Luis Florit- Notas- Análise Em Variedades 3oq46

An´alise em variedades Luis Florit ([email protected], sala 404) Vers˜ao: 20171124.1818 Baixar a u ´ltima vers˜ao daqui: http://luis.impa.br/aulas/anvar/aulas.pdf Bibliografia: [Tu], [Sp], [Le], [Ha], [Hi], [Hr]...

§1.

Variedades

Espa¸co topol´ogico, vizinhan¸ca, cobrimento. Base enumer´avel. Hausdorff (T2). OBS: Base enumer´avel e Hausdorff s˜ao herdados por subespa¸cos. Espa¸co topol´ogico localmente Euclideano: cartas, coordenadas. Dimens˜ao, nota¸ca˜o: dim M n = n. Variedade topol´ogica = Espa¸co topol´ogico + localmente Euclideano + Base enumer´avel + Hausdorff. Exemplos: Rn, gr´aficos, c´uspide. Cartas (C ∞–)compat´ıveis, fun¸co˜es de transi¸c˜ao, atlas (C ∞). Exemplo: Sn. Estrutura diferenci´avel = Atlas maximal. Variedade = Variedade diferenci´avel = Variedade topol´ogica + Atlas maximal. Exemplos: Rn, Sn, U ⊂ M n, GL(n, R), gr´aficos, var. produto.

1

§2.

Fun¸c˜ oes diferenci´ aveis entre variedades

Defini¸ca˜o, composi¸ca˜o, difeomorfismo, difeomorfismo local. Exemplos: fun¸c˜ao a e desde produto. Grupos de Lie, exemplos: Gl(n, R), S1, S3. Transla¸c˜oes a esquerda e direita em G : Lg , Rg . Derivadas parciais, matriz Jacobiana, Jacobiano. §3.

Quocientes

Exerc´ıcio: Mostre que em qualquer quociente de espa¸co topol´ogico existe uma u ´nica estrutura topol´ogica m´ınima, chamada topologia quociente, tal que a proje¸ca˜o ´e continua (i.e., a topologia final de π). Mas o quociente de uma variedade n˜ao necessariamente ´e uma variedade...

Exemplos: Faixa M¨obius, T 2, [0, 1]/{0, 1} = S1. Rela¸co˜es de equivalˆencia abertas: condi¸c˜oes para quociente ser Hausdorff e de base enumer´avel. Exemplo: RPn. Uma a¸c˜ao propriamente descont´ınua ϕ : G×M → M satisfaz: 1) ∀p ∈ M, ∃ Up ⊂ M tal que (g · Up) ∩ Up = ∅, ∀g ∈ G \ {e}, 2) ∀p, q ∈ M em ´orbitas diferentes, ∃ Up, Uq ⊂ M tais que (G · Up) ∩ Uq = ∅ (precisa desta condi¸c˜ao para garantir Hausdorff). §4.

Espa¸co tangente

Germes de fun¸co˜es: Fp(M ) = {f : U ⊂ M → R : p ∈ U }/ ∼ TpM , x : Up ⊂ M n → Rn carta ⇒ ∂x∂ i |p ∈ TpM , 1 ≤ i ≤ n. Diferencial de fun¸c˜oes ⇒ regra da cadeia. 2

f difeomorfismo local ⇒ f∗p isomorfismo ⇒ a dimens˜ao ´e preservada por difeomorfismos locais. Rec´ıproca: Teorema da fun¸c˜ao inversa (tem que valer!). Como toda carta x ´e difeomorfismo com imagem e como x∗p(∂/∂xi|p) = ∂/∂ui|x(p) ∀1 ≤ i ≤ n, ent˜ao { ∂x∂ 1 |p, . . . , ∂x∂ n |p} ´e base de TpM ⇒ dim TpM = dim M . Express˜ao local da diferencial. Curvas: velocidade, express˜ao local. Diferencial usando curvas: todo vetor ´e derivada de curva. OBS: TpRn = Rn: se f ∈ Fp(U ), v ∈ TpM , ent˜ao f∗p(v) = v(f ). Imers˜ao, submers˜ao, mergulho. Posto. Exemplos: proje¸c˜oes e inje¸co˜es em produtos de variedades. Identifica¸c˜ao do espa¸co tangente do produto de variedades: Tp M × Tp 0 M 0 ∼ = T(p,p0)(M × M 0). Defini¸c˜ ao 1. Um ponto p ∈ M se diz um ponto cr´ıtico de f : M → N se f∗p n˜ao for sobrejetiva. Caso contrario, p se diz ponto regular. Um ponto q ∈ N ´e um valor cr´ıtico de f se for imagem de algum ponto cr´ıtico. Caso contr´ario, ´e um valor regular de f (em particular, q ∈ N, q 6∈ Im (f ) ⇒ q ´e valor regular de f ). §5.

