Ondas Estacionarias Y Ondas Viajeras.docx 2r2pf

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Física III Ondas y Física Moderna Profesor: Carlos Alberto Ávila Palacios Laboratorio No. 5: Ondas Estacionarias y Ondas Viajeras Sebastián Cedeño 20131015020 Mauricio Rojas 20132015027 Cristian Cruz 20132015085 David Motta 20132015048 1. RESUMEN En el presente informe se describen los procesos, los resultados y el respectivo análisis de las dos practicas sobre ondas estacionarias y ondas viajeras. Además de comprender la diferencia entre estos dos fenómenos se busca hallar la velocidad de onda en las dos prácticas basados en datos verificados durante las prácticas como soporte para hallar la velocidad experimental y lograr de esta manera hacer una comparación con los resultados teóricos. 2. MARCO TEORICO 3. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 3.1 ONDAS ESTACIONARIAS 3.1.1    

MATERIALES Cuerda Regla Generador de onda Dinamómetro

3.1.2

PROCEDIMIENTO

En primer lugar se procedió a armar el montaje de acuerdo a instrucciones dadas en el laboratorio, ajustando un extremo de la cuerda al generador de onda, haciéndola pasar por una polea y ajustando el otro extremo a la parte inferior del dinamómetro. Posteriormente se toma la medida de la longitud de la cuerda con la regla, se enciende el generador de ondas variando la tensión en

la cuerda mediante el dinamómetro, observando así los nodos y anotando el valor de la tensión al cual se forman los diferentes nodos. Seguidamente se varía la longitud de la cuerda y se realizan los pasos anteriores. 3.2 ONDAS VIAJERAS 3.2.1    

MATERIALES Cubeta de ondas con rios. Regla Agua Objeto de dimensión conocida (tarjeta).

3.2.2

PROCEDIMIENTO

Para la realización de la practica primero se conecta la cubeta de ondas a un tomacorriente, seguidamente se agrega cierta cantidad de agua sobre el vidrio de la cubeta de ondas midiendo la profundidad que alcanza el agua. Seguidamente se enciende la luz intermitente y el pulso sobre el agua, igualando la frecuencia de las dos fuentes se mide la longitud de onda con la regla sobre la pantalla. Se repite el anterior procedimiento con los diferentes valores de la frecuencia que se permite. Por ultimo para hallar el factor de amplificación se suspenden la generación de ondas y se coloca en la parte del vidrio un objeto de dimensión conocida (tarjeta) y se toma una medida del largo reflejado, de esta

manera mediante una relación entre la longitud de la sombra y de la longitud real se calcula el factor de amplificación.

Longitud de cuerda=0.484 m 35 30

4. RESULTADOS Y ANALISIS

25

4.1 VELOCIDAD EN UNA CUERDA

20

Se calculó la velocidad de onda en una cuerda en base a la ecuación 1, donde L es la longitud de la cuerda, fn es la frecuencia --- en Bogotá (60 Hz) y n la cantidad de nodos, en base a estos cálculos se construye una la gráfica 2 y 3: velocidad en función de la tensión medida:

Velocidad (m/s) 15 10 5 0

0

0.2 0.4 0.6 0.8

Tension (N)

v =(2 Lf n)/n Ecuacion 1. Si poseemos una misma frecuencia dada por el tomacorriente, en Bogotá, los valores que influyen en la variación de la velocidad son el número de nodos n y la longitud de la cuerda. Si tomamos las mismas cantidades de nodos para las muestras, esperaríamos que la velocidad fuera más grande conforme la longitud de la cuerda se hace más grande, ese resultado lo veremos a continuación, en las gráficas y en la tabla resumen posterior.

Longitud de cuerda=0.347 m 25 20 15

velocidad (m/s) 10 5 0

0

0.2

0.4

Gráfica 2. Longitud dos Los tres datos de la gráfica uno y los tres primeros de la dos, corresponden a cantidades de nodos 2, 3 y 4. Se ve, que independiente del número de nodos, la tensión que se requiere, para que estos se generen, es diferente. La diferencia entre las dos longitudes, en valor absoluto, es de 0.137 m, y esta diferencia hace que la tensión requerida, para que se generen la misma cantidad de nodos en los dos sistemas sea aproximadamente en doble. Esto puede que se cumpla para los primeros valores de n, pero no quiere decir que se cumpla para valores más grandes. Lo anteriormente dicho se sustenta mediante algebra de ecuaciones conocidas

Tension (N)

