Modul Lengkap Statistika Dasar 444k6c

Modul statistika dasar BAB I

PENYAJIAN DATA

1.1 PENDAHULUAN Data mentah atau data yang diperoleh dari proses pengumpulan data pada umumya masih berupa data yang tidak teratur. Agar data tersebut lebih bermakna, maka proses pertama adalah mengelompokkan atau mengatur data mentah tersebut ke dalam bentuk-bentuk tertentu agar lebih berarti dan mudah untuk penggunaan selanjutnya. Selain ditampilkan dalam bentuk distribusi angka-angka, data juga bisa ditampilkan dalam bentuk grafik. Tampilan berupa grafik pada prinsipnya bertujuan agar data secara sekilas mudah dipahami, selain disajikan dalam format yang lebih menarik. Pemilihan grafik dalam penyajian data tergantung dari jenis data yang mau disajikan. Dalam hal ini dibedakan berdasarkan atas data kualitatif dan data kuantitatif. KOMPETENSI KHUSUS, Diharapkan pada akhir perkuliahan nanti mahasiswa/i dapat menyajikan data-data dalam bentuk grafik, dan dapat menginterpretasikan tampilan grafik-grafik yang ada. 1.2 PENYAJIAN PENYAJIAN DATA Bentuk-bentuk tampilan atau penyajian data pada dasarnya ada dua jenis : 1. Tabel Data biasa ditampilkan dalam bentuk tabulasi, yang berarti terdapat BARIS dan KOLOM dalam jumlah tertentu. Tabel sendiri bisa dibagi penggunaannya berdasar jenis data yang ada. Jika data adalah kualitatif, maka penggunaan TABEL KONTINGENSI lebih dianjurkan karena tidak adanya decimal dalam data kualitatif. Sedang untuk data kuantitatif, agak sulit untuk menampilkannya dalam sebuah table kontigensi. untuk itu data kuantitatif biasa disajikan dengan sebuah STEAM AND LEAF DISPLAY, atau menyusunnya dalam sebuah distribusi frekuensi.

1

Modul statistika dasar Contoh : Penggambaran data kualitatif. Remaja

Muda

Dewasa

Suka

2

5

12

Cukup suka

7

21

30

Tidak suka

5

11

21

Selain dengan table kontingensi, data juga bias dikelompokkan berdasar besaranbesaran tertentu, yang disebut kelas-kelas, desertai sebuah kolom yang berisi frekuensi tertentu. Tabel semacam ini biasa disebut dengan Distribusi Frekuensi. Contoh Penggambaran data kuantitatif. Berat Badan

Frekuensi

(kg) 25 - 40

10

41 - 56

27

Di atas 56

7

2. Grafik (Diagram) Selain disusun dalam bentuk table kontingensi atau distribus frekuensi yang hanya menonjolkan angka-angka, data juga bisa disajikan lebih menarik dengan tampilan berupa grafik, seperti grafik batang, grafik lingkaran, grafik garis dan sebagainya. Pada distribusi frekuensi, selain data ditampilkan dalam bentuk frekuensi perkelas, data juga bias divisualkan dalam bentuk histogram atau polygon. Contoh diagram lingkaran :

2

Modul statistika dasar

Contoh Poligon :

Selain dengan table atau grafik, data khususnya data kuantitatif bisa pula dusajikan dala bentuk STEAM AND LEAF atau ORDERED ARRAY. Ordered array adalah menyusun data-data secara berurutan (order), bisa dari data terkecil ke data terbesar atau sebaliknya. Sedangkan steam and leaf merupakan tahap lanjutan dari ordered array. Setelah data tersusun, kumpulan data tersebut bisa disajikan dalam bentuk data pokok lalu disertai dengan angka decimal yang ada. Jadi penyusunan steam and leaf akan efektif pada penyajian data yang mempunyai angka decimal, seperti tinggi badan 173,3 cm, berat badan 56,7 kg dan seterusnya.

3


Grafik Batang (Bar), Lingkaran ( Pie), dan Pareto. Penyajian data dalam bentuk grafik sebaiknya dilihat pula pada tipe datanya.jika data bersifat KATEGORIKAL, seperti data nominal dan ordinal, maka grafik yang sesuai adalah Bar Chart ( Grafik Batang), Pie Chart (Lingkaran) dan Pareto. 1. Grafik Batang (Bar Chart) Grafik batang sebenarnya mirip dengan histogram, hanya grafik batang tidak perlu berdasar atas kelas-kelas pada sebuah distribusi frekuensi. Disebut bar (batang) karena setiap kategori yang ada akan ditampilkan dalam bentuk batang. Dengan demikian jika ada lima kategori, nanti akan ada lima batang, sedangkan panjang atau lebar setiap batang akan ditentukan oleh frekuensi yang ada pada setiap kategori. Jika kategori A mempunyai data sebanyak 40, sedang kategori B mempunyai data sebanyak 80, maka secara visual, panjang Bar B akan dua kali (80/40) panjang Bar A. Contoh 1. Berikut adalah data penjualan mobil di Indonesia mulai JanuariJuni 2002. Kategori Sedan Merk

Jumlah (unit)

Toyota

5661

Mitsibishi

1799

Suzuki

1463

Isuzu

1237

Daihatsu

1093

Honda

717

4


Kategori Non Sedan Merk

Jumlah (unit)

Toyota

37991

Mitsibishi

37654

Suzuki

29239

Isuzu

14140

Daihatsu

10142

Honda

3449

Contoh 1. Grafik Batang. Merk Mobil Sedan.

Jumlah penjualan mobil sedan 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

Jumalh…

Grafik Batang Untuk Kategori non Sedan.

5


jumlah penjualan mobil non sedan 40000 30000 20000 10000 0

Jumalh (unit)

Jika pada pembacaan batang di atas mengalami kesulitan, pada grafik biasa ditambahkan Grid atau garis pembantu untuk memperjelas posisi batang, atau dalam kasus ini memperjelas jumlah unit mobil yang terjual untuk merk tertentu seperti yang tertera pada grafik. Dengan bantuan grid seperti ini member garis tiap 5000 unit, jumlah penjualan mobil bisa dilihat dengan mudah. Misalnya merk Isuzu bisa dilihat diperkirakan mendekati 15.000 unit. merk Honda cukup jauh dari 5.000 dan seterusnya. Variasi lain adalah apabila diinginkan penonjolan satu atau beberapa data yang dianggap penting, sehingga harus tampak berbeda dengan data lainnya. Sebagai contoh ditonjolkan

data penjualan mobil non sedan merk Suzuki

dengan tampilan bar yang berbeda disertai dengan adanya nilai pada label. Seperti pada grafik batang di bawah ini.

2. Grafik Lingkaran ( Pie Chart)

6

Modul statistika dasar Jenis grafik yang biasanya menampilkan data kualitatif adalah grafik lingkaran (pie). Jika pada grafik Bar, setiap bar (batang) mewakili frekuensi tertentu dari data, maka pada grafik pie, frekuensi data dinyatakan dalam besar irisan yang ada pada grafik. Pir Chart sebenarnya mirip dengan histogram, hanya pada diagram batang tidak perlu berdasar pada kelas-kelas pada sebuah distribusi frekuensi. Dengan demikian jika ada lima katergori, nanti aka nada lima batang karena setiap kategori yang ada akan ditampilkan dalam bentuk batang. Sedangkan panjang (lebat) setiap batang akan ditentukan oleh frekuensi yang ada pada setiap kategori. Jika kategori A mempunyai data 40, sedang kategori mempunyai data 80 maka secara visual, pangjang batang B akan dua kali panjang batang A.

Kategori Sedan

jumlah penjualan mobil) Toyota Mitsibishi Suzuki Isuzu Daihatsu Honda

7


Karegori Non Sedan

Jumlah penjualan mobil (unit) Toyota Mitsibishi Suzuki Isuzu Daihatsu Honda

3. Grafik Pareto Grafik Pareto sering digunakan dalam penggunaan statistic untuk pengendalian mutu (quality control), yang menggambarkan komponen mana yang lebih menonjolkan kuantitasnya dibanding yang lain, sehingga perlu perhatian khusus. Grafik ini merupakan gabungan antara tampilan grafik batang dengan grafik garis dengan cirri khas data-data untuk pembuatan grafi pareto selalu diurutkan dahulu dari yang terbesar sampai yang terkecil . Kategori Sedan Merk

Jumlah (unit)

Toyota

5661

Mitsibishi

1799

Suzuki

1463

Isuzu

1237

Daihatsu

1093

Honda

717

8

Modul statistika dasar Kemudian data diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Kategori Sedan Merk

Jumlah (unit)

Honda

717

Daihatsu

1093

Isuzu

1237

Suzuki

1463

Mitsibishi

1799

Toyota

5661

Dan jika ditampilkan dengan grafik Pareto akan tampak sebagai berikut :

Pada grafik Pareto, sumbu X menampilkan data kualitatif, yang pada kasus ini adalah merk-merk mobil yang terjual, sedangkan sumbu Y menampilkan jumlah unit mobil tertentu yang terjual. Pada sumbu Y ini juga, pada sebelah kanan, terlihat persentase mobil tertentu yang terjual yang karena berbentuk komulatif . Jika tampilan setiap nilai individu dinyatakan dalam bentuk bar, maka tampilan secara komulatif dinyatakan dalam bentuk garis (line). Dari grafik di atas terlihat secara menyolok bahwa mobil merk Toyota terjual paling banyak, kemudian diikuti merk mobil lain yang gradasi penurunan gambarnya (tinggi bar) cukup landai dan tidak terlihat menyolok seperti mobil Toyota tersebut.

9

Modul statistika dasar Dari grafik ini, sesuai tujuan Pareto, perhatian harus diberikan pada satu atau beberapa data dengan jumlah besar, yang adalah mobil merk Toyota. KATEGORI NON-SEDAN Merk

Jumlah (Unit)

Toyota

37991

Mitsubishi

37654

Suzuki

29239

Izusu

14140

Daihatsu

10142

Honda

3449

Lain-lain

12737

Jika diurutkan secara descending (dari terbesar ke terkecil), maka table menjadi : Merk

Jumlah (Unit)

Toyota

37991

Mitsubishi

37654

Suzuki

29239

Izusu

14140

Lain-lain

12737

Daihatsu

10142

Honda

3449

10

Modul statistika dasar Dan jika ditampilkan dalam grafik Pareto menjadi :

Dari grafik di atas terlihat mobil merk Toyota kembali menjadi merk yang harus diperhatikan karena mempunyai persentase terbesar. Namun berbeda dengan tampilan Pareto pada modil non-sedan, pada mobil sedan, selain merk Toyota, merk Mitsubishi dan Suzuki mempunyai persentase yang hampir sama dengan Toyota. Dengan demikian, selain Toyota, kedua merk tersebut juga patut mendapat perhatian. GRAFIK LINE (GARIS) Dari namanya, grafik jenis line pada prinsipnya bertujuan menyajikan data dengan menghubungkan sekumpulan data dalam sebuah garis. Sumbu horizontal menampilkan keterangan data yang akan disajikan, seperti bulan, periode, kelompok produk dan sebagainya. Sedang sumbu vertical menyajikan data kuantitatif dari keterangan yang ada di sumbu horizontal. Sebagai contoh, berikut data inflasi tahun 2001 : Bulan

Inflasi (%)

Januari

0,33

Februari

0,87

Maret

0,89

April

0,46

Mei

1,13

11

Modul statistika dasar Juni

1,67

Juli

2,12

Agustus

-0,21

September

0,64

Oktober

0,68

November

1,71

Desember

1,62

Gambarkan grafik garis dari data di atas. Dari grafik di atas sekilas terlihat terjadi penurunan tingkat inflasi yang tajam dari bulan Juli ke Agustus. Sebaliknya dari Agustus ke September juga terjadi lonjakan inflasi yang cukup tinggi, yang meningkat terus sampai November. Hal inilah yang menjadi keunggulan tampilan data dengan grafik dibandingkan jika data ditampilkan lewat serangkaian angka, dimana perbedaan data tidak bisa dilihat secara tepat. Selain itu tampilan lewat grafik garis seperti di atas langsung bisa dilihat bahwa tingkat inflasi cenderung meningkat dari waktu ke waktu. TABEL KONTINGENSI Table kontingensi bisa digunakan jika data yang ada berbentuk kualitatif, seperti jenis kelamin, tingkat pendidikan dan sebagainya. Data tersebut meliputi data dengan skala pengukuran nominal atau ordinal. Pada banyak buku, data tersebut bisa juga dinamakan data kategori, yakni data yang didapat dan kemudian dimasukkan dalam sebuah kategori tertentu. Ciri khas dari data ini adalah data berbentuk bilangan integer (bulat), sehingga data tidak mengandung unsure decimal. Untuk lebih jelasnya, berikut disertakan kasus sederhana, untuk menunjukkan barbagai variasi tampilan data dengan table kontingensi. Kasus : Data komposisi kepemilikan STASIUN RADIO di berbagai kota di Jawa : KOTA DI JAWA

Jenis Gelombang

12

Modul statistika dasar Radio

Jakarta

Surabaya

Bandung

Bogor

AM

4

14

5

2

FM

34

11

21

3

Pada table kontingensi di atas, baik data jenis radio maupun data kota adalah data kualitatif, karena keduanya adalah data nominal. Dengan demikian, pasti kedua variable tersebut tidak mengandung decimal, karena tidak mungkin jumlah stasiun radio AM ada 2,5 buah, atau jumlah stasiun radio gelombang FM di Jakarta berjumlah 15,4 buah. Variasi Tampilan Tabel Kontingensi Walaupun secara dasar tampilan table kontingensi adalah seperti dua contoh di atas, yang mensyaratkan adanya baris dan kolom, namun dalam praktek table di atas bisa ditampilkan dalam berbagai variasi, sesuai dengan tujuan yang diinginkan.

Table Kontingensi dengan Total Jumlah Variasi pertama adalah menampilkan sel TOTAL atau JUMLAH, baik dari sisi baris atau sisi kolom. Dinamakan TOTAL, berarti dilakukan proses penjumlahan pada setiap isi baris atau isis kolom yang relevan. Sebagai contoh, table kontingensi data radio di berbagai kota di Jawa bisa ditampilkan sebagai berikut : Jenis Gelombang Radio AM

KOTA DI JAWA

TOTAL

Jakarta

Surabaya

Bandung

Bogor

4

14

5

2

25

FM

34

11

21

3

69

TOTAL

38

25

26

5

94

Perhatikan tambahan kolom TOTAL, baik dibagian kolom ataupun baris.

13

Modul statistika dasar Dari table di atas bisa dilihat tambahan informasi yang berguna, yakni : Jika dilihat dari TOTAL KOLOM, maka jumlah radio FM secara total berjumlah lebih besar disbanding total rdio AM. Perbandingan tersebut bahkan dua kali lebih (69 dibanding 25 atau sekitar 2,76). Jika dilihat dari TOTAL BARIS, maka kota Jakarta mempunyai jumlah total radio (gelombang AM dan gelombang FM) terbanyak, sebesar 38. Sedang kota Surabaya dan Bandung hamper berimbang (25 dibanding 26). Table Kontingensi dengan Persentase pada Total Kolom Pada variasi ini, total kolom dibuat 100%, kemudian isis baris diubah dalam bentuk persentase, sehingga total persen pada suatu baris adalah 100%. Untuk jelasnya, berikut hasil pengubahan dalam persentase kolom dari data radio di atas :

Jenis Gelombang Radio AM

KOTA DI JAWA Jakarta

Surabaya

Bandung

Bogor

16.00%

56.00%

20.00%

8.00%

100%

FM

49.28%

15.94%

30.43%

4.35%

100%

TOTAL

Keterangan : Sel untuk radio AM di Jakarta jika diubah ke persentase menjadi : 4/25 x 100% = 16% Sel untuk radio FM di Surabay jika diubah ke persentase menjadi : 14/25 x 100% = 56% Demikian untuk persentase kota Bandung dan Bogor, dengan ketentuan setiap isi sel yang bersangkutan dibagi dengan total radio AM di keempat kota tersebut, yakni sejumlah 25 buah. 14

Modul statistika dasar Sel untuk radio FM di Jakarta jika diubah ke persentase menjadi : 34/69 x 100% = 49,28% (dibulatkan dua angka di belakang koma) Sel untuk radio FM di Bogor jika diubah ke persentase menjadi : 3/69 x 100% = 4,35% Ketentuan yang sama dengan perhitungan radio AM, yakni setiap isi sel yang bersangkutan dibagi dengan total radio FM di keempat kota tersebut, yakni sejumlah 69 buah. Analisis : Dari table di atas, dari persentase terlihat stasiun radio gelombang AM terbanyak berada di Surabaya (56%), sedang jumlah terkecil ada di kota Bogor (8%). Sedang stasiun radio gelombang FM terbanyak berada di Jakarta (49,28%), sedang jumlah terkecil juga ada di Bogor (hanya 4,35%). Dari kedua angka terbesar, terlihat juga bahwa sekitar setengah (50%) dari stasiun radio AM ataupun FM praktis ada di satu kota tertentu saja (AM di Surabaya sedangkan FM di jakarta).

 Table Kontingensi denganPersentase pada Total Baris Sama dengan variasi persentase kolom, total baris dibuat 100%, kemudian isi kolom yang diubah dalam bentuk persentase, sehingga total persen pada suatu kolom adalah 100%. Hasil pengubahan dalam persentase baris dari data radio di atas : Jenis Gelombang Radio


Surabaya

Bandung

Bogor

AM

10.53%

56.00%

19.23%

40.00%

FM

89.47%

44.00%

80.77%

60.00%

TOTAL

100.00%

100.00%

100.00%

100.00%

Keterangan : Sel untuk radio AM di Jakarta jika diubah ke persentase BARIS menjadi :

15

Modul statistika dasar 4/38 x 100% = 10.53% Otomatis sisanya (yakni radio gelombang FM di Jakarta) adalah 100% 10.53% = 89.47% Sel untuk radio AM di Surabaya jika diubah ke persentase BARIS menjadi : 14/25 x 100% = 56%, sedanf FM adalah 100% - 56% atau 44%. NB : perhatikan bahwa kebetulan saja baik dengan persentase KOLOM atau BARIS kota Surabaya mendapatkan hasil 56%. Demikian untuk persentase kota Bandung dan Bogor, dengan ketentuan setiapisi sel yang bersangkutan dibagi dengan totak radio di keempat kota teresbut. Analisis : Dari table di atas, dari persentase terlihat jumlah stasiun radio gelombang Am hanya lebih banyak di kota Surabaya, sedang di ketiga kota lain, jumlah stasiun radio FM lebih banyak dibanding radio AM. Bahkan di kota Jakarta dan Bandung perbandingan tersebut sangat nyata, yakni sekitar 8 berbanding 1.

 Table Kontingensi denganPersentase pada Total Baris dan Total Kolom Pada variasi ini, persentase pada satu sel, yakni TOTAL kolom dan total BARIS (lihat pada table kedua,sejumlah 94 stasiun radio) dibuat 100%, kemudian isi sel diubah dalam bentuk persentase. Hasil pengubahan dalam persentase baris dan kolom dari data stasiun radio di atas : Jenis Gelombang Radio AM


Surabaya

Bandung

Bogor

4.26%

14.89%

5.32%

2.13%

26.60%

FM

36.17%

11.70%

22.34%

3.19%

73.40%

TOTAL

40.43%

26.60%

27.66%

5.32%

100.00%

Keterangan :

16

TOTAL

Modul statistika dasar Sel untuk radio AM di Jakarta jika diubah ke persentase BARIS dan KOLOM menjadi : 4/94 x 100% = 4.26% Sel untuk radio FM di Surabaya jika diubah ke persentase BARIS dan KOLOM menjadi : 14/94 x 100% = 11.70% Demikian untuk persentase sel lainnya, dengan ketentuan setiap isi sel yang bersangkutan dibagi dengan total stasiun radio, baik gelombang AM atau FM di keempat kota tersebut, yakni 94 buah. Analisis : Dari table di atas terlihat bahwa jumlah seluruh stasiun radio paling banyak ada di Jakarta (40.43%), sedang terkecil ada di kota Bogor (hanya 5.32%). Sedang jika dilihat dari jenis gelombang radio, terbesar tetap Jakarta, dengan jumlah stasiun radio FM sejumlah 36.17% dari total stasiun radio di keempat kota tersebut.

 Ummary Tabel Summary table berfungsi untuk meringkas berbagai informasi yang bertipe kualitatif. Berbeda dengan table kontingensi yang mempunyai banyak baris dan kolom, summary table hanya mempunyai satu kolom yang berfungsi untuk meringkas seluruh informasi yang terkandung dalam setiap baris yang ada. Sebagai contoh, jika table kontingensi yang menggambarkan komposisi radio di kota-kota di Jawa disajikan dalam sebuah summary table, maka ventuk table adalah :

Jenis Gelombang Radio

Jumlah

AM

25

FM

69

17

Modul statistika dasar TOTAL

94

Perhatikan table di atas yang tidak menampilkan perincian radio AM dan FM per kota, karena yang diinginkan adalah ringkasan jenis gelombang radio. Pada summary table, bisa juga diberi tambahan sebuah kolom yang berisi persentase masing-masing data pada sebuah baris : Jenis Gelombang Radio

Jumlah

Persentase (%)

AM

25

26.6

FM

69

73.4

TOTAL

94

100

Walaupun kolom summary table di atas lebih dari satu kolom, namun kolom kedua ini merupakan penjelasan tambahan saja dari kolom ringkasan. Jika akan ditampilkan ringkasan jumlah stasiun radio per kota, maka tampilan menjadi :

Kota

Jumlah Stasiun Radio

Jakarta

38

Surabaya

25

Bandung

26

Bogor

5

TOTAL

94

Perhatikan walaupun angka-angka pada kolom ringkasan berubah, namun secara total jumlah stasiun radio tetap, yakni 94 buah. Dari table ringkasan tersebut terlihat bahwa

kota

Jakarta

memiliki

stasiun

memperhatikan jenis stasiun radio. 18

pemancar

radio

terbanyak,

tanpa


1.2.1 LATIHAN 1. Berikut adalah komposisi Pembangkit Listrik berdasarkan sumber energy pada Negara-negara Eropa : Pangsa Pasar

Sumber Energi Fosil (minyak dll)

50%

Nuklir

35%

Energi yang dapat diperbaharui

12%

Lain-lain

3%

TOTAL

100%

Dari tabel di atas buatlah GRAFIK Pie, Bar serta Pareto.

2. Berikut adalah target persentase sumber enrgi yang dapat diperbaharui dari seluruh sumber energy yang ada pada berbagai negara Eropa : Dari table di atas buatlah grafik Bar untuk data tahun 1997 dan tahun 2010. Bandingkanlah grafik keduanya.

