Ley De Senos Y Cosenos 5b5v3w

INSTITUCION EDUCATIVA GENERAL SANTANDER VILLA DEL ROSARIO AREA: MATEMÁTICAS. ASIGNATURA: MATEMÁTICAS. GRADO: 10A. GUIA No: 07. FECHA: AGOSTO 06 DE 2015. TIEMPO DISPONIBLE: 6 HORAS. DOCENTE. JULIO ERNESTO GOMEZ MENDOZA

TEMA. Aplicaciones de las funciones trigonométricas. Problemas relativos a triángulos oblicuángulos. ESTANDARES CURRICULARES. Soluciona problemas de triángulos aplicando las funciones trigonométricas y sus teoremas. CONCEPTUALIZACION. Si ninguno de los ángulos de un triángulo es recto, el triángulo se llama oblicuángulo. Un triángulo oblicuángulo tendrá tres ángulos agudos o dos ángulos agudos y un ángulo obtuso.

Todos los ángulos son agudos Dos ángulo agudos y uno obtuso Resolver un triángulo oblicuángulo significa encontrar las longitudes de sus lados, la medida de sus ángulos, el área y el perímetro. Para hacer esto, necesitamos conocer la longitud de un lado junto con otras dos cantidades: ya sean dos ángulos o los otros dos lados, o bien un ángulo y otro lado. Así, hay cuatro posibilidades por considerar: Caso 1. Se conocen un lado y dos ángulos (LAA o ALA). Caso 2. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA). Caso 3. Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL). Caso 4. Se conocen tres lados (LLL). Teorema del Seno. En un triángulo cualquiera las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Demostración. Supongamos un triángulo ABC oblicuángulo, si en este ____

trazamos la altura hb sobre la base AC , se generan dos triángulos rectángulos, es decir, ΔADB y ΔBDC. En el triángulo ADB calculamos SenA, y en el triángulo BDC, SenC. (1) SenA = h / c, de donde: h = c.SenA. (2) SenC = h / a, de donde: h = a.SenC Como podemos observar en (1) y (2) hay dos valores para h que deben ser equivalentes, luego, igualando (1) y (2), tenemos:

a.SenC = c.SenA, luego;

a SenA

=

c SenC

(3)

Si en el mismo triángulo ABC se traza la altura h sobre el lado BC, se presenta nuevamente dos triángulos rectángulos, es decir, ΔAEB y ΔAEC. En el triángulo AEB calculemos el valor de SenB: SenB = h / c , de donde h = c.SenB. ( 4 ). Igualmente, en el triángulo AEC calculemos SenC: SenC = h / b, de donde h = b.SenC. ( 5 ). b Igualando ( 4 ) y ( 5 ). B.SenC = c.SenB. = SenB

c SenC

(6)

Igualando ( 3 ) y ( 6 ). 𝑎 𝑏 𝑐 = = 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝑆𝑒𝑛𝐶 = = 𝑎 𝑏 𝑐 Para la solución de triángulos oblicuángulos nos basamos en el siguiente triángulo:

Ejemplo 1. Resuelva el triángulo: 𝛼 = 40°, 𝛽 = 60°, 𝑎 = 4, Solución. Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, se deduce que 𝛾 = 80°. Para hallar cualquier lado b o c se aplica la ley del seno: 𝑆𝑒𝑛40° 4

𝑏= 𝑆𝑒𝑛40° 4

=

𝑆𝑒𝑛80° 𝑐

; se despeja c: 𝑐 =

=

𝑆𝑒𝑛60°

𝑏 4.𝑆𝑒𝑛60° 𝑆𝑒𝑛40°

4.𝑆𝑒𝑛80° 𝑆𝑒𝑛40°

; se despeja b:

= 5.4.

= 6.1.