Subvariedades

Subvariedades regulares S ⊂ M , cartas adaptadas ϕS . Codimens˜ao. Topologia. Exemplos: sin(1/t) ∪ I; pontos e abertos. As ϕS d˜ao atlas de S. Fun¸c˜oes diferenci´aveis desde e para subvariedades regulares. 3

Conjuntos de n´ıvel: f −1(q). Conjuntos de n´ıvel regulares. Exemplos: Sn, SL(n, R): usar curva t 7→ det(tA) !! Teorema 2. Se q ∈ Im (f ) ⊂ N n ´e um valor regular de f : M m → N n, ent˜ao f −1(q) ⊂ M m ´e uma subvariedade regular de M m de dimens˜ ao m − n. Prova: Seja p ∈ M m com f (p) = q e cartas locais (x, U ) e (y, V ) em p e q. Podemos supor que y(q) = 0, f (U ) ⊂ V e que span{f∗p( ∂x∂ i |p) : i = 1, . . . , n} = Tq N . Defina ϕ : U → Rm por ϕ = (y ◦ f, xn+1, . . . , xm). Ent˜ao, como ϕ∗p ´e um isomorfismo, existe U 0 ⊂ U tal que x0 = ϕ|U 0 : U 0 → Rm ´e uma carta de M m em p. Alem disso, como y ◦ f ◦ x0−1 = πn, temos que f −1(q) ∩ U 0 = {r ∈ U 0 : x01(r) = · · · = x0n(r) = 0}. Logo, x0 ´e uma carta adaptada a f −1(q). Exerc´ıcio: Adaptando a prova do Teorema 2, prove o seguinte: Seja f : M m → N n uma fun¸ca˜o que tem posto constante k numa vizinhan¸ca de p ∈ M . Ent˜ao existem cartas em p e em f (p) tais que a express˜ao de f nessas coordenadas ´e dada por πk := (x1 , . . . , xm ) 7→ (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ∈ Rn . Obtenha disto a forma normal das imers˜oes e submers˜oes. Exerc´ıcio: Conclua do exerc´ıcio anterior que, se f tem posto cte = k numa vizinhan¸ca U de f −1 (q) 6= ∅, ent˜ao U ∩ f −1 (q) ´e uma subv. regular de M m de dim m − k.

Exemplo: f : GL(n, R) → GL(n, R), f (A) = AAt tem posto constante n(n + 1)/2 (pois f ◦ LC = LC ◦ RC t ◦ f ∀C) ⇒ O(n) subvariedade dimens˜ao n(n − 1)/2 (n˜ao precisava posto constante, basta ver que Im (f ) ⊂ Sim(n, R) e I ´e valor regular).

OBS: Como “ter posto m´ aximo” ´e uma condi¸c˜ao aberta, se uma fun¸ca˜o f ´e uma imers˜ao (ou uma submers˜ao) num ponto p, ent˜ao ´e uma imers˜ao (ou uma submers˜ao) numa vizinhan¸ca de p. 4

SL(n, R), SO(n), O(n), S3, U (n),... s˜ao todos grupos de Lie. Subvariedades imersas e mergulhadas. Figura 8. Identificar: p ∈ S ⊂ M ⇒ TpS ⊂ TpM ; S ⊂ Rn ⇒ TpS ⊂ Rn. §6.