Target tahun 1997 (%)


Austria

70,0

78,1

Portugal

38,5

39,0

8,7

29,0

16,0

25,0

4,5

12,5

Negara

Denmark Italia Jerman

19

Modul statistika dasar Belanda

3,5

9,0

Belgia

1,1

6,0

BAB II DISTRIBUSI FREKUENSI

2.1 PENDAHULUAN. Seperti yang telah disinggung pada modul pertama yaitu penyajian data, Distribusi frekuensi pada prinsipnya adalah menyususn dan mengatur data kuantitatif yang masih mentah ke dalam beberapa kelas data yang sama, sehingga setiap kelas bisa menggambarkan karakteristik data yang ada. Seperti missal jika ada kelas data upah bulanan “ 200.000 – 300.000” yang berisi frekuensi “100”, maka bisa diartikan bahwa ada 100 orang yang menerima upah bulanan antara Rp. 200.000 sampai Rp. 300.000. 20

Modul statistika dasar Walaupun pada pembuatan suatu distribusi frekuensi ada aturan-aturan tertentu, namun sebuah distribusi frekuensi pada dasarnya tidak ada aturan yang mengikat, sehingga sebuah data mentah bisa saja ditampilkan dalam bentuk lebih dari satu distribusi frekuensi. Pembuatan sebuah distribusi frekuensi lebih tepat jikatetap mengikuti pedoman-pedoman yang ada, namun juga tidak meninggalkan unsure subyektivitas .Dalam modul ini akan dijelaskan langkah –langkah pembuatan table frekuensi dan beserta sketsa grafiknya. Kompetensi Khusus, Diharapkan setelah mengikuti perkulian ini mahasiswa/I mampu menyajikan data dalam jumlah besar ke dalam table distribusi frekuensi. 2.2 PENYAJIAN. Distribusi frekuensi Data hasil pengukuran biasanya dapat disajikan dalam bentuk diagram seperti pada modul sebelumnya, juga bisa pula disusun dalam sebuah table yang disebut table frekuensi atau distribusi frekuensi yang yang terdiri dari distribusi frekuensi tunggal dan distribusi frekuensi berkelompok. Berikut ini akan diberikan sejumlah data hasil pengukuran tinggi badan ( sampai sentimeter terdekat) dari 40 orang mahasiswa/I semester I Pendidikan Matematika. 148 150 160 168 150 149 160 160 151 154 156 159 164 163 169 168 170 170 177 150 153 160 165 170 175 158 168 166 167 174 173 155 158 162 166 164 159 163 156 163 Dari data tersebut di atas dapat diperoleh ukuran paling rendah ( minimum) adalan 148 cm dan ukuran tertinggi (maksimum) adalah 177 cm. sehingga selisih antara data tertinggi dan data terendah disebut sebagai jangkauan ( Range).Untuk data di atas range = 177 cm – 148 cm = 29 cm. Jika data tersebut disusun dalam table frekuensi data tunggal maka tentu akan sangat panjang. Untuk itu data tersebut

21

Modul statistika dasar harus disusun dalam sebuah table yang disebut table frekuensi data berkelompok atau distribusi frekuensi data berkelompok. Berikut adalah langkah – langkah pembuatan table frekuensi data berkelompok : 1. Menentukan jumlah kelas Jumlah kelas pada prinsipnya bisa ditentukan secara subyektif, walaupun secara umum jumlah kelas yang bagus berkisar antara 5 sampai 20 kelas. Jika jumlah kelas terlalu kecil, misal ada 500 data dengan jumlah kelas hanya 5, maka banyak informasi yang penting akan hilang.namun jumlah kelas terlalu banyak juga dengan data yang relativesedikit, misalnya untuk 50 data ada 20 kelas, maka tiap kelas relative hanya mendapat 3 data. H.A Sturges (1926) mengajukan sebuah rumus untuk menentukan jumlah kelas dari sekelompok data :

K = 1 + 3,322. Log n Ket : k = jumlah kelas n = jumlah data misalkan untuk data nilai ujian matematika dari 78 mahasiswa, maka jumlah kkelas yang dianjurkan adalah : K = 1 + 3,322 log (78) = 7,28 atau dibulatkan menjadi 7. Jadi dari 78 data tersebut akan dibuat table frekuensi dengan kelas berjumlah 7. NB. Rumus sturges adalah sebuah alternative, dan tidak diharuskan digunakan dalam setiap kelas. 2. Menentukan interval kelas Setelah jumlah kelas ditetapkan, langlah selanjutnya adalah mengisi interval setiap kelas, dengan rumus : 22


i = Range/ k Dimana : I

= interval kelas

Range = nilai tertinggi – nilai terendah K

= jumlah kelas

3. Menyusun Distribusi frekuensi Dengan jumlah kelas dan panjang interval kelas yang telah diperoleh, maka disusunlah table frekuensi. ( seperti pada contoh). Ada beberapa istilah dalam table distribusi frekuensi yang harus diketahui yaitu : 1. Interval kelas ( class interval) Interval kelas atau sering juga disebut selang kelas, adalah penanda sebuah kelas. 2. Lebar kelas ( class width) Lebar kelas adalah selisih antara nilai-nilai pada interval kelas. Setiap interval kelas interval seharusnya lebar kelas yang sama. 3. Titik tengah kelas ( class midpoint) Titik tengah kelas adalah nilai tengah setiap interval kelas. Misalkan interval 10 – 16, maka titik tengahnya adalah : (10 + 16)/2 = 14. Demikian seterusnya setiap kelas seharusnya mempunyai titik tengah kelas yang berbeda beda. 4. Batas kelas ( Limid Class) Batas kelas adalah nilai-nilai yang membatasisebuah interval, yang dibagi menjadi batas kelas atas dan batas kelas bawah. Seperti pada contoh di atas yang menjadi batas kelas atas adalah 16 dan batas kelas bawah adalah 10. Untuk penggunaannya batas bawah kelas dikurangi dengan 0,5 dan batas atas kelas interval ditambah 0,5. 5. Class Boundaries

23

Modul statistika dasar Pada banyak distribusi frekuensi, untuk menghindari sebuah data bisa masuk pada dua kelas yang berbeda, maka batas kelas diperluas, baik ke bawah atau ke atas. Seperti pada contoh kelas di atas maka : batas kelasnya dapat diperluas (10,5 – 16,5). Berikut adalah contoh pembuatan table frekuensi atau table distribusi frekuensi dari data tinggi badan 40 mahasiswa di atas: 1. Seperti telah dihitung Range dari data tersebut adalah 29 cm. Dan panjang interval kelas adalah 5 ( i=5). 2. Banyaknya kelas (k) atau panjang kelas dapat dihitung sbb. K = (range/i) + 1 = (29/5) + 1 = 6,8 atau dibulatkan menjadi 7. 3. Jadi table distribusi frekuensi dari data tinggi badan 40 mahasiswa tersebut adalah: Tinggi badan (cm)

Turus (Tally)

Frekuensi

145 – 149

II

2

150 – 154

VI

6

155 – 159

VII

7

160 – 164

X

10

165 – 169

VIII

8

170 – 174

V

5

175 - 179

II

2 = 40

Dari table yang ada maka dapat diketahui bahwa jumlah mahasiswa yang tingginya kurang dari 60 adalah 15 orang. GAMBAR DISTRIBUSI FREKUENSI Setelah table frekuensi distribusi di susun, maka langkah selanjutnya adalah bagaimana menampilkan distribusi frekuensi dalam bentuk grafik, sehingga selain lebih komunikatif dan menarik untuk dilihat, juga pengguna secara tepat bisa 24

Modul statistika dasar mengetahui hal-hal penting pada sebuah distribusi frekuensi ( seperti contoh siapa yang tertinggi dan siapa yang terendah). Alat popular yang digunakan untuk menampilkan distribusi frekuensi dalam bentuk grafik adalah histogram, polygon dan kurva ogive yang akan diuraikan sebagai berikut: Kasus. Dari distribusi frekuensi yang menggambarkan distribusi tinggi badan mahasiswa Tinggi badan (cm)

Frekuensi

145 – 149

2

150 – 154

6

155 – 159

7

160 – 164

10

165 – 169

8

170 – 174

5

175 - 179

2 = 40

Dari data di atas, dapat digambarkan dalam beberapa grafik sbb: HISTOGRAM Histogram pada dasarnya adalah pelengkap pada penyusunan suatu distribusi frekuensi, yang menampilkan frekuensi-frekuensipada distribusi frekuensi dalam bentuk grafik bar (batang).Tinggi setiap batang pada histogram adalah proposional berdasar setiap kelas yang ada.Histogram pada dasarnya adalah grafik bentuk batang yang diletakkan secara vertical, dengan sumbu X adalah titik tengah kelas sedangkan sumbu y adalah frekuensi. Berikut adalah histogram dari data tinggi badan mahasiswa pada table di atas.

25


POLIGON FREKUENSI Poligon frekuensi adalah bentuk lain dari histogram, yang berupa garis yang menghubungkan titik tengah – titik tengah dari setiap batang (Bar).Jika distribusi frekuensi dari data tinggi badan di atas ditampilkan dalam polygon maka hasilnya sbb.

Perhatikan sebuah polygon yang selalu mulai dari titik nol dan diakhiri juga dengan sebuah titik nol pada sumbu X. Poligon frekuensi berguna untuk membandingkan dua atau lebih distribusi frekuensi, yang jika ditampilkan dalam bentuk histogram akan tampak rumit dan sulit untuk interprtasikan. 26


DISTIBUSI KOMULATIF DAN KURVA OGIVE Selain ditampilkan dalam bentuk Distribusi Frekuensi dan visual dalam bentuk Histogram serta Poligon Frekuensi, data bias ditampilkan dalam bentuk Distribusi Komulatif, yakni penjumlahan atau pengurangan setiap frekuensi pada tiap kelas secara komulatif. Distribusi komulatif bias ditampilkan dalam dua bentuk, yakni Distribusi KURANG DARI atau Distribusi LEBIH DARI. Sebagai contoh, untuk distribusi nilai ujian Matematika, jika dibuat dalam bentuk Distribusi Komulatif KURANG DARI akan menjadi : Nilai Ujian Matematika

Frekuensi

Kurang dari 5

0

Kurang dari 20

17

Kurang dari 35

30

Kurang dari 50

38

Kurang dari 65

50

Kurang dari 80

63

Kurang dari 95

77

Kurang dari 110

78

Keterangan : Angka 0 secara otomatis terjadi karena tidak ada nilai ujian yang kurang dari 5 atau kurang dari batas bawah dari kelas pertama. Distribusi komulatif ‘KURANG DARI’ selalu dimulai dengan angka 0. Angka 17 adalah nilai awal dari distribusi frekuensi, yang ada pada kelas pertama, yakni jumlah mahasiswa (frekuensi) yang mendapat nilai ujian antara 5 sampai 20 (atau dengan batas kelas, antara 4,99 sampai 19,99).

27

Modul statistika dasar Angka 35 adalah penjumlahan dari angka 17 dan 13. Karena pernyataan ‘Kurang dari 35’ berarti penjumalahan frekuensi semua mahasiswa yang mendapat nilai kurang dari 35, sehingga nilai di bawah 20 pun tetap termasuk pada range tersebut. Demikian seterusnya, setiap kenaikan kelas berarti terjadi penjumlahan satu persatu dari isi tiap kelas, sehingga secara logika, pada akhir kelas akan terdapat frekuensi seluruh data, yakni 78 data. Kemudian jika distribusi nilai ujian Matematika akan dibuat dalam bentuk Distribusi Komulatif LEBIH DARI akan menjadi : Nilai Ujian Matematika

Frekuensi

Lebih dari 5

0

Lebih dari 20

17

Lebih dari 35

30

Lebih dari 50

38

Lebih dari 65

50

Lebih dari 80

63

Lebih dari 95

77

Lebih dari 110

78

Keterangan : Angka 78 atau jumlah total data secara otomatis terjadi karena tidak ada nilai ujian yang kurang dari 5, atau semua lebih dari nilai minimum, yakni 5. Distribusi Komulatif ‘LEBIH DARI’ selalu dimulai dengan angka jumlah data total, dalam kasus ini adalah 78. Jumlah ‘lebih dari 20’ berarti semua data dikurangi jumlah yang mendapat nilai di bawah 20. Karena yang mendapat nilai 20 ke bawah adalah 17 orang, maka yang mendapat lebih dari 20 adalah 78 – 17 = 61 orang.

28

Modul statistika dasar Demikian seterusnya, setiap kenaikan kelas berarti terjadi pengurangan satu persatu dari setiap isi kelas, sehingga secara logika, pada akhir kelas akan terdapat nilai 0, karena tidak aka nada mereka yang bernilai lebih dari 105. Jika kedua distribusi tersebut digabung pada sebuah Poligon Frekuensi, maka Poligon khusus tersebut bias dinamakan KURVA OGIVE :

SOAL LATIHAN 1. Buatlah dalam table distribusi frekuensi data nilai mata kuliah statistiksa dari 100 mahasiswa matematika berikut : 45 40 65 67 67 60 80 86 80 85 64 49 40 40 56 50 58 80 80 68 90 95 100 100 70 76

80 95 90 70

65 65 80 85 80 40 45 40 50 55 50 58 80 82 80 65 60 70 75 75 70 60 55 58 58 80 85 80 85 80 90 90 60 60 70 55 50 70 75 80 60 67 65 67 80 80 80 90 95 100 75 55 45 90 95 76 76 55 60 68 29

Modul statistika dasar 86 56 55 58 68 70 70 75 75 60 67 65 80 86 85 78 75 56 46 40 2.

Berikut adalah komposisi pangsa pasar sepeda motor periode Januari – November 2002 : Merk

Pangsa Pasar

Honda

64,00%

Suzuki

20,70%

Yamaha

13,10%

Kawasaki

1,66%

Lain-lain

0,54%

TOTAL

100%

Dari atdbel di atas : a. Jenis grafik apa yang seharusnya digunakan untuk mendeskripsikan data di atas? Mengapa? b. Buatlah grafik-grafik sesuai jawaban a.

3. Berikut adalah komposisi Pembangkit Listrik berdasarkan sumber energy pada Negara-negara Eropa : Sumber Energi

Pangsa Pasar

Fosil (minyak, dll)

50%

Nuklir

35%

Energy yang dapat 12% diperbaharui Lain-lain

3%

TOTAL

100%

Dari table di atas buatlah grafik Pie, Bar serta Pareto. 30


4. Berikut adalah targetpersentase sumber energy yang dapat diperbaharui dari seluruh sumber enrgi yang ada pada berbagai Negara di Eropa : Negara



Austria

70,0

78,1

Portugal

38,5

39,0

Denmark

8,7

29,0

Italia

16,0

25,0

Jerman

4,5

12,5

Belanda

3,5

9,0

Belgia

1,1

6,0

Dari table di atas buatlah grafik Bar untuk data tahun 1997 dan tahun 2010. Bandingkanlah grafik keduanya.

BAB III UKURAN TENDENSI PUSAT

3.1 PENDAHULUAN Untuk mendapat gambaran yang jelas tentang sebuah data mengenai suatu hal, baik mengenai sampel ataupun populasi, selain daripada data itu disajikan dalam bentuk table dan diagram, masih diperlukan ukuran- ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut. Dalam modul ini akan diuraikan tentang ukuran gejala pusat dan ukuran letak. Beberapa macam ukuran dari golongan pertama adalah : rata-rata atau rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonic dan modus. Golongan kedua adalah Median, kuartil, desil dan persentil.

31

Modul statistika dasar Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan statistic. Apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi atau dipakai untuk menyatakan populasi , maka namanya parameter.Jadi ukuran yang sama dapat berbentuk statistic atau parametertergantung pada apakah ukuran yang dimaksud untuk sampel atau populasi. KOMPETENSI

KHUSUS,

diharapkan

setelah

mengikuti

perkuliahan

ini

mahasiswa/I mampu menganalisa data-data sampel atau populasi dengan mengkaji ukuran-ukurannya, dan dapat menginterpretasikan data-data yang dengan melihat ukuran tendency pusatnya. 3.2 PENYAJIAN MEAN

 Rata-rata Hitung Sederhana Disebut rata-rata sederhana karena dalam proses perhitungan frekuensi data serta bobotnya. Rumus :

=

∑

dimana :

Contoh 1: Data jumlah tamu Hotel AMAN selama seminggu : HARI

JUMLAH TAMU

Senin

120

Selasa

80

Rabu

46

Kamis

59

32

Modul statistika dasar Jum’at

89

Sabtu

202

Minggu

279

Maka rata-rata tamu yang menginap di Hotel AMAN tersebut adalah :

=

=

= 125.

Terlihat rata-rata tamu perhari adalah 125 0rang. Perhatikan bahwa yang dimaksud bukan setiap hari ada persis 125 orang yang menginap di Hotel AMAN, namun jika dirataratakan, dari orang yang menginap mulai hari senin sampai sabtu, jumlah tamu adalah 125 orang perhari. Contoh 2: Data jumlah tamu yang menginap di Hotel SRIKANDI. Namun berbeda dengan Hotel AMAN, Hotel SRIKANDI hanya menyewakan kamar pada hari Kamis sampai Senin depan saja, sedang hari Selasa dan Rabu digunakan pihak Hotel untuk ihkan kamar.

HARI

JUMLAH TAMU

Kamis

61

Jum’at

79

Sabtu

88

Minggu

92

Senin

48

Maka rata-rata tamu yang menginap di Hotel SRIKANDI adalah : 33


X=

∑

=

= 73,6

Terlihat rata-rata jumlah tamu perhari adalah 73,6 orang dibulatkan menjadi 74 orang. Perhatikan jumlah data adalah 5, berbeda dengan jumlah data sebesar 7 pada contoh 1. Sekarang jika dianggap di daerah tersebut hanya ada dua hotel, maka berapakah ratarata(mean) tamu yang menginap di daerah tersebut untuk hari senin dan selasa?

X=

∑

=

= 84

Perhatikan jumlah data sekarang hanya ada dua, karena memang cuma ada dua hotel. Dengan demikian, rata-rata tamu yang menginap di daerah tersebut pada hari senin adalah 84 orang. Untuk hari Selasa, Mean adalah rata-rata dari semua tamu yang menginap di kedua hotel tersebut pada hari Selasa, yakni :

X=

∑

=

= 40

Walaupun jumlah data sama, yakni dua, namun data hari Selasa untuk Hotel SRIKANDI adalah nol, karena hotel tidak menerima tamu. Dengan demikian, ratarata tamu yang menginap di daerah tersebut pada hari Selasa adalah 40 orang.

 Rata-rata Hitung dengan Frekuensi Variasi lain adalah jika setiap data yang dihitung mempunyai frekuensi kemunculan tertentu, sehingga rumus Rata-rata sederhana mengalami modifikasi menjadi :

=

∑

∑

dimana : 34


Perhitungan ini digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu distribusi Frekuensi. Contoh : Data distribusi Frekuensi gaji yang diterima karyawan P.T. CLEOPATRA : Gaji (Rupiah/bulan)

Frekuensi (orang)

575.000

6

600.000

11

625.000

17

650.000

8

Keterangan : Karyawan dengan gaji Rp. 575.000,-/bulan sejumlah 6 orang, sedang mereka yang bergaji Rp. 600.000,-/bulan sejumlah 11 orang. Demikian seterusnya untuk data yang lain. Berbeda dengan kasus sebelumnya, disini ada sejumlah data yang mempunyai nilai yang sama, seperti data 575.000 ada 6 data, 600.000 ada 11 data, dan seterusnya. Namun tetap diperhatikan bahwa semua data haruslah data kuantitatif dan sejenis. Sebagai contoh, jika isi table adalah 6 buah durian masing-masing seberat 5,1 kg, 9 buah nenas masimg-masing seberat 2,5 kg dan 4 buah melon masing-masing seberat 1,75 kg. untuk data dengan campuran buah seperti ini, tidak bias dilakukan rata-rata frekuensi, karena walaupun semua data kuantitatif, namun jenis data (jenis buah) tidak sama. Dengan kata lain tidak mungkin dihitung rata-rata berat buah, karena akan timbul pertanyaan’rata-rata untuk buah yang mana? Hal ini berbeda dengan gaji pada table di atas, yang jelas sejenis, karena semua bersatuan ‘Rupiah/bulan’. Perhitungan rata-rata gaji karyawan P.T. CLEOPATRA : GAJI (Rupiah/bulan) Frekuensi (orang)

GAJI * Frekuensi

575.000

6

3.450.000

600.000

11

6.600.000

35

Modul statistika dasar 625.000

17

10.625.000

650.000

8

5.200.000

TOTAL

42

25.875.000

Atau dengan penggunaan rumus :

X=

( ∗

. (

∗

)

.

)

=

.

.

= 616.071,4

Dengan demikian, rata-rata gaji 42 orang karyawan P.T. CLEOPATRA adalah Rp. 616.071,4/bulan.

 Rata-rata Hitung dengan Bobot Data juga bisa diberi bobot (weight) yang membedakan data satu dengan data lainnya sehingga rumus rata-rata sederhana mengalami modifikasi menjadi :

=

∑

∑

Dimana : Walaupun rumus ini sama dengan rumus rata-rata frekuensi, dengan perbedaan pada penggantian symbol f dengan w, namun secara konsep keduanya berbeda. Weighted mean (rata-rata berbobot) berangkat dari pengertian bahwa data tidak mempunyai bobot yang sama, tergantung dari besar kepentingan yang diberikan pada data tersebut. Contoh : Perhitungan Indeks Prestasi (IP) seorang mahasiswa, yang mengambil sejumlah mata kuliah tertentu, dan dihitung dengan sks. Pada umumnya tidak semua mata kuliah mempunyai bobot sks yang sama, seperti mata kuliah Matematika mempunyai bobot 3 sks, sementara mata kuliah Sosiologi mungkin hanya 2 sks. Apa yang membedakan kedua mata kuliah tersebut hingga yang satu diberi bobot 3 sks sementara yang lain 36

Modul statistika dasar hanya 2 sks? Tentu saja ini tergantung pengambilan keputusan yang memandang mata kuliah Matematika lebih penting dari mata kuliah Sosiologi. Contoh lain : Proses penilaian seorang karyawan, dengan memberi pembobotan pada komponen penilaian yang meliputi kedisiplinan (bobot 50%), kerjasama (bobot 30%) dan kinerja (bobot 20%). Perhatikan jumlah bobot pada kasus seperti ini selalu 100% (50%+30%+20%). Kasus I : Berikut adalah distribusi mata kuliah yang diambil dan nilai akhir dari mahasiswa bernama Chandra : Mata Kuliah

Bobot sks

Nilai (huruf)

Nilai (angka)

Matematika

3

A

4

Sosiologi

2

C

2

Ekonomi Mikro

4

D

1

Akuntansi

3

B

3

Keterangan : Konversi Nilai dari huruf ke angka adalah : A=4 B=3 C=2 D=1 E=0 Jadi untuk mata kuliah matematika yang mempunyai bobot 3 sks, Chandra mendapat nilai A atau setara dengan angka 4. Demikian seterusnya untuk arti data lainnya. Tentu saja disini harus dilakukan konversi (pengubahan) dari nilai huruf ke nilai angka, sebab jika tidak demikian,proses perhitungan rata-rata tidak bias dikerjakan, karena adanya data non-angka. Rata-rata nilai Chandra (IP) adalah :

37


Bobot sks

Nilai (angka)

Bobot*Nilai

3

4

12

2

2

4

4

1

4

3

3

9

TOTAL

12

29

Atau dengan rumus :

X=

( ∗ ) ( ∗ ) ( ∗ ) ( ∗ ) ( )

=

= 2.41

Dengan demikian IP atau rata-rata nilai Chandra dengan mempertimbangkan bobot masing-masing mata kuliah, adalah 2.41. Jika IP Chandra dihitung tanpa mempertimbangkan bobot SKS, maka nilai rata-rata adalah persis seperti rumus Rata-rata sederhana : X=

=

= 2.5

Disini n atau jumlah data adalah 4. Perhatikan selisih perhitungan antara tanpa mempertimbangkan bobot dengan mempertimbangkan bobot. Hal ini disebabkan pada bobot SKS yang tinggi, yakni mata kuliah Ekonomi Micro, Chandra mendapat nilai jelek (D), yang hanya bernilai angka sama dengan 1, sehingga akan menurunkan total IP Chandra. Hal ini tentu tidak terjadi jika bobot SKS dihilangkan, yang otomatis membuat semua mata kuliah sama pengaruhnya terhadap IP. Kasus 2 : Berikut adalah hasil penilaian seorang Supervisor terhadap karyawan bernama Deddy : Komponen Penilaian

Bobot (%)

38

Nilai (angka)

Modul statistika dasar Disiplin

50%

70

Kerjasama

30%

60

Kinerja

20%

90

TOTAL

100%

Keterangan : Nilai yang diberikan adalah pada skala 0 (sangat jelek) sampai 100 (sangat baik). Data di atas menunjukkan Supervisor menilai Deddy dengan angka 70 untum kedisiplinannya selama bekerja, nilai 60 untuk kerjasama dengan teman sekerja dan 90 untuk kinerja secara pribadi. Perhatikan jumlah bobot yang menunjukkan setengah dari penilaian adalah berdasarkan kedisiplinan seseorang (50%) dan jumlah bobot pada kasus seperti ini adalah selalu 100%. NB : Bobot 50% bias juga ditampilkan dalam bentuk angka 0,5. Rata-rata nilai dari Deddy, adalah : Bobot* Nilai

Bobot (%)

Nilai (angka)

50%

70

35

30%

60

18

20%

90

18

TOTAL

71

Atau dengan rumus :

X=

(

%∗

(

) (

%

%∗

%

) (

%)

%∗

)

=

= 71

Dengan demikian, Nilai rata-rata Deddy adalah 71, yang tetap diukur dari skala 0 sampai 100. Dengan kata lain, tidak mungkin hasil rata-rata ada di bawah angka 0 atau di atas angka 100, jika pengukur awal adalah skor 0 sampai 100. Jika saja skor nilai diukur pada skala 1 sampai 10, maka nilai rata-rata tetap tidak mungkin ada di bawah 1 atau lebih dari 10. NB : Perhatikan angka 100% yang sama dengan angka 1. 39


MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI  Mean Data Berkelompok (Grouped) Untuk data berkelompok, atau data yang disajikan dalam suatu distribusi frekuensi, perhitungan hamper sama dengan perhitungan Rata-rata untuk frekuensi. Perbedaan hanya pada penetapan titik tengah kelas sebagai dasar pengambilan frekuensi. Rumus :

=

∑

∑

dimana :

Contoh : Data distribusi frekuensi berat badan remaja sebuah daerah : Berat Badan

Jumlah

(kg)

(frek/f)

35 – 39.9

6

40 – 44.9

15

45 – 49.9

40

50 – 54.9

38

55 – 59.9

24

Di atas 60

11

Keterangan : Remaja dengan berat badan antara 35 kg sampai 39.9 kg sebanyak 6 orang. Kemudian remaja dengan berat badan antara 40 kg sampai 44.9 kg sebanyak 15 orang. Demikian seterusnya untuk data yang lain. Perhatikan bahwa batas atas dibuat dengan decimal 9 dengan asumsi bahwa pengukuran berat badan tidak melebihi dua decimal, seperti berat badab seorang remaja akan diukur sampai 37.5 dan tidak 37.55

40

Modul statistika dasar kg. Dengan demikian, jika seorang remaja mempunyai berat badan lebih dari 39.9 kg, ia langsung dikategorikan mempunyai berat badan 40 kg. Dengan demikian, contoh perhitungan titik tengah untuk kelas 30 – 39.9 adalah : (35+39.9)/2 = 37.45 Perhitungan rata-rata berat badan : Berat Badan (kg)

Titik Tenga(

)

Jumlah (

)

.

35 – 39.9

37.45

6

224.70

40 – 44.9

42.45

15

636.75

45 – 49.9

47.45

40

1898.00

50 – 54.9

52.45

38

1993.10

55 – 59.9

57.45

24

1378.80

60 – 64.9

62.45

11

686.95

134

6818.30

TOTAL

Rata-rata :

=

.

= 50.88

Catatan ; Penggunaan titik tengah sebagai alat hitung hitung rata-rata grouped data tentu bias mengakibatkan bias dalam perhitungan. Missal untuk interval berat badan 3539,9 kilogram,diasumsi remaja pada kelas tersebut sebagian besar mempunyai berat badan 37,45 kilogram.ternyata sebagian besar jusru mempunyai berat badan 36 kilogram. Hal ini tentu mengakibatkan bias perhitungan rata-rata, jika hasil 50,88 kilogram dibandingkan dengan rata-rata hitung berat badan yang tidak dikelompokkan (lihat penjelasan rata-rata frekuensi). Namun demikian, selisih perhitungan tersebut tidaklah berarti jika jumlah data banyak, seperti di atas 300 data, atau interval kelas relative kecil (missal 35-36.9 kg dan seterusnya).

 Rata-rata dengan Menggunakan Coding

41

Modul statistika dasar Coding adalah penggunaan kode-kode (seperti 1, 2 dan seterusnya) sebagai pengganti titik tengah kelas, jika interval kelas adalah sama. Rumus :

=A+

∑ .

