Razones Trigonometricas 6u592x

TRIGONOMETRÍA B

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DOCENTE: Elmo Jaime SALAS YAÑEZ

RAZONES TRIGONOMETRICAS: Se denomina

razón trigonométrica a la relación que se establece entre los lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos. Los valores de las razones trigonométricas (R.T) de los ángulos agudos no dependen de la longitud de los lados que la forman, sino de la medida del ángulo definido por ellos.

NOMBRE

SÍMBOLO

DEFINICIÓN

Seno

Sen

Coseno

Cos

Tangente

Tan ó Tg

Cotangente

Cot ó Ctg

Secante

Sec

Cosecante

Csc

C.O HIP C.A Cos = HIP C.O Tg= C.A C.A Ctg = C.O HIP Sec = C.A HIP Csc = C.O Sen =

TEOREMA DE PITÁGORAS: Propuesto por el

filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos, el cual establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Del gráfico: En el

ABC: B HIP

c

a

C.O

 A

Dónde:

b

C

C.A

 C.O: Cateto Opuesto  C.A: Cateto Adyacente  HIP: Hipotenusa Teorema de Pitágoras:

a2 + b 2 = c 2 (b>c>0) (b>a>0)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

Son recíprocos entre si Seno y Cosecante

Senθ.Cscθ = 1

Coseno y Secante

Cosθ.Secθ = 1

Tangente y Cotangente

Tgθ.Ctgθ = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES COMPLEMENTARIAS

Seno

Coseno

Secante

Cosecante

Tangente

Cotangente

En general:

 +  = 90° Sen = Cos Sec = Csc Tg = Ctg

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1

TRIGONOMETRÍA NOTA

El valor de una razón trigonométrica solo depende de la medida del ángulo de referencia.

m

3

6 2

54°

4

MÉTODO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD En el triángulo sombreado prolongaremos el cateto “c”, agregándole una longitud igual a la hipotenusa “b” obteniéndose “c + b” y obtendremos un triángulo isósceles en el cual se puede identificar el ángulo α/2, en base al mayor triángulo rectángulo podemos determinar las funciones del nuevo ángulo α/2.

Tan

α

36°

53/2°

137

2

70°

149

7

20°

35°

11

17

10

13

76°

67°

5

1 23°

14°

12

4

c

b

55°

4

a



1

5 1

2

b 2

5

10  2 5

n

α

1

37/2°

15°



α  Cscα  Cotα 2 α Cot  Cscα  Cotα 2

10 6 2

a m Tan θ   b n b

a

75°

4

TRIANGULOS NOTABLES

125 53°

5

25

7

21°

4

117

6

24

34 45°

2 45°

625

59°

58°

336

3

60°

2

1

1

32°

31°

527

5 30°

1

3

2

2- 2 4

72°

18°

5 1

5 2

82°

45°/2

1

2 2

3125

85°

237 5°

3116

8°

10  2 5 2

5 40°

16°

37°

50°

44

74°

3

61

69°

7

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TRIGONOMETRÍA PROBLEMAS RESUELTOS

3) Calcula : “Tan” del gráfico :

1) Calcula : “Tan” 4 7

 4

 

9

Solución:



Solución:

H

4 4

7

90- 90-

9

4 En la figura: H Tan = ..... (I) 9

90-

   Tan = 4/7

ˆ =90°), 2) En un triángulo rectángulo ABC ( A reduce:

E = (a + b)2 – 2bc



1  SenB 1  SenB

Tan =

4 .... (II) H

(I) x (II): Tan2 =

H 4 x 9 H  Tan =

2 3

4) Si se sabe que: Sen(x + Senx) = Cos(y + Cosy)

Solución: E = (a + b)2 – 2bc

E = (a + b)2 – 2bc

E = (a + b)2 –2bc

ba ab

A que es igual:

b  a  a  b  a  b  a  b 

Solución:

a  b 2 a2  b2

M=

Por raz. complementarias: x + Senx + y + Cosy = 90° Entonces en (M): M=

Pitágoras: a2 – b2 = c2 E = (a + b)2 – 2bc

(a  b) c

Sen(x  y) Cos(Senx  Cosy)

