Laboratorio Ondas Estacionarias (fic Uni) y443h

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ONDAS ESTACIONARIAS

Integrantes:  Lazaro Obregon, Emely Milagros  Mallma Fabian, Karina Lisset

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil INDICE

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1. Ondas Estacionarias:

En una onda viajera determinado valor del campo se propaga indefinidamente en una dirección. Por ejemplo, una ola de un metro (ξ =

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil 1 m) de altura que recorra el mar, dentro de nuestra idealización de las ondas, pasó o pasará por cualquier punto en la superficie del mar. Cuando hay una frontera en un medio la situación no es así, pues hay puntos donde en todo instante ξ = 0

1.1. Ondas Estacionarias en una Cuerda Semiinfinita: Las ondas estacionarias se producen por la interferencia de dos ondas viajeras de igual frecuencia, pero con sentido opuesto de propagación. En la figura una onda en una cuerda semiinfinita incide en un extremo fijo en una pared, donde se refleja e interfiere con la onda incidente. Figura 1.51 Ondas incidente y reflejada. Extremo fijo en el origen quiere decir ξ(0, t) = 0, lo que es una idealización, puesto que en la realidad el material donde termina la cuerda no es indeformable, por rígido que sea experimenta una pequeña deformación bajo la acción de la fuerza que le ejerce la cuerda; la cuerda hace trabajo sobre la pared, le cede parte de su energía. Estrictamente, no existe una cuerda con extremo fijo. Por la ley de acción-reacción, la pared le ejerce una fuerza a la cuerda haciendo que en la interfaz la onda reflejada tenga un campo de signo opuesto a la onda incidente, esto es, que estén en contrafase. La expresión para la onda incidente es:

ξ i=ξ 0 i sin (wt + kx) ; (1.1) para la onda reflejada es

ξ r=ξ0 r sin (wt −kx) La relación entre estas dos amplitudes seria:

ξ 0 i=−ξ 0 r

ξ r=−ξ 0 i sin(wt −kx )ξ i=ξ0 i sin( wt−kx ± π ) (1.2) Como cada una de las ondas en la cuerda cumple la ecuación de onda, la suma (o superposición o interferencia) de ellas también la cumple, y el desplazamiento de los puntos de la cuerda está expresado por:

ξ=ξ i +ξ r=ξ 0i sin( ωt+ kx)+ξ 0 r sin( ωt−kx )=ξ 0 i [sin(ωt +kx )−sin( ωt−kx )].

Apliquemos

la

identidad:

β=wt −kx , para obtener:

α −β 2 ¿ α+ β (¿¿)cos( ) 2 β=2 sin ¿ α −sin ¿ sin ¿

(1.3)

con

α =wt + kx

y

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ξ=2 ξ 0 i sin kx cos wt

(1.4) Definamos la función de amplitud como:

f ( x )=2 ξ 0 i sin kx (1.5)

Reescribimos la ecuación (1.3) como:

ξ=f ( x) cos wt (1.6) Aunque esta onda sea la superposición de dos ondas viajeras

ξ i ( x+ vt)

ξ r ( x−vt)

y

en sentidos opuestos, ella no es viajera

puesto que no es una función de

(x ± vt ) ; las variables x y t están

separadas, no acopladas a través de una suma o una resta como en una onda viajera. Los diferentes puntos de la cuerda son osciladores armónicos simples que vibran con una amplitud

f (x)

dependiente de x; en

una onda armónica viajera la amplitud es constante. Hay puntos de la cuerda, llamados nodos de desplazamiento (puntos N en la Figura), donde las ondas incidente y reflejada interfieren destructivamente dando como resultado una amplitud cero. Esto explica el nombre de onda estacionaria para la función ξ(x, t) de la Ec. 1.6, pues es obvio que no hay cierto valor del campo que se esté propagando a través del medio, como en una onda viajera. En la interferencia destructiva los campos son opuestos entre sí, están en contrafase y la suma da cero; para que estén en contrafase el desfase es un impar por π. La fase de la onda incidente (Ec. 1.1) es

ϕ i=wt +kx ; la fase de la onda reflejada (Ec. 1.2) es

ϕ r =wt + kx ± π , el desfase entre ellas es ϕ i−ϕr =( wt + kx )−( wt +kx ± π )=2 kx ± π (1.7) Cuando el desfase no depende del tiempo, como en la anterior ecuación, se dice que las ondas son coherentes. En los nodos la interferencia entre las ondas es destructiva, deben estar en contrafase,