.

dimana : A = kelas dengan kode 0 f.u = total frekuensi N = jumlah data C = interval kelas Sebagai contoh, digunakan data distribusi frekuensi berat badan remaja seperti kasus sebelumnya. Proses Pengkodean (coding) : Cari kelas yang mempunyai frekuensi terbanyak, lalu beri kode 0. Pada kasus ini, karena frekuensi terbesar adalah 40 yang ada di kelas 45-49.5, maka kode 0 ada pada kelas tersebut. Kemudian untuk kelas di atasnya diberi kode -1, -2 dan seterusnya, dan untuk kelas di bawahnya diberi kode +1, +2 dan seterusnya, sampai jumlah kode mencukupi. Hasil :

Berat Badan (kg)

Titik Tengah ( )

KODE

Jumlah (frek/f)

35 – 39.9

37.45

-2

6

40 – 44.9

42.45

-1

15

45 – 49.9

47.45

0

40

50 – 54.9

52.45

+1

38

42

Modul statistika dasar 55 – 59.9

57.45

+2

24

60 – 64.9

62.45

+3

11

Proses perhitungan Mean : Berat Badan

Titik Tengah

(kg)

( )

35 – 39.9

37.45

-2

6

-12

40 – 44.9

42.45

-1

15

-15

45 – 49.9

47.45

0

40

0

50 – 54.9

52.45

+1

38

38

55 – 59.9

57.45

+2

24

48

60 – 64.9

62.45

+3

11

33

TOTAL

134

+92

TOTAL

KODE

Jumlah (frek/f)

f.u

Di sini A adalah kelas dimana terdapat kode 0, yakni 45-49.9. karena kelas tersebut mempunyai titik tengah 47.45, maka A adalah 47.45. Dan c adalah interval kelas yang harus sama untuk setiap kelas yang ada, yakni 5 (bias didapat dari 39.9-35 atau 44.9-40 atau selisih kelas yang manapun dalam distribusi frekuensi tersebut).

Perhitungan Mean :

= 47.45 +

. 5 = 50.88

Perhatikan hasil perhitungan yang tepat sama dengan perhitungan Mean sebelumnya. Catatan :

43

Modul statistika dasar Karena sifatnya yang praktis, maka perhitungan Mean untuk distribusi frekuensi jika memungkinkan sebaiknya menggunakan cara penyandian (kode), karena baik dengan cara biasa maupun dengan cara koding, keduanya akan menghasilkan besaran Mean yang sama. RATA-RATA GEOMETRIK

Konsep Rata-rata Geometrik Rata-rata geometric biasanya digunakan untuk menghitung rata-rata laju kenaikan atau penurunan dari sekelompok data pada periode tertentu, yang mempunyai perubahan angka secara mencolok. Contoh : Tingkat penjualan televise P.T. SUKSES selama empat tahun terakhir adalah 1.000 unit, 5.000 unit, 9.000 unit dan 15.000 unit. Jika ditanya berapakah rata-rata pertumbuhan penjualan TV, dan dihitung menggunakan rata-rata hitung (Mean), maka didapat : =

=

= 7500

Atau 7500 TV per tahun. Jika rata-rata adalah 7500 TV per tahun, maka seharusnya dari 1000 TV, periode kedua akan terjual 1000+7500 = 8500 TV, periode ketiga akan terjual 8500+7500 = 16000 TV, dan periode keempat akan terjual 16000+7500 = 23500 TV. Kenyataan pergerakan penjualan sangat berbeda dengan angka-angka sebenarnya, seperti terlihat pada table berikut ini :

Tahun

Data Asli

Data Dengan Rata-rata

1

1000

1000

2

5000

8500

44

Modul statistika dasar 3

9000

16000

4

15000

23500

Unruk menghindari perbedaan tersebut, bias digunakan rata-rata geometric, yang mengubah perhitungan rata-rata dengan konsep deret hitung menjadi berdasar deret ukur.

Rata-rata Geometrik Rumus : =

dimana :

.

…

G adalah Rata-rata Geometrik N adalah jumlah data Dari penjualan TV seperti contoh sebelumnya, jika digunakan rata-rata geometric akan didapat : = √1000 5000 9000 15000 = 5097.13

Atau jika dibulatkan ke bawah rata-rata laju kenaikan penjualan TV adalah 5097 unit TV per tahun. Dengan demikian, perbandingan kenaikan antara penggunaan rata-rata hitung dengan geometric : TAHUN

Data Asli

1

Rata-rata Geometrik (factor

Rata-rata Hitung

5097)

(factor 7500)

1000

1000

1000

2

5000

1000+5097=6097

8500

3

9000

6097+5097=11194

16000

4

15000

11194+5097=16291

23500

45

Modul statistika dasar Terlihat selisih antara rata-rata geometric dengan data asli lebih sedikit daripada selisih antara rata-rata hitung dengan data asli. Seperti pada akhir periode 4, data asli menyatakan penjualan TV adalah 15.000 unit. Dengan rata-rata Geometrik, diprediksi penjualan adalah 16.291 unit. Sedang dengan prediksi menggunakan rata-rata Hitung, hasil yang didapat jauh dari data asli, yakni 23.500 unit. Dengan demikian, jika akan dilakukan prediksi ke depan, maka untuk kasus seperti ini seharusnya digunakan rata-rata Geometrik agar hasil tidak terlalu bias. Secara umum, Rata-rata Geometrik selalu menghasilkan angka yang lebih kecil dari rata-rata Hitung untuk data yang sama : G<

Rata-rata Geometrik (cara lain) Selain dengan rumus di atas, Rata-rata Geometrik bias dicari lewat perbandingan (rasio) di antara data awal dan akhir : Rumus :

=

.

…

=

Di mana : G adalah rata-rata Geometrik n adalah jumlah data Dari

penjualan TV seperti contoh sebelumnya, jika digunakan rata-rata

Geometrik dengan rumus kedua di atas akan didapat :

=

.

.

= 1,97.

Berarti rata-rata laju kenaikan penjualan TV secara rasio adalah 1,97 dari tahun ke tahun.

46

Modul statistika dasar Dengan demikian, perbandingan kenaikan antara penggunaan rata-rata hitung dengan geometric : Rata-rata Geometrik (rasio 1,97) 1.000 x 1,97 = 1.970 1.970 x 1,97 = 3.880 3.880 x 1,97 = 7.643 7.643 x 1,97 = 15.057

MEDIAN DEFINISI Median. Median segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat ditengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang ditengah bila banyaknya pengamatan genap. Contoh soal 3. Dari lima kali kuiz statistic seorang mahasiswa mendapat nilai 82,93,86,92 dan 79.tentukan median populasi nilai ini. Jawab. Setelah data diurutkan dari terkecil sampai terbesar, kita peroleh 79 82 86 92 93 Oleh karena itu, didapat

= 86.

Contoh soal . Kadar nikotin yang berasal dari sebuah sampel random enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3,2.7,2.5,2.9,3.1,dan 1.9 milligram.Tentukan mediannya. Jawab. Bila kadar nikotin itu kita urutkan dari yang terkecil sampai terbesar maka kita peroleh : 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 Maka mediannya adalah : rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaitu 47


=

.

.

= 2.6

Formula Median untuk Data berkelopok adalah :

Median = L +

.i

Keterangan : I

= Lebar kelas

L

= Tepi bawah kelas median

Fk

= Jumlah frekuensi sebelum kelas median

Fmed = Jumlah frekuensi dimana kelas median ada

MODUS DEFINISI Modus. Modus segugus pengamatan adalah nilai yang terjadi paling sering atau yang mempunyai paling tinggi. Contoh soal 5. Nilai ujian semester dari beberapa mahasiswa matematika tercatat sebagai berikut: 90,100,50,90,90,70,80,60,65 dan 75. Tentukan modusnya. Jawab. Modusnya adalah nilai yang terjadi dengan frekuensi paling paling tinggi, adalah : 90.

Formula Modus untuk data berkelompok Y MODUS = L + Keterangan :

. 48

Modul statistika dasar L : Batas bawah kelas modus ada d1 : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya. d2 : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i : Lebar kelas

1.3.1 LATIHAN 1. Sebuah bioskop mencatat adanya penurunan jumlah penonton selama periode 1998-2001 : PENONTON

TAHUN

(orang)

1998

5300

1999

5200

2000

4500

2001

4000

Dari data di atas : a. Hitung rata-rata Geometrik dari penurunan penonton tersebut. Apa arti hasil rata-rata Geometrik tersebut? b. Jika penurunan tersebut tetap berlangsung dengan tingkat yang sama, maka berapakah perkiraan penonton untuk tahun 2002? 2. IQ rata-rata sepuluh mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika adalah : 114. Bila Sembilan mahasiswa diantaranya memiliki IQ 101,125,118,128,106,115,99,118 dan 109, berapa IQ mahasiswa yang satu lagi? 3. Produktivitas 25 karyawan dari sebuah perusahaan konveksi adalah sebagai berikut : (potong pakaian per minggu) 25 31

37

42

19

20 24

23

30

26

49

Modul statistika dasar 21 22

34

30

32

29 33

31

34

40

21 28

32

33

40

Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekuensi dari 25 data di atas, dengan interval kelas 5. b. Hitung rata-rata dari distribusi frekuensi di atas. c. Hitung rata-rata TANPA MENNGUNAKAN distribusi frekuensi. d. Bandingkan dan analisis hasil b dan c. 4. Tentukan mean. Median dan modus dari data tinggi badan 50 mahasiswa berikut. Berat (X)

Nilai tengah

kg

interval

Frekuensi

50 - 52

51

5

53 – 55

54

17

56 – 58

57

14

59 – 61

60

10

62 - 64

63

4 50

5.

Sebuah bank yang secara agresif berusaha menarik dana dari para nasabah,

menawarkan suku bunga tabungan dalam lima bulan terakhir sebagai berikut : 5%, 9%, 15%, 20% dan 29%. Berapakah suku bungan tabungan rata-rata yang ditawarkan bank tersebut?

BAB IV UKURAN DISPERSI

4.1 PENDAHULUAN 50

Modul statistika dasar Terlepas dari ukuran gejala pusat dan ukuran letak, masih ada lagi ukuran lain ialah ukuran simpangan atau ukuran dispersi. Ukuran ini kadang-kadang dinamakan pula ukuran variasi, yang manggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. Beberapa ukuran disperse yang dikenal dan akan diuraikan disini ialah : rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau deviasi kuartil, rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi, simpangan baku atau deviasi standar, varians dan koefisien variasi. KOMPETENSI KHUSUS, Diharapkan pada akhir perkuliahan nanti, mahasiswa/I dapat mengetahui dan memahami arti dan manfaat dari mengetahui dispersi sebuah data. Dan juga mengetahui teknik perhitungan disperse data. 1.2 PENYAJIAN 1. RENTANG,

RENTANG

ANTAR

KUARTIL

DAN

SIMPANGAN

KUARTIL Ukuran variasi yang paling mudah ditentukan ialah rentang. Rumusnya : rentang = data terbesar – data terkecil (R1) Karena mudahnya dihitung, rentang ini banyak sekali digunakan dalam cabang lain dari statistika, iakah statistika industry. Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan ini merupakan selisih antara

dan

. Jadi didapatlah hubungan : RAK = (R2)

−

dengan RAK = rentang antar kuartil = kuartik ketiga = kuartil pertama Contoh : Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk 65 pegawai di suatu pabrik. DAFTAR R1 Upah (Rupiah)

51

Modul statistika dasar 50,00 - 59,99

8

60,00 - 69,99

10

70,00 - 79,99

16

80,00 - 89,99

14

90,00 - 99,99

10

100,00 - 109,99

5

1100,00 - 119,99

2

JUMLAH

65

Dengan menggunakan rumus di bawah , maka nilai-nilai

=

dan

dapat dihitung.

+

dengan I = 1, 2, 3

Hasilnya :

=

. 68,25;

=

. 90,75.

RAK dihitung dengan menggunakan rumus R2, maka diperoleh : RAK = Rp. 22,50. Ditafsirkan bahwa 50% dari data, nilainya paling rendah 68,25 dan paling tinggi 90,75 dengan perbedaan paling tinggi 22,50. Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut pula rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil. Jadi jika simpangan kuartil disingkat dengan SK, maka : = 1 2( (R3)

−

)

Contoh : Dari daftar R1, jelas didapat :

52

Modul statistika dasar = 1 2(

. 90,75 −

Selanjutnya, karena 1 2 (

−

upah terletak dalam interval

. 68,25) =

) = Rp. 79,50, maka 50% dari pegawai mendapat

. 79,50 ±

Rp.90,75.

. 11,25

. 11,25 atau antara Rp. 68,25 dan

2. RATA-RATA SIMPANGAN Misalkan data hasil pengamatan berbentuk

,

…,

dengan rata-rata

̅.

Selanjutnya kita tentukan jarak antara tiap data dengan rata-rata ̅ . Jarak ini, dalam symbol ditulis |

− ̅ |. Dengan | |. Berarti sama dengan a jika a positif, sama

dengan –a jika a negative dan nol jika a = 0. Jadi harga mutlak, selalu memberikan tanda positif, karena inilah | jarak-jarak : |

− ̅| , |

− ̅ |, . . . , |

− ̅ | disebut jarak antara

dengan ̅ . Jika sekarang

− ̅ | dijumlahkan, lalu dibagi oleh n, maka diperoleh

satuan yang disebut rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi. Rumusnya adalah : =

∑|

− ̅|

(R4) Dengan RS berarti = rata-rata simpangan.

Contoh : −

|

− |

8

-1

1

7

-2

2

10

1

1

11

2

2

53

Modul statistika dasar Dari data di atas, jika dihitung, rata-ratanya = 9. Jumlah harga-harga mutlaknya,yaitu

= =1½.

jumlah bilangan-bilangan dalam kolom akhir, adalah 6. Maka 3. SIMPANGAN BAKU

Barangkali ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel, simpangan baku akan diberi symbol s, sedangkan untuk populasi diberi symbol 2

untuk varians populasi. Jelasnya, s dan s2

tentulah s untuk varians sampel dan merupakan statistic sedangkan

dan

parameter.

Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data-data rata ̅ , maka statistic s2 dihitung dengan : =

∑(

(R5)

. Variansnya

,

…,

dan rata-

− ) −1

Untuk mencari simpangan baku s, dari s2 diambil harga akarnya yang positif. Dari rumus R5, varians s2 dihitung sebagai berikut : 1. Hitung rata-rata ̅ 2. Tentukan

−

selisih,

− ,…,

−

3. Tentukan kuadrat selisih tersebut, yakni ( 4. Kuadrat-kuadrat tersebut dijumlahkan

− )2, (

− )2, . . . , (

− )2

5. Jumlah tersebut dibagi oleh (n - 1) Contoh : Diberikan sampel dengan data : 8, 7, 10, 11, 4. Untuk menentukan simpangan baku s, kita buat table berikut. −

(

− )2

(1)

(2)

(3)

8

0

0

7

-1

1

10

2

4

54


3

9

4

-4

16

Rata-rata ̅ = 8. Dapat dilihat dari kolom 2 bahwa ∑(

− ) = 0. Karena itulah

disini diambil kuadratnya yang dituliskan dalam kolom 3. Didapat ∑( − ) = 30. Dengan menggunakan rumus R5, didapat : s2 = 30/4 = 7,5. Sehingga

=

7,5 = 2,74.

Bentuk lain untuk rumus varians sampel ialah : ∑

=

− (∑ ) ( − 1)

(R6)

Dalam rumus di atas Nampak bahwa tidak perlu dihitung dulu rata-rata ̅ , tetapi

cukup menggunakan nilai data aslinya berupa jumlah nilai data dan jumlah kuadratnya. Jika digunakan untuk data di atas, maka dari table berikut ini, dihasilkan :

8

64

7

49

10

100

11

121

4

16

40 = ∑

∑

350 = ∑

= 40 dan ∑

=

(

= 350. Dengan n = 5, dari rumus R6 didapat varians :

)

= 7,5 dan simpangan baku

=

7,5

= 2,74.

Sangat dianjurkan bahwa menghitung simpangan baku lebih baik menggunakan rumus R6 karena kekeliruannya lebih kecil. 55

Modul statistika dasar Jika data dari sampel tekah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka untuk menentukan varians s2 dipakai rumus : =

∑

(R7)

−( − ) ( − 1)

Atau yang lebih baik digunakan : =

∑

− (∑ ( − 1)

)

(R8)

Rumus R7 menggunakan rata-rata ̅

sedangkan rumus R8 hanya

menggunakan nilai tengah atau tanda kelas interval. Contoh : Untuk menghitung varians s2 dari data di bawah ini tentang nilai ujian 80 mahasiswa, digunakan rumus R7. Nilai ujian 31 – 40

1

41 – 50

2

51 – 60

5

61 – 70

15

71 – 80

25

81 – 90

20

91 – 100

12

Jumlah

80

Jawab : lebih baik dibuat table berikut. NILAI

−

UJIAN

56

(

− )2

. (

− )2

Modul statistika dasar (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

31 – 40

1

35,5

-41,1

1689,21

1.689,21

41 – 50

2

45,5

-31,1

967,21

1.834,42

51 – 60

5

55,5

-21,1

445,21

2.226,05

61 – 70

15

65,5

-11,1

123,21

1.848,15

71 – 80

25

75,5

-1,1

1,21

30,25

81 – 90

20

85,5

8,9

79,21

1.584,20

91 – 100

12

95,5

18,9

357,21

4.286,52

Jumlah

80

-

-

-

13.498,80

Telah dihitung, dengan harga ̅ = 76,6.

Kolom 3 merupakan tanda kelas, kolm 4 adalah tiap tanda kelas dalam kolom 3 dikurangi 76,6 dan kolom 5 merupakan kuadrat bilangan-bilangan dalam kolom 4 sedangkan kolom akhir sama dengan hasil kali kolom 2 dengan kolom 5. Didapat harga-harga : n = ∑

= 80 dan ∑

didapat varians :

=

.

,

Simpangan baku

. . (

− )2 = 13.498,80. Sehingga dengan rumus R7

= 170,9 = √170,9 = 13,07.

Untuk menggunakan rumus R8, menggunakan data yang sama, maka table yang perlu dibuat adalah seperti di bawah ini : NILAI UJIAN

.

.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

31 – 40

1

35,5

1260,25

35,5

1260,25

41 – 50

2

45,5

2070,25

91,0

4.140,50

57

Modul statistika dasar 51 – 60

5

55,5

3080,25

277,5

15.401,25

61 – 70

15

65,5

4290,25

982,5

64.353,75

71 – 80

25

75,5

5700,25

1887,5

142.506,25

81 – 90

20

85,5

7310,25

1710,0

146.205,00

91 – 100

12

95,5

9120,25

1146,0

109.443,00

Jumlah

80

-

-

6130,0

483.310,00

Kolom 4 adalah kuadrat tanda-tanda kelas dalam kolom 3, kolom 5 merupakan hasil kali kolom 2 dan kolom 3 dan kolom akhir adalah produk antara kolom 2 dan kolom 4. Dari table didapat : n=∑

= 80, ∑ .

∑ .

= .

=

Sehingga dari rumus R8 diperoleh varians : =

.

.

80 483.310 − (6.130) = 172,1. 80 79

Hasilnya berbeda dengan hasil dari rumus R7, karena

̅ yang digunakan di

rumus R7 telah dibulatkan hingga satu decimal, yang dengan sendirinya akan menyebabkan adanya perbedaan. Cara singkat atau cara sandi, seperti ketika menghitung rata-rata

̅ , dapat

digunakan juga untuk menghitung varians sehingga perhitungan akan lebih sederhana. Rumusnya adalah : =

∑ (R9)

− (∑ ( − 1)

)

P = panjang kelas interval = nilai sandi dan

=∑

Contoh : Untuk data dalam table yang lalu, jika dipakai rumus R9 ini, maka diperlukan table berikut : 58

Modul statistika dasar .

NILAI UJIAN

.

31 – 40

1

35,5

-4

16

-4

16

41 – 50

2

45,5

-3

9

-6

18

51 – 60

5

55,5

-2

4

-10

20

61 – 70

15

65,5

-1

1

-15

15

71 – 80

25

75,5

0

0

0

0

81 – 90

20

85,5

1

1

20

20

91 – 100

12

95,5

2

4

24

48

Jumlah

80

-

-

-

9

137

=∑

= 80, ∑ .

Dari tabel ini didapat P = 10, sehingga didapat varians : = (10)

80 137 − (9) 80 79

dan ∑ .

=

=

,

= 172,1.

Hasilnya sama dengan bila digunakan rumus R8. Ini memang demikian! Membandingkan rumus R8 dan R9, sebenarnya yang terakhir didapat dari yang pertama dengan menggunakan transformasi yaitu: 1. Jika tiap nilai data

=

berdasarkan dua sifat

ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka

simpangan baku s tidak berubah. 2. Jika tiap nilai data

dikalikan dengan bilangan yang sama d, maka simpangan

bakunya menjadi d kali simpangan baku yang asal. Contoh : Diberikan sampel dengan data : 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. Setelah dihitung maka s = 4,14. a. Tambah tiap data dengan 6 atau berapa saja, maka untuk data baru s = 4,14. b. Kurangi tiap data dengan 5 atau berapa saja, maka untuk data baru s = 4,14

59

Modul statistika dasar c. Kalikan tiap data dengan 6, maka untuk data baru s = 24,84. d. Bagi tiap data dengan ½ , maka untuk data baru s = 8,28. Simpangan baku gabungan dihitung dengan rumus : =

∑( ∑

) −

(R10)

Atau lengkapnya : =

(

+( +

− 1)

− 1) + + ( + + −

− 1)

Dengan s2 berarti varians gabungan untuk sampel yang berukuran n. Contoh : Hasil pengamatan pertama terhadap 14 obyek memberikan s = 275 sedangkan pengamatan yang kedua kalinya terhadap 23 obyek menghasilkan s = 3,08. Maka, dengan rumus R10 untuk k = 2, didapat varians gabungan :

=

(

)( ,

)

(

)( ,

)

= 8,7718.

Sehingga simpangan baku gabungan s = 2,96.

4. BILANGAN BAKU DAN KOEFISIEN VARIASI Misalkan kita mempunyai sebuah sampel berukuran n dengan data

,

…,

sedangkan rata-ratanya = ̅ dan simpangan baku s. dari sini kita dapat membentuk data baru

̅

=

,

…,

dengan rumus :

untuk I = 1, 2, …, n (R11)

Jadi diperoleh penyimpangan atau deviasi data dari rata-rata dinyatakan dalam satuan simpangan baku. Bilangan yang didapat dinamakan bilangan z. variable ,

…,

ternyata mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1.

Dalam penggunaannya, bilangan z ini sering diubah menjadi keadaan atau model baru, atau tepatnya distribusi baru, yang mempunyai rata-rata ̅ dan simpangan baku 60

Modul statistika dasar yang ditentukan. Bilangan yang diperoleh dengan cara ini dinamakan bilangan baku atau bilangan standar dengan rata-rata ̅ dan simpangan baku

dengan rumus

:

= ̅ +

− ̅

(R12)

Perhatikan bahwa untuk ̅ = 0 dan

= 1, rumus R12 menjadi rumus R11, sehingga

bilangan z sering pula diesbut bilangan standar. Bilangan baku sering dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi fenomena. Contoh : Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika dimana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir statistika dimana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, ia mandapat nilai 92. Dalam mata ujian mana ia mencapai kedudukan yang lebih baik? Jawab : Dengan rumus R11 didapat bilangan baku : Untuk matematika Untuk statistika

=

=

= 0,8.

= 0,44.

Mahasiswa itu mendapat 0,8 simpangan baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpangan baku di atas rata-rata nilai statistika. Kedudukannya lebih timggi dalam hal matematika. Kalau saja nilai-nilai di atas ke dalam bilangan angka baku dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20, maka : Untuk matematika Untuk statistika

= 100 + 20(

= 100 + 20(

) = 116.

) = 108,9.

Dalam system ini ia lebih unggul dala matematika. Ukuran variasi atau disperse yang diuraikkan dalam bagian-bagian yang lalu merupakan disperse absolute. Variasi 5 cm untuk ukuran jarak 100 m dan variasi 5 61

Modul statistika dasar cm untuk ukuran jarak 20 m jelas mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan disperse relative yang ditentukan oleh : Dispersi relatif =

Diepersi absolut Rata − rata

(R13)

Jika untuk dispersi absolute diambil simpangan baku, maka didapat koefisien variasi, disingkat KV. Rumusnya, dinyatakan dalam persen, berbentuk : KV =

simpangan baku x100% rata − rata (R14)

Skoefisien variasi tidak bergantung pada satuan yang digunakan, karenanya dapat dipakai untuk membandingkan variasi relative beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda. Contoh : Semacam lampu electron rata-rata dapar dipakai selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 10.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam. Dari sini mudah dihitung : .

KV (lampu pertama) = KV (lampu kedua) =

.

. .

100% = 30%.

100% = 20%.

Ternyata lampu kedua secara relative mempunyai masa pakai yang lebih uniform. SOAL LATIHAN 1. Diberikan

= 85 dan

= 116. hitunglah rentang 10 – 90 persentilnya

(Rentang 10 – 90 persentil didefinisi sebagai

2. Diberikan data : 12, 8, 9, 10, 14, 15, 8, 10, 12. 62

−

). Apa artinya?

Modul statistika dasar Hitunglah : a. Rata-rata simpangan b. Simpangan baku c. Simpangan baku berapa kali rata-rata simpangan. 3. Hasil pengamatan memberikan harga-harga Apakah artinya? a. b.

(

−

−

= 140 dan

= 196.

)

Ukuran-ukuran apakah itu? 4. Koefisien variasi hasil pengamatan yang terdiri atas 100 obyek besarnya 20%. Rata-ratanya tiga lebihnya dari simpangan bakunya. Tentukan ratarata untuk sampel itu. 5. Sebuah sampel berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian ialah : Bagian I dengan ̅ = 40,8 dan

Bagian II dengan ̅ = 36,7 dan

Bagian III dengan ̅ = 29,9 dan

= 10,5 = 9,8

= 10,2

Dapatkah rata-rata gabungan dan simpangan baku gabungan dihitung disini? Mengapa? Bagaimana jika juga diberikan bahwa : Bagian I terdiri dari 60 obyek Bagian II terdiri dari 105 obyek dan Bagian III terdiri 35 obyek.