Gráfica 1. Longitud uno

2 2

v=

T2 4 L fn = 2 μ2 n

Si tomamos dos valores diferentes de T 1 , para los sistemas tensión T 0 y uno y dos, respectivamente, de igual manera, hay valores diferentes de longitud L0 y L1 . Los valores de f y

μ , son contantes para los dos sistemas y el valor n varía pero de igual forma para los dos sistemas. 2 2 0 2

T0 4 L f = μ n

2

las 2

2

dos

T 0 (T 1 , n)=

1 +T 1 , 2 n

2

ecuaciones

2 2

4 μ L0 f −4 μ L1 f 2

n

Como la diferencia del numerador es constante para cualquier valor de n, se ve que el valor de la diferencia de las tenciones es proporcional a 1/n2 , lo cual, en realidad no nos daría gran noción acerca del valor del múltiplo, si es que existe, que separa a las dos tensiones, sea dos, tres, cuatro…. Lo que si nos es posible afirmar es que el valor de diferencia de tensiones está definido por qué tanta diferencia halla entre las longitudes de la cuerda y que ésta se hará más pequeña conforme el número de nodos aumente. Si hacemos que n tienda a infinito 2

n →∞

la función

con el fin de observar el comportamiento cuando variamos los valores del número de nodos y la tensión del sistema dos.

Si restamos obtenemos

T 0 =lim

la

Utilizando un programa graficador (matemáticas de Microsoft) podemos plotear

T 1 4 L21 f 2 = 2 μ n

T 0 −T 1 =

longitudes de los dos sistemas, frecuencia y el número de nodos.

2

2

2

2 2

4 μ L0 f −4 μ L1 f 2

n

Vemos que

Grafica 3.

Es claro, en las gráficas 2 y 3 existe un comportamiento de crecimiento no lineal del conjunto de datos, esto se debe a la relación entre la velocidad v de una onda en una cuerda y la tensión T de la cuerda expresada en la ecuación 2

+ T1

v= T 0 =T 1 .

Si asignamos un valor cualquiera de n, y tomamos a T 0 en función de T 1 , se genera una recta de pendiente 1 (razón de crecimiento de una tensión con respecto a la otra) y corrimiento dependiente del número de nodos, las

T 0 ( T 1 , n ) =Z

√

T 1 = T 1/ 2 Ecuacion 2. μ √μ

Se aplica una regresión de potencias al conjunto de datos obtenidos, la cual se comporta en forma de la ecuación 3

y= A x B Ecuacion 3. Se puede observar una gran similitud en las ecuaciones 2 y 3, en las cuales se

pueden establecer relaciones

B≈

las

siguientes

condiciones adecuadas.

de

4.2 VELOCIDAD ONDA

1 Relacion1. 2

laboratorio Y

sean

LONGITUD

DE

Los datos obtenidos en el laboratorio, por los cuales medimos una longitud de onda, se usaron igualando dos frecuencias, la de una luz intermitente, Los datos obtenidos de las regresiones y dada por el proyector y las vibraciones las relaciones establecidas se muestran (golpes en el agua) dadas por este en la tabla 1 mismo. Es en el punto donde las frecuencias de estos dos sistemas, se Regresión de Potencias igualan, donde se puede observar una Datos Cuerda con L=0.347 m quietud en la proyección, esto causado por qué, la luz q se proyecta coincide en Regresión v= 10,325T0,5734 todos los destellos con una cresta de 2 onda de agua, que pasa por la misma R 0.9733 posición. Es por ello que pareciera que A 10.325 estuviera estática la onda proyectada.

1 A= Relacion 2. √μ

B

0.5734

Tabla 1. Regresión de Potencias Con base a la relación 1, se esperaba que el exponente de la regresión fuese 0.5, en base a esto se puede calcular el porcentaje de error y la densidad lineal de masa µ en base a la relación 2, los resultados obtenidos se muestran en la tabla 2.

La grafica 1 muestra la longitud de onda tomada, corregida a una distancia real, en función de la frecuencia del proyector usado en la práctica.

