Statistika Dasar Distribusi Peluang 64541o

STATISTIKA DASAR DISTRIBUSI PELUANG

Dosen Pembimbing: Ika Krisdiana. S. Si

Disusun Oleh: Heri Cahyono (08411.145)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2009 STATISTIKA DASAR

Page 0

BAB I PENDAHULUAN Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri dari : 1. Distribusi binomial 2. Distribusi Multinomial 3. Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan data variansi acak diskrit. Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll. Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk setiap unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak. Jika variabel x dan t menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai masing-masing

,

,.....,

, dimana

+

,

,.....,

+.....+

dengan peluang =1 dikatakan suatu

distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang mempunyai nilai masing-masing ,

,.....,

untuk x =

,

,.....,

disebut

fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluang bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut variabel acak diskrit. Contoh Misalkan sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(x)

STATISTIKA DASAR

Page 1

Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah

Jadi dalam 900

pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5. Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue. Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(x) dapat menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku : ∫

( )



Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah : ( )

P (a < x < b) = ∫ Contoh 1

Sebuah variabel acak kontinu x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyai fungsi densitas f(x) = a. Tunjukkan P (2 < X < 4) = 1 b. Hitung P (2 < X < 3) ! Penyelesaian :

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

1

2

3

4

Grafik untuk fungsi, f(x) = Pada Gambar berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua. Luas =

(

)

STATISTIKA DASAR

Page 2

=

( ( )

( ))( )

Karena f(2) =

f(4)= (

)

Maka p (2 < x < 4) =

=1

b. Bahwa jika P (2 < X < 3) = atau dengan cara

Terbukti

( ( )

( ))( )

=(

) =

∫ ∫ ( ((

) )

(

))

( )

1. DISTRIBUSI BINOMIAL Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah : 1. Percobaan terdiri atas n peristiwa 2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal 3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p 4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain Karakteristik dari binomial distribution : 1. Grafiknya discontinuous (terputus-putus) 2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n 3. Bentuknya simetris bila p = q atau p ≠ q asal n besar

STATISTIKA DASAR

Page 3

Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p). Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah : (

b (x; n, p) = ( ) b (x; n, p) = ( ) =

) (

)

Keterangan : b = distribusi binomial x = banyaknya sukses n = banyaknya ulangan bebas p = peluang memperoleh sukses pada percobaan (ulangan) tunggal Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit b(x; n,p) = p (x) = P(X = x) Parameter distribusi binomial adalah dan , dimana = np dan = √

=√

(

).

Contoh 1 Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja ? Penyelesaian : Diketahui p = 75 % = 0,75 q = 1 – p = 0,25 P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) = ( )

(0,75)² (0,25)² = 0,211

Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211

STATISTIKA DASAR

Page 4

Contoh 2 Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya bahwa dalam 5 kali pelambungan tersebut muncul mata dadu 2 sebanyak 3 buah ? Penyelesaian : p = peluang muncul mata dadu 2 pada satu pelambungan = n = 5 (banyaknya pelambungan, banyaknya ulangan) x = 3 (banyaknya muncul mata dadu 2 yang diharapkan) P (X = 3) = b (3; 5, ) = ( )( ) ( = (10) ( =

)

)( )

= 0,032

Contoh 3 10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A: a. semuanya b. sebuah c. dua buah d. paling sedikit sebuah e. paling banyak dua buah f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A Penyelesaian : a. Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka

= peluang benda

termasuk kategori A = 0,10 P (X = 30) = (

)(

)

(

) =

Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.

STATISTIKA DASAR

Page 5

b. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1 P (X = 1) = (

)(

) (

)

= 0,1409

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409 c. Di sini X = 2, sehingga : P (X = 2) = (

)(

) (

)

= 0,2270

d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,… , 30. Jadi, perlu P (X = 1) + P (X = 2) + …. + P (X = 30). Tetapi P (X = 0) + P (X =1) + … + P (X = 30) = 1, sehingga yang dicari adalah 1 – P 9X = 0) Sekarang P (X = 0) = (

)(

) (

)

= 0,0423

Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A adalah 1 – 0,0423 = 0,9577 e. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0, 1, 2. Perlu dicari P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2). Di atas, semuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102 f. Didapat p = 30 (0,1) = 3 Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.