63


BAB V MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

5.1 PENDAHULUAN Ekspektasi lain yang juga banyak digunakan dalam statistika adalah momen distribusi suatu peubah random atau momen peubah random. Peranan momen ke-r terhadap pusat suatu peubah random X, r = 0, dan momen ke-r terhadap suatu peubah random X sangat penting dalam statistika namum demikian, suatu hal yang dapat dipertanyakan adalah apakah distribusi suatu peubah random akan tertentu, jika semua momennya tertentu? Jawabannya tentu saja tidak, yang artinya belum tentu. Untuk keperluan itu, akan sangat menguntungkan apabila kita dapat menentukan 64

Modul statistika dasar suatu fungsi yang dapat menentukan semua momen suatu peubah random dan fungsi tersebut menentukan distribusi peubah randomnya. KOMPETENSI KHUSUS, Mahasiswa dapat Menentukan momen ke-r terhadap pusat suatu peubah random X, r = 0, momen ke-r terhadap suatu peubah random X, dan Fungsi pembangkit momen.

5.2 PENYAJIAN A. MOMEN Momen ke-r terhadap pusat suatu peubah random X, r =0, 1,2, . . .ditulis µr’ disesuaikan.

r '  E ( X r ) 0'  1

1 '  E  X    X Momen ke-r terhadap rataan suatu peubah random X, r = 0,1,2, …, ditulis didefenisikan sebagai

= ( −

)

Perlu dicatat bahwa

ada hanya jika

ada.

= = =

=

( − −

) =

=

−

Metode Fungsi Pembangkit Momen Teorema 5.2.

65

µr

Modul statistika dasar Perhatikan X dan Y yang masing-masing memiliki fungsi pembangkit momen mX(t) dan mY(t). Jika mX(t) = mY(t) untuk semua nilai t maka X dan Y memiliki fkp/fmp yang sama. (sifat unik fungsi pembangkit momen).Bagaimana menentukan fkp/fmp melalui fpm? Jika kita memiliki suatu fungsi U = g(Y) dan kemudian dapat ditentukan mU(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah random U,serta kita mengenali bentuknya (misal Poisson, Binomial, Normal, Gamma, dll). Kita dapat menggunakan sifat unik fungsi pembangkit momen untuk menentukan fkp/fmp dari peubah random U. Ilustrasi 5.6. Jika Y ~ Gamma(α, β), perlihatkan bahwa U = g(Y) = 2Y/β ~ χ2 (2α). Kita tahu bahwa fpm Y adalah

( )=

( )= (

=

= Jelas U ~ χ2 (2α)

(

) =

=

(

(

⁄ ) ⁄ )

⁄ )

Teorema 5.3. Perhatikan Y1, Y2, …, Yn adalah sampel random dimana Yi memiliki fpm mYi(t) untuk i = 1, 2, …, n. Jika U = Y1 + Y2 + … + Yn maka Bisa diperlihatkan sbb :

( )= (

) =

= ( = (

(

+

+ +

) (

…

)

)

)… ( 66

)

Modul statistika dasar =

=∏

( )

( )

( ) …

( )

Ilustrasi 5.7. mU(t) dapat dihitung sbb. Jika Y1, Y2, …, Yn ~ Bernoulli (p). Tentukan fkp U = Y1 + Y2 + … + Yn.

( )=

=( + =( +

( )

( ) …

) ( +

n

( )

) …( +

)

)

mU(t) adalah fpm Binomial (n, p).Jadi U ~ Binomial (n, p)

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Peranan momen-momen yang dibicarakan terdahulu pada modul sebelumnya, sangat penting dalam statistika. Namun demikian, suatu hal yang dapat dipertanyakan adalah apakah distribusi suatu peubah random akan tertentu, jika semua momennya tertentu? Jawab: pada umumnya tidak, yang artinya belum tentu. Untuk keperluan itu, akan sangat menguntungkan apabila kita dapat menentukan suatu fungsi yang dapat menentukan semua momen suatu peubah random, dan fungsi tersebut menentukan distribusi peubah randomnya. Defenisi: fungsi pembangkit momen suatu peubah X, ditulis m X(t), didefenisikan sebagai berikut:

m X (t)  E(e tX ), untuk setiapt  ( h, h), h  0 

mX(t) = 1 untuk t = 0



Jika mX(t) ada, maka

d r m X (t)  μ r , r  0, 1, 2,... dt r

67

Modul statistika dasar 

Suatu hal lain yang penting untuk dicatat adalah bahwa jika X adalah suatu peubah random dengan mX(t) ada, maka distribusi X tertentu dan sebaliknya. Dengan perkataan lain mX(t) ada bila dan hanya bila distribusi X tertentu.



Jika

mX (t0)

ada

untuk

t0 >

0,

maka

mX(t1)

ada

<

maka

untuk

setiap

untuk setiap t 1  (0, t 0 ), h  0 Demikian

juga,

jika

mX(t1)

ada

untuk

t0

0,

untuk setiap t 1  (t 0 ,0) 

maX+b(t) = ebtmX(at)



Jika X1, X2, …,Xn saling bebas, maka n

mn

 a1X1 (t )

(t)  mXi (ai t) i1

i 1

Maka Contoh 1. Jika X adalah suatu peubah random dengan

f X ( x)  x 2 I 1, 

( x)



maka m X (t)



x

2 x

e tx dx

1

Karena mX(t) = ∞ untuk t >0, maka mX(t) tidak ada disekitar t = 0 2. Jika x adalah peubah random dengan

f ( x)



e  x , x  0,1,2,... x!

t X e   x x! x 0 

E (t X )  

 e   e x  e  (t 1) sehingga  X 

dE (t X )   untuk t  1 dt

68

mX(t1)

ada

Modul statistika dasar Perlu diperhatikan disini bahwa untuk soal ini µX dapat juga dihitung menggunakan mX(t). Kesetangkupan dan Kemenjuluran DEFINISI Kemenjuluran Pearson.

Koefisien kemenjuluran pearson dapat

didefinisikan sebagai berikut: SK =

(

)

,

atau

SK =

(

)

Untuk Distribusi data yang setangkup sempurna, nilai tengah dan mediannya identik oleh karena ituSK bernilai nol.Bila Distribusinya menjulur nilai tengah lebih kecil dari mediannya, sehingga nilai SK negative. Tetapi bila Distribusinya menjulur ke kanan, nilai tengahnya lebih besar daripada mediannya, sehingga nilai SK positif. Contoh Soal 10. Hitunglah koefisien kemenjuluran pearson bagi Distribusi umur aki dalam table 2.2. Jawab. Dengan menganggap data table 2.2 sebagai suatu sampel , kita peroleh = 3.4 dan S =0.70. oleh karena itu, SK = =

( ( .

= 3.41,

) .

– . )

= 0.04

Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa data itu hamya sedikit menjulur ke kanan. Dengan nilai SK yang demikian kecilnya, kita dapat mengatakan bahwa datanya setangkup.

Persenti, desil dan Kuartil DEFINISI :

Persentil. Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus

pengamatan menjadi 100 bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan P1,

P2 ,P3, . . . P99, bersifat bahwa 1% dari seluruh data terletak dibawah P1, 2%

terletak dibawah P2, dan 99% terletak di bawah P99. Untuk menghitung prosedur perhitungan suatu persentil, sebagai contoh marilah kita mencari P85 untuk besaran umur Aki dalam table 2.2. langkah pertama kita harus mengurutkan data dari terkecil sampai terbesar. sbb: 1.6, 1.9,2.2, 2.5,2.6, 2.6,2.9,3.0,

69

Modul statistika dasar 3.0, 3.1, 3.1, 3.1, 3.1, 3.2, 3.2, 3.2, 3.3, 3.3, 3.3, 3.4, 3.4, 3.4, 3.5, 3.5, 3.6, 3.7, 3.7, 3.7, 3.8, 3.8, 3.9, 3.9, 4.1, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7, 4.7. Karena ada 40 data pengamatan, maka kita harus mencari sebuah nilai yang dibawahnya terdapat (85/100) X 40 = 34 pengamatan. P85 dapat berupa sembarang nilai antara 4.1 tahun dan 4.2 tahun.Supaya mendapat nilai yang khas maka P 85 didefinisikan sebagai titik tengah antara ke dua pengamatan tersebut. Jadi didapat P 85 =

.

.

= 4.15 tahun.

DEFINISI

Desil. Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan

menjadi 10 bagian yang sama.Nilai-nilai itu dilambangkan dengan D1, D2 ,D3, … D9, mempunyai sifat bahwa 10% data jatuh dibawah D1, 20% jatuh dibawah D2, . . . , dan 90% jatuh dibawah D9. Cara kita menghitung desil persis sama dengan cara kita menentukan persentil. DEFINISI Kuartil. Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus data pengamatan menjadi 4 bagian sama besar.Nilai-nilai itu yang dilambangkan dengan Q1, Q2, Q3, mempunyai sifat bahwa 25% data jatuh dibawah Q1, 50% jatuh dibawah Q2, dan 75% jatuh dibawah Q3. Untuk menghitung Q1, bagi Distribusi umur Aki, kita memerlukan nilai yang dibawahnya terdapat (25/100) X 40 = 10 pengmatan. Karena pengamatan yang ke – 10 dan ke-11 sama dengan 3.1 tahun, jadi Q1 = 3.1.

B. KEMIRINGAN Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bisa positif, negate atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang di sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negative. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri. Untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh : kemiringan =

(Rata − rata) − (Modus) Simpangan baku 70

Modul statistika dasar (K1) Rumus empiric untuk kemiringan, adalah : kemiringan =

3((Rata − rata) − (Median)) Simpangan baku (K2)

Rumus-rumus K1 dan K2 berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan pearson tipe pertama dan tipe kedua. Kita katakana model positif jika kemiringan positif, negative jika kemiringan negative dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol. Contoh : Data nilai ujian 80 orang mahasiswa yang tercantum dalam daftar di bawah ini telah menghasilkan

= 76,62; Me = 77,3; Mo = 77,17 dan simpangan

baku s = 13,07.

Nilai ujian 31 – 40

1

41 – 50

2

51 – 60

5

61 – 70

15

71 – 80

25

81 – 90

20

91 – 100

12

Jumlah

80

Jawab : Kemiringan

,

,

,

= −0,04.

Karena kemiringan negative dan dekat kepada nol maka modelnya sedikit miring ke kiri. Berikut ada gambar grafiknya.

71


A. KURTOSIS Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau miring datarnya bentuk kurva disebut kurtosis, dapat ditentukan. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar, dinamakan mesokurtik. Kurva yang runcing dinamakan leptokurtic sedangkan yang datar disebut platikurtik. Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi symbol oleh rumus : 72

, ditentukan


dengan

=(

/

dan

)

di dapat dari rumus : ∑(

=

− ̅)

Criteria yang didapat dari rumus ini ialah : a) b) c)

=3

distribusi normal

<3

distribusi platikurtik

distribusi leptokurtik

>3

Untuk menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbol k, yang rumusnya : =

−

dengan SK

=

1

2(

(K3)

−

)

−

= rentang semi antar kuarti = kuarti kesatu = kuartil ketiga = persentil kesepuluh = persentil ke-90 −

= rentang 10 – 90 persentil.

Untuk model distribusi normal, harga k = 0,263.

SOAL LATIHAN 1. Bilangan-bilangan berikut menyatakan hasil ujian mata kuliah Metode Statistik : 23

60

79

32

57

74

52

70

82

36

80

77

81

95

41

65

92

85

55

76

52

10

64

75

78

25

80

98

81

67

41

71

83

54

64

72

88

62

74

43

60

78

89

76

84

48

84

90

15

79

73


67

17

82

69

74

63

80

85

61

Dengan menggunakan 9 selang dengan nilai terendah 10 : a) Buat Distribusi frekuensinya b) Sajikan data di atas dalam diagram batang c) Hitunglan persentil, desil dan kuartil data di atas. 2. Buatlah rumus rata-rata

dan Varians S2 dari rumus momen untuk:

a. Data belum disusun dalam daftar distribusi frekuensi b. Data yang sudah disusun dalam distribusi frekuensi 3. Diberikan data: 5,4,4,6,3,8,10,8,3,2. Hitunglah a. Momen pertama, kedua,ke tiga dank e empat b. Momen ke-1, ke-2, ke-3 dan ke-4 disekitar rata-rata.

BAB VI KOMBI NATORIAL

6.1 PENDAHULUAN Seperti yang telah dibicarakan dalam modul-modul

terdahulu, apabila suatu

eksperimen dilakukan, yang menjadi perhatian kita adalah beberapa kejadian yang 74

Modul statistika dasar menarik dan peluang terjadinya kejadian-kejadian tersebut. Pengertian distribusi peluang adalah himpunan pasangan berurut dari kejadian dan paluang terjadinya kejadian tersebut dimana kejadian tersebut biasanya adalah hasil perhitungan atau hasil pengukuran terhadap hasil eksperimen yang menjadi perhatian. Dalam hal ini perlu dicatat bahwa hasil-hasil yang mungkin dari suatu eksperimen pada umumnnya belum tentu merupakan angka/ bilangan. Sebenarnya menurut urutan yang tepat, maka sebelum kia membahas tentang Peluang maka kita terlebih dahulu kita pelajari tentang bagaima cara atau teknik membilang, menyelesaikan bentuk faktorial suatu bilang dan sampai masuk permutasi dan kombinasi suatu bilangan. Jadi dalam modul ini kita akan membahas khusus tentang materi-materi yang disinggung di atas, ditambah dengan pengulangan beberapa bentuk distribusi peluang. KOMPOTENSI KHUSUS, Diharapkan setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa/i mempu menjelaskan dan menggunakan konsep kombinatorial dalam menyelesaikan masalah-asalah yang berkaitan dengan peluang yang ada dalam kehidupan sehari-hari. 6.2 PENYEJIAN Mencacah Titik Sampel Masalah yang harus kita pikirkan dan coba untuk dievaluasi adalah pengaruh factor kebetulan yang berkaitan dengan terjadinya kejadian-kejadian tertentu bila sebuah percobaan dilaksanakan. Masalah ini termasuk dalam cabang matematika yang disebut peluang. Dalam banyak hal kita akan memecahkan masalah peluang dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang sampel tanpa mendaftarkan dahulu unsurunsurnya.Prinsip dasar mencacah, sering disebut kaidah penggandaan, dan dinyatakan dalam dalil-dalil sebagai berikut : DALIL 1.Kaidah Penggandaan. Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara.

75

Modul statistika dasar Contoh soal Bila sepasang dadu dilempar dilemparkan sekali, berapa banyakkah titik sampel dalam ruang sampelnya? Jawab. Dadu pertama dapat mendarat dalam 6 cara.untuk masing-masing keenam cara itu, dadu kedua dapat mendarat 6 cara pula. Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat mendarat dalam 6 (6) =36 cara. DALIL 2. Kaidah Penggandaan Umum. Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi ke dua dapat dilakukan debgan n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, dan demukian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2…nk cara. Contoh soal

Berapa macam menu makan siang yang terdiri atas sup,

sandwich,desert dan minuman yang dapat dipilih dari 4 macam sup, 3 jenis sandwich, desert dan 4 minuman? Jawab. Banyaknya macam menu makan siang adalah : 4x3x5x4 = 240. DEFINISI Permutasi. Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluhan atau sebagian dari sekumpulan benda.

Perhatikan tiga huruf a,b dan c. kemungkinan permutasinya abc, acb, bac, bca, cab, dan cba. Jadi terdapat 6 susunan yang berbeda. Ada tiga posisi yang harus diisi oleh ke tiga huruf a,b dan c.Jadi, kita mempunyai 3 pilihan untuk posisi pertama, 2 untuk posisi kedua, dan 1 untuk posisi terakhir. Sehingga semuanya ada 3x2x1 = 6 permutasi.Secara umum dari n benda yang berbeda dapat disusun sebanyak n (n1)(n-2)…(3)(2)(1) cara. Perkalian ini kita lambangkan dengan n!. Selain itu didefinisikan 1! =1 dan 0! = 1. DALIL 3. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda adalah n!. Banyaknya permutasi empat huruf a,b,c dan d adalah 4! = 24. DALIL 4. Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang

76

Modul statistika dasar berbeda adalah : nPr

=(

!

)

Contoh soal 18. Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya. Jawab. Banyaknya titik sampel adalah : 20P2

=(

!

)

= (20)(19) = 380.

Contoh Soal. Dari 24 orang anggota suatu perkumpulan akan dipilih pengurus yang susunannya terdiri dari ketua, wakil ketua sekretaris dan bendahara. Jika semua anggota mempunyai hak yang sama untuk menduduki suatu jabatan? Jawab : maka banyaknya susunan pengurus yang dapat dipilih ada 24

p4

 24 .23 .22 .21  255024

DALIL 5. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah ( n – 1).

DALIL 6. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk berjenis ke –k adalah :

!

!

!

!, …

!

Contoh soal Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk pohon natal dari 3 llampu merah, 4 kuning dan 2 biru? Jawab. Banyaknya susunan yang berbeda ada !

! ! !

= 1260

Contoh soal: Banyaknya cara pengaturan duduk 5 orang pejabat di terdepan ada  5.4.3.2.1 5 P5

 120 77

5

kursi baris

Modul statistika dasar Contoh Soal: Banyaknya permutasi dari huruf -huruf dalam kata-kata STATISTIKA ada n

Pns , nT , nA , n I , nk

 10 P2.3.2.2.1

10! 2!3!2!2!1! s 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10  1 .2 .1 .2 .3 .1 .2 .1 .2 .1  75600 

Soal ini dapat juga diselesaikan dengan cara berikut : Jika semua huruf berbeda, maka banyaknya permutasi hurufhuruf " S1T1A1T2I1S2T3I2KA2" ada

9

P9  9 ! . Dilain pihak permutasi huruf-huruf

S1T1A1T2I1S2T3I2KA2 dapat difikirkan sebagai proses gabungan dari proses-proses permutasihuruf-huruf "STATISTIKA", " S1S2" T1T2T3", " A1A2" I1I2"dan dan huruf "K". Dengan demikian menggunakan aturan multiplikatif membilang diperoleh 9

P9

 10 P2 ,3, 2 , 2 ,1 .2!.3!.2!.2!.2!.1!

sehingga 9

P2 ,3, 2 , 2 ,1

 75600

Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya. Pengambilan demikian ini disebut kombinasi. DALIL 7. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah : =

!(

!

)!

atau nCr =

!(

!

)!

Contoh soal Dari 4 orang anggota partai Republik dam 3 oramg anggota partai democrat, hitunglah banyaknya komisi yang terdiri atas 3 orang dengan 2 orang dari Partai Republic dan 1 orang dari partai Demokrat yang dapat dibentuk. Jawab. Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang partai Republik ada : =

!

! !

=6

Banyaknya cara memilih 1 dari 3 orang partai Demokrat ada:

78


=

!

! !

=3

Jadi dengan dalil 1. Kita temukan banyaknya komisi yang dapat dibentuk dengan 2 orang partai Republik dan 1 orang Partai Demokrat adalah (6)(3) = 18. Contoh 3. Dari 12 orang pemain bola basket, a.

Banyaknya tim yang dapat disusun ada 12  12!    5!7! 5 

8.9.10.11.12 1.2.3.4.5  792 

b.

Jika akan disusun dua tim, maka banyaknya tim yang dapat disusun ada 12  12!    5!.5!.2!  5,5,2 

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 1.2.3.4.5.1.2.3.4.5.1.2  16632 

Banyaknya sampel random berukuran n yang dapat diambil dari suatu populasi berukuran N ada

 N   n 



N! n!(N  n)!

Perlu dicatat disini bahwa pada umumnya ukuran populasi N tidak diketahui. Ini bukan berarti bahwa ukuran tersebut tidak ada, tetapi ukuran tersebut besar sekali. 79

Modul statistika dasar Nah ... dengan rumus di atas kalau kita mengambil hanya satu satu sampel random n, tentunya harus disadari bahwa satu yang diambil tersebut adalah satu diantara  N   . Misalnya untuk n = 5 dan N =100, maka satu sampel random yang diambil n  adalah satu diantara

100    5  



100! 5!.95!

96.97.98.99.100 1.2.3.4.5.  760480 

4. Banyaknya cara pengelompokan 9 orang menjadi 3 kelompok dengan masingmasing kelompok terdiri dari 4, 3 dan 2 orang ada 9  9!    4!.3!.2!  4.3.2 

1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.2.3.4.1.2.3.1.2.  1260 

Sampel Dengan Dan Tanpa Pengembalian Dalam mengambil sampel random dari suatu populasi perlu dibedakan bermacammacam sampel menurut cara pengambilannya. karena cara tersebut akan menentukan banyaknya , sampel yang mungkin diambil. Menurut cara pengambilannya dapat dibedakan beberapa macam sampel random sebagai berikut : Sampel yang diambil sekaligus yaitu yang semua elemen-elemennya diambil bersama-sama. Sampel dengan pengembalian, yaitu sampel yang elemen-elemennya diambil satu persatu dengan pengembalian, artinya elemen kedua dan seterusnya diambil setelah elemen sebelumnya dikembalikan, dengan demikian hasil yang sama dalam setiap pengambilan dimungkinkan Sampel tanpa pengembalian, yaitu yang elemen-elemennya diambil satu persatu tanpa pengembalian. Artinya, artinya elemen kedua dan seterusnya diambil tanpa pengembalian elemen sebelumnya. Dengan demikian hasil yang sama dalam setiap pengambilan tidak mungkin. Jika ukuran sampel adalah n dan ukuran populasi adalah N, maka banyaknya sampel yang mungkin untuk :  

 N Sampel yang diambil sekaligus   n  Sampel dengan pengembalian ada Nn 80

Modul statistika dasar  Sampel tanpa pengembalian NPn Contoh Jika dari 10 bola lampu dicoba 2 bola lampu secara random, maka banyaknya pasangan bola lampu yang dapat di coba

a.

Untuk sampel yang coba sekaligus ada 10  10!    2!.8! 2 

9.10 1 .2  45 pasang 

b.

Untuk sampel yang dicoba dengan pengembalian ada 102 = 10.10. = 100

c. 10

P2

Untuk sampel yang dicoba tanpa pengembalian 10!  8!  10.9.  90 pasang

Jika dalam contoh di atas yang dicoba adalah 3 bola lampu secara random, maka banyaknya sampel bola lampu yang dapat dicoba a. Untuk sampel yang coba sekaligus ada 10  10!    3!.7! 3 

8.9.10 1.2.3.  120 

b. Untuk sampel yang dicoba dengan pengembalian ada 103 = 10.10.10 = 1000 c. Untuk sampel yang dicoba tanpa pengembalian 10!  10 P3 7!  10.9.8

 720 81


SOAL LATIHAN 1. Seorang mahasiswa tingkat persiapan harus mengambil masing-masimg satu mata kuliah sains, humaniora, dan matematika.Bila ia tersedia 6 mata kuliah sains, 4 mk. Humsniora, dan 4 mk. Matematika.Berapa banyak cara ia menyusun rencana studinya? 2. Ada berapa macam cara menjawab 9 pertanyaan benar-salah? 3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari kata “ STATISTIKA”? 4. Empat pasang suami-istri membeli 8 karcis yang sebaris untuk suatu pertunjukan konser music, berapa banyak susunan duduk mereka a) Bila tidak ada pembatasan apa-apa? b) Biala setiap pasang suami-istri harus duduk berdampingan? c) Bila kelompok suami duduk disebelah kanan kelompok istri?

BAB VII PENGANTAR PELUANG

7.1 PENDAHULUAN Telah diketahui bahwa Statistika adalah tentang

teori

dan

ilmu atau cabang

ilmu

pengetahuan

penggunaan metode-metode untuk mengumpulkan data

(statistik), menganalisis data tersebut dan menggunakannya

untuk melakukan

inferensi statistik. Dengan memperhatikan bahwa data statistik adalah kumpulan hasil pengukuran atau perhitungan atau pengamatan terhadap obyek-obyek yang menjadi perhatian, dan inferensi statistik adalah proses pengambilan kesimpulan terhada populasi (= 82

Modul statistika dasar keseluruhan/semua obyek yang menjadi perhatian) maka menggunakan statistika adalah menyimpulkan populasi berdasarkan informasi yang diperoleh dari sampel (= sebagian obyek) representatif yang diambil dari populasi tersebut Dalam hal ini baik populasi maupun sampel dapat merupakan kumpulan obyeknya atau data statistik, sedangkan dalam statistik; yang dimaksud dengan data statistik adalah sampel. Karena sampel hanya memberikan sebagian informasi tentang populasinya, maka kesimpulan yang akan dicapai tidak akan benar mutlak. Dengan demikian agar supaya pengambilan kesimpulan dapat lebih dipertanggung jawabkan, diperlukan suatu alat. Alat tersebut adalah apa yang dikenal sebagai peluang. Sebelum sampai pada pembicaraan tentang apa yang dimaksud dengan peluang (= kemungkinan = probabilitas), terlebih dahulu akan disajikan beberapa pengertian yang menunjang pembicaraan tersebut, yaitu : eksperimen, hasil (outcome), ruang sampel dan kejadian (= event). Selanjutnya akan dibahas pula mengenai ekspektasi. Dalam melakukan perhitungan-perhitungan peluang, menghitung banyaknya hasil yang mungkin terjadi jika suatu eksperimen dilakukan akan sangat diperlukan, khususnya, apabila eksperimen tersebut menghasilkan hasil yang cukup banyak atau merupakan suatu proses gabungan dari beberapa proses dengan masing-masing proses dapat dilakukan menurut lebih dari satu cara. Berikut ini akan dibicarakan suatu teknik membilang yang umum, kemudian dilanjutkan dengan beberapa teknik membilang khusus seperti untuk permutasi, kombinasi,dan membilang hasil yang mungkin dari sampel dengan dan tanpa pengembalian. KOMPETENSI KHUSUS, Diharapkan pada akhir perkuliahan nanti mahasiswa/i dapat mengetahui dan memahami konsep dasar tentang peluang, dan dapat menggunakannya dalam pemecahan masalah 7.2PENYAJIAN KONSEP-KONSEP DASAR PELUANG Eksperimen, hasil, ruang sampel dan kejadian

83

Modul statistika dasar 7.1.1

Eksperimen adalah proses yang menghasilkan hasil Pengukuran, perhitungan atau pengamatan. Contoh Melempar sebuah mata uang satu kali. 1.