Fibrado tangente, fibrados vetoriais, fibrados

Estrutura topol´ogica e diferenci´avel de T M . π : T M → M . Campos de vetores sobre M : X (M ) = {X : M → T M : π ◦ X = IdM }. Diferenciabilidade, estrutura de m´odulo de X (M ). Campos de vetores em M ∼ = Deriva¸c˜oes em M : D(M ) = {X ∈ End(F(M )) : X(f g) = X(f )g + f X(g)}. Colchete: X (M ) ´e ´algebra de Lie: [ · , · ] ´e bilinear, antisim´etrico e satisfaz identidade de Jacobi. Dada f : M → N ⇒ campos f -relacionados: Xf Campos ao longo de f : express˜ao local. Curvas integrais, fluxo local e Teorema Fundamental EDO. Fibrados vetoriais, trivializa¸co˜es locais. T M . Fibrado trivial, fibrado produto. Soma de Whitney de fibrados vetoriais. Pull-back de fibrados vetoriais: f ∗(E). Aplica¸co˜es de fibrados. Exemplo: f∗ : T M → T N . Se¸co˜es. Smooth Frames. Diferenciabilidade. Fibrado cotangente: T ∗M , {dxi, i = 1, . . . , n}. Fibrados gerais e G-fibrados. Redu¸ca˜o.

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§7.

Parti¸co ˜es da unidade

e de fun¸c˜oes. Bump functions. Extens˜oes globais de campos e fun¸c˜oes C ∞ locais. Parti¸co˜es da unidade subordinadas a cobrimentos. Existˆencia de parti¸co˜es da unidade para variedades compactas. Aplica¸c˜ao: Existˆencia de m´etricas Riemannianas. Aplica¸c˜ao: Teorema(s) de mergulho de Whitney (prova aqui). Exerc´ıcio: Ler (e entender!) a prova da existˆencia de parti¸co˜es da unidade em geral (melhor que no Tu, ver aqui).

§8.

Orienta¸c˜ ao

Orientabilidade... fibrado! Exemplo: T M ´e orient´avel. Faixa de Moebius: truque papel, n´o: top. intr´ınseca vs extr´ınseca. §9.

1–formas diferenciais

Ω1(M ) = Γ(T ∗M ) = {w : X (M ) → F(M )/w ´e F(M )−linear}: operador local ⇒ operador pontual ⇒ F(M )-linear. f ∈ F(M ) ⇒ df ∈ Ω1(M ), e df ∼ = f∗ . (x, U ) carta ⇒ { ∂x∂ 1 |p, . . . , ∂x∂ n |p} ´e base TpM cuja base dual ´e {dx1|p, . . . , dxn|p} (i.e., base de Tp∗M ). {dx1, . . . , dxn} s˜ao ent˜ao um frame de T ∗U : express˜ao local. Exemplo: Forma de Liouville em T ∗M : λ(w) := w ◦ π∗w . Pull back: ϕ ∈ End(V , W ) ⇒ ϕ∗ ∈ End(W ∗, V ∗); f : M → N ⇒ f ∗ : F(N ) → F(M ); f ∗ : Ω1(N ) → Ω1(M ). Importˆancia do pull-back! Restri¸ca˜o de 1-formas a subvariedade i : S → M : w|S = i∗w. 6

§10.

´ Algebra multilinear

Sejam V e V 0 R–espa¸cos vetoriais. V ∗ = Hom(V , R). Fun¸c˜oes bi/multi lineares em espa¸cos vetoriais: V ⊗ V . Tensores e k–formas em V : Bil(V ×V ) = (V ⊗V )∗ = V ∗ ⊗V ∗. V ⊗ V 0, V ∧ V , ∧0 V = V ⊗0 := R, V ⊗k := V ⊗ · · · ⊗ V , dim V ⊗k = (dim V )k dim V ∧k V := V ∧ · · · ∧ V ⊂ V ⊗k , dim ∧k V = k Operadores ⊗ e ∧ (bil. e assoc.) sobre aplica¸c˜oes multilineares: σ ∈ ∧k V , ω ∈ ∧s V ⇒ ω ∧ σ :=