2.1.2 DISTRIBUSI MULTINOMIAL Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ... xk peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh distribusi multinomial. Jika pada satu percobaan tunggal dapat menghasilkan k kejadian ,

,

, …,

dengan peluang berturut-turut

peluang untuk mendapatkan …,

kejadian P(

kejadian

kejadian

, …,

, ,

, maka

kejadian

,

, ditentukan oleh :

)=

,

Notasi lain P(

) = f(

Dengan

= n dan

Sedangkan 0 <

,

,

,

; , +

,n)

=1

< 1, i = 1, 2, …, k

STATISTIKA DASAR

Page 6

Ada operator factorial pada definisi tersebut, yang dirumuskan oleh : ( )(

)(

)

( )( )( ) 1

Contoh 1 Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang didapat mata 1, mata 2, … , mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah ? Penyelesaian :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0,0034 Contoh 2 Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru,6 dan 5 bola putih. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Diambil sebuah kotak lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih ? Penyelesaian : = 1;

= 2;

(

= 3; n = 6;

= ;

h

= ;

= h)

( ) ( ) ( ) = 0,121

=

Jadi, peluang terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih adalah 0,121

2.1.3 DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Misalnya

kita

berkeinginan

untuk

mencari

peluang

untuk

mendapatkan 3 buah kartu berwarna merah dalam pengambilan 5 buah kartu bridge. Diketahui ada 26 buah kartu berwarna merah dari 52 buah kartu bridge. Pengambilan 5 buah tersebut dilakukan sekaligus (yang ini disebut sampling tanpa pengembalian). Eksperiment seperti ini disebut eksperiment

STATISTIKA DASAR

Page 7

hipergeometrik. Variabel random yang diperoleh disebut variabel random hipergeometrik. Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah :  Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N  k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda diklasifikasikan sebagai gagal Suatu variabel random X disebut mempunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter N, n, dan k jika fungsi peluangnya dapat dinyatakan dalam bentuk : ( )(

h (x; N, n, k) =

)

, untuk k = 0, 1, 2, ..., n

( )

Jika variabel random deskrit X mepunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter N, n, dan k, maka rataan dan variansinya adalah : a. b.

= =

n

(

)

Contoh 1 Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati ? Penyelesaian : Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3 maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah (

H (3; 52, 5, 13) =

)( (

) )

= 0,0815

Contoh 2 Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara 5 orang tadi : a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari b. Terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari Penyelesaian : STATISTIKA DASAR

Page 8

a. Ambil x = bamyak orang di antara n =5 yang lahir pada tanggal 1 Januari.maka dengan N = 50, k = 3 ( )(

p (0) =

(

)

= 0,724

)

Peluangnya adalah 0,724 bahwa kelima orang itu tidal lahir pada tanggal 1 Januari b. Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1 p (0) suadah dihitung di atas ( )(

p (1) =

(

) )

= 0,253

Sehingga, peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu yang lahir pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 = 0,977 Contoh 3 Dalam pengambilan 5 buah kartu dari seperangkat kartu bridge (yang terdiri dari 52 kartu). Berapa peluang bahwa di antara 5 buah kartu yang diambil tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah ? Penyelesaian : N = 52 (banyaknya kartu bridge) k = 26 (banyaknya kartu yang berwarna merah) n = 5 (banyaknya kartu yang diambil) x = 3 (banyaknya kartu merah yang diharapkan terambil) (

h (3; 52, 5, 26) =

)( (

) )

(

=

)(

)

= 0,3251

Jadi, peluang bahwa di antara 5 kartu tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah adalah 0,3251 Contoh 4 Dari suatu percobaan hipergeometrik dengan a = 3, b = 37 dan n = 5, tentukan nilai harapan (harapan matematis) dan variansnya ? Penyelesaiam : a=3 STATISTIKA DASAR

Page 9

b = 37 p=

=

q=1–p = 1–

= E (X) = n . p

Var (X) = npq

=5.

