Kpk Dan Fpb 1c1921

KPK dan FPB A. KELIPATAN PERSEKTUAN TERKECIL ( KPK) Sesuai dengan namanya, yaitu kelipatan persekutuan terkecil dan dua bilangan a dan b, atau lebih maka proses pengerjaannya seperti pada modul sebelumnya, yaitu mencari semua kelipatan dari a dan b, kemudian didentifikasikan dan dikumpulkan semua kelipatan yang sama. Selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang terkecil. KPK dari dua bilangan a dan b ditulis dengan notasi KPK ( a,b ) atau [a,b]. Contoh : 1. Tentukan KPK (8,12) Jawab : Tentukan kelipatan dari 8, yaitu 8, 16, 24, 32, 40, 48, . . . Tentukan kelipatan dari 12, yaitu 12, 24, 36, 48, . . . Kelipatan persekutuannya adalah 24, 48, 72, . . . Karena yang terkecil adalah 24 maka KPK (8,12) = 24 2. Tentukan KPK (6,4) Jawab : Kelipatan dari 6 adalah 6, 12,18, 24,30,36, . . . Kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, . . . Kelipatan persektuannya adalah 12, 24, 36, . . . Jadi, [ 6,4 ] = 12. I. Menentukan Faktor Prima suatu Bilangan Menentukan kelipatan persekutuan juga dapat dilakukan dengan menentukan faktor prima dari bilangan yang ditentukan. Untuk mencari faktor prima dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan tabel atau pohon akar. a. Dengan tabel 1) Tentukan faktor prima dari 36. Penyelesaian : Faktorisasi dari 36 adalah 36 Jadi, faktor prima dari 36 adalah 2 dan 3. 2) Tentukan faktor prima dari 140 Penyelesaian : Faktorisasi dari 140 adalah 140 Jadi, faktor prima dari 140 adalah 2, 5, dan 7. 3) Tentukan faktor prima dari 74. Penyelesaian : Faktorisasi dari 74 adalah

.

b. Dengan pohon faktor Untuk mencari faktor prima suatu bilangan , lebih mudah jika dilakukan dengan menggunakan pohon faktor, yaitu dengan cara membagi bilangan tersebut dengan suatu bilangan prima terkecil yang mungkin,seterusnya sampai hasil terakhir yang didapat adalah bilangan prima. Susunan pembagian – pembagian tadi diurutkan kebawah ,sebagai berikut. 1) Mencari faktor prima dari 140 140 2

70 2

35

5 7 Karena hasil akhirnya sudah bilangan prima maka pekerjaan kita selesai. Jadi, faktor prima dari 140 adalah 2, 5, dan 7.hasil akhirya : 140 = 22 . 5. 7 2) Mencari faktor prima dari 256 256 2

128 2

64 2

32 2

16 2

8 2

4 2

2

jadi, faktor prima dari 256 adalah 2. Hasil akhirnya 256 = 28.

II. Cara mencari KPK dengan menggunakan faktor prima Pada cara diatas telah dibahas cara mencari kelipatan persekutuan dari dua bilangan atau lebih dengan lebih dahulu mencari kelipatan dari masing-masing bilangan. Setelah itu, diidentifikasi bilangan – bilangan yang merupakan kelipatan persekutuannya. Selanjutnya kita akan menetapkan kelipatan persekutuan terkecilnya. Pada bahasan ini, akan dicari KPK dari dua bilangan atau lebih, dengan menggunakan faktor prima dari suatu bilangan .

Misal a dan b bilangan asli, akan ditentukan KPK (a,b) atau [a,b] Pertama, nyatakan a dan b sebagai hasil kali dari faktor2 primanya. Maka KPK (a,b) adalah hasil kali dari faktor prima yang memenuhi syarat berikut. a. Jika x’’ merupakan faktor prima yang hanya terdapat pada a saja atau b saja maka ‘’ merupakan calon faktor dari KPK (a,b). b. Jika y’’ merupakan faktor prima dari a dan b maka y’’ merupakan calon faktor dari KPK (a,b) c. Jika z’’ merupakan faktor dari a, dan z’’ merupakan pfaktor dari b dengan a > b maka z’’ meruoakan calon faktor dari KPK (a,b) Contoh : 1) Tentukan KPK (12, 18) dengan menggunakan faktor primanya Penyelesaian : 12 = 22 . 3 18 = 2 . 32 Menurut c) maka 22 . 32 merupakan calon faktor dari KPK. Jadi, KPK (12,18) = 22 . 32 = 4 .9 = 36 2) Tentukan KPK (12 , 15) Penyelesaian : 12 = 22 . 32 15 = 3 . 5 Menurut a ) 22 dan 5 merupakan calon faktor KPK Menurut b) 3 merupakan calon faktor KPK Jadi,KPK (12 , 15 ) = 22 . 5 .3 = 60 III. Pembelajaran Untuk menjelaskan kepada siswa bagaimana mencari kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan dengan terlebih dahulu menentukan kelipatan masing – masing bilangan mungkin tidak terlalu sulit setelah siswa mengetahui konsep KPK berdasarkan kelipatan persekutuan dari dua bilangan atau tiga bilangan, serta memahami cara mencari faktor prima dari suatu bilangan maka untuk menjelaskan konsep KPK berdasarkan faktor prima, anda cukup menjelaskan kepada siswa alasan dari pemilihan calon faktor tersebut. Misalnya : Jika x = a2 . b5 . c Y = a4 . c2 . d, dengan a, b, c, d, bilangan prima maka calon faktor-faktor KPK yang dipilih adalah : a. Jika x dan y mempuyai faktor prima yang sama tetapi pangkatnya berbeda maka dipilih faktor prima dengan pangkat terbesar.