Melempar sebuah dadu satu kali.

2.

Mengambil dua kelereng dari sebuah kotak berisi 4

kelereng putih, 3

kelereng merah dan 3 kelereng hijau berturutan tanpa pengembalian atau dengan pengembalian. 3.

Mengamati indeks prestasi sekelompok mahasiswa di akhir suatu tahun ajaran tertentu.

4.

Mengambil sampel random berukuran n dari suatu populasi tertentu. Dan lain-lain.

8 Hasil suatu eksperimen adalah hasil yang mungkin terjadi, jika eksperimen tersebut dilakukan. Contoh Berikut ini akan

disajikan berbagai hasil untuk beberapa eksperimen dalam

contoh 2.1.1. 1. Jika eksperimen adalah melempar sebuah mata uang 1 kali suatu hasil adalah M (dapat muka), sedang hasil yang lain adalah B (dapat belakang). 2. Jika eksperimen adalah melempar sebuah mata uang 2 kali maka setiap hasil adalah hasil dari lemparan pertama dan lemparan kedua. Dengan demikian hasil eksperimen ini adalah MM atau MB atau BM atau BB 3. Jika eksperimen adalah mengukur tinggi seseorang, maka hasil eksperimen ini adalah salah satu ukuran antara 164,

dan 165,5, misalnya 165. Ukuran

tersebut adalah suatu hasil. 4. Jika eksperimen adalah mengamati indeks prestasi sekelompok mahasiswa diakhir suatu tahun ajaran tertentu, maka suatu hasil adalah pasangan indeks prestasi kelompok tersebut dengan indeks prestasi masing-masing mahasiswa dalam kelompok tersebut, tertentu.

84

Modul statistika dasar 9 Ruang Sampel suatu eksperimen adalah himpunan semua hasil eksperimen tersebut.  Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel, dibedakan dua macam ruang sampel, yaitu : ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.  Hal lain yang perlu dicatat adalah bahwa penentuan ruang sampel suatu eksperimen, ditulis S, dapat bergantung pada hasil yang diharapkan dari eksperimennya. Misalnya. Dalam eksperimen melempar sebuah dadu satu kali, jika perhatian kita adalah pada mata dadu yang tampak, maka ruang sampelnya adalah S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedangkan jika perhatian kita adalah pada mata dadu tampak genap atau ganjil, maka ruang sampelnya adalah S2 = {genap, ganjil}. Dari contoh ini jelas bahwa informasi yang diperoleh dari S1. lebih jelas dari pada S2, sebab terjadinya suatu hasil dalam S1 pasti dapatmenunjukkan terjadinya hasil dalam

S2 tetapi

tidak

sebaliknya. Dengan demikian timbul

masalah

sebaiknya ruang sampel mana yang dipilih. Biasanya ruang sampel yang dipilih adalah yang setiap hasilnya tidak mungkin "dipecah" lagi. Contoh Untuk eksperimen melempar sebuah mata uang 1 kali, ruang sampelnya adalah S = {M, B}. 1.

Untuk eksperimen melempar sebuah mata uang 2 kali, S = {MB, BM, BB, MM}

2.

Untuk eksperimen melempar sebuah dadu 2 kali, S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66 } atau S ={(x,y)| x = 1, 2,…, 6; y = 1,2, ...,6}

3.

Untuk eksperimen melempar sebuah mata uang berhenti kalau dapat M, S = {M, BM, BBM. ...}.

85

Modul statistika dasar 4.

Untuk eksperimen mengukur tinggi seseorang yang tingginya antara 164,5 dan 165,5, S= {x | 164.5 < x < 165,5 } .

5.

Untuk eksperimen mengamati indeks prestasi 5 mahasiswa disuatu tahun ajaran tertentu, S = {(x1 ,x2 ,x3 ,x4,x5 ) |xi= prestasi mahasiswa ke-i i = 1,2,3, ... }

6.

Untuk eksperimen mengambil sampel random berukuran n dari suatu populasi, S = {(x1 ,x2 ,x3 ,x4,x5 ) |xi= anggota populasi ke-i i = 1,2,3, ... }

Dari contoh-contoh di atas, ruang sampel dalam contoh 2.1.3 nomor 5 adalah ruang sampel kontinu, sedangkan yang lain adalah ruang sampel diskrit. 10 Kejadian adalah suatu himpunan hasil atau suatu himpunan bagian dari ruang sampel. 

Dari definisi di atas jelaslah bahwa baik ruang sampel maupun kejadian kosong juga merupakan kejadian. Kedua kejadian tersebut dikenal sebagai kejadian-kejadian yang tidak sejati.



Menurut banyaknya hasil dalam suatu kejadian, dapat dibedakan dua macam kejadian, yaitu : kejadian sederhana jika hasilnya hanya satu, dan kejadian majemuk jika hasilnya lebih dari satu. Baik kejadian sederhana maupun kejadian majemuk, keduanya merupakan kejadian-kejadian sejati.



Suatu kejadian dikatakan terjadi, jika eksperimen yang dilakukan menghasilkan hasil dalam kejadian tersebut.

Contoh 1. Jika eksperimen adalah melempar sebuah mata uang 2 kali dengan A = kejadian mendapat M pada lemparan pertama, B = kejadian mendapat hasil kedua lemparan sama, C = kejadian mendapat B pada lemparan kedua. 86

Modul statistika dasar maka A = {MB, MM}„ B = {BB, MM} dam C = {MB, BB}. 2. Jika eksperimen adalah meletnpar sebuah dadu 1 kali dengan A = kejadian Mendapat mata genap, B = kejadian mendapat mata ganjil, C = kejadian mendapat mata yang habis dlbagi 3, D = kejadian mendapat mata yang ≤ 6, E = kejadian mendapat mata yang > 6, maka A = {2,4,6}, B ={1,3,5}, C = {3,6}, D = {1,2,3,4,5,6} dan E ={...}. Dari eksperimen dalam contoh 2.1.4. nomor 2 terlihat bahwa D adalah suatu kejadian yang pasti terjadi, sedangkan E adalah suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, jika eksperimen tersebut dilakukan. Kejadian-kejadian A, B dan C adalah contoh kejadian majemuk.

A. Hubungan Antar Kejadian Jika satu eksperimen dilakukan, hal yang biasanya menjadi perhatian adalah kejadian-kejadian sejati. Dengan mengingat bahwa ruang sampel, kejadian dan hasil adalah kejadian khusus dari elemen,

maka

operasi-operasi

semester perbicaraan, maupun

hukum-hukum

himpunan

dan

atau teorema-

teorema antar himpunan akan berlaku pula untuk kejadian. Operasi-operasi tersebut antara lain adalah gabungan (= union) beberapa kejadian, interseksi beberapa kejadian dan komplemen suatu kejadian.

87

Modul statistika dasar Gabungan 2 kejadian A dan B, ditulis AՍB, adalah suatu kejadian yang hasilhasilnya adalah hasil dalam A atau hasil dalam B. 

Jika A dan B tertentu, cara yang mudah untuk menentukan AՍB adalah menggabungkan A dan B (dengan hasil dalam A dan B yang sama hanya ditulis satu kali saja).



A  B  C= (A  B)  C = A U (B  C).

Contoh 2.2.1.

1. Jika eksperimen adalah melempar sebuah mata uang 3 kali dengan A = Hasil ketiga lemparan sama, B = Hasil lemparanIpertama dan ketiga tidak sama, C = M pada lemparan pertama, maka A = {MMM, BBB}, B = {MMB, MBB. BMM, BBM} dan C = {MMM, MMB, MBM, MBB}, sehingga A  B = {MMM, MMB, MBB, BMM, BBM, BBB}, A  C = {MMM, MMB, MBM, MBB, BBB}, B  C = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BBM}.

2. Jika S = (x,y)|0 ≤ x,y ≤ 1} dengan A1 = {(x,y)|0 ≤ x ≤

A2 = (x,y)|0 ≤ y ≤

1 1 , 0≤y≤l}= {<x,y);|0 ≤ x < )}, 2 2

1 }, 2

A3 = {(x,y)|0 ≤ x ≤ y ≤1)}, A4 = {(x,y)|0 ≤ x,y ≤

1 }, 2

Maka 88


A1  A2 = { ((x,y)|0 ≤ x ≤

1 1 } atau {(x,y)|0 ≤ y ≤ }, 2 2

A1  A3 = { ((x,y)|0 ≤ x ≤

1 } {(x,y)|0 ≤ x ≤ y ≤1)} 2

A2  A3 = A3 Ս A4 Interseksi 2 kejadian A dan B, dltulis A  B, adalah suatu kejadian yang hasilhasilnya adalah hasil dalam A yang sekaligus adalah hasil dalam B atau hasil dalam B yang sekaligus adalah hasil dalam A. 

Dengan perkataan lain A  B adalah kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dari A dan B .



Jika A dan B tertentu, cara yang mudah untuk menentukan A  B adalah cari semua hasil yang sama dari A dan B .



Jika A  B =  , A dan B dikatakan saling asing atau merupakan dua kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama-sama.



Jika AՍB = S dan A  B =  , maka A dan B adalah suatu partisi dari S.



A  B  C = (A  B)  C = A  <(B  C)

Contoh Dalam contoh sebelumnya: a. A  B = {MMM, BBB}  {MMB, MBB, BMM, BBM}=  , artinya A dan B tidak mungkin terjadi bersama-sama. Sebenarnya jawaban tersebut juga dapat diperoleh tanpa menentukan terlebih dahulu hasil-hasil A dan hasil-hasil B. Caranya adalah sebagai berikut : Karena A = hasil ketiga lemparan sama dan B = hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama, maka A  B = hasil ketiga lemparan sama dan lemparan pertama dan ketiga tidak sama. Jelas 89

Modul statistika dasar hal ini tidak mungkin terjadi, karena lemparan pertama dan ketiga sama dan lemparan pertama dan ketiga tidak sama tidak akan pernah terjadi bersama. b. A  C ={MMM,BBB}  {MMM,MMB,MBM,MBB} = {MMM} atau

r!

A  C = Hasil ketiga lempar'an sama dan hasil lemparan pertama M = {MMM). c. B  C ={MMB,MBB,BMM,BBM}  {MMM,MMB,MBM, MBB} = {MMB, MBB}. 2.

Dalam contoh 2.2.1 nomor 2, A  B = {2,4,6}  {1,3,5} =  , A  C = {2, 4, 6}  {3,6} = {6}, B  C = {1, 3, 5}  {3,6} = {3}.

3.

Dalam contoh 2.2.1 nomor 3, a.

A  B = jumlah hasil lemparan pertama dan kedua adalah genap dan hasil lemparan pertama ganjil = {11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55}.

b.

A  C = jumlah hasil lemparan pertama dan kedua adalah genap dan hasil kedua lemparan sama = {11, 22, 33, 44, 55, 66} = C.

c.

B  C = hasil lemparan pertama ganjil dan hasil kedua lemparan sama = {11, 33, 55}

4.

Dalam contoh 2.2.1 nomor 4 , a.

A1  A2

= {(x1.y)0≤ x ≤

1 1 }  {(x,y}|0 ≤ y ≤ } 2 2

= {(x,y)|0 ≤ x,y ≤

b.

A1  A3

1 } =A4 2

= {(x1.y)0≤ x ≤

1 }  {(x,y)|0≤ x ≤ y≤1} 2

= {(x,y)|0≤x,y ≤

1 ,0≤ x ≤y ≤1} 2

90


c.

= {(x1,y)0≤ x ≤

1 }  {(x,y)|0≤ x ≤ y ≤1 } 2

= {(x,y)|0≤x,y ≤

1 ,0≤ x ≤y ≤1} 2

A2  A3

Komplemen suatu kedadian A, ditulis Ac, adalah suatu kejadian dalam S yang hasil-hasilnya adalah bukan hasil dari A.  Jelas bahwa A dan Ac tidak mungkin terjadi bersama-sama dan keduanya adalah suatu partisi dari S. 

(Ac)c = A, Sc =  dan  C = S

Contoh 2.2.3.

1.

.

Dalam contoh 2.1.4 nomor 1, 5.

Ac dapat ditentukan dengan dua cara. Cara pertama : Karena S = {MM, MB, BM, BB} dan A = {MM, MB), maka Ac = {BM, BB}. Cara kedua :

6.

Karena A =

Dapat M pada lemparan pertama,

maka Ac

=

tidak dapat M pada lemparan

=

Dapat bukan M pada lemparan pertama

=

{BM, BB}.

pertama

Bc = Dapat hasil kedua lemparan tidak sama = {MB, BM}.

2.

Dalam contoh 2.2.1 nomor 1, a.

Karena S ={MMM,MMB,MBM,MBB,BMM,BMB,BBM,BBB}, dan A

= {MMM, BBB}, maka

Ac

= {MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM}.

Bc

= Hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama 91

Modul statistika dasar = hasil lemparan pertama dan ketiga sama = {MMM, MBM, BMB, BBM}. Cc

b.

= Bukan M pada lemparan pertama ; = {BMM, BMB, BBM, BBB}

3.

Dalam contoh 2.1.3;nomor 3, a. Ac

= Jumlah hasil lemparan pertama dan kedua bukan/tidak genap = Jumlah hasil lemparan pertama dan

kedua ganjil

= {12, 14, 16, 21, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 43, 45, 52, 54, 56, 61, 63, 65} . b. Bc

= Hasil lemparan pertama bukan/tidak ganjil = Hasil lemparan pertama genap = (21,...... 26, 41......, 46, 61, . . .,86} .

c. Cc lebih mudah ditentukan dari hasilnya S

= {11,...,16,21,...26,31,...,36, 41,..,46,51...58,61,....66} yang bukan hasilnya A = {11, 22, 33, 44, 55, 66},

Karena Cc

= hasil kedua lemparan tidak sama, akan sukar untuk dicari tanpa memperhatikan S.

ALJABAR KEJADIAN Berikut ini akan disajikan hukum-hukum atau sifat-sifat yang berlaku untuk bentuk-bentuk hubungan antar kejadian yang telah didefinisikan atau kombinaslnya. Hukum-hukum atau sifat-sifat ini akan berguna dalam melakukan perhitungan-perhitungan antar kejadian, hukum komutatif

:

A  B = B  A, A  B = B  A. 92

Modul statistika dasar hukum asosiatif : A  (B  C)

= (A  B)  C,

A  (B  C) = (A  B)  C. hukum distributif : A  (B  C) = (A  B)  (A  C), A  (B  C)= (A  B)  (A  C). hukum De Morgan : (A  B)c = Ac  Bc, (A  B)c = Ac  Bc. A  S = S,.A  S = A, A   = A, A   =  A  Ac = S, A  Ac =  , A  A = A, A  A = A. A  S = A  (B  BC)

= (A  B)  (A  Bc) dengan

(A  B) dan (A  BC) tidak mungkin terjadi bersama-sama. Disamping kejadian-kejadian yang dapat ditentukan dari gabungan, interseksi atau komplemen, dapat pula ditentukan dari kombinasi antara gabungan, interseksi dam atau komplemen DEFENISI PELUANG Defenisi Peluang Andaikan kejadian A adalah suatu kejadian yang menjadi perhatian kita dengan A ≠ S dan A ≠θ, maka peluang terjadinya A, ditulis P(A), dapat didefinisikan menurut beberapa cara. Definisi Klasik (peluang a priori) Jika suatu eksperimen menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersamasama dan masirig-masing mempunyai peluang yang satna terjadi, maka P(A) =

n( A) n

dengan n(A) = banyaknya hasil dalam A.

93

Modul statistika dasar Jika suatu eksperimen dilakukan. (tanpa suatu keterangan tertentu), maka dianggap bahwa setiap hasil yang mungkin mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Untuk menghitung peluang terjadinya suatu kejadian, misalnya P(A), yang diperlukan hanya n(A) dan n. Dengan demikian, kecuali S dan A juga ditanyakan, sebenarnya tidak perlu dicari. Dilain pihak, untuk eksperimen dengan hasil (yang mungkin) cukup banyak, sebelum S disajikan biasanya lebih baik/mudah jika dihitung dulu banyaknya hasil yang mungkin. Ini dapat dilakukan dengan teknik-teknik membilang yang sudah dibicarakan dalam butir 2.3 . Karena 0≤ n(A) ≤ n, maka 0 ≤ P(A) ≤ 1 . Walaupun definisi tersebut di atas mudah digunakan danmudah dimengerti. perlu diperhatikan bahwa persyaratan mempunyai peluang yang sama dalam praktek mungkin sekali tidak masuk akal. Disamping keterbatasan penggunaannya untuk eksperimen dangan ruang sampel barhingga. Contoh 3.1.1. 1.

Sebuah dadu yang "baik" dilempar satu kali. A = dapat mata genap, B = dapat mata habis dibagi 3, C = dapat mata kurang dari 4. Hitunglah P(A), P(B), P(C), P(A  B), P(B  C) dan P(CC). Jawab : Dadu yang "baik" (dalam keadaan baik) menjamin bahwa setiap hasil yang mungkin terjadi mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Artinya dadu dalam keadaan seimbang. Karena S = (1,2,3,4,5,6}. A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}, C {1, 2, 3}, m

94

Modul statistika dasar maka A  B = {2, 4, 6}  {3, 6}= {2, 3, 4, 6}, B  C = {3,6}  {1, 2, 3} = {3}, Cc

= {4, 5, 6}.

Dengan demikian n

= n(S) = 6,

n(C c )

= 3,

n(B)

= 2,

n(C)

= 3,

n(A  B) = 4, n(B  C) = 1, n(Cc)

2.

= 3,

p(A)



p(B)



p(C)



p(A  B)



p(A  B)



p(C c )



sehingga

n(A) 3 1   n 6 2 n(B) 2 1   n 6 3 n(C) 3 1   n 6 2 n(A  B) 4 2   n 6 3 n(A  B) 1  dan n 6 c n(C ) 3 1   n 6 2

Sebuah mata uang yang "baik" dilempar tiga kali, A = dapat M pada lemparan pertama, B

= dapat hasil ketiga lemparan sama dan

C

= dapat hasil lemparan pertama dan ketiga tidak sama.

Hitunglah P(A), P(B), P(C), P(A  B), P(B  C) Jawab : Karena

95

Modul statistika dasar S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB. BBM. BBB}. A = {MMM, MMB, MBM,MBB}, B = {MMM, BBB} dan C = {MMB, MBB, BMM, BBM}, maka A  B = {MMM, MMB, MBM, MBB}  {MMM, BBB} = {MMM, MMB, MBM, MBB, BBB}, B  C = {MMM, BBB}  {MMB, MBB, BMM, BBM} =  . Dengan demikian n = 6, n(A) = 4, n(B) = 2, n(A  B) = 5 dan n(B  C)=0, sehingga p(A)

n(A) 4  n 6 n(B) 2   n 6 n(A  B)  n n(A  B)  n 

p(B) p(A  B) p(A  B)

2 3 1  3 5  6 

0

Definisi Empiris (peluang a posteriori) Peluang terjadinya kejadian A dari suatu eksperimen adalah frekuensi relatif terjadinya A, jika eksperimen tersebut dilakukan/diulang sebanyak kali mungkin. Artinya : n A n  n

P ( A)  lim

dengan n(A) = banyaknya hasil dari A dalam n ulangan.

96

Modul statistika dasar Difenisi ini sebenarnya lebih masuk akal, sebab tidak diperlukan persyaratan "berat" seperti pada definisi klasik. Tetapi suatu keberatannya adalah eksperimen harus/dapat dilakukan sebanyak kali mungkin. Definisi ini biasanya

digunakan

sebagai

interpretasi dari definisi klasik

dan sebaliknya Contoh 3.1.2. 1. Jika peluang penerbangan Yogyakarta-Bandung tepat waktu adalah 0,84 , artinya : dari pengamatan yang cukup lama terhadap penerbangan Yogyakarta-Bandung, 84% menunjukkan penerbangan, tepat waktu. 2. Jika ramalan cuaca mengatakan peluang besok hujan adalah 30%, artimya : jika keadaan cuaca dari hari ke- hari tidak berubah, 30% hari diantaranya hujan. 3. Untuk mengatakan bahwa peluang seorang ibu melahirkan bayi lakilaki adalah 75% atau 10%, tidak mungkin diparoleh dari mengamati satu kelahiran saja. Tetapi harus diperoleh dari mengamati kelahiran Ibu-Ibu yang "cukup banyak" dan dalam keadaan kondisi yang sama. Definisi Subyektif Peluang subyektif terjadinya suatu kejadian adalah peluang yang ditentukan berdasarkan pertimbangan-pertimbangan subyektif. Biasanya dilakukan apabila definisi-definisi obyektif tidak dapat digunakan, misalnya dalam keadaan dimana eksperimen belum/tidak pernah dilakukan. Sangat subyektif kepada pertimbangan seseorang. Biasanya menunjukkan keyakinan terhadap terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang menjadi perhatian. Contoh 3.1.3. 1. Berapakah peluang isteri saya mencintai saya ? 2. Berapakah Peluang perang dunia ketiga akan meletus tahun depan ? Definisi Aksiomatis

97

Modul statistika dasar Andaikan S adalah ruang sampel suatu eksperimen ,A

adalah klas/himpunan

semua kejadian dan P adalah fungsi berharga nyata yang didefinisikan pada A dengan kodomain interval [0,1], maka P adalah fungai peluang dan P(A) adalah peluang terjadinya kejadian A , jika dipenuhi : (A,1) P(A) = 0 , untuk setiap A  A (A,2) P(s) = 1 (A,3) Jika A1, A2, . . . adalah barisan kejadian saling asing dengan A1  A 

(yang artinya untuk Ai  Aj=  untuk i≠j,i, j = 1, 2,... ) dan Ai  Aj =  Ai  A i 1

maka    P  Ai    P ( Ai ) i 1  i 1

A adalah suatu aljabar (= aljabar Boole), kejadian dalam ruang sampel S yang

yaitu

keluarga/himpunan semua

mempunyai sifat-sifat :

(i)

SA ,

(ii)

Jika A  A, maka Ac

(iii)

Jika A1 dan A2  A, maka A1  A2  A

A

Atau A hádala statu aljabar sigma, jika sifat (iii) dalam aljabar diganti dengan 

(iii) jika Jika A1,A2, …..  A, maka  Ai  A i 1

Perlu dicatat bahwa suatu aljabar-sigma adalah aljabar, tetapi sebaliknya, P(  ) = 0. Bukti: Ambil A =  , A2=  ; maka menggunakan (iii)     P(  ) = P  Ai    P ( Ai )   P ( ) i 1  i 1 i 1

98

tidak

Modul statistika dasar yang hanya akan dipenuhi, jika Pembelajaran(  ) = 0 Jika jika Jika A1,A2,

…..,An

adalah kejadian-kejadian

yang

tidak

mungkin terjadi bersama-sama (= saling asing) dalam A, Maka    P  Ai    P ( Ai ) i 1  i 1

Jika S adalah suatu ruang sampel diskrit, dengan sifat (A.3) maka peluang terjadinya suatu kejadian adalah jumlah peluang setiap hasil dalam kejadian tersebut, ditulis n(A)

P(A)   P(h i ), h i  A dan i  1, 2, 3,..., n(A). i 1

=

1 1 1 + + 4 4 4

=

3 4

RUANG SAMPEL Dalam statistic kita menggunakan istilah percobaan bagi sembarang proses yang membangkitkan data. Misalnya suatu percobaan pelemparan sekeping mata uang. DEFINISI Ruang Sampel. Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S. Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel disebut unsure atau anggota ruang sampel atau biasa juga disebut titik sampel. Seandainya banyaknya unsure ruang sampel itu terhingga, kita mungkin dapat mendaftarkan unsure-unsur tersebut dengan menggunakan koma untuk memisahkan setiap unsure, dan menutupnya dengan dengan dua kurung kurawal.Jadi ruang sampel S bagi percobaan pelemparan dekeping uang logam, dapat kita tuliskan sebagai : S = { G, A}, dengan G dan A masing-masing menyatakan “sisi gambar” dan “sisi angka”. Contoh soal 11. Sebuah percobaan pelemparan sebuah dadu berisi enam. Tentukan ruang sampelnya. 99

Modul statistika dasar Jawab:

S = {1,2,3,4,5,6}.

Contoh soal 12. Misalkan tiga produk diambil secara random dari suatu proses produksi dipabrik.kemudian setiap produk tersebut diperiksa apakah cacat ( C ) atau tidak cacat ( T ). Tentukan ruang sampelnya. Jawab. Untuk mendaftarkan semua anggota ruang sampel yang mengandung imformasi maksimum, kita buat diagram pohon sbb.

Jadi Ruang sampelnya adalah: S = { CCC,CCT,CTC,CTT,TCC,TCT,TTC,TTT } Ruang sampel yang besar atau tak hingga paling baik diterangkan melalui suatu pernyataan atau yang dikenal sebagai notasi pembangun himpunan. Misalnya, bila kemungkinan hasil percobaan berupa himpunan kota-kota di dunia yang dihuni oleh lebih dari 1 juta penduduk, maka ruang sampelnya dapat ditulis sbb. S = { x|x adalah kota berpenduduk lebih dari 1 juta jiwa } KEJADIAN

DEFINISI Kejadian. Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Untuk suatu kejadian, kita membentuk sebuah kumpulan titik sampel yang merupakan himpunan bagian ruang sampel. Himpunan bagian ini mencakup semua anggota ruang sampel yang menyusun kejadian itu. Contoh soal 12. Bila diketahui ruang sampel S = { t|t ≥ 0 }, sedangkan t adalah umur (tahun) komponen elektronik tertentu. Maka kejadian A adalah komponen tersebut rusak 100

Modul statistika dasar sebelum akhir tahun ke limadapat dinyatakan debagai himpunan A = { t|0 ≤ t < 5 }, himpunan A adalah himpunan bagian ruang sampel S. DEFINISI Kejadian sederhana dan kejadian majemuk.Bila suatu kejadian dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari suatu titik sampel, maka kejadian itu disebut kejadian sederhana. Sedangkan kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian sederhana. Contoh soal 13. Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu Bridge dapat dinyatakan sebagai A = { hati} yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S = {hati, sekop, klaver, wajik}. Jadi A adalah kejadian sederhana. Kejadian B yaitu terambilnya kartu merah merupakan kejadian majemuk, karena B= {hati ∪ wajik} = { hati, wajik}.