Recuerda que el perímetro de un polígono cualquiera es la suma de todos sus lados. El perímetro del triángulo es: P = a + b + c = 4 + 5.4 + 6.1 = 15.5. Para hallar el área del triángulo se ℎ

halla la altura: 𝑆𝑒𝑛80° = ; 4

h = 4.Sen80° = 3.9. El área del triángulo es: 𝐴=

(𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 2

=

(5.4).(3.9) 2

= 10.5

Ejemplo 2. Resuelva el triángulo: 𝛼 = 35°, 𝛽 = 15°, 𝑐 = 5. Solución. Según los valores de los ángulos 𝛼 y 𝛽, el valor del ángulo 𝛾 es: 𝛾 = 180° − 35° − 15° = 130°. Se realiza el triángulo: Se aplica la ley del seno: 𝑆𝑒𝑛130° 5

𝑏=

𝑆𝑒𝑛15° 𝑏

5.𝑆𝑒𝑛15° 𝑆𝑒𝑛130°

𝑆𝑒𝑛130° 5

𝑎=

=

=

= 1.7.

𝑆𝑒𝑛35°

5.𝑆𝑒𝑛35° 𝑆𝑒𝑛130°

; se despeja b:

𝑎

; se despeja a:

= 3.7.

El perímetro del triángulo es: P = a + b + c = 3.7 + 1.7 + 5 = 10.4. Para hallar el área del triángulo se traza una de las alturas del triángulo y se halla el ángulo suplementario al ángulo de 130° que es el ángulo de 50° cuya suma con 130 es 180°. ℎ

Se halla la altura: 𝑆𝑒𝑛50° = ; h = a.Sen50°. 𝑎

h = 3.7.Sen50° = 2.8. El área del triángulo es: 𝐴=

(𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 2

=

(1.7).(2.8) 2

= 2.4

Ejemplo 3. Resuelva el triángulo: a = 3, b = 2, 𝛼 = 40° Solución. Se aplica la ley del seno: 𝑆𝑒𝑛40° 3

=

𝑆𝑒𝑛𝛽 2

; se despeja Sen𝛽:

𝑆𝑒𝑛𝛽 =

2.𝑆𝑒𝑛40° 3

= 0.4285.

Hay dos ángulos 𝛽 para la solución de 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 0.4285. 𝛽 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0.428) = 25.3° y 𝛽 = 180° − 25.3° = 154.7°. Recuerda que el seno es positivo en el primero y segundo cuadrante. El segundo valor se excluye porque: 40° + 154.7° = 194.7° es mayor que 180° y no tendríamos valor para el ángulo 𝛾.

Se toma para el ángulo 𝛽 el ángulo: 𝛽 = 25.3°. Según los valores de los ángulos 𝛼 y 𝛽, el valor del ángulo 𝛾 es: 𝛾 = 180° − 40° − 25.3° = 114.7°. Se aplica la ley del seno:

𝑐=

3.𝑆𝑒𝑛114.7° 𝑆𝑒𝑛40°

𝑆𝑒𝑛40° 3

=

𝑆𝑒𝑛114.7° 𝑐

; se despeja c:

= 4.2.

Se realiza el triángulo: El perímetro del triángulo es: P = 2 + 3 + 4.2 = 9.2. Se halla la altura del ℎ

triángulo: 𝑆𝑒𝑛40° = ; 2

h = 2.Sen40° = 1.3. Se halla el área del triángulo: 𝐴=

(𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 2

=

(4.2).(1.3) 2

= 2.7.

Ejemplo 4. Resuelva el triángulo: a = 6, b = 8, 𝛼 = 35° Solución. Se aplica la ley del seno:

𝑆𝑒𝑛𝛽 =

8.𝑆𝑒𝑛35° 6

𝑆𝑒𝑛35° 6

=

𝑆𝑒𝑛𝛽 8

; se despeja Sen𝛽:

= 0.7647.

