Loi De Weibull 5b3f61

Concept F.M.D. Fiabilité – Maintenabilité - Disponibilité

Vidéo 06 : Loi de Weibull

S.Pigot 2009

Loi de Weibull  Définition: On dit que la variable aléatoire Z suit la loi de Weibull lorsque son 𝛽 𝑡−𝛾 𝛽−1 (t)=𝜂 . 𝜂

taux d’avarie est : pour t > g ; b, g, h sont des constantes avec b > 0;

h > 0.

 Conséquences : Sa fonction de fiabilité est : R(t) =

𝑡−𝛾 𝛽

− 𝑒 𝜂

On retrouve la MTBF et l’écart type à l’aide de table :

MTBF : Ah + g et s = B.h L'utilisation du papier imaginé par Weibull pour représenter F(t) permet de déterminer les 3 paramètre de la loi.  Remarque : pour γ=0 et β=1, on retrouve la distribution exponentielle

Loi de Weibull  Paramètres de la loi : β : Paramètre de forme, donne des indications sur le mode des défaillances et sur l'évolution du taux de défaillances dans le temps.

 Si β>1, le taux de défaillance est croissant, caractéristique de la zone de vieillesse • 1,5 < b < 2,5 : fatigue • 3 < b < 4 : usure, corrosion

 Si β=1, le taux de défaillance est constant, caractéristique de la zone de maturité  Si β<1, le taux de défaillance est décroissant, caractéristique de la zone de jeunesse

Loi de Weibull  Paramètres de la loi : g : paramètre de position, donne des indications sur le retard de la fonction f(t). γ>0 : une probabilité de défaillance dans les premières utilisations du système est nulle.

γ=0 : une probabilité de défaillance sera présente dés la mise en service du Système γ<0 : ceci explique qu’une probabilité de défaillance est déjà présente au moment de l’installation du système.

Loi de Weibull  Paramètres de la loi : h : Paramètre d’échelle >0 qui s’exprime dans l’unité de temps Il dirige l'échelle ou encore la dispersion de la distribution. Si h est grand, alors la distribution est très étalée, si h est petit, la distribution est concentrée.

Loi de Weibull

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 Détermination des paramètre de la loi : papier Weibull

1- Préparation des données:

η

g=0

β 2- Tracé du nuage de points :

11%

3- Tracé de la droite de Weibull 4- Équation de la loi

η= 770h

165h

R(t )  e

(

t 1, 4 ) 770

5- Détermination MTBF

MTBF = A.h + g

Loi de Weibull  Optimisation de la période d’intervention systémique : L’étude de Weibull a permis de trouver un b=1,4 et h=770h 1- détermination du ration économique:

•Le coût « p » du correctif •Le coût indirect « P »

r =P/p ratio de « criticité économique »

Avec un r = 10 r=10

2- détermination période optimale :

𝜽𝟎 = h.𝑿𝟎 Soit un changement systématique à : X0=0,38

𝜽𝟎 = 770.0,38 = 292h