DEFINISI Ruang Nol. Ruang nolatau ruang kosong atau himpnan kosong adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung satupun anggota.Kejadian ini kits beri lambang khusus ∅. Seandainya A adalah kejadian terlihatnya organisme mokroskopik dengan mata telanjang dalam suatu percobaan biologis, maka A =

∅.

Juga, jika B = { x|x adalah

factor bukan prima dari 7 selain 1 }, maka B pasti himpunan kosong, karena factor bagi 7 adalah 1 dan 7 sedangkan 7 bilangan prima.

Hubungan antara kejadian dan ruang sampel dapat digambarkan dengan diagram Venn, sebagai berikut :

101

Modul statistika dasar Dalam diagram Venn, ruang sampel digambarkan sebagai empat persegi panjang, sedangkan kejadian digambarkan sebagai lingkaran-lingkaran di dalam persegi panjang tersebut.misalnya dalam gambar di atas, kejadian-kejadian A, B dan C semuanya merupakan himpunan bagian ruang sampel S. Pengolahan Terhadap Kejadian Sekarang kita akan mempelajari pengo;ahan terhadap kejadian yang akan menghasilkan kejadian baru.Kejadian bari itu akan tetap merupakan himpunan bagian dari ruang sampel semula. DEFINISI Irisan Dua Kejadian. Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A ∩ B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B.

Unsur-unsur dalam himpunan A ∩ B mewakili terjadinya secara sekaligus

kejadian A dan B, oleh karena itu haruslah merupakan unsure-unsur, dan hanya unsureunsur yang termasuk dalam A dan B sekaligus. Unsure-unsur tersebut dapat didefinisikan menurut kaidah A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈ B}, lambing ∈ berarti “anggota” atau “termasuk dalam". Dalam diagram Venn daerah yang diwarnai merupakan A ∩ B.

Contoh soal 14. Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,4,6,8}, maka jawab: A ∩ B = {2,4}

DEFINISI Kejadian Saling Terpisah. Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah bila A ∩ B = ∅, A dan B tidak memiliki unsur persekutuan. 102

Modul statistika dasar Dua kejadian saling terpisah A dab B diilustrasikan dengan diagram Venn berikut:

Dengan mewarnai kedua daerah yang mewakili kejadian A dan Bkita melihat bahwa tidak ada daerah irisan keduanya yang mewakili kejadian A ∩ B.

Contoh soal 14. Misalkan sebuah dadu dilemparkan. Misalkan pula A adalah kejadian munculnya bilangan genap dan B adalah kejadian munculnya bilangan ganjil. Maka Kejadian A = {2,4,6} dan B= {1,3,5} tidak memiliki titik persekutuan karena bilangan ganjil atau genap tidak mungkin muncul bersamaan pada satu kali lemparan sebuah dadu.

DEFINISI Paduan Dua Kejadian.Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan A ∪ B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduannya.

Unsur-unsur A ∪ B dapat didefinisikan menurut kaidah A ∪ B = {x|x ∈ A atau x

∈ B}. Pada diagram Venn daerah yang diwarnai mewakili kejadian A ∪ B.

103


Contoh soal 15. Jika A = { 2,3,5,8} dan B = { 3,6,8}, maka A ∪ B = { 2,3,5,6,8}.

DEFINISI Komplemen Suatu Kejadian. Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A. kita lambangkan komplemen A ini dengan A’. Anggota A’ dapat didefinisikanmenurut kaidah A’ = {x|x ∈ S dan x ∉ A}. Pada

diagram Venn kejadian A’ diwakili oleh daerah yang diarsir.

Akibat dari definisi-definisi sebelumnya maka muncul dalil-dalil sebagai berikut :

1. A ∩ ∅ = ∅ 2. A ∪ ∅ = A 3. A ∩ 4. A ∪

’ ’

=∅

5. S’ = ∅ ’

6. ∅ = S ’ ’

7. ( ) = A

=S

104

Modul statistika dasar SOAL LATIHAN 1.

Sepasang pengantin baru merencanakan untuk mempunyai 3 anak. Daftarkan ruang sampel S1 dengan menggunakan huruf L untuk “ laki-laki” dan P untuk “perempuan”.Selain itu buat pula ruang sampel S2 yang unsur-unsurnya menyatakan banyaknya anak perempuan.

2.

Misalkan sebuah keluarga hendak berkemah, Misalkan M adalah kejadian mereka mendapat kesulitan mekanis pada kemahnya, T kejadian mereka terkena denda pelanggaran lalu lintas, dab V adalah kejadian bahwa mereka sampai di bumi perkemahan dan ternyata tidak ada tempat yang kosong.Dengan melihat diagram dibawah ini, nyatakan dalam kata-kata kejadian yang diwakili oleh daerah-daerah : a)

Daerah 5

b)

Daerah 3

c)

Daerah 1 dan 2 bersama-sama

d)

Daerah 4 dan 7 secara bersama-sama

e)

Daerah 3,6,7 dan 8 bersama-sama.

BAB VIII DISTRIBUSI PELUANG

8.1 PENDAHULUAN Seperti yang telah dibicarakan dalam bagian-bagian terdahulu, apabila suatu eksperimen dilakukan, yang menjadi perhatian kita adalah beberapa kejadian yang

105

Modul statistika dasar menarik dan peluang terjadinya kejadian-kejadian tersebut. Pengertian distribusi peluang adalah himpunan pasangan berurut dari kejadian dan peluang terjadinya kejadian tersebut dimana kejadian tersebut biasanya adalah hasil perhitungan atau hasil pengukuran terhadap hasil eksperimen yang menjadi perhatian. Dalam hal ini perlu dicatat bahwa hasil-hasil yang mungkin dari suatu eksperimen pada umumnnya belum tentu merupakan angka/ bilangan. Dalam modul ini akan diuraikan distribusi tentang peluang yang terdiri dari beberapa distribusi diskrit antara lain adalah Distribusi Seragam, Distribusi Binom dan Multinom, Distribusi Hipergeometrik, Distribusi Binom Negatif dan Distribusi Geometrik, Distribusi Poisson.

KOMPETENSI DASAR, Diharapkan pada akhir perkuliahan ini mahasiswa dapat mengetahui dan memahami manfaat dari masing-masing distribusi dalam distribusi peluang, dan juga dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari – hari. 8.2 PENYAJIAN A. DISTRIBUSI PELUANG 8.3 Pengertian Peubah Random DEFINISI Peubah Random. Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel disebut peubah random.

Kita akan menggunakan huruf capital, misalnya X, untuk melambangkan suatu peubah random, dan huruf kecilnya dalam hal ini x, untuk menyatakan salah satu di antara nilainilainya. Conto soal 31. Dua kelereng diambil berturut-turut tanpa pemulihan dari sebuah kantung yang berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng hitam. Hasil-hasil percobaan yang mungkin berikut nilai y bagi peubah random Y, yang menyatakan banyaknya kelereng merah yang terambil adalah Ruang Sampel

y

106

Modul statistika dasar MM

2

MH

1

HM

1

HH

0

DEFINISI Ruang Sampel Diskret. Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsure yang tidak pernah berakhir, tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah, maka ruang itu disebut ruang contoh diskret.

DEFINISI Ruang Sampel Kontinu. Bila suatu ruang sampel mengandung takhingga banyaknya titik sampel yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis, maka ruang itu disebut ruang sampel kontinu.

Peubah random kontinu digunakan untuk data yang diukur, misalnya tinggi, bobot, suhu, jarak, atau umur sedangkan peubaha random diskret digunakan untuk data yang berupa cacahan, misalnya banyaknya produk yang cacat, banyaknya kecelakaan per tahun di nsuatu provinsi.

8.4 Distribusi Peluang Diskret Suatu peubah random dinyatakan dalam sebuah rumus. Rumus itu merupakan fungsi nilai-nilai x, oleh karena itu kita akan melambangkan dengan f(x), g(x), r(x) dan sebagainya. Jadi f(x) = P(X = x); misalnya f(3) = P(X = 3). Himpunan semua pasangan berurutan (x,f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang bagi peubah random X. DEFINISI Distribusi Peluang Diskret. Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah random diskret berikut peluangnya, disebut distribusi peluang diskret.

107

Modul statistika dasar Conto soal 32. Tentukan distribusi peluang bagi jumlah bilangan bila sepasang dadu dilemparkan. JAWAB. misalkan X adalah peubah random yang menyatakan jumlah bilangan dari kedua dadu tersebut. Maka X dapat mengambil sembarang nilai bulat dari 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam (6) (6) = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1.36. P(X = 3) = 2/36, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara. Dengan memperhatikan kemungkinan nilai-nilai lainnya, kita akan mendapatkan distribusi peluang di bawah ini : X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 P(X=x)

Comtoh soal 33. Tentukan rumus bagi distribusi peluang banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilempar 4 kali. Jawab. Karena ruang sampelnya mengandung 24 = 16 titik ssampel, maka penyebut bagi bagi peluangnya adalah 16, dan semua titik sampel ini mempunyai peluang terjadi yang sama. Untuk menghitung banyaknya cara mendapatkan, misalnya 3 sisi gambar, kita perlu memperhatikan banyaknya cara menyekat 4 hasil percobaan ke dalam 2 sel, dengan 3 sisi gambar dalam sel yang satu dan satu sisi angka dalam sel lainnya. Ini dapat dilakukan dalam terjadi dalam

4

4 = 4 cara.secara umum x sisi gambar dan 4 – x sisi angka dapat 3

cara, dengan x dapat bernilai 0,1,2,3,atau 4.jadi fungsi peluangnya f(x)

= P(X=x) adalah : F(x) =

, umtuk x = 0,1,2,3,4

8.5 Distribusi peluang kontinu Peubah random kontinu berpeluang nol untuk mengambul tepat salah satu nilainya. Akibatnya, distribusi peluangnya tidak dapat diberikan dalam bentuk table. Perhatikan peubah random yang menyatakan tinggi badan semua orang berusia di 108

Modul statistika dasar atas 21 tahun. Antara dua nilai tinggi sembarang, misalnya 163.5 dan 164.5 cm.terdapat tak hingga banyaknya tinggi, dan hanya satu yang tepat 164 cm. peluang mengambil secara randomorang yang tingginya tepat 164 cm, dan bukan salah satu dari takhingga banyaknyatinggi yang sangat dekat dengan 164 cm tetapi yang tidak dapat lagi dibedakanoleh nanusia, adalah sangat kecil sekali. Sehingga kita memberikan peluang nol pada kejadian tersebut.Tetapi bila kita bicarakan peluang terambilnya seseorang yang tingginya sekurang-kurangnya 163 cm tetapi tidak lebih dari 165 cm. dalam hal ini kita berhadapan dengan sebuah selang nilai peubah random, dan bukan tepat satu nilai peubah random. Untuk menghitung peluang bagi berbagai selang peubah random kontinu seperti P(a < X < b), P(W>c), dan lain sebagainya. Bila X kontinu, maka

P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) + P(X = b) = P(a < X < b)

Distribusi peluang bagi peubah random kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk table tetapi dapat dinyatakan dalam bentuk rumus. Rumus itu merupakan fungsi nilai-nilai peubah random kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinu. Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva disebut fungsi kepekatan peluang atau fungsi kepekatan atau fungsi densitas.

Beberapa bentuk funsi kepekatan :

109


Gambar 4.3 a. Beberapa bentu fungsi kepekatan

Gambar 4.3b. P(a < X < b)

Fungsi kepekatan peluang dibuat sedemikian sehingga luas daerah dibawah kurvadan di atas sumbu x sama dengan 1. Bila suatu fungsi kepekatan dinyatakan oleh kurva di atas, maka peluang X mengambil nilai antara a dan b sama dengan luas daerah yang diarsir yang terletak diantara X= a dan X=b dibawah fungsi kepekatannya.

DEFINISI Fungsi Kepekatan Peluang. Fungsi f 110

disebut fungsi kepekatan

Modul statistika dasar peluangbagi peubah random kontinu X bila luas darah dibawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1, dan bila luas daerah dibawah kurva antara x=a dan x=b menyatakan peluang X terletak antara a dan b.

Contoh Soal 34. Sebuah peubah random kontinu X yang mengambil nilai antara x=2 dan

x=4 mempunyai fungsi kepekatan peluang : f(x) =

,

a) Perlihatkan bahwa P(2 < X < 4), b) Hitunglah P ( X < 3.5),

c) Hitunglah P( 2.4 < X < 3.5 ),

JAWAB.

a) Perhatikan gambarnya:

Karena daerah yang dihitami dalam gabar di atas adalah berupa sebuah trapezium, maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi yang sejajar digandakan dengan alasnya dan kemudian dibagi 2.

Luas = =

(jmlah sisi sejajar) X alas 2 [ ( )

( )]( )

Sekarang, karena f(2) = 3/8 dan f(4) = 5/8,maka P(2 < X < 4) = b) Lihat gambar berikut:

111

( )

=1


Sudah diperoleh bahwa f(2) = 3/8, maka f(3.5) = 4.5/8. Sehingga luas daerah yang diarsir adalah P ( X < 3.5) =

.

( . )

= 0.70

c) Kita peroleh bahwa f(2.4) = 3.4/8 dan f(3.5) = 4.5/8, dapat dilihat pada gambar di bawah bahwa: P( 2.4 < X < 3.5 ) = =

.

.

( . )

= 0.54

8.6 Distribusi Peluang Bersama Bila X dan Y adalah dua peubah random diskrit, distribusi peluang bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang pasangan nilai (x,y)yang dapat diambil oleh peubah random X dan Y.Fungsi ini biasa disebut distribusi peluang bersama bagi X dan Y. jadi, dalam kasus peubah random diskrit : F(x,y) = P(X=x, Y=y) Artinya nilai f(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan.

112

Modul statistika dasar DEFINISI Distribusi Peluang Bersama. Suatu table atau rumus mendaftarkan semua kemungkinan nilai x dan y bagi peubah random diskrit X dan Y , berikut peluang padanannya f(x,y), disebut distribusi peluang bersama

Contoh soal 35. Dua isi bolpoin dipilih secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 isi bolpoin biru, 2 merah dan 3 hijau.Bila X adalah banyaknya isi bolpoin biru dan Y banyaknya isi bolpoin merah yang terpilih, tentukan : a) Fungsi peluang bersama f(x,y), dan b) P [(X,Y) ∈ A],sedangkan A = {(x,y) x + y ≤ 1 }

JAWAB.

a) Semua pasangan kemungkinan nilai (x,y) adalah (0,0), (0,1), (1,0),(1,1),(0,2),dan (2,0). Sekarang f(0,1) misalnya menyatakan peluang terambilnya isi bolpin hijau dan merah. Banyaknya cara mengambil 2 dari 8 isi bolpoin adalah

8 = 28. 2

Banyaknya cara mengambil 1 dari 2 isi bolpoinmerah dan 1 dari 3 isi bolpoin hijau adalah

2 1

3 = 6. Sehingga f(0,1) = 6/28 = 3/14. Perhitungan yang sama 1

akan menghasilkan peluang bago kemungkinan hasil lainnya, seperti disajikan dalam table berikut

Distribusi Peluang bersama untuk contoh soal 35.

Distribusi peluang bersama dari table di atas adalah : f (x,y) =

, untuk X = 0.1,2; Y = 0,1,2; 0 ≤X + Y≤ 2

b) P [(X,Y) ∈ A] = P(x + y ≤ 1)

113

Modul statistika dasar = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 3/28 + 3/14 + 9/28 = 9/14 DEFINISI Distribusi Bersyarat. Distribusi bersyarat bagi peubah random diskret Y, untuk X= x , diberikan menurut rumus : ( , )

f(y x) =

( )

, g(x) > 0

Begitu pula, Distribusi bersyarat bagi peubah random diskrit X, untuk Y = y diberikan rumus : f(x y) =

( , )

, h(y) > 0

( )

Contoh Soal 36. Dari contoh soal 35, tentukan f(x tentukan pula P(X= 0

1) untuk semua nilai x dan

Y = 1).

Jawab. Pertama-tama kita hitung h(1) = f(0,1) + f(1,1) + f(2,1) = 3/14 + 3/14 + 0 = 3/7 Sekarang, f(x 1) = f(0

( , ) ( )

= 7/3 f(x,1),

x= 0,1,2. Sehingga,

1) = 7/3 f(0,1) = (7/3)(3/14) = ½

f(1 1) = 7/3 f(1,1) = (7/3)(3/14) = ½ f(2

1) = 7/3 f(2,1) = (7/3)(0) = 0,

dan distribusi bersyarat X, untuk Y = 1, adalah x f(x 1)

0

1

2

½

½

0

Dan terakhir, P(X= 0

Y = 1) = f(0

1) = ½.

114

Modul statistika dasar DE DEFINISI Dua Buah Peubah Random yang Bebas. Peubah random X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika F(x,y) = g(x)h(y) Untuk semua kemungkinan nilai X dan Y.

Contoh Soal 37. Tunjukkan bahwa kedua peubah random dalam cotoh 35 tidak bersifat bebas. JAWAB. Baiklah kita perhatikan titik (0.1). dari table distribusi peluang bersama contoh 35 kita mengetahui ketiga nilai peluang f(0.1), g(0), dan h (1) adalah f(0.1) = g(0) = ∑ h(1) =

,

∑

( , )=

( , 1) =

Jelas bahwa, F(0.1) ≠ g(0)h(1),

+

+

=

+ 0= .

+

,

Sehingga X dan Y tidak bebas.

8.7 Nilai tengah Peubah Random DEFINISI Nilaitengah suatu Peubah Random. Misalkan X adalah peubah random diskret dengan Distribusi peluang x

. . .

P(X = x) f( ) f( ) . . . f(

)

Maka nilaitengah atau nilai harapan bagi X adalah = ( )= ∑

( ).

115

Modul statistika dasar Contoh Soal 38. Tentukan nilai harapan bagi X bila X menyatakan hasil yang diperoleh bila sebuah dadu setimbang dilemparkan. JAWAB. Masing-masing bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dapat terjadi dengan peluang 1/6. Maka = ( ) = (1)(1/6) + (2)( 1/6) + . . . + (6)( 1/6) = 3.5.

Artinya secara rata-rata kita memeperoleh 3.5 perlemparan. Contoh Soal 39. Dalam sebuah permainan judi, petaruh akan mendapat 5 dolar bila hasil dari 3 lemparan sebuah uang logam adalah gambar semua atau angka semua, tetapi Ia harus membayar 3 dolar bila hasilnya adalah 1 atau 2 sisi gambar. Berapa penerimaan harapan bagi petaruh tersebut? Jawab. Ruang sampel bagi pelemparan 3 uang logam sekali, atau yang setara dengan 1 uang logam dilemparkan 3 kali, adalah : S ={ GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}, kita dapat mengajukan alasan bahwa masing-masing itu mempunyai peluang terjadi yang sama, yaitu sebesar 1/8. Pendekatan lain adalah menerapkan kaidah penggandaan peluang bagi kejadian yang bebas untuk setiap unsure ruang sampel S. misalnya : P( GGA) = P(G)P(G) P(A) = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8. Peubah randomnya adalah Y, banyaknya uang yang dapat dimenangkan oleh petaruh, dan kemungkinan nilai bagi Y adalah 5 dolar bila yang terjadi adalah kejadian E1 = {GGG,AAA}

dan

-3

dolar

bila

yang

terjadi

adalah

E2

={

GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG}.karena E1 dan E2 masing-masing mempunyai peluang terjadi ¼ dan ¾, maka = ( ) = (5)(1/4) + (-3)( 3/4) = -1,jadi dalam permainan ini, secara rata-

rata petaruh itu kalah 1 dolar per pelemparan 3 uang logam.

Contoh soal 40. Tentukan nilai harapan banyaknya orang laki-laki dalam sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang, yang diambil secara random dari 4 laki-laki dan 3 perempuan. 116

Modul statistika dasar Jawab. Misalkan X melambangkan banyaknya laki-laki dalam penitia tersebut: f(x) =

, untuk x = 0, 1, 2,3

Perhitungan sederhana menghasilkan f(0) = 1/35, f(1) = 12/35, f(2) = 18/35, dan f(3) = 4/35. Sehingga

= ( ) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 1.7

Jadi, bila sebuah panitia 3 orang yang diambil secara random berulang-ulang dari 4 lakilaki dan 3 perempuan, secara rata-rata akan berisi1.7 laki-laki.

DALIL 1. Nilai Tengah Fungsi satu peubah random. Misalkan X adalah suatu peubah random Diskret dengan distribusi peluang : x

. . .

P(X = x) f( ) f( ) . . . f(

)

Maka nilai tengah atau nilai harapan peubah random g(X) adalah

( )

= [ ( )] =

( ) ( ).

Contoh soal 41. Misalkan banyaknya mobil X, yang dicuci disuatu tempat penyucian mobil antara pukul 16:00 dan 17:00 pada setiap hari jumat yang cerah mempunyai distribusi peluang x

4

P(X = x) 1/12

5

6

7

8

9

1/12

¼

¼

1/6

1/6

Bila g(x) = 2X – 1 menyatakan uang yang dibayarkan, dalam dolar, oleh manager kepada petugas pencuci, tentukan penerimaan harapan petugas encuci mobil pada periode waktu tersebut. Jawab. Menurut dalil 1 di atas, petugas itu dapat mengharapkan untuk: E[g(X) ] = E (2X -1) = ∑

(2 − 1) ( )

= (7)(1/12) + (9)(1/12) + (11)(1/4) + (13)(1/4) + (15)(1/6) + (15)(1/6)

117

Modul statistika dasar = 12.67 Dolar. DEFINISI Nilai Tengah Fungsi Dua Peubah Random. Misalnya X dan Y keduanya merupakan peubah random diskret dengan peluang bersama f(x,y). Untuk x = x1, x2, …xn. dan Y = y1,y2, …, yn. Maka nilai tengah atau nilai harapan bagi peubah random g(X,Y) adalah

( , )

= [ ( , )] =

,

(

,

)

Contoh Soal 42. Misalkan X dan Y adalah peubah random dengan distribusi bersama seperti yang diberikan contoh soal 36. Carilah nilai harapan bagi g(X,Y) =XY. Jawab. Menurut definisi di atas, E(X)(Y) = ∑

∑

(

,

)

= (0)(0)f(0,0) + (0)(1)f(0.1)+ (0)(2)f(0,2) + (1)(0)f(1,0) + (1)(1)f(1,1) + (2)(0)f(2,0) = f(1,1) = 3/14

8.8 Ragam Suatu Peubah Random Sautu populasi yang pengamatannya terdiri atas nilai-nilai peubah random X,s bila suatu percobaan diulang terus menerus tak hingga kali, tidak hanya memiliki nilai tengah

seperti yang telah didefinisikan, tetapi juga memiliki ragam yang

dilambangkan dengan

atau

.Ragam populasi ini kita sebut dengan ragam

peubah random X atau ragam distribusinya:

118


DEFINISI Ragam Peubah Random. Bila X adalah peubah random dengan distribusi peluang: x

. . .

F (x)

f( ) f( ) . . . f(

)

Maka ragam bagi X adalah =

[(

− ) ]= ∑

(

− )

( )

Contoh soal 43. Hitunglah ragam peubah random X dalam contoh soal 40. X menyatakan banyaknya laki-laki dalam sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang yang diambil secara cak dari 4 orang laki-laki dan 3 perempuan. Jawab. Dalam contoh soal 10 telah diperoleh bahwa =

( − )

= 12/7. Maka ( )

= (0 – 12/7) (1/35) + (1 – 12/7) (12/35)

+ (2 – 12/7) (18/35) + (3 – 12/7) (4/35).

= 24/4 DALIL 2. Rumus Hitung Bagi menurut rumus

.Ragam bagi peubah random X dapat dihitung

= E(X2) -

2

Latihan : Buktikan dalil 2 di atas dengan rumus kaidah penjumlahan pada bab I. Contoh soal 44. Peubah random X, yang menyatakan banyaknya peluru roket yang gagal bila 3 peluru demikian ditembakkan, mempunyai distribusi peluang sebagai berikut:

119


x

1

0

P(X = x) 0.51

2

0.38

3

0.10

0.01

Dengan menggunakan dalil 2, hitunglah σ . Jawab. Pertama-tama kita hitung : = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61, sehingga; E(X2) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (4)(0.10) + (9)(0.01) = 0.61 Jadi,

= E(X2) -

2

= 0.87 – (0.16)2 = 0.4979 DALIL 3. Ragam Fungsi Satu Peubah Random. Misalkan peubah random X mempunyai distribusi peluang berikut : x f (x)

. . . f( ) f( ) . . . f(

)

Maka ragam random g (X) adalah ( )

= E{[g(X) -

2

( )]

}=∑

[( ( ) −

( ) )]

( )

Contoh soal 45. Hitunglah ragam g(X) = 2X + 3, bila X merupakan peubah random dengan distribusi peluang :

120

Modul statistika dasar x

0

f( x)

1/4

1

2

3

1/8

1/2

1/8

Jawab. Pertama-tama kita harus menghitung nilai tengah peubah random 2X + 3, menurut dalil 1.

= [2 + 3] = ∑

Sekarang, dengan menerapkan dalil 3.kita peroleh : (

)

= E{[(2X + 3) -

)]

= E {[(2X + 3) – 6 ]2}

2

(2 + 3) ( ) = 6

}

= E ( 4X2 + 12x +3)

=∑

= 137/8

(4X2 + 12x + 3) ( )

8.9 Sifat-Sifat nilai Tengah Dan Ragam DALIL 4. Bila a dan b konstanta, maka

=a

+ b = a + b.