Δϕ=impar π=( 2 m+1 ) π =2 kx ± π ;

m=0,1,2, …

El contador m no puede ser negativo porque x tampoco lo es. Escojamos +π para poder cancelarlo, cancelamos luego el 2 y obtenemos que en los nodos

kx=m π ; m=0,1,2, …

(1.8) Reemplacemos en la Ec. 1.5,

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f ( x )=2 ξ 0 i sin mx=2 ξ 0i x 0=0 Da cero, como era de esperarse en un nodo. De la Ec. 1.8 despejemos la posición de los nodos N,

xN =

mπ mπ λ λ λ = =m =0, , λ ,3 , … k 2π ∕ λ 2 2 2

(1.9) El primer nodo se obtiene con m = 0 en x = 0 donde la cuerda está fija a la pared. Para dos nodos consecutivos,

Δm=1

; la separación

entre ellos es λ/2: apliquemos el operador ∆ a la Ec. 1.9

Δ x N =Δ ( mλ/ 2 )=( λ /2 ) Δm= λ/2 Hay puntos de la cuerda que tienen la máxima amplitud, llamados antinodos de desplazamiento (puntos A en la Figura), donde las ondas interfieren constructivamente; el desfase (Ec. 1.7) es un número par por π,

Δϕ=par π=2 m π =2 kx ± π =

4π x ±π ; λ

m=0,1,2, …

Despejemos la posición de los antinodos A,

( 12 ) 2λ = 4λ , λ2 + 2λ , λ+ 4λ , 3 2λ + 4λ , …

X A = m+

Esta ecuación la podemos obtener de la Ec. 1.5 sin necesidad de hacer consideraciones sobre interferencia constructiva: amplitud máxima implica que sen kx = 1, de donde kx = (2π/λ)x = impar(π/2) = (2m + 1)(π/2). Al despejar x obtenemos la posición de los antinodos. Figura A simple vista no vemos las diferentes posiciones de una cuerda. En la la línea continua es la cuerda con todos sus puntos en la máxima elongación; la energía es únicamente potencial. La flecha vertical en la primera semilongitud de onda indica que durante el próximo cuarto de período todos sus puntos estarán moviendo hacia abajo dirigiéndose a las respectivas posiciones de equilibrio. Todos los puntos de la cuerda alcanzan simultáneamente la posición de equilibrio, y la cuerda está momentáneamente horizontal; la energía es sólo cinética. Un cuarto de período más tarde la cuerda estará en la posición indicada con la línea a trazos. Durante el próximo medio período se reversa lo ocurrido en el primer semiperíodo y la cuerda estará en la posición inicial; se ha completado un ciclo. La frecuencia con que esto ocurre puede ser tal que veamos algo como la Fig ; iluminando la cuerda con un estroboscopio podemos verla permanentemente en la posición de la línea continua, a trazos, u horizontal de la Fig.Cualquier punto en un segmento de cuerda comprendido entre dos nodos consecutivos vibra en contrafase con cualquier otro punto en una semilongitud de cuerda vecina. Durante el proceso los puntos N permanecen en reposo, y es

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil la razón por la que la onda se llama estacionaria. Cualquier longitud de onda es posible en la cuerda semiinfinita, λ=f ∕ v ; basta con cambiar como queramos la frecuencia, y λ cambia inversamente;

v =√ T ∕ u

es constante. La situación es muy distinta cuando la

cuerda es finita. El desfase entre las ondas que se propagan en sentidos opuestos y que originan la onda estacionaria, Ec. 1.7, sólo depende de la posición x. Por consiguiente, para observar la transición de interferencia constructiva a destructiva nos debemos desplazar a lo largo de la cuerda. Por esto a las ondas estacionarias se les cita como un ejemplo de interferencia espacial, a diferencia de los pulsos, que se le cita como un caso de interferencia temporal.