=5.

.

.

= = 0,3113 = 0,375

2.2 SOAL 1.

Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka sebanyak 5 kali.

2.

Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa : a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijau c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau

3.

Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ?

4.

Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, STATISTIKA DASAR

Page 10

2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 responden ? 5.

Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat :

6.

a.

Tidak ada yang rusak

b.

Satu rusak

c.

Paling sedikit satu rusak

d.

Paling banyak dua rusak

Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “

7.

Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5 orang tadi, a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari

8.

Lima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. Berapa probabilitasnya bahwa kartu yang terambil : a. sebuah kartu As b. paling sedikit 1 kartu As

9. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah kemungkinan komisi tersebut terdiri dari : a. 3 orang pria dan 2 orang wanita b. paling sedikit terdiri dari 3 orang pria c. berjenis kelamin sama 10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli kimia dalam komite itu ?

STATISTIKA DASAR

Page 11

BAB III PENUTUP

Setelah permasalahan-permasalahan yang

berhubungan dengan

Distribusi Peluang ini diuraikan, maka dalam bab terakhir ini kita berusaha menarik kesimpulan dari uraian-uraian yang terdapat pada bab I dan bab II, juga disampaikan saran-saran yang mungkin bermanfaat bagi calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika khususnya di IKIP PGRI Madiun. 3.1

KESIMPULAN Berdasarkan hasil deskripsi bab I dan bab II maka dapat

disimpulkan sebagai berikut: A. Distribusi Binomial Jika variable random diskrit X berdistribusi Binomial, maka : STATISTIKA DASAR

Page 12

1.

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : b (x; n, p) =

2.

.

Harapan matematis = E (X) = np Varians = Var (X) = npq Dengan n = banyaknya eksperiment p = p (sukses) q = 1 – p = P (gagal)

B. Distribusi Multinomial Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Multinomial, maka : 1.

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : P(

)=f( ,

; ,

,n)=

,

C. Distribusi Hipergeometrik Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Hipergeometrik, maka : 1.

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : h (x; n, a, b) = dengan a = banyaknya unsur sukses b = banyaknya unsur gagal n = banyaknya percobaan

2.

Harapan matematisnya = E (X) = np Variansnya = Var (X) = npq dengan P

3.2.

, yaitu probabilitas terjadinya unsur sukses

SARAN Sebagai calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika ada

beberapa hal yang akan kami sampaikan untuk menambah wawasan calon-

STATISTIKA DASAR

Page 13

calon pendidik ketika dihadapkan dengan seorang anak didik, yaitu sebagai berikut: 1. Pendidik harus mampu berbicara menggunakan bahasa Indonesia yang baik dan benar ketika menyampaikan pengajaran kepada anak didiknya, agar anak didiknya bisa menerima dan bisa mengikuti apa yang kita sampaikan. 2. Tidak sedikit seorang anak didik beranggapan bahwa pendidik matematika adalah suatu guru yang menakutkan, menyeramkan, dan menegangkan. Maka untuk itu seorang pendidik matematika harus mampu membuat suasana tempat pengajarannya menjadi lebih hidup dan harus bisa memastikan kalau anak didiknya senang, suka, dan nyaman diajar oleh kita dan tidak menganggap kita sebagai guru yang menakutkan, juga mereka bisa menerima materi dengan baik dan tidak merasa terpaksa. 3. Untuk calon pendidik matematika khususnya IKIP PGRI Madiun dua hal yang akan kami sampaikan: a. “Belajarlah terus agar menjadi Guru yang Profesional”. b. “Berbicaralah engkau maka akan segera diketahui siapa dirimu”.

