Series De Tiempo 3f2953

SERIES DE TIEMPO

I.

INTRODUCCIÓN Una serie tiempo es una secuencia de observaciones, medidos en determinados

momentos

del

tiempo,

ordenados

cronológicamente

y,

espaciados entre sí de manera uniforme, así los datos usualmente son dependientes entre sí. El principal objetivo de una serie de tiempo, donde es su análisis para hacer pronóstico. Una serie de tiempo es un conjunto de datos numéricos que se obtienen en períodos regulares a través del tiempo. Estos datos pueden ser muy variados, generalmente son usados para evaluar el comportamiento de las ventas de una empresa, o para evaluar el comportamiento de los índices de precio de un país o de un tipo de producto pero en general pueden aplicarse a cualquier negocio y /o área. Este comportamiento puede tener características de tipo estacional, o cíclico o siguen alguna tendencia ya sea a la baja, de subida o sin variación. Las organizaciones en general evalúan periódicamente el comportamiento de su actividad y/o productos a fin de pronosticar que va a suceder en el futuro en base a lo que ha venido ocurriendo en el pasado, está sucediendo en el presente y tiene la tendencia a comportarse de la misma manera en el futuro. El comportamiento de las series de tiempo, se debe a 4 componentes: la tendencia, la variación cíclica, la variación estacional y la variación irregular.

II.

MARCO TEÓRICO O CONCEPTUAL 2.1 Definición En Estadística se le llama así a un conjunto de valores observados durante una serie de períodos temporales secuencialmente ordenada, tales períodos pueden ser semanales, mensuales, trimestrales o anuales. Series de Tiempo Por serie de tiempo nos referimos a datos estadísticos que se recopilan, observan o registran en intervalos de tiempo regulares (diario, semanal, semestral, anual, entre otros). El término serie de tiempo se aplica por ejemplo a datos registrados en forma periódica que muestran, por ejemplo, las ventas anuales totales de almacenes, el valor trimestral total de contratos de construcción otorgados, el valor trimestral del PIB, datos hidrológicos, etc. 2.2 Componentes de la serie de tiempo

Supondremos que en una serie existen cuatro tipos básicos de variación, los cuales sobrepuestos o actuando en concierto, contribuyen a los cambios observados en un período de tiempo y dan a la serie su aspecto errático. Estas cuatro componentes son: Tendencia secular, variación estacional, variación cíclica y variación irregular. Supondremos, además, que existe una relación multiplicativa entre estas cuatro componentes; es decir, cualquier valor de una serie es el producto de factores que se pueden atribuir a las cuatro componentes. a. Tendencia secular: La tendencia secular o tendencia a largo plazo de una serie es por lo común el resultado de factores a largo plazo. En términos intuitivos, la tendencia de una serie de tiempo caracteriza el patrón gradual y consistente de las variaciones de la propia serie, que se consideran consecuencias de fuerzas persistentes que afectan el crecimiento o la reducción de la misma, tales como: cambios en la población, en las características demográficas de la misma, cambios en los ingresos, en la salud, en el nivel de educación y tecnología. Las tendencias a largo plazo se ajustan a diversos esquemas. Algunas se mueven continuamente hacía arriba, otras declinan, y otras más permanecen igual en un cierto período o intervalo de tiempo.

Para el caso de tendencias a largo plazo, su comportamiento se ajusta a una línea recta, llamada por esta razón línea de tendencia, es decir, se aproxima a una ecuación de recta, que recibe el nombre de ecuación de tendencia y que es de la forma:

y  a  bt Donde: y = valor proyectado, estimado o pronosticado de la variable y a = punto donde la recta corta al eje y b = la pendiente de la recta de tendencia t = cualquier valor del tiempo seleccionado Cuyos coeficientes se calculan con ayuda del método de mínimos cuadrados visto anteriormente con las siguientes fórmulas:

AÑO

T °C

1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976

8.05 7.33 7.20 7.53 7.19 7.50 7.33 5.95 6.88 8.06 7.31 6.73 7.29

1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

9.33 7.47 7.98 8.04 7.40 7.67 8.80 7.52 7.40 7.18 8.18 8.03 7.69 7.72 7.65 7.68 7.73 7.59 7.85 7.96 7.85 8.82 7.70 7.96 8.05 8.39 7.63 7.43 6.83 8.18 8.48 7.69 8.22 8.57