1.2. Ondas Estacionarias en una Cuerda Semiinfinita:

Frecuencia libre de vibración de un sistema es la frecuencia con que vibra después de que un agente externo lo ha excitado o le ha cedido energía. Pero si el agente externo mantiene la interacción con el sistema, este vibra con la frecuencia de aquel, y la vibración ya no es libre sino forzada. Por ejemplo, después de que se le cede energía, un péndulo simple oscila con frecuencia

ν=

1 2π

√

g l

Como esta frecuencia depende solo de características del sistema (g es una característica física, l es una característica geométrica) la llamamos frecuencia propia o normal o libre de oscilación. Pero, como caso extremo, alguien puede forzar las oscilaciones, e imponerle, con sus manos, un periodo de un ciclo por segundo, o por cada 10 minutos. Cuando ambos extremos de la cuerda son nodos (o antinodos) no es posible cualquier longitud de onda, y en consecuencia tampoco es posible cualquier frecuencia. Las frecuencias libres de vibración de un sistema finito están determinadas por su geometría y propiedades físicas. Sea L la longitud de la cuerda. Como en x = L hay un nodo (1.8)

kL= ( 2 π ∕ λ ) L=m π

; m= 1,2,3,…

Despejemos la longitud de onda

λ=

2L 2 L =2 L , L , L , ,… M 3 2

(1.10) No tenemos en cuenta a m = 0 porque da λ = ∞, lo que interpretamos como ausencia de ondas. En la Fig. mostramos la cuerda para las tres longitudes de onda más largas. La línea continua es la cuerda con todos sus puntos en la máxima elongación, la línea

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil discontinua es la cuerda medio período más tarde. Utilizando la Ec. 1.10 obtenemos las frecuencias propias,

v v T/μ f = =m =m √ λ 2L 2 L ; m=1,2,3,… (1.11) A la frecuencia más baja de vibración libre de un sistema se le llama la frecuencia fundamental

f f=

ff

; según la anterior ecuación,

v √ T /μ = 2L 2L (1.12)

La Ec. 1.11 la podemos reescribir como

f =m f f =f f , 2 f f ,3 f f , ..

(1.13) Cuando excitamos una cuerda y la dejamos vibrar, ella lo hace sólo con una frecuencia o varias de las anteriores frecuencias, no con otras; no podemos hacer que vibre libremente con una frecuencia arbitraria que queramos. Denominamos modo de vibración de un sistema físico a la vibración del sistema con una de sus frecuencia libres, junto con la función de onda ξ que la describa. A los modos de vibración con frecuencia f >

ff

ff

se les llama sobretonos. Cuando f/

es un entero m, se dice que el modo es el armónico de orden m.

Vemos, entonces, que el fundamental siempre es el armónico de orden 1, el primer sobretono de la cuerda con extremos fijos es el armónico de orden 2, el segundo sobretono es el armónico de orden 3, y así sucesivamente. La Ec. 1.11 muestra algunas características generales de cualquier sistema físico: a mayor dimensión (a mayor L), menores las frecuencias propias o mayor el periodo. Las ondas estacionarias que hemos estudiado son el resultado de dos ondas viajeras con sentido opuesto de propagación, pero de igual frecuencia.

La potencia que una onda propaga en un sentido es igual a la potencia que la otra propaga en el sentido opuesto, dando como resultado un flujo neto de energía cero. Pero no hemos tenido en cuenta las diferentes pérdidas de energía de la onda por fricción o porque la cuerda perturba el aire y emite sonido, o trasmite ondas a la estructura que soporta la cuerda. En el laboratorio se obtienen varios nodos como en la Fig, conectando una fuente de ondas en un extremo de la cuerda; sin embargo, en la realidad, la cuerda pierde energía, la misma que se debe suplir si queremos mantener vibrando la cuerda durante largo tiempo, para lo que es necesario que haya un flujo neto de energía desde la fuente hacia el resto de la cuerda. Esto es imposible si hay puntos de la cuerda que no se desplacen, ya que no habría allí un trabajo W de la parte derecha de la cuerda sobre la parte izquierda; recuerde que W = F · d, donde d es desplazamiento. Entonces, estrictamente, no hay nodos. Cuando decimos que hay un nodo, en el mundo físico nos referimos a los puntos donde la amplitud de vibración del campo es menor que en los otros puntos, pero sin ser