Longitud de onda en funcion de la frecuencia 0.01 0.01

Porcentaje de error y cálculo de Longitud de cuerda (m) % error 0.347 14.86 0.484 17.24 Tabla 2. Porcentaje de error y cálculo de µ Se observa entonces que el porcentaje de error no es el mejor, pero aun así no es malo. Se puede otorgar esta diferencia al valor no tan aproximado a uno, del R2. Además hay q tener en cuenta que cuatro puntos muéstrales no son una gran muestra, ya que entre mayor sea éste, mayor tendencia al valor esperado se tendrá, siempre y cuando las muestras estén bien hechas y las

0.01

Longitud de onda (m)

0.01 0 0 0 0

20 60 100 40 80

Frecuencia (Hz)

G ráfica 4. Longitud de onda en función de la frecuencia. Como se puede observar, estos datos decrecen no linealmente conforme la frecuencia aumenta, la relación teórica

entre estas características del sistema se expresa en la ecuación 4 donde λ es la longitud de onda, v la velocidad de la onda y f la frecuencia de la onda

λ=v f −1 Ecuacion 4. Se aplica una regresión de potencias a los datos obtenidos en el laboratorio, la cual presenta la forma mostrada en la ecuación 5

y= A x B Ecuacion 5. Esta regresión de potencias nos es posible hallarla también, por medio de una gráfica log-log, donde se esperaría tener un comportamiento lineal por parte de los puntos muéstrales. Si se observara las ecuaciones 4 y 5, se posee cierta analogía, pudiendo establecer las siguientes relaciones

experimental obtenida en la relación 1, de la misma manera se puede calcular el porcentaje de error del exponente obtenido en la regresión, esta información se encuentra consignada en la tabla 4 Porcentajes de error Característica Velocidad Exponente

Valor teórico 0.086 -1

Valor experi 0.244 -1.048

Tabla 4. Porcentajes de error De la tabla 4, se destaca que el valor de la potencia hallada experimentalmente es casi igual a la que se esperaría por teoría, lo cual no nos acarrea mayor problema, ya que su porcentaje de error es de 4.8%

El inconveniente se encuentra en la comparación que hay entre el valor teórico y el experimental, ya que su porcentaje de error es 184%. Si A=v Relacion 1.; observamos, el valor de la velocidad teórica, dada por la ecuación 6, está B ≈−1 Relacion 2 . dada por un solo valor, se le asigna un Los datos obtenidos de la regresión de valor landa y un valor de profundidad, potencias aplicadas se resumen en la por lo tanto, a cada muestra, con una tabla 3 frecuencia diferente, tendremos una velocidad diferente. El expuesto en la Regresión De Potencia Característica Dato Obtenidotabla 4 es el promedio de todas las muestras halladas, lo cual es una muy Regresión Lineal λ=0,2447f R2 0,9906 mala aproximación, debido a que el valor de landa decrece exponencialmente, A 0.244 como se muestra en la gráfica 4, por lo B -1.048 cual, sacar un promedio de estos datos, Tabla 3. Regresión De Potencia es sacar un promedio a unas muestras Así mismo se puede calcular la velocidad que no poseen similitud alguna. Además teórica del sistema a través de la que al sacar promedio, los datos más ecuación 6, donde h es la profundidad de pequeños son los que tendrán mayor la columna de agua (h=0.008 m) influencia en el valor hallado, ya que la diferencia entre estos puntos más bajos gλ 2 πh es pequeña comparada con la diferencia v= tanh Ecuacion 6 2π λ que hay entre los primeros puntos (a frecuencias más bajas) y los últimos. En De esta manera se puede calcular el base a este razonamiento es que se porcentaje de error de la velocidad sustenta el porcentaje de error tan teórica promedio y la velocidad

√(

) ( )

elevado ya que la influencia que posee el valor de la profundidad es diminuto con respecto al valor de landa. Utilizando un programa graficados, esta vez ayudados por internet (wolframalfa) se obtiene estos resultados para la función dada en la ecuación 6, asignando valor fijo a la profundidad.

Gráfica 5. Plot ecuación 6, 12.5

Gráfica 6. Plot ecuación 6, 2.5

λ

λ

de -12.5 –

muy cercano a la velocidad hallada experimentalmente, mediante gráfica, que se considera para este informe, como el valor de mayor confiabilidad.

5. CONCLUSION Se concluye que en las dos prácticas que a pesar de tener en algunos casos porcentajes de error grandes se logran comprender los conceptos tanto de onda viajera como de onda estacionaria. Se calculó la velocidad en los dos casos. En el caso de las ondas estacionarias vemos que la velocidad no depende de la frecuencia. La velocidad de propagación de una onda depende de la tensión que hay en la cuerda por tanto a un aumento de tensión en una misma cuerda, su velocidad será mayor. Se logró evidenciar que los nodos son puntos de la cuerda donde no se trasmite energía en estos, en cambio en los antinodos son los puntos donde la amplitud es máxima.

de -2.5 –

Basados en las gráficas expuestas anteriormente se encuentra que a un valor de λ =0.01 se encuentra un valor

6. BIBLIOGRAFIA.