b. Jika x mempunyai suatu faktor prima , sedang y tidak maka faktor prima tersebut merupakan calon faktor KPK. c. Jika x dan y mempunyai faktor prima yang sama dengan pangkat yang sama dipilih salh stu sebagai calon KPK. Seperti pada contoh diatas , sebagai calon faktor KPK dipiilh a4 . b5 . c dan d. Agar pemahaman siswa lebih mantap, sebaiknya anda memberikan beberapa jenis soal KPK . tugasi siswa menyelesaikan soal-soal tersebut secara bergiliran sambil dipandu dalam menentukan calon faktor dari kpk nya .jika masih dipandang perlu anda dapat memandu mulai dari menetapkan faktor primanya. Jika anda meng evaluasi pekerjaan siswa, jangan lupa bahwa setiap langkah yang telah diselesaikan siswa dengan benar harus dihargai. Misalnya dalam mencari KPK (12, 15). Jika siswa telah benar menentukan faktor prima dari 12 dan 15 atau keudanya maka siswa sudah berhak mendapat nilai, walaupun barang ali dalam menentukan KPK-nya masih salah tentunya itu bukan nilai maksimal. Sebaliknya jika siswa benar menentukan KPK-nya,tetapi salahdalam menentukan faktor prima nya maka perlu diteliti dari mana siswa mendapatkan KPK yang benar tadi. B. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR ( FPB ) Sama dengan penentuan KPK,untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b, tentukan dulu faktor2 dari a dan b, kemudian identifikasi dan kumpulkan faktor yang sama, selanjutnya pilih yang tebesar. Faktor persekutuan terbesar ditulis dengan notasi FPB (a,b) Contoh: 1) Tentukanf FPB (32,44) Jawab : faktor dari 32 adalah 1, 2, 4, 8, 16,32 Faktor dari 44 adalah Karena faktor sekutu yang terbesar adalah 4 maka FPB dari (32,44) = 4 1. Cara mencari FPB dengan fakor prima Seperti KPK , menentukan FPB dari dua bilangan atau lebih juga dapat dilakukan melalui faktor prima bilangan – bilangan tersebut.untuk menentukan FPB dengan menggunakan faktor prima lebih dahulu bilangan – bilangan yang akan ditentukan FPB- nya diuraikan menjadi perkalian faktor primanya, misalnya Tentukan FPB (18, 30) Penyelesaian ; Langkah pertama ubah dahulu 18 dan 30 sebagai hasil kali faktor primanya , yaitu :

18 = 2 . 32 30 = 2 . 3. 5 Langkah kedua, pilih faktor prima yang menjadi faktor persekutuan kedua bilangan tadi yaitu 18 dan 30 ,dalam hal ini adalah 2 dan 3 . langkah ketiga, kalikan semua faktor persekutuan yang terpilih . dengan demikian FPB (18,30) 2 . 3 = 6 sesuai dengan namanya, yaitu faktor persekuatuan terbesar maka calon faktor dari FPB adalah bilangan prima yang merupakan faktor sekutu kedua bilangan yang akan dicari FPB nya . contoh : 1) tentukan FPB (12,35) penyelesaian : 12 = 22 . 3 35 = 5. 7 Jika tidak mempunyai faktor prima sekutu maka FPB (12 .35 ) =1 Dua bilangan yang tidag mempunyai faktor prima sekutu semacam ini disebut prima relatif. 2. FPB dari Tiga Bilangan Seperti halnya mencari FPB dari dua bilangan, untuk mencari FBP dari tiga bilangan, nyatakan dahulu masing-masing bilangan dalam perkalian faktor primanya, kemudian pilih faktor prima yang merupakan faktor persekutuan dari ketiga bilangan tadi dan kalikan. Contoh : 1) Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 36, 60, dan 96 ! Penyelesaian : 36 = 22 . 32 60 = 22 . 3 . 5 96 = 25 . 3 Faktor prima persekutuan terbesar dari 36, 60, dan 96 adalah 22 dan 3. Jadi, FPB ( 36,60,96) = 22 . 3 = 12. 3. Hubungan KPK atau FPB Untuk mencari KPK atau FPB dari dua bilangan jika salah satu dari KPK atau FPB sudah diketahui dapat digunakan rumus sebagai berikut. KPK (a,b) =

atau

FPB (a,b) =

Contoh : Tentukan KPK dan FPB dari 16 dan 24 ! Penyelesaian : 16 = 22 24 = 23 . 3 (16, 24) = 23 = 8 16 . 24 [16, 24] = = 48 8 4. Pembelajaran Untuk menjelaskan kepada siswa cara mencari FPB dari dua bilangan dengan lebih dahulu mencari faktor bilangan tadi dan kemudian mengumpulkan faktor yang sam selanjutnya pilih yang terbesar kiranya tak menjadi masalah. Namun, jika anda kesulitan untuk menerangkan bagai mana cara mencari FPB dari dua bilangan atau lebih dengan menggunakan faktor prima, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.