Ley De Los Cosenos 5a2i6

UNIDAD IV. TRIANGULOS OBLICUANGULOS. LEY DE SENOS Y COSENOS. TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS Un Obtusángulo, también llamado triángulo Oblicuángulo CAB = obtuso.

ABC y BCA = agudos.

Se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación.

Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes propiedades: 1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º. 2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercero. OJO: Es importante identificar que las letras que nombran a los ángulos están escritas en Mayúsculas y las letras que nombran a los lados están escritas en minúsculas. El ángulo A tiene como opuesto al lado a, el ángulo B tiene como opuesto el lado b, y el ángulo C tiene como opuesto al lado C.

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Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Existen cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos según los datos que conozcamos: 

Caso I.- Conocidos los tres lados.



Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.



Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.

2



Caso IV.- Conocidos los tres lados.

B=?

c

a

A=?

C=? b

La determinación de los elementos restantes se logra a través de dos teoremas que deduciremos a continuación, tomaremos como referencia las figuras que a continuación presentamos.

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Demostración para obtener la ley de Cosenos. Teorema Ley de los cosenos, considera el triángulo de la figura y verifica que:

a 2  b 2  c 2  2bc cos A B

h

c

a

H

A

b–x

X

C

b Demostración: Sea h la altura que va de B al segmento AC. De esta manera, se construyen dos triángulos rectángulos, en la figura anterior. Observa que los catetos son: Para el triángulo ABH: x y h Para el triángulo: CBH: h, b – h De manera que AC = b = x + (b – x) De esta manera, el teorema de Pitágoras aplicado a cada triángulo rectángulo de la figura anterior nos lleva a las siguientes igualdades Δ ABH: c2 = h2 + x2

o bien

Δ CBH: a2 = (b – x )2 + h2

h2 = c 2 – x 2

o bien

h2 = a2 – (b – x )2

Como se puede observar los dos triángulos tiene un cateto en común BH el cual es la altura de cada triángulo, en base a esto se pueden relacionar las dos igualdades anteriores c2 – x2 = a2 – (b – x)2 Que al desarrollar el binomio al cuadrado se transforma en: 4

c2 – x2 = a2 – (b2 – 2bx + x2) O bien c2 – x2 = a2 – b2 + 2bx – x2 de donde los términos - x2 se eliminan por encontrarse en cada miembro de la igualdad con el mismo signo, por lo que tenemos. c2 = a2 – b2 + 2bx Despejando a2 tenemos: a2 = b2 + c2 – 2bx Además, del triangulo ABH de la figura anterior calculamos el coseno de A y tenemos:

cos A 

x c

o bien despejando x tenemos:

x  c cos A Así, al cambiar esta relación en la igualdad a2 = b2 + c2 – 2bx nos da como resultado:

a 2  b 2  c 2  2bc cos A Con lo que se demuestra el teorema de la ley de cósenos, del mismo modo se deducen para los lados c y b quedado de la siguiente forma:

Leyes de cosenos

a 2  b 2  c 2  2bc cos A

b 2  a 2  c 2  2ac cos B

c 2  a 2  b 2  2ab cos C

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Demostración para obtener la ley de Senos. Para deducir la ley de los senos utilizaremos la siguiente figura: B

c

A

h

a

b

C

En donde se busca el seno del Angulo A y el seno del Angulo C y se tiene:

senoA 

h c

senoC 

h a

Despejando h de cada una de las relaciones tenemos:

h  c  senA

h  a  senoC

En la figura podemos observar que la altura es común a cada triangulo si igualamos las relaciones anteriores tendremos:

c  senA  a  senC De donde se obtiene:

c a  senC senA Del mismo modo si relacionamos el Angulo B con el Angulo A obtenemos:

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a b  senA senB Por lo que se demuestra el teorema de ley de senos que finalmente se expresa:

Ley de senos

a b c   senA senB senC Resolución de triángulos Oblicuángulos. Un triángulo oblicuángulo es aquel en el que no es recto ninguno de sus ángulos. Puede tener los tres ángulos agudos, o dos agudos y uno obtuso B

c

a

A

C b Un triángulo queda determinado cuando se conocen: a) Un lado y dos ángulos b) Dos lados y él ángulo opuesto a uno de ellos. c) Dos lados y el ángulo comprendido d) Los tres lados.