DAFTAR PUSTAKA

Budiyono, 2004. Statistika Untuk Penelitian. Surakarta: Universitas Sebelas Maret Press. Kustini, Cahyowati Etty Tejo Dwi. 1994. Statistika Matematika I. Jakarta: Universitas Terbuka Depdikbud. Subagyo, Pangestu, PS djarwanto. 2005. Statistika Induktif Edisi 5. Yogyakarta: BPFE. Sudjana, 1975. Metoda Statistika Edisi 5. Bandung: Tarsito. http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusipeluang.html STATISTIKA DASAR

Page 14

LAMPIRAN KUNCI SOAL 1.

Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka sebanyak 5 kali. Penyelesaian : Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali (n=10). Misalkan peristiwa hasil sukses adalah munculnya sisi muka (M). maka P (sukses) = P (M) =

= p,

dan P (gagal) = P (B) = = q.-pl, Tampak bahwa p + q = 1 atau p = 1 – q atau q = 1 – p. Peristiwa munculnya M dan B saling bebas dan merupakan partisi dari ruang sampel, sebab ruang sampel S = {(M),(B)} STATISTIKA DASAR

Page 15

Sehingga (

)

( ) ( ) = 252 =

2.

= 0,246

Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa : a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijau c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau Penyelesaian : a. misal X = banyaknya kaleng yang berisi cat hijau Jadi X = 30 p = probabilitas sebuah kaleng cat berisi cat hijau = 0,10 q = 1 – 0,10 = 0,90 probabilitas yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau = P (X = 30) = b (X;30,(0,10)) =

(

)

(

)

(

) (

= b. untuk X = 1 P (X = 1) =

)

= 0,1409

Probabilitas yang terambil 1 kaleng cat berwarna hijau = 0,1409 c. untuk X

1, berarti X = 1,2,3,…,30

Probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) +…+ P (X = 30) Karena : P (X = 0) + P (X = 2) +…+ P (X = 30) = 1, maka yang dicari adalah 1 – P (X = 0) P (X = 0) =

(

)

= 0,0423

Jadi probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau STATISTIKA DASAR

Page 16

= 1 – P (X = 0) = 1 – 0,00423 = 0,9577 d. untuk

2, berarti X = 0, 1, 2

Yang dicari adalah : P (X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2) P (X = 0) = 0,0423 P (X = 1) = 0,1409 (

P (X = 2) =

)

= 0,2277

Jadi, probabilitas yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau = 0,2277 3.

Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ? Penyelesaian : n = 40 probabilitas tidak bocor = 1 – probabilitas bocor = 1 – 0,2 = 0,8 Jadi p = 0,8 dan q = 1 – 0,8 = 0,2 E (X) = np = 40 x (0,8) = 32 Var (X) = npq =40 x (0,8) x (0,2) = 6,4 Harapan ember yang terambil tidak bocor = 32 Variansnya = 6,4

6

4. Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 responden ? Penyelesaian : Di sini n = 5 dan p = 0,2 X = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 (

)

=1x(

) x(

) = 0,3277

(

)

=5x(

) x(

) = 0,4096

STATISTIKA DASAR

Page 17

(

)

= 10 x (

) x(

) = 0,2048

(

)

= 10 x (

) x(

) = 0,0512

(

)

=5x(

) x(

) = 0,0064

(

)

=1x(

) x(

) = 0,0003

Adapun histogramnya seperti terlihat pada gambar berikut : Probabilitas

0,4096

0,3277

0,2048

0,0512 0,0064 0,0003 0

5.

1

2

3

4

Respons

5

Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat : a. Tidak ada yang rusak b. Satu rusak c. Paling sedikit satu rusak d. Paling banyak dua rusak Penyelesaian : Di sini n = 10, p = 010 a.

(

)

=(

)x

b.