Hay dos ángulos 𝛽 para la solución de 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 0.7647. 𝛽 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0.7647) = 49.9° y 𝛽 = 180° − 49.9° = 130.1°. Recuerda que el seno es positivo en el primero y segundo cuadrante. Se toma el primer ángulo 𝛽 el ángulo: 𝛽 = 49.9°. Según los valores de los ángulos 𝛼 y 𝛽, el valor del ángulo 𝛾 es: 𝛾 = 180° − 35° − 49.9° = 95.1°. Se toma el segundo ángulo 𝛽 el ángulo: 𝛽 = 130.1°. Según los valores de los ángulos 𝛼 y 𝛽, el valor del ángulo 𝛾 es: 𝛾 = 180° − 35° − 130.1° = 14.9°. Se aplica la ley del seno para el primer ángulo 𝛾 : 𝑆𝑒𝑛35° 6

=

𝑆𝑒𝑛95.1° 𝑐

; se despeja c: 𝑐 =

6.𝑆𝑒𝑛95.1° 𝑆𝑒𝑛35°

= 10.4.

Se aplica la ley del seno para el primer ángulo 𝛾 : 𝑆𝑒𝑛35° 6

=

𝑆𝑒𝑛14.9° 𝑐

; se despeja c: 𝑐 =

6.𝑆𝑒𝑛14.9° 𝑆𝑒𝑛35°

= 2.7.

Se realiza el triángulo con todos los datos del problema. Se realiza de nuevo el triángulo con la altura para hallar el perímetro y el área.

P1 = a + b + c = 6 + 8 + 10.4 = 24.4. P2 = a + b + c = 6 + 8 + 2.69 = 10.7. ℎ 𝑆𝑒𝑛(49.9°) = . ℎ = 6. 𝑆𝑒𝑛(49.9°) 6 h = 4.6 (10.4). (4.6) 𝐵. ℎ 𝐴1 = = = 23.9. 2 2 (2.69). (4.6) 𝐵. ℎ 𝐴2 = = = 6.2. 2 2

Ejemplo 05. Resuelva el triángulo: a = 2, c = 1, 𝛾 = 50°. Solución.

𝑆𝑒𝑛𝛼 2

=

𝑆𝑒𝑛(50°) 1

; 𝑆𝑒𝑛𝛼 =

2.𝑆𝑒𝑛(50°) 1

= 1.53.

Recuerda. No existe un ángulo para el Sen𝛼 > 1. Por tanto no puede haber un triángulo con las medidas dadas. Ejemplo 06. Problema de aplicación. Rescate en el mar. La estación guardacostas Zulu está localizada a 120 millas al oeste de la estación Rayo X. Un barco envía una llamada SOS de auxilio desde el mar, y la reciben ambas estaciones. La llamada a la estación Zulu indica que el barco está a 40° al noreste; la llamada a la estación Rayo X indica que el barco está a 30° al noroeste. a) ¿Qué tan lejos está cada estación del barco?. b) Si un helicóptero que vuela a 200 millas / hora se envía de la estación más cercana al barco, ¿qué tiempo le tomará llegar hasta éste? Solución. 𝛽 = 180° − 50° − 60° = 70° 𝑆𝑒𝑛70° 𝑆𝑒𝑛50° 120. 𝑆𝑒𝑛50° = ; 𝑎= = 97.82 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠. 120 𝑎 𝑆𝑒𝑛70° 𝑆𝑒𝑛70° 𝑆𝑒𝑛60° 120. 𝑆𝑒𝑛60° = ; 𝑏= = 110.59 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠. 120 𝑏 𝑆𝑒𝑛70°

La estación de Rayo X está a 97.82 millas del barco y la estación Zulu está a 110.59 millas b) El tiempo t requerido por el helicóptero para llegar al barco desde la estación Rayo X se encuentra con la fórmula: X = V.t; a = V.t. t = a / V = (97.82 millas) / (200 millas / hora) = 0.4891 horas. t = 29.346 minutos = 29 minutos 21 segundos. LEY DE LOS COSENOS. Teorema. Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos 𝜶, 𝜷, 𝜸, respectivamente, se cumple: c2 = a2 + b2 -2.a.b.Cos𝛾 b2 = a2 + c2 -2.a.c.Cos𝛽. a2 = b2 + c2 -2.b.c.Cos𝛼.

