, es decir encontrar la relación entre las de la sección y el par torsor que existe en ésta. Como es sabido, siempre tiene que haber una equivalencia estática entre esfuerzos de sección y distribución de tensiones. En este caso no es constante en toda la sección, sino que, como se ha visto, su valor es directamente proporcional a la distancia al centro. Para plantear la equivalencia estática se tomará en la sección transversal un área diferencial en la que el valor de la tensión se mantenga constante, es decir un anillo de radio y espesor diferencial, .  

Desarrollando (‘abriendo’) el anillo se obtiene Una tensión , constante, aplicada sobre un área



Dicha fuerza está aplicada a lo largo del anillo, circunferencialmente, equidistante del centro a una distancia , y por lo tanto produce respecto del mismo un momento



Si ahora se tiene en cuenta el aporte de momento de los infinitos anillos que componen la sección completa se obtendrá el momento total. Para sumar infinitos elementos infinitamente pequeños: ∫

∫

es equivalente a una fuerza

∫ 𝜏

𝑅

𝑟

𝑑𝑇

𝑑𝑇 𝑟

𝑑𝑟

𝜏

𝑑𝑟

𝜋𝑟 Fig. 7.7

3

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ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN

donde

es el momento polar de inercia de un círculo

también

. Por lo tanto,

Además, como

(momento de inercia respecto de su centro),

, y en consecuencia:

se tiene que

. Dadas dos secciones

y

del eje,

suponiendo que entre y el par torsor se mantenga constante (si la pieza es de un mismo material no varía, y si la sección transversal no cambia, tampoco): ∫

∫

𝜑𝐴

𝑅 (

𝜑𝐵

𝐴

) 𝐴 𝐿𝐴𝐵

𝑇

𝐵

Fig. 7.8

donde representa el giro relativo entre y , es decir el giro que experimenta la sección respecto de y es la distancia entre ambas secciones. Adviértase que se está considerando como sección de referencia, por lo que si ésta también hubiera girado en términos absolutos un determinado ángulo , entonces: . Como se observa, el valor del ángulo girado al torsionar un eje es directamente proporcional tanto al par torsor aplicado como a la longitud del mismo. Sin embargo, dicho ángulo es tanto menor cuanto mayor sea el producto , que en consecuencia se denomina rigidez a torsión de la pieza.

7.3

EJES CIRCULARES HUECOS

Las expresiones obtenidas también son aplicables a ejes de sección circular hueca. Simplemente hay que considerar el momento polar de inercia del anillo (resta de dos círculos): (

)

𝑅𝑒𝑥𝑡

𝑅𝑚𝑒𝑑

𝑅𝑖𝑛𝑡

𝑒 Fig. 7.9

4

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ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN Cuando se trata de un tubo de espesor fino,

(

), se puede aproximar

.

Demostración: En este caso:

(

Teniendo en cuenta que (

)

(

)

)

(

( (

[ (

)

)

( (

)

)

(

)

) ] ( (

[

)

) )

(

) (

(

( )

) (

) ]

)

Como Las piezas huecas son mucho más eficaces que las macizas para resistir cargas torsionales. En un eje macizo todo el material de la parte central está trabajando a un bajo nivel tensional, es decir, no está siendo bien aprovechado, tan sólo el material de la zona periférica está soportando la mayor parte de la carga. Por lo tanto, utilizar barras huecas permite aprovechar mejor el material y realizar diseños igual de resistentes pero más ligeros, ahorrando coste. Para otras geometrías de sección transversal, rectangular por ejemplo, la formulación obtenida no es válida.

7.4

TORSIÓN NO UNIFORME

Para el cálculo de ángulos girados, la expresión

es aplicable sólo a un tramo

en el que

los parámetros , , se mantengan constantes. Si el eje tiene saltos de par torsor, diámetro, o material es necesario identificar los tramos en los que dichos parámetros se mantengan, de modo que: ∑

150 𝑁𝑚 100 𝑁𝑚 150 𝑁𝑚 100 𝑁𝑚

𝑅1

𝑅

𝐺1

𝐺

𝑅

𝑇1 𝑇 𝑥 𝑇

𝐺

Fig. 7.10

5

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ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN Si el torsor, el módulo de rigidez o la sección varían de forma continua a lo largo del eje de la pieza, es decir, son funciones de , entonces: ∫

7.5

𝑅(𝑥)

( ) ( ) ( )

Fig. 7.11

EJES COMPUESTOS

Se denomina eje compuesto a aquel que está formado por más de un material, estando dispuestos los distintos materiales en anillos concéntricos, perfectamente pegados entre sí de manera que nunca se produzca un deslizamiento relativo entre ellos.