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Ley de los senos La ley de los senos establece que en cualquier triángulo oblicuo (es aquel que no tiene ningún ángulo recto) se cumplen las siguientes condiciones: B

c

a

A

C b

a b c   senA senB senC

o también:

senA senB senC   a b c

Ley de cosenos La ley establece que el cuadrado un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido

a 2  b 2  c 2  2bcCosA b 2  a 2  c 2  2acCosB c 2  a 2  b 2  2abCosC Para encontrar los ángulos, se despejan las fórmulas y quedarán:

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b2  c2  a2 CosA  2bc a2  c2  b2 CosB  2ac a2  b2  c2 CosC  2ab . Además, recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º

A  B  C  180º

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LOS EJEMPLOS DE ESTE CAPITULO SE ENCUENTRAN EN LA SIGUIENTE PAG.

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Resolución de triángulos oblicuángulos a

a) Dados un lado y dos ángulos:

C=65º

Solución: b=120 Datos:

B=88º

Incógnitas:

b  120

a ?

B  88

c ?

c

A?

C  65 Resolución:

A La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.  A  180  (88  65)  A  180  (153)  A  27

Para encontrar los lados del triángulo tenemos que utilizar la ley de senos, ya que tenemos los tres ángulos del triángulo. Formula: a b c   Sen A Sen B Sen C

Sustituyendo y realizando operaciones: a 120 c   Sen 27 Sen 88 Sen 65

a

120 ( Sen 27) 120 ( 0.4540)  Sen 88 0.9994

c

120 ( Sen 65) 120 ( 0.9063)  Sen 88 0.9994

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a  54.51

c  108.82

Ejemplo

Obtén los valores que se piden C=61º20’ a=? Solución: Datos:

Incógnitas:

b  19.7

a?

A  4210'

c? B  ?

C  6120'

b=19.7

B=?

c=?

A=42°10’

Resolución:

La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.  B  180  (4210'6120' )  B  180  (10330' )  B  7630'

Para encontrar los lados del triángulo tenemos que utilizar la ley de senos, ya que tenemos los tres ángulos del triángulo. Formula: a b c   Sen A Sen B Sen C

Sustituyendo y realizando operaciones: a 19.7 c   Sen 4210' Sen 7630' Sen 6120'

a

19.7 ( Sen 4210' ) 19.7 ( 0.6713)  Sen 7630' 0.9723

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a  13.60

c

19.7 ( Sen 6120' ) 19.7 ( 0.8774)  Sen 7630' 0.9723

c  17.77

b) Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, los resultados obtenidos se pueden enunciar así: Cuando el ángulo dado es agudo, sucede que 1) Existe una solución si el lado opuesto al ángulo dado es igual o mayor al otro ángulo dado. 2) No hay solución, existe una solución (triángulo rectángulo) o existen dos soluciones si el lado opuesto al ángulo dado es menor que el otro ángulo dado. Cuando el ángulo dado es obtuso, se tiene que: 1) No hay solución si el lado opuesto al ángulo es igual o menor que el otro lado 2) Existe una solución si el lado opuesto al ángulo dado es mayor que el otro lado dado. Ejemplo 1) Cuando b = 40, c = 30 y

 B = 50º, existe una solución puesto que B es

agudo y b > c. 2) Cuando b = 30, c = 40 y

 B = 50º, puede suceder de que no haya solución

o que haya una o dos soluciones. 3) Cuando b = 40, c = 30 y  B = 130º, existe una solución. 4) Cuando b = 30, c = 40 y  B = 130º, no existe solución.

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EJEMPLO C=?

a=21.3 b=18.9

B=?

c=?

Solución: Datos:

Incógnitas:

a  21.3

B  ?

b  18.9

C  ?

A  65.17

c?

Sen A Sen B Sen C   a b c

Sen 65.17 Sen B  21.3 18.9 Sen B 

18.9 ( Sen 65.17) 21.3

Sen B 

18.9 (0.9075) 21.3

Sen B  0.8053 B  Arc Sen 0.8053

B  53.64

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A=65.17°

Para encontrar el tercer ángulo simplemente le restamos a 180° los ángulos conocidos: C  180  (65.17  53.64) C  180  (118.81)  C  61.19

Nada más nos hace falta encontrar un lado. a b c   Sen A Sen B Sen C

21.3 c  Sen 65.17 Sen 61.19 c

21.3 ( Sen 61.19) Sen 65.17

c

21.3 (0.8762) 0.9075

c  20.56

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c) Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. EJEMPLO B=?

a=132 c=?