(

)

=(

) x 0,10 x

(

)

=(

)x

x 0,38742 x

45 (0,00000001) (0,81) = 0.0000004

c. Paling sedikit rusak satu rusak, berarti yang rusaknya 1, 2, 3, …, 10 STATISTIKA DASAR

Page 18

Jadi, kita harus menghitung probabilitas untuk X = 1, 2, 3, …, 10, kemudian dijumlahkan. (

)

+

(

)

+…+

(

)

=1-

(

)

1 – 0,34868 0,65132 d. Paling banyak dua rusak, ini berartisama dengan benda yang rusak boleh 0, 1 atau 2 buah. Jadi kita perlu menghitung : +

(

)

+

(

)

(

)

= 0,24868

(

)

= 0,38742

(

)

=(

(

)x

)

x

= 0,19371 0,92981

Jadi, peluang munculnya mata dadu 2 sebanyak 3 buah adalah 0,032 6. Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “ Penyelesaian : Misal : E1 : terjadi total 7 atau 11 E2 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 = , p2 = dan p3 =

dengan distribusi multinom dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka

peluang yang ditanyakan : P (2, 1, 3) =



( ) ( ) ( ) = 0,1127

7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5 orang tadi, a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari STATISTIKA DASAR

Page 19

b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari Penyelesain : a. misalkan X = banyaknya orang diantara yang lahir pada tanggal 1 Januari a + b = 50 a=3 n=5 P (X = 0) = h (0; 5, 3, 47) =

= 0,724

Berarti bahwa probabilitas kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Januari adalah 0,724 b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari, berarti X = 0 dan X=1 P (X = 0) sudah dihitung di atas P (X = 1) = h (1; 5, 3, 47) =

= 0,253

Sehingga peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu lahir pada tanggal 1 Januari = 0,724 + 0,253 = 0,977 8. Lima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. Berapa probabilitasnya bahwa kartu yang terambil : a. sebuah kartu As b. paling sedikit 1 kartu As Penyelesaian : a. P (X = 1) = h (1; 5, 4, 48) =

= 0,30

b. Kemungkinan paling sedikit 1 kartu As adalah : h (1; 5, 4, 48) + h (2; 5, 4, 48) + h (3; 5, 4, 48) + h (4; 5, 4, 48) = 0,34 9. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah kemungkinan komisi tersebut terdiri dari : a. 3 orang pria dan 2 orang wanita b. paling sedikit terdiri dari 3 orang pria c. berjenis kelamin sama STATISTIKA DASAR

Page 20

Penyelesaian : a. Kemungkinan komisi terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita adalah : =3 =2

( ) ( )

= = =

= 0,3456 Jadi kemungkinannya adalah 0,3456 b. Komisi paling sedikit mempunyai 3 orang pria adalah Ada 3 kemungkinan : 1. Jika

=3 =2

2. Jika

=4 =1

3. Jika

=5 =0

1.

( ) ( )

0,3456 2.

( ) ( )

0,2592 3.

( ) ( ) 1

STATISTIKA DASAR

Page 21

0,07776 Jadi kemungkinannya adalah 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256 c. Komisi terdiri dari jenis kelamin yang sama adalah Ada 2 kemungkinan : 1. Jika

=5 =0

2.Jika

=0 =5

( ) ( ) 1

0,07776 ( ) ( ) 1 0,01024 Jadi kemungkinannya adalah 0,07776 + 0,01024 = 0,088

10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli kimia dalam komite itu ? Penyelesaian : Andaikan X menyatakan banyaknya ahli kimia dalam komite Maka

= {0, 1, 2, 3}

n = 5 (banyaknya orang dalam komite) a = 3 ( ahli kimia) b = 5 (ahli fisika) a. tidak ada ahli kimia pada (5 orang) komite

STATISTIKA DASAR

Page 22

P (X = 0) = h (0; 5, 3, 5) =

=

b. ada 1 ahli kimia pada (5 orang) komite P (X = 1) = h (1; 5, 3, 5) =

=

c. ada 2 ahli kimia pada komite P (X = 2) = h (2; 5, 3, 5) =

=

d. ada 3 ahli kimia pada komite P (X = 3) = h (3; 5, 3, 5) =

STATISTIKA DASAR

=

Page 23