Ejemplo 1. Resuelva el triángulo: a = 2, b = 3, 𝛾 = 60° Solución. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.Cos𝛾 c2 = (2)2 + (3)2 – 2.(2).(3).Cos(60°) c2 = 4 + 9 – 6 = 7. c = √7. Para hallar los ángulos 𝛼 o 𝛽 se aplica la Ley del seno.

𝑆𝑒𝑛60° √7

=

𝑆𝑒𝑛𝛼 2

.

𝑆𝑒𝑛𝛼 =

2.𝑆𝑒𝑛60° √7

= 0.6546.

𝛼 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0.6546) = 40.9° Para hallar 𝛽 se aplica la definición de ángulos internos de un triángulo: 𝛽 = 180° - 60° - 40.9° = 79.1°. Perímetro. P = 2 + 3 + √7 = 5 + √7. Para hallar el área se calcula la altura del triángulo: Sen60° = h / 2. A=

𝐵.ℎ 2

=

(3).(√3) 2

h = 2.Sen60° = √3. =

3√3 2

Ejemplo 2. Resolver el triángulo: a = 4, b = 3, c = 6. c2 = a2 + b2 -2.a.b.Cos𝛾;

62 = 42 + 32 -2(4).(3).Cos𝛾

36 = 16 + 9 – 24.Cos𝛾;

24.Cos𝛾 = 16 + 9 -36 = -11 𝛾 = Cos-1(-0.4583) = 117.3°.

Cos𝛾 = -11 / 24 = -0.4583. b2 = a2 + c2 -2.a.c.Cos𝛽;

32 = 42 + 62 -2(4).(6).Cos𝛽

9 = 16 + 36 – 48.Cos𝛽;

48.Cos𝛽 = 16 + 36 - 9 = 43 𝛽 = Cos-1(0.8958) = 26.4°.

Cos𝛽 = 43 / 48 = 0.8958.

𝛼 = 180° − 26.4° − 117.3° = 36.3° P = 4 + 3 + 6 = 13. 𝑆𝑒𝑛(62.7°) = 𝐴=

ℎ 4

;

ℎ = 4. 𝑆𝑒𝑛(62.7°) = 3.55.

(𝐵𝑎𝑠𝑒). (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (3). (3.55) = = 5.32. 2 2

Ejemplo 3. Un bote de vela con motor sale de Naples y se dirige a Key West que está a 150 millas de distancia. Mantiene una velocidad constante de 15 millas / h pero encuentra durante la travesía fuertes corrientes y vientos cruzados. La tripulación detecta que después de 4 horas, el bote se ha desviado 20° de su curso. a) ¿Qué tan lejos está el bote de Key West en ese momento?. b) ¿Qué ángulo debe girar el bote para corregir su curso?. c) ¿Cuánto tiempo se ha añadido al viaje debido a esta desviación? (Suponga que la velocidad continúa siendo 15 millas / h). Solución. Con una velocidad de 15 milla / hora, el bote ha viajado 60 millas después de 4 horas: s = V.t = (15).(4) = 60 millas. a) Se calcula la distancia x que hay del bote a Key West después del desvío: x2 = (60)2 + (150)2 -2.(60).(150).Cos(20°) = 9185.54 millas2 x = √9185.54 = 95.84 millas. b) Se halla el ángulo 𝛼 opuesto al lado de longitud 150 millas: (150)2 = (60)2 + (95.84)2 − 2. (60). (95.84). 𝐶𝑜𝑠𝛼. 2. (60). (95.84). 𝐶𝑜𝑠𝛼 = (60)2 + (95.84)2 − (150)2

(11500.8).Cos𝛼 = 3600 + 9185.3056 – 22500. (11500.8).Cos𝛼 = -9714.6944. Cos𝛼 =

−9714.6944 11500.8

= −8446.

𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (−0.8446) = 147.6°

El bote debe girar un ángulo 𝜃 = 180° − 147.6° = 32.4° c) La longitud total del viaje es: D = 60 + 95.84 = 155.84 millas. Para calcular el tiempo adicional, se toma como distancia adicional D = 5.84 millas. D = V.t.

t = D / V = 5.84 / 15 = 0.389h ≅ 0.4h = 24 minutos.

TALLER . 1. Resolver el ejercicio 5.1 del libro guía Trigonometría y Geometría Analítica de Michael Sullivan. 2. Resolver el ejercicio 5.2 del libro guía Trigonometría y Geometría Analítica de Michael Sullivan. PLENARIA. Se realizará en el desarrollo de la conceptualización de la guía y en la solución de algunos ejercicios de los talleres con la participación de los estudiantes donde se acumulan puntos para la superación de logros. ACTIVIDAD EXTRACLASE. Resolver los ejercicios que no se alcanzaron a resolver en el taller EVALUACION. Se evalúa el trabajo realizado en los talleres.

INSTITUCION EDUCATIVA GENERAL SANTANDER VILLA DEL ROSARIO AREA: MATEMÁTICAS. ASIGNATURA: MATEMÁTICAS. GRADO: 10. DOCENTE. JULIO ERNESTO GOMEZ MENDOZA. AGOSTO 24 DE 2015 TALLER DE SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y PROBLEMAS APLICANDO LA LEY DEL SENO Y DEL COSENO. En los problemas 1 a 20 Resuelva el triángulo: 1. a = 6, b = 8, 𝛼 = 35°. 2. 𝛼 = 40°, 𝛽 = 20°, 𝑎 = 2. 3. 𝛼 = 70°, 𝛽 = 60°, 𝑐 = 4. 4. 𝛼 = 40°, 𝛽 = 40°, 𝑐 = 2. 5. 𝛼 = 50°, 𝛾 = 20°, 𝑎 = 3. 6. 𝛼 = 110°, 𝛾 = 30°, 𝑐 = 3. 7. 𝛽 = 20°, 𝛾 = 70°, 𝑎 = 1. 8. 𝛽 = 70°, 𝛾 = 10°, 𝑏 = 5. 9. 𝛽 = 10°, 𝛾 = 100°, 𝑏 = 2. 10. 𝑎 = 3, 𝑏 = 2, 𝛼 = 50°. 11. 𝑎 = 2, 𝑐 = 1, 𝛼 = 120°. 12. 𝑎 = 4, 𝑏 = 5, 𝛼 = 60°. 13. 𝑎 = 3, 𝑏 = 7, 𝛼 = 70°. 14. 𝑏 = 4, 𝑐 = 6, 𝛽 = 20°. 15. 𝑏 = 4, 𝑐 = 5, 𝛽 = 95°. 16. 𝑏 = 5, 𝑐 = 3, 𝛽 = 100°. 17. 𝑏 = 2, 𝑐 = 3, 𝛽 = 40°. 18. 𝑏 = 4, 𝑐 = 5, 𝛽 = 40°. 19. 𝑎 = 2, 𝑐 = 1, 𝛾 = 25°. 20. 𝑎 = 2, 𝑐 = 1, 𝛾 = 100°. En los problemas del 1 al 6, resuelva cada triángulo.

En los problemas 9 al 24, resuelva cada triángulo. 9. a = 3, b = 4, 𝛾 = 40°. 11. a = 2, b = 2, 𝛾 = 50°. 13. a = 5, b = 8, c = 9. 15. a = 2, b = 2, c = 2. 17. a = 12, b = 13, c = 5. 19. a = 10, b = 8, c = 5. 21. a = 3, c = 2, 𝛽 = 110° 23. b = 1, c = 3, 𝛼 = 80°

10. a = 6, b = 4, 𝛾 = 60°. 12. a = 4, b = 5, c = 3. 14. a = 9, b = 7, c = 10. 16. 13. a = 4, b = 3, c = 6. 18. a = 3, b = 3, c = 2. 20. a = 2, c = 1, 𝛽 = 10° 22. a = 3, c = 2, 𝛽 = 90° 24. b = 4, c = 1, 𝛼 = 120°