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil cero porque por ellos debe pasar un flujo de energía para el resto del sistema, tal que compense las diferentes pérdidas. Cualquier sistema físico tiene frecuencias de vibración que le son características, ya sea el Sol o un puente. Es célebre la destrucción del puente de Tacoma en 1940 por vientos de 67 km/h. Cuando el aire fluye alrededor de una lámina (o de una cuerda) se forman remolinos periódicos de aire que se alternan a uno y otro lado de la lámina, lo que origina una fuerza periódica perpendicular a ella. En el caso del puente referido, la frecuencia de los remolinos coincidió con una de las suyas, entraron en resonancia y la amplitud de las ondas estacionarias del puente aumento tanto que colapsó. Remolinos del mismo tipo son los responsables de la generación del sonido en los instrumentos de viento. Una onda en un espacio finito da lugar a ondas estacionarias, ya que en los límites del espacio debido a la onda incidente se origina una onda reflejada, y la interferencia de ambas produce una onda estacionaria. Esto se presenta en el interior de un horno microondas; en los sitios nodales la cocción de los alimentos es pobre, y por ello se deben poner sobre un plato rotatorio. Como dichas ondas son tridimensionales, en lugar de hablar de puntos nodales como en la cuerda que es unidimensional, debemos hablar de planos nodales. Además, las microondas no son ondas elásticas sino electromagnéticas.

1.3. Ondas Estacionarias y Condiciones de Frontera: Las frecuencias posibles de vibración de una cuerda infinita, forman un conjunto continuo, f ∈

[ 0, ∞ ) ; o, con otras palabras, cualquier

frecuencia es posible. Una condición de frontera es una condición que debe cumplir una función. Hacemos que la función de onda estacionaria en la cuerda sea cero en x = 0 y en x = L; estas dos condiciones inmediatamente tienen como consecuencia que las frecuencias dejen de pertenecer a un conjunto continuo, y pasen a conformar un conjunto discontinuo { f m }, cuyos infinitos elementos son enumerables con un entero m, f ∈ { f m } = { m f f 2 ff

, 3 ff

} = { ff

,

, . . . }. Esto es característico de cualquier onda

confinada a una región finita del espacio. Un ejemplo notable de lo expuesto lo constituye un electrón de un átomo cualquiera. Pasemos a considerar las ondas sonoras que se propagan en un tubo. Tubo Abierto en Ambos Extremos Los extremos del tubo de la Fig. están abiertos, y en su interior se propaga una onda sonora; la onda puede provenir de un parlante lejano. La onda que penetra en el tubo sufre una reflexión en el extremo derecho, lo que es extraño puesto que allí hay aire y no una frontera rígida. Pero al llegar al extremo sí hay un cambio de medio: los elementos de volumen en

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil el interior del tubo solo se pueden expandir o comprimir en la dirección x, en cambio un elemento de volumen inmediatamente después de x = L sí puede cambiar de volumen cambiando sus dimensiones transversales, ya que transversalmente lo limita aire y no el tubo; esto es lo que provoca la reflexión. En el interior se presenta, entonces, interferencia entre la ondas incidente y reflejada. Supondremos, y es una suposición fuerte ya que la realidad es diferente, que la onda reflejada tiene la misma amplitud que la onda incidente, lo que equivale a decir que el extremo abierto no emite sonido al espacio abierto en frente de él. En estas condiciones hay puntos nodales en el interior del tubo o, mejor, planos nodales perpendiculares a x donde la interferencia es destructiva, y planos antinodales donde es constructiva. En los extremos abiertos es constructiva, porque en ellos la ondas de desplazamiento incidente y reflejada están en fase, lo que hace que las variaciones de ξ sean máximas. Cuando se tiene en cuenta que el extremo abierto sí radia sonido al medio circundante, el antinodo de desplazamiento se corre una cantidad

ϵ

,

llamada corrección de extremo libre, afuera del tubo aproximadamente igual a 0.3D, donde D es el diámetro del tubo,

ϵ=0.3 D

Esto significa que la longitud efectiva L 0 de la columna de aire sea la longitud física L del tubo más la corrección,

L' =L+ϵ (1.14) Esta

L

'

es la longitud que se debe tener en cuenta en lugar de L,

en las próximas ecuaciones, si se quiere una mayor concordancia con medidas experimentales. En la Fig. se muestran nodos y antinodos de desplazamiento sin conexión con ningún sistema físico en particular. Para un tubo abierto-abierto, su extremo izquierdo tiene que coincidir con un A, y el derecho con otro A más a la derecha del primer A. Como entre antinodos consecutivos la distancia es λ/2, estamos diciendo que entre los extremos del tubo debemos acomodar un número entero de semilongitudes de onda; expresemos con una ecuación lo dicho,

L=

mλ 2

, m=0,1,2,3,..