𝑇

𝑇1 𝑇 Fig. 7.12

Supóngase un eje formado por dos materiales, uno con un módulo de rigidez 1 en el núcleo, cuya sección transversal es un círculo de momento polar , y el otro con un módulo de rigidez en la 1

periferia, cuya sección transversal es a corona circular de momento polar

. El par torsor total

se reparte entre los dos materiales. Sea 1 la parte que se lleva el cilindro macizo y el cilindro hueco, . Puesto que toda la sección gira a la vez: 1 1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

la que se lleva

1 1

1

Por lo tanto, lo que gira la sección es: 1 1

1

1 1

1

1

1

Es decir, en lo relativo a deformaciones un eje compuesto se comporta como un eje de único material cuya rigidez a torsión fuera la suma de las de las distintas partes que lo forman.

6

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7.6

TENSIONES EN SECCIONES INCLINADAS EN CORTANTE PURO

Si se considera un punto cualquiera de una pieza sometida a torsión pura, al representar las tensiones en planos transversales y radiales se comprueba que únicamente existen tensiones tangenciales. Este estado tensional, en el que no aparece ninguna tensión normal, se conoce como situación de cortante puro.

𝑇 𝜏

Fig. 7.13

Estas tensiones tangenciales se han obtenido al dar un corte a la pieza por un plano perpendicular a su eje, dejando expuesta una sección transversal. A continuación se verá qué se obtendría si se cortara por un plano inclinado.

𝜏 𝑇

𝑇

𝜃

𝜎𝜃

𝜏𝜃 𝜃 𝜏

𝜏

𝜃

𝜃

𝜏

𝜏

𝜏

Fig. 7.14

Sobre esta nueva superficie definida por el ángulo , aún no estudiada, puede existir una componente de tensión perpendicular a la misma, es decir, una tensión normal , así como una tensión contenida en el propio plano, es decir, una tensión tangencial . Para calcular dichas y se ha de plantear el equilibrio estático del elemento triangular. Para ello es necesario transformar las tensiones a fuerzas, teniendo en cuenta las áreas sobre las que dichas tensiones están aplicadas.

𝜃 𝐴

𝐴 𝜃

𝜃

⊥

𝐴1 𝐴

𝜏𝜃

𝐴 𝐴

𝜏𝐴

𝐴 𝜃

𝜎𝜃

𝐴 𝜃

𝜃

𝜃

𝐴1 𝜏𝐴

𝜃

Fig. 7.15

0 (

0

7

)=

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ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN Representando estas funciones se podrá estudiar gráficamente cómo evolucionan los valores de y al ir variando el ángulo de inclinación del plano de corte. 𝜏

𝜏

𝜏𝜃

𝜎𝜃

90

5

5

90

0

𝜏 Fig. 7.16

Se observa cómo para 0 , efectivamente 0y , de acuerdo con la situación original. Así mismo, se observa que para 5 , así como para 5, 0, mientras que toma sus valores extremos y respectivamente. Por tanto al considerar un cuadrado elemental de representación del estado tensional, girado 5 respecto del original se tiene: 𝜎𝜃

𝜏

5

𝜎

𝜏

𝜏

𝜎

𝜏

5 𝜏

𝜏

5 𝜏

5 𝜎𝜃

𝜎

𝜏

𝜎

𝜏

𝜏 Fig. 7.17

Por lo tanto, si un material se caracterizara por presentar una resistencia más baja ante tensiones normales que tangenciales, un eje en torsión pura se fracturaría helicoidalmente a 5 , ya que esa dirección es donde se producen las tensiones normales más elevadas.

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7.7

RELACIÓN ENTRE LAS CONSTANTES ELÁSTICAS

Como es sabido, en una situación de cortante puro, donde sólo existen tensiones tangenciales , se produce exclusivamente una deformación 𝜏 angular , una distorsión de forma, dada por .

𝜏 𝛾

𝜋

𝜏

𝛾

𝜏 Fig. 7. 18

Sin embargo, este estado tensional es equivalente a otro, que, a 5 tiene sólo tensiones normales, que producen deformaciones longitudinales. Puesto que en esta situación se tienen dos parejas de tensiones normales, una de tracción y otra de compresión, se desdoblará el caso en dos para calcular, aplicando el principio de superposición, la deformación longitudinal total a 5 . Como es sabido, en la dirección de aplicación de una tensión normal el material sufre una deformación longitudinal dada por , mientras que en la dirección transversal a la tensión experimenta otra deformación longitudinal que vale –

𝜎

𝜀1

𝜏

.

𝜎 𝐸

𝜀

𝜎

𝜈

𝜎 𝐸

Fig. 7.19

Por lo tanto la deformación longitudinal total a 5 es: (1

1

)

(1

)

Supóngase que el elemento en estado de cortante pura es un cuadrado de lado 1. Al deformarse angularmente, su diagonal a 5 , de longitud original √ , se alargará. Es decir, a 5 al material está experimentado una deformación longitudinal. Por lo tanto, la longitud de la diagonal tras ) deformarse el elemento será √ (1 1 1

1

√

1

𝑑 𝜋

𝜋

𝛾

𝛾

1

𝑑 Fig. 7.20

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( Como

)

√ 1

(

)

1,

es un valor muy pequeño, √ (1

)

(1

)

√

(1

)

(1

)

Como

10

(1

)

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