Ejemplo: Cálculo de la Tendencia a través de Mínimos Cuadrados En la siguiente tabla se encuentran los datos de las precipitaciones de los años de (1964-2010)

1. Determinar la ecuación de tendencia e interpretarla 2. Trazar la recta de tendencia 3. Pronosticar las ventas para los siguientes dos años e interpretar el resultado

b. Movimientos estacionales: El componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Esta variación corresponde a los

movimientos de la serie que recurren año tras año en los mismos meses (o en los mismos trimestres) del año poco más o menos con la misma intensidad. Por ejemplo: Un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoño e invierno y tiene ventas máximas en los de primavera y verano, mientras que los fabricantes de equipo para la nieve y ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas.

Ejemplo: Cálculo de análisis de variaciones estacionales Los datos siguientes representan las precipitaciones de la estación Huancané PRECIPITACION MAXIMAS DIARIAS (mm) NOMBR E CUENCA CODIGO TIPO

AÑOS 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985

: HUANCANE : RAMIS LATITUD 15º12'05.4" : 786 LONGITUD 69º45'12.8" : CO ALTITUD 3890 MSNM

TOTAL 156.2 159.0 211.6 160.0 211.6 136.5 187.4 135.1 196.8 163.5 155.6 149.5 82.0 130.8 245.8 186.9 191.4 231.5 186.8 127.2 202.0 236.0

REGION PROV DIST

: PUNO : HUANCANE : HUANCANE

1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

213.6 207.6 208.9 191.2 191.0 248.1 207.2 189.1 217.5 138.2 157.9 207.3 179.9 203.7 143.8 176.5 206.4

1. Construir gráfica de la serie de tiempo e interpretar los datos

precipitaciones maximas diairas 300.0 250.0 200.0 f(x) = - 0.01x^3 + 44.63x^2 - 88395.44x + 58358344.02 R² = 0.14 150.0

precipitaciones (mm/h)

100.0 50.0 0.0 1960

1970

1980

1990

2000

2010

AÑOS

2. Obtener los índices estacionales trimestrales

3. Interpretar los resultados c. Movimientos cíclicos: son variaciones hacia arriba y hacia debajo de la tendencia que se presenta cada cierto número de intervalos, en forma periódica de manera ondular a modo de oscilaciones más o menos regulares durante un periodo relativo prolongado.

Con frecuencia las series de tiempo presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia que duran más de un año, esta variación se mantiene después de que se han eliminado las variaciones o tendencias estacional e irregular. Ejemplo: Cálculo de análisis de variaciones cíclicas Para los datos del ejemplo anterior: a) estima sus ciclos relativos b) construye su gráfica de ciclos c) interpreta los resultados MESES T °C Enero 9.74 Febrero 9.59 Marzo 9.45 Abril 8.87 Mayo 7.62 Junio 6.43 Julio 6.29 Agosto 7.12 Septiemb re 8.65 Octubre 9.62 Noviemb re 9.98 Diciembr e 9.96

Temperatura Multimensual Anual 12.00 10.00 8.00

f(x) = 0.11x^2 - 1.35x + 11.7 R² = 0.7

6.00

Temperatura T °C

4.00 2.00 0.00

Meses

d. Movimientos Irregulares: Esta se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afectan a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible, es decir, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo. Existen dos tipos de variación irregular: a) Las variaciones que son provocadas por acontecimientos especiales, fácilmente identificables, como las elecciones, inundaciones, huelgas, terremotos. b) Variaciones aleatorias o por casualidad, cuyas causas no se pueden señalar en forma exacta, pero que tienden a equilibrarse a la larga. 2.3 Tendencia de una serie 1. Tendencia lineal Como se dijo antes, la tendencia de una serie viene dada por el movimiento general a largo plazo de la serie. La tendencia a largo plazo de muchas series de negocios (industriales y comerciales), como ventas, exportaciones y producción, con frecuencia se aproxima a una línea recta. Esta línea de tendencia muestra que algo aumenta o disminuye a un ritmo constante. El método que se utiliza para obtener la línea recta de mejor ajuste es el Método de Mínimos Cuadrados. 2. Tendencia no lineal

Cuando la serie de tiempo presenta un comportamiento curvilíneo se dice que este comportamiento es no lineal. Dentro de las tendencias no lineales que pueden presentarse en una serie se encuentran, la polinomial, logarítmica, exponencial y potencial, entre otras.