Despejemos la longitud de onda,

λ=

2L 2L L =2 L , L , , , .. m 3 2

(1.15)

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil Ecuación que es idéntica a la Ec. 1.10; esta proviene de exigir que los extremos de la cuerda sean nodos, y la última de exigir que los extremos del tubo sean antinodos. Recuerde que como el desfase entre ξ y ∆p es 90° , los nodos de desplazamiento coinciden con antinodos de presión, y los antinodos de desplazamiento con nodos de presión (p = p0). Las frecuencias propias del tubo son

v v f = =m λ 2L ;

m=1,2,3,. .

(1.16) v es la rapidez del sonido en el fluido dentro del tubo; si es aire. La frecuencia mínima o fundamental es

f f =v /2 L

(1.17) La Ec. 1.16 la reescribimos como

f =m f f =f f , 2 f f ,3 f f , ..

(1.18) El sonido producido por un tubo abierto-abierto contiene una o varias de las anteriores frecuencias; todos sus sobretonos son armónicos. Casi siempre en nuestra vida cotidiana existe un ruido de fondo que contiene una gama amplia de frecuencias. Cuando acercamos el extremo de un tubo a un oído (el tubo se puede formar con la mano sola) la intensidad de los sonidos del ambiente con una frecuencia igual o cercana a cualquiera de las frecuencias dadas por la Ec. 1.18 se ve reforzada respecto a las demás, y esto explica el cambio que se presenta en el sonido, que se escucha como el rumor del mar. El que sólo sean posibles determinadas longitudes de onda y, como consecuencia, solo ciertas frecuencias, proviene de haber impuesto dos condiciones de frontera: que los extremos sean antinodos de desplazamiento. De nuevo, las frecuencias propias dependen únicamente de la geometría y propiedades físicas del sistema. Cuando un instrumento musical se lleva de un lugar frío a uno más caliente sus frecuencias cambian, ya que hay dilataciones, lo que daría frecuencias más bajas y, si es de viento, aumenta la rapidez del sonido, lo que daría un aumento de ellas. La Fig. 1.58a corresponde a cuando acomodamos un semilongitud de onda en el tubo, m = 1; la Fig. 1.58b a dos semilongitudes de onda, m = 2, o sea una longitud de onda; la Fig. 1.58c a tres semilongitudes de onda, m = 3. Las curvas en el interior del tubo representan la amplitud de vibración de los elementos de masa, esto es, los límites entre los que tales elementos vibran. Recuerde que las vibraciones son longitudinales, porque el sonido en un fluido lo es, y los límites dados por dichas curvas se deben entender a lo largo del eje x, centrados en una coordenada x en particular. Las curvas no representan las ondas incidente y reflejada; representan, como se dijo, la distribución de amplitud. La escala en y de las curvas es diferente de la escala en x: la máxima amplitud de las vibraciones dentro de un tubo o columna de aire, por ejemplo dentro de una trompeta, puede ser de milésimas de milímetro.

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Tubo con un Extremo Abierto y el Otro Cerrado Tapemos el extremo derecho del tubo . En x = L ya el aire no tiene libertad de desplazarse, el extremo es de una inercia mucho mayor que el extremo libre y como consecuencia la onda reflejada de desplazamiento está allí en contrafase con la incidente, R = −1, e interfieren destructivamente en todo instante. Al tapar, el extremo se convierte, entonces, en un nodo de desplazamiento y un antinodo de presión: no hay fluctuaciones del desplazamiento, pero las fluctuaciones de la presión son máximas, alrededor de p0. El extremo izquierdo debe coincidir con un A de la Fig. y el extremo derecho con un N. La mínima distancia entre A y N es λ/4, la próxima entre el mismo A y el otro N más alejado es λ/4 + λ/2, la que sigue es λ/4 + λ/2 + λ/2, . . . . Generalicemos,

λ λ λ L= + m =( 2 m+1 ) ; m=0,1,2,3, … 4 2 4 (1.19) Excluimos m negativos porque L y λ son positivos. La Fig. 1.59b corresponde a cuando acomodamos en el tubo un cuarto de λ, m = 0; la Fig. 1.59c a cuando acomodamos λ/4 + λ/2, m = 1; la Fig. cuando acomodamos λ/4 + λ/2 + λ/2, m = 2. Despejemos λ de la Ec. 1.101 y reemplacemos en ν = v/λ para obtener las frecuencias propias o de resonancia del tubo,

f =( 2 m+1 )

v ; m=0,1,2,3, … 4

(1.20) Vemos que la frecuencia fundamental es

f f =v /4 L

(1.21) La Ec. 1.19 la reescribimos como

f =( numero impar ) f f =f f , 3 f f , 5 f f ,.. (1.22) Al comparar la Ec. 1.21 con la Ec. 1.17 vemos que al tapar un extremo la frecuencia fundamental se reduce a la mitad; en términos musicales se dice que baja una octava. Además, al comparar la Ec. 1.22 con la Ec. 1.18, desaparecen los armónicos pares, solo quedan los impares. Un pozo se comporta como un tubo abierto-cerrado; el