Bukti. Menurut definisi nilaitengah peubah random, = [

= (

= ( )+

= ∑

∑

+ ]=

+

[

) ( )+( ( )+

…+

(

( )+

(

)]

+

+

) ( )

) ( )+...+(

( )+ …+

∑

(

)] +

( ).

Jumlah yang pertama di sebelah kanan tanda sama dengan adalah definisi jumlah yang kedua sama dengan 1. Dengan demikian, kita mendapatkan

= a + b.

121

+

) (

)

[ ( )+ , sedangkan


KOROLARI 1 Bila

KOROLARI 2 Bila

= 0, maka

=

= 0, maka

=

.

Contoh soal 46. Dengan menerapkan Dalil 4 pada contoh 41, kita dapat menuliskan

=2 −

Sekarang,

= ( )= ∑

= (4)

= ( ).

Sehingga

( )

+ (6)( ) + (7)( ) + (8)

+ (5)

41 6

= (2)

Seperti yang telah diperoleh sebelumnya.

+ (9)( )

− 1 = $12.6

DALIL 5 Nilaitengah jumlah atau selisih dua atau lebih peubah random sama dengan jumlah atau selisih nilaitengah masing-masing peubah. Jadi =

+

=

−

+

) (

.

Bukti. Menurut definisi, = ( + ) = ∑ =∑ =

∑

∑

+

(

(

,

,

) +∑

).

∑

(

,

)

DALIL 6. Nilai tengah hasil kali dua atau lebih peubah random yang bebas satu sama lain dengan hasil kali nilai tengah masing-masing peubah random. Jadi, bila X dan Y bebas, maka:

122


=

Bukti : Menurut definisi :

=

Karena X dan Y bebas, maka Sedangkan

( ) dan

dengan demikian

= ∑

(

)

(

) ( )

( , ) = ( ) ( ).

( ) masing-masing adalah distribusi marjinal bagi X dan Y.

= [∑

∑

(

( )] ∑

=

) ( )

DALIL 7 Bila X suatu peubah random dan b konstanta, maka

=

=

Bukti. Menurut dalil 3,

Sekarang, dari Dalil 4,

=

=

{[( + ) −

+ . Sehingga,

= [( + −

= [( − ) ] =

] }.

− ) ]

.

DALIL 8 Bila X suatu peubah random dan a suatu konstanta, maka

=

.

=

Bukti. Menurut Dalil 3,

= {[

−

Sekarang, menurut Korolari 2 dari Dalil 4,

] }. 123

=

. Sehingga


= [(

=

[( − ) ]

2 2.

=

) ]

−

DALIL 9. Ragam jumlah atau selisih dua atau lebih peubah random yang bebas sama dengan jumlah ragam masing-masing peubah random.jadi, bila X dan Y bebas, maka

=

dan

+

=

+

Bukti. Dengan memperluas dalil 3. Pada kasus dua peubah random, kita peroleh : ] 2}

= E{[(X – Y) Sekarang, dari dalil 5. =

, sehingga ) ] 2}

= E{[(X – Y) – ( = E{[(X –

= E{[(X – =

+

)–( −

)2] +E[( −

) ] 2}

)2 ] – 2E[{[(X –

)( −

)}

Karena untuk dua peubah randomyang bebas berlaku ; E[(X –

)( −

)] = E(XY -

Y-

= E(X)E(Y) = =0

X+

)

E(Y) −

−

E(X) + E(

)

+

Contoh Soal 47. Bila X dan Y bebas, masing-masing mempunyai ragam = 2, tentukan ragam peubah random Z = 3X – 2Y +5.

= 1 dan

Jawab. Dengan memandang 3X – 2Y sebagai peubah random yang baru, kita dapat menggunakan dalil 7 untuk menuliskan :

124


, selanjutnya, dengan menerapkan dalil 9 dan kemudian

=

dalil 8 pada kedua peubah random yang bebas 3X dan 2Y, kita memperoleh : =

+

=9

+ 4

= (9)(1) + (4)(2) = 17 BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

1.1 Distribusi Seragam DEFINISI Distribusi Seragam Diskret. Bila peubah random X mempunyai nilai-nilai

,

,…,

, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam

diskretnya diberikan oleh

f(x;k) = 1/k, untuk x =

Kita telah menggunakan notasi

,

,…,

.

f(x;k) alih-alih f(x) untuk menunjukkan bahwa

distribusi seragam itu bergantung pada parameter k. Contoh Soal 48. Tentukan distribusi seragam bagi himpunan bagian nama bulan berukuran 3 yang diambil secara random. JAWAB. Karena semuanya terdapat 12 nama bulan, maka kita dapat mengambil 3 secara random dalam

= 220 cara. Dengan menomori masing-masing dari 1 sampai 220,

maka distribusi peluangnya diberikan oleh f(x;220) = 1/220, untuk x = 1,2, . . . , 220 sehingga peluang terambilnya himpunan bagian nomor 5, misalnya, adalah f(x;220) = 1/220.

125


1.2 Distribusi Binomial DEFINISI Distribusi Binom. Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi peubah random binom X, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas, adalah

, untuk x = 0, 1, 2, . . . , n.

B(x;n,p) =

Perhatikan bila n = 3 dan p = ½, maka

=

B(X; 3,1/2) =

Sesuai dengan hsil untuk banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilemparkan tiga kali.

Contoh Soal 49. Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 5 kali. JAWAB. Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang kegagalan adalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap keberhasilan. Maka b(3;5,1/6) =

=

!

! !

.

= 0.032. Contoh Soal 50. Peluang seorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini , berapa peluang bahwa (a) sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh; (b) ada 3 sampai 8 orang yang sembuh; dan (c) tepat 5 orang yang sembuh. JAWAB. (a). Misalkan X adalah banyaknya orang yang sembuh. Maka P(X ≥ 10) = 1 − ( < 10) =1− ∑

= 1 − 0.9662

( ; 15, 0.4)

126


(b) (3 ≤

= 0.0338.

≤ 8) = ∑

( ; 15, 0.4)

=∑

( ; 15, 0.4) − ∑

( ; 15, 0.4)

= 0.9050 − 0.0271

= 0.8779.

(c) ( = 5) = ( ; 15, 0.4) =∑

( ; 15, 0.4) − ∑

( ; 15, 0.4)

= 0.4032 − 0.2173 = 0.1859.

DALIL 1. Nilaitengah dan ragam bagi distribusi binom b(x;n,p) adalah

μ = np

dan

σ

= npq.

Bukti. Misalkan hasil pada ulangan ke-j dinyatakan oleh peubah random , yang bernilai 0 dan 1, masing-masing dengan peluang q dan p. ini disebut peubah Bernoulli atau mungkin lebih tepat peubah Indikator , karena berarti keberhasilan.

= 0 berarti kegagalan dan

=1

Dengan demikian, dalam suatu percobaan binom banyaknya keberhasilan dapat dituliskan sebagai jumlah n peubah indicator yang bebas. Sehingga X=

+

Nilaitengah setiap

+...+

.

adalah E( ) = 0.q + 1.p = p. maka dengan menggunakan Dalil 5,

kita mendapatkan nilaitengah bagi distribusi binom, yaitu = ( )= =

( )+ +

= np. Ragam bagi setiap =

( ) + …+ ( )

+ ...+

adalah −

=

−

= (02)q + (1)2p – p2 = p (1 – p) = pq.

Dengan demikian, menurut Dalil 9, ragam distribusi binom adalah =

+

+ …+ 127


=

+

+ …+

.

Contoh Soal 51. Dengan menggunkan Dalil Chebyshev, tentukan dan tafsirkan selang ±2

Untuk contoh soal 50. JAWAB. Karena contoh 50 merupakan percobaan binom dengan n = 15 dan p = 0.4, maka

menurut

Dalil

1

kita

= (15)(0.4)(0.6) = 3.6. Dengan

= (15)(0.4) = 6

3.6, kita memperoleh

memperoleh mengambil akar dari

= 1.897. Sehingga selang yang ditanyakan adalah 6

± (2)(1.897), atau dari 2.206 sampai 9.794. Dalil Chebyshev mengatakan bahwa

banyaknya yang sembuh diantara 15 pasien tersebut akan berada antara 2.206 dan 9.794 dengan peluang sekurang-kurangnya ¾.

1.3 Distribusi Poisson Percobaan Poisson memiliki cirri-ciri berikut : 1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. 2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. 3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan. DEFINISI Distribusi Poisson. Distribusi peluang bagi peubah random Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah

( ; )=

Sedangkan dalam hal ini

!

,

= 1,2, …

adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang 128

Modul statistika dasar terjadi selam selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan 2.71828 …

=

Contoh Soal 60. Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju selama musimdingin di suatu kota di bagian timur AS adalah 4. Berapa peluang bahwa sekolah-sekolah di kota ini akan ditutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin? JAWAB. Dengan menggunakan distribusi poisson dengan x = 6 dan

(6; 4) =

!

=∑

( ; 4) − ∑

= 0.8893 − 0.7851 = 0.1042

= 4 kita peroleh

( ; 4)

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU . Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi debgab variable acak kontinu. Distribusi normal sering pula disebut distribusi gauss. Jika variable acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :

( )= dengan :

√

(N3)

π = nilai konstanta yang bila ditulis hingga 4 desimal π = 3,1416. e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183.

μ = parameter, ternyata merupakan rata − rata untuk distribusi.

σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi.

dan nilai x mempunyai batas −∞ < berdistribusi normal.

< ∞ maka dikatakan bahwa variable acak X

129

Modul statistika dasar Sifat-sifat penting distribusi normal : 1. Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar x. 2. Bentuknya simetrik terhadap 3. Mempunyai

satu

modus, ,

=

=

jika

kurva

unimodal,

tercapai

4. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari kanan dan

− 3 ke kiri.

=

pada

+ 3 ke

=

5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi. Untuk tiap pasang

; sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya untuk

kurvanya saja yang berlainan. Jika (platikurtik) dan untuk

makin besar, kurvanya makin rendah

makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Hubungan antara rumus N3 dengan rumus ∫ √2

− 2

−1 2

(N4)

=1

( )

= 1 (sifat 5). Jadi :

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni digunakan rumus N4, sehingga : ( <

< )=∫

√2

(N5)

−1 2

−

( <

2

Distribusi normal standar ialah distribusi normal dengan rata-rata simpangan baku

( )=

√

= 1. Fungsi densitasnya berbentuk :

(N6)

< ),

= 0 dan

⁄

untuk z dalam daerah −∞ <

<∞.

Mengubah distribusi normal umum dalam rumus N3 menjadi distribusi normal baku dalam rumus N6 dapat ditempuh dengan menggunakan transformasi :

=

(N7)

130

Modul statistika dasar Perubahan grafiknya dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Gambar grafik

Bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari dengan cara berikut : 1. Hitung z sehingga dua decimal. 2. Gsmbsrksn kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada gambar di atas. 3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertical hingga memotong kurva. 4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak di titik nol. 5. Dalam daftar, Daftar F, Lampiran, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hingga hanya satu decimal dan decimal keduanya dicari pada baris paling atas. 6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal). Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.

= 0 , maka luas dari garis

Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku : Akan dicari luas daerah : 1. Antara z = 0 dan z = 2,15. Gunakan Daftar F, dalam Lampiran. Di bawah z pada

kolom kiri cari 2,1 dan di

atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842. Luas daerah yang dicari, lihat daerah yang diarsir, = 0,4842. 2. Antara z = -1,50 dan z = 1,82. 131

Modul statistika dasar Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari luas dua kali, lalu dijumlahkan. Mengikuti cara di 1) untuk z = 1,82 dan cara di 2) untuk z = -1,50, masing-masing didapat 0,4656 dan 0,4332. Jumlahnya = luas yang dicari = 0,4332 + 0,4656 = 0,8988. 3. Dari z = 1,96 ke kiri. Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750. Luas = 0,5 + 0,4750 = 0,9750. Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya, jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z didapat 6. Harga z = 2,46. Contoh : 1. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdisribusi normal, maka tentukan ada : a. Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram? b. Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram, jika semuanya 10.000 bayi? c. Berapa bayi yang beratnya yang lebih kecil atau sama dengan 4.000 jika semuanya ada 10.000 bayi? d. Berapa bayi yang beratnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000 bayi? Jawab : Dengan X = berat bayi dalam gram,

= 3.750 gram,

a. Dengan transformasi rumus N7 untuk X = 4.500 :

=

.

.

= 2,31. 132

= 325 gram, maka :

Modul statistika dasar Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31. Luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. Jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram.

b. Dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat : =

.

.

= −0,77

= 2,31.

Luas daerah yanh perlu = daerah yang diarsir =

0.2794 + 0,4896 =

0,7690. Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram diperkirakan ada (0,7690)(10.000) = 7.690. c. Bertanya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4.000,5 gram. =

.

,

.

= 0,77.

Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram = 0,5 + 0,2794 = 0,7794. d. Berat 4,250 gram berarti berat antara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram. Jadi untuk X = 4.249,5, dan X = 4.250,5 didapat : = =

. .

,

,

.

.

= 1,53.

= 1,54.

Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012. Banyak bayi = (0,0012)(5.000) = 6. Antara distribusi binom dan distribusi normal terdapat hubungan tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku : 133

Modul statistika dasar a) N cukup besar, b)

= ( ) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol,

maka distribusi binom dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata

=

dan simpangan baku

(1 − ).

=

Untuk pembakuan, agar daftar distribusi normal baku yang dapat dipakai, maka digunakan transformasi :

=

(

(N8)

)

dengan X = variable acak diskrit yang menyatakan terjadinya peristiwa A. 7. Distribusi Student Fungsi densitasnya adalah : ( )=

1+

−1

⁄

berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi −∞ < < ∞ dan K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk. Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti dalam rumus N9, maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk = (n - 1)

.

Bentuk grafiknya seperti grafik distribusi normal baku, simetrik terhadap t = 0, sehingga sepintas lalu hamper tak ada bedanya. Untuk harga-harga n yang besar, biasanya N6.

≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku seperti dalam rumus

Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun seperti dapat ditemukan dalam lampiran, Daftar G. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling kiri, kolom dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas berisikan nilai peluang. Untuk penggunaan Daftar G, perhatikan gambar di samping. Gambar ini merupakan 134

Modul statistika dasar grafik distribusi t dengan dk =

dimana

= ( − 1). Luas bagian yang diarsir = p

dan dibatasi paling kanan oleh inilah

yang

pasangan

dicari

dari

. Harga

daftar

untuk

dan p yang diberikan.

Contoh : 1. Untuk n = 13, jadi dk = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,78. Ini didapat (lihat Daftar G dalam lampiran) dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan menurun dari 0,95. 2. Gambar grafik

Untuk n = 16, tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95. Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kanan dan luas ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05. Kedua ujung ini sama luas, jadi luas ujung kanan, mulai dari t ke kanan = 0,025. Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yang dipakai untuk daftar. Dengan

= 15 (lihat Daftar G, dalam Lampiran) kita maju ke kanan dan dari p =

0,975 kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi antara t = -2,13 dan t = 2.13 luas yang diarsir = 0,95.

8. Distribusi Chi Kuadrat Distribusi Chi Kuadrat merupakan distribusi dengan variable acak kontinu. Simbolnya adalah

.

Persamaan distribusi chi kuadrat adalah :

( )=

.

⁄

(N10)

⁄

135

Modul statistika dasar Grafik distribusi

umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan.

Kemiringan ini makin berkurang jika derajat kebebasan Untuk perhitungan, daftar distribusi

makin besar.

dapat dilihat dalam Lampiran, Daftar H

Gambar grafik

Gambar di atas memperlihatkan grafik distribusi Daftar H berisikan harga-harga

secara umum dengan dk =

.

untuk pasangan dk dan peluang p yang besarnya

tertentu. Peluang p terdapat pada baris paling atas dan dk

ada pada kolom paling

kiri. Luas daerah yang diarsir sama dengan peluang p, yaitu luas dari

ke sebelah

kiri. Contoh :  Gambar grafik

Gambar di atas adalah grafik distribusi

dengan dk = 9.

a) Jika luas daerah yang diarsir sebelah kanan = 0.05, maka didapat dari dk = 9 dan p = 0.95. b) Jika luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0.025, maka dari dk = 9 dan p = 0.025. 9. Distribusi F 136

= 16,9. Ini

= 2,70. Didapat

Modul statistika dasar Distribusi F ini juga mempunyai variable acak yang kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan : ( )=

.

⁄ (

1+

⁄ (

)

)

(N11)

dengan variable acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada satu,

=

dan

sedemikian sehingga luas di bawah kurva sama dengan

pembilang dan

penyebut.

=

Jadi distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Daftar distribusi F telah disediakan seperti dapat ditemukan dalam Lampiran, Daftar I. daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan

dan

. Peluang inisama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = ada pada baris paling atas dan dk = Untuk tiap dk =

pada kolom paling kiri.

, daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0.05 dan

yang bawah untuk p = 0.01. Contoh : (

,

Untuk pasangan derajat kebebasan

= 24 dan

= 8, ditulis juga

) = (24,8), maka untuk p = 0,05 didapat F = 3,12 sedangkan untuk p = 0,01

didapat F = 5,28 (lihat Daftar I, Lampiran). Ini didapat dengan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawah untuk p = 0,01. Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (

,

) adalah

(

,

).

Demikian untuk contoh didapat :

,

(24,8) = 3,12. Dan

,

(24,8) = 5,28.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95..

137

Modul statistika dasar Untuk itu digunakan hubungan : (1 − )(

,

(N12)

)=

(

1

,

)

Dalam rumus di atas perhatikan antara p dan (1 - p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (

) menjadi (

,

Contoh : Telah didapat Maka .

,

).

,

(24,8) = 3,12

,

(8,24) =

,

= 0,321.

SOAL LATIHAN 1. Suatu kiriman 7 pesawat televise mengandung 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli secara random 3 dari ketujuh televise tersebut. Bila X menyatakan benyaknya televise yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut, tentukan nikaitengah X. 2. Dalam suatu permainan judi, petaruh menerima $3 bila ia berhasil mengambil kartu jack atau queen dan $5 bila ia berhasil mengambil kartu king atau ace. Bila ia mengambil kartu yang lain, ia kalah. Berapa taruhan yang harus dibayarnya agar permainan itu dapat dipandang jujur? 3. Diketahui sebuah peubah random X memiliki distribusi peluang sebagai berikut : x P(X = x)

Hitung

-3

6

1/6

½

( ) , bila g(X) = (2

138

9 1/3

+ 1) .

Modul statistika dasar 4. Dari sekeranjang buah yang berisi 3 jeruk, 2 apel, dan 3 pisang, diambil suatu contoh random 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya apel yang terambil, hitunglah E(X2Y – 2XY). 5. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul bil;a sebuah dadu hijau dilemparkan. Hitung ragam peubah random a). 2X – Y b). X + 3Y – 5.

6. Misalkan peluangnya seseorang akan mempercayai suatu cerita mengenai hidup setelah mati adalah 0.8. berapa peluang bahwa a. Orang keenam yang mendengar cerita itu adalah yang keempat yang mempercayainya? b. Orang ketiga yang mendengar cerita itu adalah yang pertama yang mempercayainya? 7. Sebuah restoran menyediakan salad yang rata-rata mengandung secara rata-rata 5 macam sayuran. Hitunglah peluang bahwa salad yang disediakan mengandung lebih daripada 5 macam sayuran a. Pada suatu hari tertentu b. Pada 3 di antara 4 hari berikutnya c. Pertama kali dalam bulan April pada tanggal 5 April. 8. Misalkan bahwa secara rata-rata 1 di antara 1000 orang membuat kesalahan angka dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil secara random dan diperiksa, berapa peluang ada 6,7 atau 8 formulir yang mengandung kesalahan?

139

Modul statistika dasar BAB. IX SAMPLING DAN DISTRIBUSI SAMPLING

9.1 PENDAHULUAN Statistik terbagi atas dua fase yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif. Fase pertama dikerjakan untuk melakukan fase kedua. Fase kedua ialah statistika induktif, berusaha menyimpulkan tentang karakteristik populasi, yang pada umumnya dilakukan berdasarkan pada data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, baik hasil menghitung maupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatif, daripada karakteristik tertentu mengenai sekumpulan obyek yang lengkap dan jelas. Sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi dengan menggunakan cara-cara tertentu. Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan haruslah ditempuh caracara yang benar dalam setiapkah termasuk cara-cara pengambilan sampel atau sampling. Untuk mempelajari populasi kita memerlukan sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Meskipun kita dapat mengambil lebih dari sebuah sampel berukuran n dari populasi berukuran N, pada prakteknya hanya sebuah sampel yang bisa diambil dan digunakan untuk hal tersebut. Sampel yang diambil ialah sampel random dan dari sampel tersebut nilai-nilai statistiknya dihitung untuk digunakan seperlunya. Distribusi sampling biasanya diberi nama bergantung pada nama statistic yang digunakan. Misalnya yang kita kenal distribusi sampling rata-rata, distribusi sampling proporsi,, distribusi sampling simpangan baku dan lain lagi. KOMPETENSI KHUSUS, Diharapkan pada akhir perkuliahan nanti mahasiswa/I mampu menjelaskan kembali tentang sampling atau pengambilan sampel dan dapat mengimplementasikan dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari – hari.

140

Modul statistika dasar 9.2 PENYAJIAN 1. SAMPLING ATAU PENGAMBILAN SAMPEL A. ALASAN SAMPLING Sensus terjadi apabila setiap anggota atau karakteristik yang ada di dalam populasi dikenai penelitian. Jika tidak maka samplinglah yang ditempuh, yaitu sampel diambil dari populasi dan datany dikumpulkan. Ada berbagai alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan, antara lain : a) Ukuran populasi Ada dua macam ukuran populasi, ialah terhingga dan takhingga. Populasi takhingga berisikan takhingga banyak obyek dan pada dasarnya hanya konseptual sukarlah untuk melakukan sensus terhadapnya. Maskipun kita punya populasi terhingga, sensus belum tentu bisa dilaksanakan. b) Masalah biaya Jika biaya penelitian yang tersedia terbatas,, maka samplinglah satu-satunya pilihan, terkecuali jika ukuran populasi sedikit sekali sehingga sensus bisa dilaksanakan. c) Masalah waktu Sensus memerlukan waktu yang lama dibandingkan dengan sampling. Dengan demikian sampling dapat memberikan data lebih cepat. d) Percobaan yang sifatnya merusak Jika penelitian terhadap obyek sifatnya merusak, maka jenis sampling harus dilakukan. e) Masalah ketelitian Data yang dikimpulkan harus benar dan pengumpulannya harus teliti. Begitu pula dengan pencatatan dan penganalisisannya. f) Factor ekonomis Dengan factor ekonomis diartikan apakah kegunaan dari hasil penelitian sepadan dengan biaya, waktu dan tenaga yang telah dikeluarkan untuk itu atau tidak.

141

Modul statistika dasar B. RANCANGAN SAMPLING Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam perancanaan sampling yaitu : a). Rumuskan persoalan yang ingin diketahui. b). Tentukan dengan jelas batas populasi mengenai persoalan yang ingin diketahui. c). Definisikan dengan jelas dan tepat segala unit dan istilah yang diperlukan. d). Tentukan unit sampling yang diperlukan. e). Tentukan dan rumuskan cara-cara pengukuran dan penilaian yang akan dilakukan. f). Kumpulkan, jika ada, segala keterangan tentang hal yang ingin diteliti yang pernah dilakukan masa lampau. g). Tentukan ukuran ampel, yakni beberapa unit sampling yang harus diambil dari populasi. h). Tentukan cara sampling yang mana yang akan ditempuh agar sampel yang diperoleh representative. i). Tentukan cara pengumpulan data yang akan dilakukan. j). Tentukan metode analisis mana yang akan digunakan. k). Sediakan biaya dan minta bantuan ahli baik berbentuk pembantu tetap ataupun hanya berbentuk konsultan. C. BEBERAPA CARA SAMPLING 1) Sampling dengan pengembalian. Contoh : Untuk populasi berukuran N = 4 dengan anggota-anggota : A, B, C, D dan sampel yang diambil berukuran n = 2, termasuk sampel beranggotakan sama, didapat : Sampel 1 : AA

Sampel 9 : CA

Sampel 2 : AB

Sampel 10: CB

Sampel 3: AC

Sampel 11: CC 142

Modul statistika dasar Sampel 4 : AD

Sampel 12: CD

Sampel 5 : BA

Sampel 13: DA

Sampel 6: BB

Sampel 14: DB

Sampel 7: BC

Sampel 15: DC

Sampel 8: BD

Sampel 16: DD

Semuanya ada 42 = 16 buah sampel. Secara umum : jika dari populsi berukuran N diambil sampel berukuran n dengan pengembalian, maka semuanya ada Nn buah sampel yang mungkin diambil. 2) Sampling tanpa pengembalian Contoh : Misalkan populasi beranggotakan N = 5 terdiri atas A,B,C, D, E. Sampel berukuran n = 2 akan diambil dari populasi itu dengan cara tanpa pengembalian. Maka didapat : Sampel 1 : AB

Sampel 6 : BD

Sampel 2 : AC

Sampel 7 : BE

Sampel 3: AD

Sampel 8 : CD

Sampel 4 : AE

Sampel 9 : CE

Sampel 5 : BC

Sampel 10 : DE

Semuanya ada 10 buah sampel yang berlainan. Jika N = 4 dengan anggota A,B,C,D dan n = 3, maka semuanya ada 4 buah sampel yang berlainan ialah ABC, ABD, ACD, BCD. Secara umum : banyak sampel berukuran n yang dapat diambil (dengan cara tanpa pengembalian) dari sebuah populasi berukuran N adalah : =

! ! ( − )!