Cos(Senx  Cosy) Cos(Senx  Cosy) M=1

5) Si:

4Tan = 8

E = a2 + 2ab + b2 –2ab – 2b2 Calcula: E=

a2

–

E = Sec + Csc

b2  E = c2

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3

TRIGONOMETRÍA Solución:

APLICACIÓN

x

En el dato:

3



Del gráfico calcular “x”. Si: TgB 

2

3 2

a) 1

22Tan = 23  Tan = 3/2

B

b) 2 4x + 2

c) 3

Pitágoras: x2 = 32 + 22

d) 4 x=

13

A

13 13  2 3 13 E= 5 6

APLICACIÓN

E=

C

7x + 1

e) 5

En (E):

6) En un

N° 02

N° 03

Si: Secx  7 2 Calcular: E  Tg x  42 Senx

ABC (B=90°) se traza la bisectriz

interior AE de modo que BE = 3 y CE = 4, halla “Cos2” Solución:

a) 10

b) 12

d) 18

e) 20

c) 14

C

3

2

E

APLICACIÓN

B

 Cos2 = 3/4

E  3 (Tgθ  Tgβ )

APLICACIÓN

m

c) 5



e) 15

APLICACIÓN

N° 01

En un triángulo rectángulo ABC recto en B se





2m

N° 05

Si:

cumple que: 2tgA = cscC Calcular: E  2senA  3tgC

Ctgα 2

a) 2 b) 3 d) 2 3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

N° 04

Del gráfico hallar:

3

 

A

4

tgα tgα

tg αsec60º tg α

 sec 2 45º

Calcular:

E  6sen α  sec 2 α

4

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3 a) 0

b) 1

d) 2

e) -2

c) -1

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TRIGONOMETRÍA N° 11

APLICACIÓN

N° 06

APLICACIÓN

Calcular: sen 1º  sen 2º  sen 3º    sen 89º E= cos 1º  cos 2º  cos 3º    cos 89º

Si:

CosA=

3x  2 3x  1

y

SenB=

x 1 . x2

Determinar el valor de TgA, si A y B son complementarios.

a) 1 d)

b) 2 e)

3

c) 3 a) 5

3 /3

d)

6 /8

e) 3/4 N° 12

APLICACIÓN

Reducir: E = (3sen40º + 4cos50º) csc40º a) 1

b) 2

d) 4

e) 7

Si: Tg(2y – 3º)Sen(93º - 2y) = Cos(4x + y). Calcular:

c) 3

E=

Sec 4x  Csc 3(y  1º ) Sen 6x

N° 08

APLICACIÓN

a)

Calcular: sec 1º  sec 2º  sec 3º    sec 89º csc 1º  csc 2º  csc 3º    csc 89º

b) 2 3

2

d) 1

a) 1

b) -1 e)

3

c)

2

2 /2

N° 13

Si: Sen(3x + 10º) = Cos(6x – 10º). Calcular:

N° 09

APLICACIÓN

c) 6

e) 0

APLICACIÓN d)

c) 2 5

N° 07

APLICACIÓN

E=

b) 2 6

Tg

E=

x y  = Ctg   m m

9x  Sec (3x  7º ) 2

Se sabe que: Tg  Calcular:

xy xy  .Ctg    2m   3m 

a) 1/2 d) 9/4

b) 1 e) 3/2

c) 1/12

E = Tg  a)

3 /3

d) 1

APLICACIÓN

b)

3

c) 1/2

e) 2 3

Si: Sen(7x – 20º) = Cos (3x + 10º) Tg(2y – 30º).Ctg (30º - y) = 1

b) 2

d) 4

e) 5

Tg x Tg 2x Tg 3x  Tg 8x Sen 3x  Cos 6x

Siendo: Tg(3x – 10º) = Cos(100º - 3x).Csc7x a) 1

Calcular: E = 2Sen (x + y) + Sec3y

N° 14

Calcular: E=

N° 10

a) 1

APLICACIÓN

d)

b) 2 3 /2

e)

c) 1/2 3 /3

c) 3 http://elmojsy.blogspot.com

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