PROBLEMAS LEY DE SENO Y COSENO 1. Al intentar volar de la ciudad A a la ciudad B, una distancia de 330 millas, un piloto tomó un curso equivocado en 10°, como muestra la figura. a) Si el avión mantiene una velocidad promedio de 220 millas por hora y el error en la dirección se descubre después de 15 minutos, ¿qué ángulo debe girar el piloto para dirigirse a la

ciudad B?. b) ¿Qué nueva velocidad debe mantener ahora el piloto para que el vuelo total dure 90 minutos? 2. Un barco mantiene una velocidad de 15 nudos al ir a San Juan, Puerto Rico, a Barbados, en las indias occidentales, una distancia de 600 millas náuticas. Para evitar una tormenta tropical, el capitán parte de San Juan con un rumbo desviado 20°. El capitán mantiene la velocidad de 15 nudos durante 10 horas, después de lo cual la ruta a Barbados está libre de tormentas. a) ¿Qué ángulo debe girar el capitán para ir directamente a Barbados?. b) ¿Qué tiempo le tomará al barco llegar a Barbados si se mantiene la velocidad de 15 nudos? 3. La altura de una torre de radio e de 500 pies y el terreno a un lado de la torre se eleva con una inclinación de 10° (ver figura). a) ¿Qué tan lejos es un retén conectado en la parte superior de la torre y en un punto sobre la pendiente a 100 pies de la base de la torre? b) ¿Qué tan largo es un retén conectado a la mitad del altura de la torre y fija en el terreno a una distancia de 100 pies de la base?. 4. La distancia de home al centro muerto en el estadio Wrigley es de 400 (ver figura). ¿Qué tan lejos está el centro muerto de la tercera base?

5. La manivela OA (ver figura) gira alrededor del punto fijo O de manera que el punto A se mueve sobre un círculo de radio r. Conectada al punto A está otra barra AB de longitud L > r y el punto B está conectado a un pistón. Demuestre que la distancia x entre el punto O y el punto B está dada por: x = r.Cos𝜃 + √𝑟 2 . 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝐿2 − 𝑟 2 donde 𝜃 es el ángulo de rotación de la manivela OA.

6. El puente más alto del mundo es el puente sobre la barranca Royal en el río Arkansas, en Colorado. Se toman visuales del mismo punto sobre el nivel del agua directamente abajo del puente desde cada lado del puente de 880 pies de longitud, como se indica la figura. ¿Qué tan alto es el puente?. 7. Un avión vuela de la ciudad A a la ciudad B, que está a 150 millas de distancia; luego cambia su rumbo 40° y se dirige a la ciudad C, como se muestra en la figura. a) Si la distancia entre A y C es de 300 millas, ¿Qué distancia hay entre B a C?. b) ¿Qué ángulo debe girar el piloto en C para volver a la ciudad A?. 8. La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 184.5 pies de altura. Después de alejarse unos 123 pies de la base de la torre, se encuentra que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es de 60°. Encuentre el ángulo CAB indicado en al figura. Encuentre también la distancia perpendicular de C a AB. 9. La carretera U.S.41 se construye a lo largo de la costa occidental de Florida en una dirección principalmente norte-sur. Cerca de Naples, una bahía obstruye el trazo del camino. Puesto que el costo de construir un puente es muy alto, los ingenieros deciden rodear la bahía. La figura muestra la ruta que escogen y las mediciones tomadas. ¿Cuál es la longitud de carretera necesaria para rodear la bahía?

10. El capitán de un buque en el mar visualiza el puerto en el que el buque va atracar. Visualiza también un faro que sabe que sabe que está a 1 milla de distancia del puerto y mide el ángulo entre las dos visuales, que resulta ser de 20°. Con el buque navegando directamente hacia el puerto, el capitán repite esta dedición después de viajar 5 minutos a 12 millas por hora. Si el nuevo ángulo es de 30°, ¿qué tan lejos está el buque del puerto?.