III.

MATERIALES Y MÉTODOS Métodos de Suavizamiento de la Serie

3.1 Suavización exponencial Un promedio móvil se construye sustituyendo cada valor de una serie por la media obtenida con esa observación y algunos de los valores inmediatamente anteriores y posteriores. Se mostrará este método con los siguientes ejemplos: El movimiento medio de orden N de una serie de valores Y1, Y2, Y3,… Yn se define por la sucesión de valores correspondientes a las medias aritméticas.

y1  y2  ... y N y2  y3  ... y N y3  y4  ... y N ; ; ;.... N N N

Por ejemplo: dado los valores 4, 6, 8,10, 12 tendríamos para el movimiento medio de orden 2

4  6 6  8 8  10 10  12 ; ; ; 2 2 2 2 O sea los valores 5; 7; 9; 11 Con los siguientes datos de temperatura promedios anuales durante los 46 años tomados en periodos anuales. AÑO

T °C

1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976

8.05 7.33 7.20 7.53 7.19 7.50 7.33 5.95 6.88 8.06 7.31 6.73 7.29

1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

9.33 7.47 7.98 8.04 7.40 7.67 8.80 7.52 7.40 7.18 8.18 8.03 7.69 7.72 7.65 7.68 7.73 7.59 7.85 7.96 7.85 8.82 7.70 7.96 8.05 8.39 7.63 7.43 6.83 8.18 8.48 7.69 8.22 8.57

1. Suavizar los datos empleados el número de promedios móviles de orden 3 (longitud de tres periodos) 2. Pronosticar la temperatura para el año 2011 3. Realizar el pronóstico de temperatura para el año 2011 empleando el método de los promedios móviles ponderados de orden 3 4. Elaborar un gráfico en el que consten las temperaturas y los promedios móviles (temperaturas suavizadas).

Solución: 1) Calculo de los promedios móviles de orden 3 se presenta en la siguiente tabla.

AÑO

T °C

1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

8.05 7.33 7.20 7.53 7.19 7.50 7.33 5.95 6.88 8.06 7.31 6.73 7.29 9.33 7.47 7.98 8.04 7.40 7.67 8.80 7.52 7.40 7.18 8.18 8.03 7.69 7.72 7.65 7.68 7.73 7.59 7.85 7.96 7.85 8.82 7.70 7.96 8.05 8.39

PRONOSTICO (Promedios Móviles) 7.53 7.35 7.31 7.41 7.34 6.93 6.72 6.96 7.42 7.37 7.11 7.78 8.03 8.26 7.83 7.81 7.70 7.96 7.99 7.91 7.37 7.59 7.80 7.97 7.81 7.69 7.68 7.68 7.66 7.72 7.80 7.89 8.21 8.12 8.16 7.90 8.13 8.03

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

7.82 7.30 7.48 7.83 8.12 8.13 8.16

7.63 7.43 6.83 8.18 8.48 7.69 8.22 8.57

2) El ultimo valor del promedio móvil, que en este ejemplo es 8.16, representa el pronóstico de temperatura media anual para el año 2011 y teóricamente para todos el año futuro. 3)

Para resolver lo planteado se toma en cuenta las 3 últimas temperaturas y sus respectivos pesos o ponderados. Estos datos se presentan en la siguiente tabla.

Año

T °C

2008 2009 2010

7.69 8.22 8.57

Pronostico 

Pesos (w) 0.5 1 1.5

 w.x w

(0.5 x7.69)  (1x8.22)  (1.5 x8.57) 0.5  1  1.5 Pronostico  8.31 Pronostico 

4) El grafico en el que constan años y temperaturas y los promedios móviles

temperatura de los ultimos años

Temperatura °C

10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00

Temperatura °C

Promedios móviles

Años