A=?

C=28.67° b=224

Solución: Datos:

Incógnitas:

a  132

A?

b  224

B  ?

C  28.67

c?

c 2  a 2  b 2  2abCos C c 2  132 2  224 2  2 (132) (224) Cos 28.67 c 2  17424  50176  59136 (0.8736) c 2  17424  50176  51885.78

c 2  15714.22 c  15714.22

c  125.36

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Bien, por lo tanto ya tenemos los tres lados, solamente nos falta obtener 2 ángulos y lo haremos por la ley de los senos. Sen A Sen B Sen C   a b c Sen A Sen B Sen 28.67   132 224 125.36

Sen A Sen 28.67  132 125.36

Sen A 

132 ( Sen 28.67) 125.36

Sen A 

132 (0.4797) 125.36

A  Arc Sen 0.5051

A  30.34 Para obtener el ángulo restante solo a 180° la suma de los ángulos conocidos: B  180  ( 28.67  30.34) B  180  ( 59.01) B  120.99

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EJEMPLO B=110.83°

a=322 c=212

A=?

C=? b=?

Solución: Datos:

Incógnitas:

a  322

A?

c  212

C  ?

B  110.83

b?

b 2  a 2  c 2  2acCos B b 2  322 2  212 2  2 (322) (212) Cos 110.83 b 2  103684  44944  136528 (0.3556) b 2  103684  44944  48548 b 2  197176.86 b  197176.86

c  444.05 Bien, por lo tanto ya tenemos los tres lados, solamente nos falta obtener 2 ángulos y lo haremos por la ley de los senos.

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Sen A Sen B Sen C   a b c Sen A Sen 110.83 Sen C   322 444.05 212

Sen A Sen 110.83  322 444.05

Sen A 

322 ( Sen 110.83) 444.05

Sen A 

322 (0.9346) 444.05

A  Arc Sen 0.6777

A  42.67 Para obtener el ángulo restante solo a 180° la suma de los ángulos conocidos: C  180  ( 42.67  110.83) C  180  (153.50) C  26.50

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d) Dados los tres lados.

EJEMPLO. B=?

c=60 a=25

A=?

b=80

C=?

Solución: Datos:

Incógnitas:

a  25

A?

b  80

B ?

c  60

C  ?

En el caso en que nos den los datos de los tres lados utilizaremos la ley de los Cosenos para encontrar cada uno de los tres lados.

b2  c2  a2 CosA  2bc a2  c2  b2 CosB  2ac a2  b2  c2 CosC  2ab

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b2  c2  a 2 Cos A  2bc 80 2  60 2  252 Cos A  2(80)(60) 6400  3600  625 9600 9375 Cos A   0.9765 9600 A  Arc Cos 0.9765 Cos A 

A  12.43

a 2  c2  b2 Cos B  2ac 252  60 2  80 2 Cos B  2(25)(60) 625  3600  6400 Cos B  3000  2175 Cos B   0.7250 3000 B  Arc Cos  0.7250 B  136.47 El último ángulo lo podemos encontrar con la resta a 180° menos los ángulos que ya conocemos. C  180  (12.43  136.47) C  180  (148.9)  C  31.10

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EJEMPLO. B=?

c=26.4 a=24.5

A=?

b=18.6

C=?

Solución: Datos:

Incógnitas:

a  24.5

A?

b  18.6

B ?

c  26.4

C  ?

En el caso en que nos den los datos de los tres lados utilizaremos la ley de los Cosenos para encontrar cada uno de los tres lados.

b2  c2  a2 CosA  2bc a2  c2  b2 CosB  2ac a2  b2  c2 CosC  2ab

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b2  c2  a 2 Cos A  2bc 18.6 2  26.4 2  24.52 Cos A  2(18.6)(26.4) 345.96  696.96  600.25 Cos A  982.08 442.67 Cos A   0.4507 982.08 A  Arc Cos 0.4507 A  63.21 a 2  c2  b2 Cos B  2ac 24.52  26.42  18.6 2 Cos B  2(24.5)(26.4) 600.25  696.96  345.96 Cos B  1293.6 951.25 Cos B   0.7353 1293.6 B  Arc Cos 0.7353 B  42.66 El último ángulo lo podemos encontrar con la resta a 180° menos los ángulos que ya conocemos. C  180  (63.21  42.66) C  180  (105.87)  C  74.13

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