Beberapa cara sampling yang mungkin dapat digunakan untuk keadaan tertentu agar diperoleh sampel yang representative yaitu : a). Sampling seadanya Pengambilan sebagian dari populasi berdasarkan seadanya data atau kemudahannya mendapatkan data tanpa perhitungan apapun mengenai 143

Modul statistika dasar derajat representative. Ini mengakibatkan bahwa kesimpulan yang ditarik sangat bersifat kasar dan sementara. b). Sampling purposif Sampling purposif (sampling pertimbangan) terjadi apabila pengambilan sampel dilakukan berdasarkan pertimbangan perorangan atau pertimbangan peneliti. c). Sampling peluang jika peluang digunakan ketika pengambilan sampel dilakukan, maka kita melakukan sampling peluang. Sampel yang didapat dinakan sampel peluang yaitu sebuah sampel yang anggota-anggotanya diambil dari populasi berdasarkan peluang yang diketahui D. BEBERAPA MACAM SAMPLING UNTUK MENDAPATKAN SAMPEL REPRESENTATIF Untuk populasi yang heterogen harus digunakan

sampling lain dari

sampling di atas yaitu sampling petala, sampling proporsional, sampling klaster, dan sampling area. Sampling petala. Jika populasi heterogen, biasanya akan lebih baik dibuat menjadi beberapa strata atau petala atau lapisan. Pembuatan petala ditentukan berdasarkan karakteristik tertentu sedemikian sehingga petala itu menjadi homogen. Dari setiap petala lalu diambil secara random anggota-anggota yang diperlukan, atau dengan kata lain dilakukan pengrandoman di dalam setiap petala. Gabungan antara anggota-anggota yang didapat akan membentuk sebuah sampel petala. Sampling

petala

biasanya

diperbaiki

dengan

menggunakan

cara

proporsional. Dengan ini dimaksudkan bahwa banyak anggota dari setiap petala diambil sebanding dengan ukuran tiap petala. Cara ini dinamakan cara sampling random proporsional dan sampelnya dinamakan sampel random proporsional. Sampling klaster. Dalam sampling ini, populasi dibagi-bagi menjadi beberapa kelompok atau klaster. Secara random klaster-klaster yang diperlukan diambil dengan proses pengrandoman. Setiap anggota yang berada di dalam

144

Modul statistika dasar klaster-klaster yang diambil secara random tadi merupakan sampel yang diperlukan. Selain sampling yang diuraikan di atas masih ada lagi yang lainnya ialah : a). Sampling sistematik. Dalam sampling sistematik, anggota sampel diambil dari populasi pada jarak interval waktu, ruang atau urutan yang uniform. Jika populasi berukuran N dan sampel beranggotakan n, maka jarak interval besarnya (N/n). dengan demikian didapatkan n buah interval dan dari tiap buah interval diambil sebuah anggota. Pengambilan anggota pertama yang ada di dalam

interval

pertama

dilakukan

secara

random.

Anggota-anggota

selanjutnya diambil pada jarak setiap (N/n). b). Sampling ganda. Jika untuk menyimpulkan populasi dilakukan sampling, maka pada umumnya hanya sebuah sampel berukuran tertentu dan diambil dengan cara tertentu pula yang biasa digunakan. Sampling yang demikian disebut sampling tunggal. Sering ternyata sampling tunggal kurang efisien karena bisa terjadi terlalu banyak anggota yang diambil dan karenanya menyebabkan pemborosan biaya dan waktu. Untuk mengatasi hal ini digunakan sampling ganda. Dalam sampling ganda, penelitian penelitian dilakukan dimulai dengan menggunakan sebuah sampel yang ukurannya relative kecil. Berdasarkan ini kesimpulan mengenai populsai diadakan. c). Sampling multiple. Dalam hal ini pengambilan sampel dilakukan lebih dari dua kali dan tiap kali digabungkan menjadi sebuah sampel. Pada tiap gabungan, analisis dilakukan lalu kesimpulan diadakan dan sampling berhenti apabila hasilnya sudah memenuhi criteria yang telah direncanakan. d). Sampling sekuensial. Sampling ini sebenarnya juga sampling multiple. Perbedaannya ialah dalam sampling sekuensial tiap anggota sampel diambil satu demi atu dan pada tiap kali selesai mengambil anggota, analisis dilakukan lalu berdasarkan ini kesimpulan diadakan : apakah sampling berhenti ataukah dilanjutkan. Tentu saja setiap anggota yang diambil disatukan dengan anggotaanggota yang diambil terlebih dahulu sebelum kesimpulan diadakan pada tingkat itu.

145

Modul statistika dasar E. KEKELIRUAN SAMPLING DAN KEKELIRUAN NON SAMPLING Dalam penelitian ada dua macam kekeliruan yang pokok yang bisa terjadi, ialah kekeliruan sampling dan kekeliruan non-sampling. Kekeliruan non-sampling. Kekeliruan ini bisa terjadi dalam setiap penelitian, apakah itu berdasarkan sampling ataukah berdasarkian sensus. Beberapa penyebab terjadinya kekeliruan non-sampling adalah : a. Populasi tidak didefinisikan sebagaimana mestinya. b. Populasi yang menyimpang dari populasi yang seharusnya dipelajari. c. Kuesener tidak dirumuskan sebagaimana mestinya. d. Istilah-istilah telah didefinisikan secara tidak tepat atau telah digunakan secara tidak konsisten. e. Para responden tidak memberikan jawab yang akurat, menolak untuk menjawab atau tidak ada di tempat ketika petugas dating untuk melakukan wawancara. Kekeliruan non-sampling bisa terjadi pada waktu mencatat data, melakukan tabulasi dan melakukan perhitungan-perhitungan. Kekeliruan sampling. Kekeliruan ini timbul disebabkan oleh kenyataan adanya pemeriksaan yang tidak lengkap tentang populasi dan penelitian hanya dilakukan berdasarkan sampel. Jelaslah bahwa penelitian terhadap sampel yang diambil dari sebuah populasi dan penelitian terhadap populasi itu sendiri, kedua penelitian dilakukan dengan prosedur yang sama, hasilnya akan berbeda. Perbedaan antara hasil sampel dan hasil yang akan dicapai jika prosedur yang sama yang digunakan dalam sampling juga yang digunakan dalam sensus dinamakan kekeliruan sampling. 2. DISTRIBUSI SAMPLING A. DISTRIBUSI RATA-RATA Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran terhingga N dengan parameter rata-rata

dan simpangan baku

. Dari populasi ini diambil sampel

random berukuran n. jika sampling dilakukan tanpa pengembalian, kita tahu semuanya ada

buah sampel yang berlainan. Untuk semua sampel-sampel yang

didapat masing-masing dihitung rata-ratanya. Dengan demikian diperoleh

146

buah

Modul statistika dasar rata-rata. Anggap semua rata-rata ini sebagai data baru, jadi di dapat kumpulan data yang terdiri atas rata-rata dari sampel-sampel. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-rata dan simpangan bakunya. Jadi didapat rata-rata daripada ratarata diberi symbol

dan simpangan baku daripada rata-rata diberi symbol

.

Contoh : diberikan sebuah populasi dengan N = 10 yang ditanya : 98,99,97,98,99,98,97,97,98,99. Jika dihitung, populasi ini mempunyai = 0,78

Diambil sampel berukuran n = 2. Semuanya ada

= 98 dan

= 45 buah sampel. Untuk

setiap sampel kita hitung rata-ratanya. Dan dalam tiap sampel dan rata-rata tiap sampel diberikan dalam daftar berikut ini. DAFTAR A1 SEMUA SAMPEL BERUKURAN n = 2 DAN RATA-RATANYA DIAMBIL DARI POPULASI UKURAN N = 10 SAMPEL

RATA2

SAMPEL

RATA2

SAMPEL

RATA2

(98,99)

981/2

(99,98)

981/2

(99,98)

981/2

(98,97)

971/2

(99,99)

99

(99,97)

98

(98,98)

98

(97,98)

971/2

(99,97)

98

(98,99)

981/2

(97,99)

98

(99,98)

981/2

(98,98)

98

(97,98)

971/2

(99,99)

99

(98,97)

971/2

(97,97)

97

(98,97)

971/2

(98,97)

971/2

(97,97)

97

(98,97)

971/2

(98,98)

98

(97,98)

971/2

(98,98)

98

(98,99)

981/2

(97,99)

98

(98,99)

981/2

(99,97)

98

(98,99)

981/2

(97,97)

97

(99,98)

981/2

(98,98)

98

(97,98)

971/2

147

Modul statistika dasar (99,99)

99

(98,97)

971/2

(97,99)

98

(99,98)

981/2

(98,97)

971/2

(97,98)

971/2

(99,97)

98

(98,98)

98

(97,99)

98

(99,97)

98

(98,99)

981/2

(98,99)

981/2

Jumlah semua rata-rata = 4410

Jumlah ke-45 buah rata-rata = 4.410. Maka rata-ratanya untuk ke-45 rata-rata .

ini =

= 98. Jadi

= 98.

Simpangan baku ke-45 rata-rata di atas juga dapat dihitung. Besarnya adalah : .

= .

Tetapi rata-rata populasi

kita hitung : =

,

√

= 98 dan simpangan baku

= 0,78. Selanjutnya

= 0,52.

Ternyata bahwa berlaku : = =

√

(A1) Jika N cukup besar dibandingkan terhadap n, maka barlaku hubungan : = =

√

(A2)

Untuk penggunaan rumus di atas cukup baik apabila (n/N) ≤ 5% . Dari uraian

di atas didapat : jika sampel random berukuran n diambil dari sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata

dan simpangan baku

, maka distribusi rata-rata

sampel mempunyai rata-rata dan simpangan baku seperti pada rumus A1 jika (n/N) > 5%, seperti dalam rumus A2 jika (n/N)≤ 5%. 148

dinamakan kekeliruan standar

Modul statistika dasar rata-rata atau kekeliruan baku atau pula galat baku rata-rata. Ini merupakan ukuran variasi rata-rata sampel sekitar rata-rata populasi . mengukur besarnya perbedaan rata-rata yang diharapkan dari sampel ke sampel. Dari daftar A1 kita dapat menghitung frekuensi rata-rata dan juga peluangnya. Untuk rata-rata 97 misalnya, frekuensinya f = 3 sedangkan peluangnya p = 3/45 = 1/15. Frekuensi dan peluang untuk rata-rata lainnya dapat dihitung. Hasilnya dapat dilihat dalam daftar A2. DAFTAR A2 FREKUENSI DAN PELUANG RATA-RATA DARI DAFTAR A1 Rata-rata

Frekuensi

Peluang

97

3

1/15

971/2

12

4/15

98

15

1/3

981/2

12

4/15

99

3

1/15

Jumlah

45

1

Kita lihat bahwa rata-rata untuk semua sampel membentuk sebuah distribusi peluang. Untuk penggunaanya, kita perlu mengetahui bentuk atau model distribusi tersebut. Ternyata bahwa untuk ini berlaku sebuah dalil yang dinamakna dalil limit pusat seperti tertera di bawah ini : Jika sebuah populasi mempenyai rata-rata

dan simpangan baku

yang besarnya

terhingga, maka untuk ukuran sampel random n cukup besar, distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata = =

√

dan simpangan baku

. Perhatikan bahwa dalil di muka berlaku untuk distribusig model populasi

asalkan simpangan bakunya terhingga besarnya.jadi, bagaimanapun model populasi yang disampel, asal saja variansnya terhingga, maka rata-rata sampel akan 149

Modul statistika dasar mendekati distribusi normal. Pendekatan kepada normal ini makin baik jika ukuran sampel n makin besar. Biasanya, untuk berlaku.

≥ 30 pendekatan ini sudah mulai

Apabila populasi yang disampel sudah berdistribusi normal, maka rata-rata sampel juga berdistribusi normal meskipun ukuran sampel n < 30. Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu distandarkan agar daftar distribusi normal baku dapat digunakan. Ini perlu untuk perhitunganperhitungan. Untuk ini digunakan transformasi. =

−

(A3) Contoh : Tinggi badan mahasiswa rata-rata mencapai 165 cm dan simpangan baku 8,4 cm. Telah diambil sebuah sampel random terdiri atas 45 mahasiswa. Tentukan berapa peluang tinggi rata-rata ke-45 mahasiswa tersebut : a). antara 160 cm dan 168 cm b). paling sedikit 166 cm Jawab : Jika ukuran populasi tidak dikatakan besarnya, selalu dianggap cukup besar untuk berlakunya teori. Ukuran sampel n = 45 tergolong sampel besar sehingga dalil limit pusat berlaku. Jadi rata-rata

untuk tinggi

mahasiswa akan mendekati distribusi normal dengan : Rata-rata

= 165

Simpangan baku

=

√

,

a). Dari rumus A3 dengan =

160 − 165 = −3,99 1,252

= 1,252

= 160 =

didapat :

168 − 165 = 2,40. 1,252

Penggunaan daftar distribusi normal baku memberikan luas kurva = 0,5 + 0,4918 = 0,9918. Peluang tinngi rata-rata ke-45 mahasiswa antara 160 cm dan 168 cm adalah 0,9918.

150

Modul statistika dasar b). Rata-rata tinggi paling sedikit 166 cm memberikan angka z paling sedikit =

,

= 0,80.

Dari daftar normal baku, luas kurva = 0,5 – 0,2881 = 0,2119. Peluang yang dicari = 0,2119. Apabila dari populasi variansnya diketahui dan perbedaan antara rata-rata dari sampel ke sampel diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku hubungan : ≤

(A4)

Dari rumus A4 ini, ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-rata, dapat ditentukan. Contoh : Untuk contoh di atas, misalkan harga-harga

dari sampel yang satu

dengan sampel lainnya diharapkan tidak mau lebih dari 1 cm. Jika populasi cukup besar, maka : √

≤

Atau

≥ 70,58.

,

√

≤1

Paling sedikit perlu diambil sampel terdiri atas 71 mahasiswa. B. DISTRIBUSI PROPORSI Misalkan populasi diketahui berukuran N yang di dalamnya didapat peristiwa A sebanyak Y di antara N. Maka didapat parameter proporsi peristiwa A sebesar

=

(Y/N). Dari populasi ini diambil sampel random berukuran n dan dimisalkan di dalamnya ada peristiwa A sebanyak x. Sampel ini memberikan statistic proporsi peristiwa A = x/n. Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi itu maka didapat sekumpulan harga-harga statistic proporsi. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi symbol symbol

/

.

/

dan simpangan bakunya diberi

Untuk ini ternyata bahwa, jika ukuran populasi kecil dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) > 5%, maka : 151


=

/

=

/

(

)

(A5) Dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) ≤ 5% Maka : / /

=

=

(

)

(A6) /

dinamakan kekeliruan baku proporsi atau galat baku proporsi.

Untuk ukuran sampel n cukup besar, berlakulah sifat berikut : Jika dari populasi yang berdistribusi binom dengan parameter

untuk peristiwa A, 0 <

< 1, diambil

sampel random berukuran n dimana statistic proporsi untuk peristiwa A = (x/n), maka untuk n cukup besar, distribusi proporsi (x/n) mendekati distribusi normal dengan parameter seperti dalam rumus A5 jika (n/N) > 5%, dan seperti dalam rumus A6 jika (n/N) ≤ 5%.

Seperti dalam distribusi rata-rata, disinipun akan digunakan berlakunya sifat di atas.

≥ 30 untuk memulai

Untuk perhitungan, daftar distribusi normal baku dapat digunakan dan untuk itu diperlukan transformasi :

=

(A7)

/

Jika perbedaan antara proporsi sampel yang satu dengan sampel yang lainnya diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku :

152


/

(A8)

≤

Karena

mengandung factor

/

rumus A8 berlaku jika parameter

dengan

populasi maka

=

sudah diketahui besarnya. Jika tidak dapat

ditempuh cara conservative dengan mengambil harga kekeliruan baku atau galat baku yang terbesar, yaitu :

(1 −

Contoh :

)=

.

Ada petunjuk kuat bahwa 10% anggota masyarakat tergolong ke dalam golongan A. sebuah sampel random terdiri atas 100 orang telah diambil. a. Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang itu akan ada paling sedikit 15 orang dari golongan A. b. Berapa orang harus diselidiki agar persentase golongan A dari sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan berbeda paling besar dengan 2%? Jawab : populasi yang dihadapi berukuran cukup besar dengan = 0,90.

= 0,10

1−

a. Untuk ukuran sampel 100, diantaranya paling sedikit 15 tergolong kategori A, maka paling sedikit x/n = 0,15. Kekeliruan bakunya adalah : /

(

=

)

=

,

,

= 0,03

Bilangan z paling sedikit =

,

,

,

= 1,67

Dari daftar normal baku, luasnya = 0,5 – 0,4525 = 0,0475. Peluang dalam sampel itu aka nada paling sedikit 15 kategori A adalah 0,0475. b. Dari rumus A8 dengan ,

,

≤ 0,02

= 0,1

1−

= 0,9 sedangkan d = 0,02, maka :

≥ 225.

C. DISTRIBUSI SIMPANGAN BAKU Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran N. diambil sampel-sampel random berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan bakunya, yaitu s. 153

Modul statistika dasar dari kumpulan ini sekarang dapat dihitung rata-ratanya, diberi symbol simpangan bakunya, diberi symbol

dan

.

Jika populasi berdistribusi normal atau hamper normal, maka distribusi simpangan baku, untuk n besar biasanya

≥ 100, sangat mendekati distribusi

normal dengan : =

=

√2

(A9)

Dengan

=

.

Transformasi yang diperlukan untuk membuat distribusi menjadi normal baku adalah : −

=

(A10) Untuk populasi tidak berdistribusi normal dan untuk sampel berukuraj kecil, n < 100, rumus-rumus sangat sulit dan karena penggunaannya tidak banyak. Contoh : Varians sebuah populasi yang berdistribusi normal 6,25. Diambil sampel berukuran 225. Tentukan peluang sampel tersebut akan mempunyai simpangan baku lebih besar dari 3,5. Jawab : Varians = 6,25. Ukuran sampel cukup besar, maka distribusi simpangan baku mendekati distribusi normal dengan rata-rata =

√

,

= 0,118.

= 2,5 dan simpangan baku

Bilangan z untuk s = 3,5 adalah : =

,

,

,

= 8,47.

Praktis tidak terjadi sampel berukuran 225 dengan simpangan baku lebih dari 3,5. D. DISTRIBUSI MEDIAN Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal maka, untuk sampel random berukuran rata-rata

≥ 30, distribusi Median Me akan mendekati distribusi normal dengan dan simpangan baku

.:

154


.

=

=

1,2533

(A11) Dengan

dan

√

merupakan parameter populasi.

E. DISTRIBUSI SELISIH DAN JUMLAH RATA-RATA Misalkan kita mempunyai dua populasi masing-masin berukuran . Populasi ke satu mempunyai rata-rata populasi kedua mempunyai rata-rata

dan simpangan baku dan simpangan baku

sedangkan . Dari setiap

populasi secara independen kita ambil sampel-sampel random berukuran populasi kesatu dan berukuran

dan

dari

dari populasi kedua. Untuk membedakan

populasi kesatu dimisalkan mempunyai variable X dan populasi kedua mempunyai variable Y. dari sampel-sampel ini, seperti biasa dihitung rata-ratanya. Didapat kumpulan rata-rata sampel : ,

,...,

dan

,

,...,

dengan k = banyak sampel yang dapat diambil

dari populasi kesatu, dan r = banyak sampel yang dapat diambil dari populasi kedua. Kumpulan selisih rata-rata sampel akan membentuk distribusi selisih ratarata. Dari kumpulan ini, kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi symbol dan menghitung simpangan bakunya, diberi symbol dan

. Ternyata bahwa, untuk

cukup besar dan sampel-sampel random diambil secara independen

satu sama lain, didapat hubungan : =

=

−

+

(A12)

155

Modul statistika dasar Kita juga dapat mengambil selisih rata-rata =

−

=

−

dalam hal ini berlaku :

+

(A13)

Untuk ukuran-ukuran sampel cukup besar, maka selisih rata-rata

−

akan mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku seperti pada rumus A12. Untuk membuat distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan transformasi. =

( − )−(

)

−

(A14)

Apabila dari dua kumpulan rata-rata sampel

dengan I = 1, 2, . . . , k dan

dengan j = 1, 2, .. . , r, sekarang dibentuk jumlahnya, maka diperoleh jumlah rata-rata sampel

. Seperti di atas dari kumpulan ini dapat dihitung rata-

+

ratanya, diberi symbol

dan simpangan bakunya diberi symbol

. Untuk

sampel-sampel random yang independen, berlaku : =

=

+

+

(A15) Distribusi jumlah rata-rata ini, untuk sampel-sampel berukuran cukup besar, akan mendekati distribusi normal dengan parameter rata-rata dan simpangan baku

seperti dalam rumus A15. Untuk membuat menjadi normal baku perlu

digunakan transformasi. =

( + )−(

+

)

(A16)

Contoh : Rata-rata tinggi mahasiswa laki-laki 163 cm dan simpangan bakunya 5,2 cm, sedangkan untuk mahasiswa perempuan parameter tersebut 156

Modul statistika dasar berturut-turut 152 cm dan 4,9 cm. Dari kedua kelompok mahasiswa itu masing-masing diambil sebuah sampel random, secara

independen

berukuran sama, ialah 140 orang. Berapa peluang rata-rata tinggi mahasiswa laki-laki paling sedikit 10 cm lebihnya dari rata-rata tinggi mahasiswa perempuan? Jawab : Misalkan

masing-masing menyatakan rata-rata tinggi dari sampel

untuk mahasiswa laki-laki dan perempuan. Yang ditanyakan adalah peluang

paling sedikit 10 cm. Dari yang diketahui, didapat

−

= 163 cm,

=

dan

4,9

=

=

=

=

,

= 5,2

= 140. Menurut reori di muka

normal dengan rata-rata Simpangan baku

,

= 152

−

=

=

berdistribusi

= (163 - 152) cm = 11 cm dan ( , )

Menurut rumus A14, maka

=

+ ,

( , )

= 0,6038 cm.

= −1,66.

Luas daerah normal baku yang diperlukan adalah 0,5 + 0,4515 = 0,9515. Jadi peluang yang dicari = 0,9515. F. DISTRIBUSI SELISIH PROPORSI Selisih proporsi

−

dapat dibentuk sehingga terdapat kumpulan

selisih proporsi. Dari kumpulan ini dapat dihitung rata-ratanya, diberi symbol dan simpangan bakunya, diberi symbol

, dengan sp =

−

= selisih antara

proporsi sampel kesatu dan proporsi sampel kedua. Ternyata untuk ini berlaku : =

=

− (

)

+

(

)

(A17) Untuk ukuran-ukuran sampel

30

dan

, cukup besar biasanya

≥

≥ 30, maka distribusi selisih proporsi ini akan mendekati distribusi

normal dengan parameter seperti tertera pada rumus A17. Agar supaya distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku maka diperlukan transformasi.

157


−(

−

=

−

)

(A18)

G.DISTRIBUSI SAMPLING LAINNYA Misalkan kita punya sebuah populasi yang berdistribusi normal atau hamper normal dengan rata-rata

dan simpangan baku . Dari populasi tersebut

diambil sampel random berukuran n lalu dihitung rata-rata

dan simpangan baku

s. Sehubungan dengan ini, didapat dua hal : 1. Statistic t, yang ditentukan oleh : =

̅−

/√

(A19)

Ternyata berdistribusi student dengan derajat kebebasan 2. Statistic χ2 yang ditentukan oleh : χ2 =

(

)

=

∑(

=

− 1.

̅)

(A20) Dengan

, I = 1, 2, …, n merupakan data dalam sampel, akan berdistribusi

chi-kuadrat dengan derjat kebebasan

=

− 1.

Dari sampel kesatu simpangan baku simpangan baku

dihitung, dan demikian pula

dari sampel kedua. Kita bentuk statistic F yang ditentukan

oleh : =

/ /

(A21)

Ternyata bahwa statistic F ini berdistribusi F dengan dk pembilang =

− 1 dan dk penyebut

=

158

− 1.

Modul statistika dasar SOAL LATIHAN 1. Populasi yang terdiri atas 3000 obyek, 1000 di antaranya bernilai 0, dan sisanya bernilai 1. Berapa

dan

? Diambil 100 buah sampel random

yang masing-masing berukuran 10 lalu dihitung rata-rata tiap sampel. Berapa diharapkan harga rata-rata dan varians rata-rata 100 sampel ini? 2. Simpangan baku berat anak laki-laki berumur 15-20 tahun besarnya 3,8 kg. Diambil semua sampel random yang masing-masing berukuran 230 dan lalu varians tiap sampel dihitung. Tentukan : a. Rata-rata dan varians untuk distribusi sampling simpangan baku. b. Ada berapa % dari sampel-sampel itu yang mempunyai simpangan baku lebih dari 4,5 kg? 3. Pengalaman mencatat bahwa 65% dari penduduk ternyata menyenangi pemimpin A. Dua buah sampel random telah diambil masing-masing berukuran 250. Tentukan bagaimana peluangnya bahwa kedua sampel itu akan memperlihatkan perbedaan persentase lebih dari 12%

yang

menyenangi pemimpin A. 4. Diberikan dua buah populasi dengan data populasi I : 3, 2, 3, 5, 4, 8. Data populasi II : 10, 12, 15, 10. Dari populasi I diambil semua sampel random berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran dua. Tulislah semua sampelnya, lalu : a. Hitung rata-rata kedua populasi b. Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini c. Hitung ̅

dan −

. dan bandingkan dengan selisih rata-ratapopulasi I dan

populasi II. Apa yang nampak? Berlakukah rumus A12? d. Bagaimana untuk ̅

Berlakukah rumus A

+

?

159

Modul Lengkap Statistika Dasar 444k6c

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Modul Lengkap Statistika Dasar 444k6c

Statistika Dasar 5468o

Statistika Dasar Bagian1 6y156b

Tugas Statistika Dasar 1n5q3w

Statistika Dasar Distribusi Peluang 64541o

7-penaksiran Statistika Dasar 3p293c

More Documents from "PHELIPUS MERE" 4i181u

Modul Lengkap Statistika Dasar 444k6c

Rrl 2l1ud

Codesys Opc Server 443u3u