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil sonido producido al arrojar una piedra en él tiene reforzados los armónicos impares, los pares no existen o son relativamente débiles. Las ondas de desplazamiento y de presión están desfasadas 90°, lo que lleva a que los antinodos de desplazamiento sean nodos de presión, y viceversa. Esto quiere decir que donde ocurre interferencia constructiva entre las ondas de desplazamiento incidente y reflejada (ondas en fase) se presenta interferencia destructiva entre las ondas de presión incidente y reflejada (ondas en contrafase), y viceversa. En consecuencia, en la reflexión en el extremo cerrado de un tubo las ondas de desplazamiento incidente y reflejada están en contrafase, y las de presión en fase.

Cuando dentro del tubo se usa un pequeño micrófono como sonda, y puesto que este responde es a cambios de presión, se comprueba que la señal eléctrica proveniente de él es máxima en los nodos de desplazamiento y mínima en los antinodos; o con otras palabras, con el micrófono detectamos nodos y antinodos de presión. El oído también responde a cambios de presión, y cuando escuchamos un máximo de la interferencia de dos ondas, escuchamos es la interferencia destructiva entre las respectivas ondas de desplazamiento, o constructiva entre las ondas de presión. Para que las predicciones concuerden con lo que escuchamos es, entonces, preferible analizar las ondas sonoras en términos de ondas de presión antes que en términos de ondas de desplazamiento. Además, las ondas de presión tienen la ventaja de ser escalares mientras que las de desplazamiento son vectoriales.

Experimento: Materiales:  Una cuerda de Longitud L y masa M  Una polea fija  Un oscilador eléctrico  Cronometro  Regla milimetrada  Balanza  Pesas  Canastilla

Procedimientos:

Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil 1) n L Medir y 1 34.6 cm 2 70 cm 3 94 cm 4 133 cm 5 165 cm pesar la cuerda 2) Armar el sistema 3) Medir la longitud para cada caso 4) Colocar las pesas adecuadas para cada caso que se requiera. 5) Para cada valor de FT tomar dos valores de n, medir L respectivo y calcular la frecuencia (f), velocidad (v) y longitud de onda (λ).

μc uerda=

10 g g kg =0.02985 =0.002985 335 cm cm m

Masa de la canastilla

Masa A

Masa B

Masa C

Masa D

15.8 g

50.2 g

20 g

10 g

10 g

Masa (2 soles) 5.6 g

Masa (1 sol) 7.2 g

Masa (10 céntimos) 3.6 g

1er caso: Tensión constante: T = (MA+MB+Mcanastilla). Gravedad =0.84366 N

Haciendo el ajuste lineal:

Suma

x 34.6 70 94 133 165 496.6

y 1 2 3 4 5 15

xy 34.6 140 282 532 825 1813.6

X2 1197.16 4900 8836 17689 27225 59847.16

Masa (20 céntimos) 4.4 g

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a=

a=

n ( ∑ x i y i )−(Σ x i)( ∑ y i) n ( ∑ x 2i )−( Σ x i )2 5 ( 1813.6 ) −(496.6)(15) 2 5 ( 59847.16 ) −(496.6)

a=0.030765

b=

b=

( ∑ y i) −a ( Σ xi ) n 15−(0.0308)( 496.6) 5

b=0.556 6 5 4

f(x) = 0.03x - 0.06

Armonico 3 2 1 0 20

40

60

80

100 120 140 160 180

Longitud de la cuerda (cm)

Por lo tanto, según:

f=

√

n T n = v 2L μ 2L

De donde V es constante e igual a:

v=

√ √

T 0.84366 m = =16.8116 μ 0.002985 s

La pendiente de la gráfica seria:

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n 3.08 =3.08 ; de donde :f = . 16.8116=25.8898 Hz L 2