1 A(ω ⊗ σ) ∈ ∧(k+s) V k!s!

OBS: ω ∧ σ = (−1)ks σ ∧ ω. §11.

k – formas diferenciais e campos tensoriais

A ´algebra multilinear extende-se a fibrados vetoriais: Hom(E, E 0) P ∗ Exemplos: T M ; m´etrica Riemanniana: h , i|U = gij dxi ⊗dxj Campos tensoriais (tensores) e k-formas (diferenciais): X k (M n), Ωk (M n) s˜ao simplesmente as se¸c˜oes dos fibrados (T ∗M )⊗k , Λk (T ∗M ). Tensores = aplica¸co˜es F(M )-multilineares (bump-functions). OBS: Ω0(M ) = X 0(M ) = F(M ), Ω1(M ) = X 1(M ). Nota¸ca˜o: Jk,n := {(i1, . . . , ik ) : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n}, e para I = (i1, . . . , ik ) ∈ Jk,n, dxI := dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . 7

Express˜oes locais: df1 ∧ · · · ∧ dfn = det([∂fi/∂xj ]1≤i,j≤n) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ,

(1)

e, para J = (j1, . . . , jk ) ∈ Jk,n e y1, . . . , yn ∈ F(M ), X ∂yjr . dyJ = det(AJI ) dxI , onde AJI = ∂xis 1≤r,s≤k I∈Jk,n

Operador ∧ : Ωk (M ) × Ωs(M ) → Ωk+s(M ) bilinear, tensorial Ω•(M ) :=

n M

Ωk (M )

k=0

´e uma ´algebra graduada com ∧. Pull back de tensores e formas: linear, tensorial, respeita ∧: F ∗f := f ◦ F, ∀f ∈ F(M ), F ∗(ω ∧ σ) = F ∗ω ∧ F ∗σ, (F ◦ G)∗ = G∗ ◦ F ∗. §12.

Orienta¸c˜ ao e n – formas

Lembrar: Se B = {v1, . . . , vn} e B 0 = {v10 , . . . , vn0 } s˜ao bases de V n, β(v1, . . . , vn) = det C(B, B 0)β(v10 , . . . , vn0 ), ∀ β ∈ Λn(V n). Dizemos que β determina a orienta¸c˜ ao [B] se β(v1, . . . , vn) > 0. OBS: M n orient´avel ⇔ existe β ∈ V, onde V = {σ ∈ Ωn(M n) : σ(p) 6= 0, ∀ p ∈ M n}. Orienta¸co˜es de M ∼ = V/F+(M ). Difeos que preservam/revertem orienta¸ca˜o. 8

§13.

Derivada exterior: VIP!!

Defini¸c˜ ao 3. A derivada exterior em Ω•(M ) ´e a aplica¸ca˜o linear d : Ω•(M ) → Ω•(M ) que satisfaz as seguintes propriedades: 1. d(Ωk (M )) ⊂ Ωk+1(M ); 2. f ∈ F(M ) = Ω0(M ) ⇒ df (X) = X(f ), ∀ X ∈ X (M ); 3. ∀ω ∈ Ωk (M ), σ ∈ Ω•(M ) ⇒ d(ω ∧σ) = dω ∧σ +(−1)k ω ∧dσ; 4. d2 = 0. OBS: Props (2) + (3) + bump func.: ω|U = 0 ⇒ dω|U = 0. Logo, dω|U = d(ω|U ), e podemos fazer contas localmente. OBS: Props (3) + (4) + indu¸c˜ao ⇒ d(df1 ∧ · · · ∧ dfk ) = 0. OBS: d existe e ´e u´nica: express˜ao em coordenadas. Para toda F : M → N vale que (ver primeiro para Ω0): F∗ ◦ d = d ◦ F∗ i.e., F ∗ : Ω•(N ) → Ω•(M ) ´e um morfismo de ´ algebras diferenciais graduadas (i.e., preserva grau e comuta com d). OBS: Isto tambem explica o porquˆe de dω|U = d(ω|U ) via inc∗. Exerc´ıcio: ∀ k, ∀ ω ∈ Ωk (M ), ∀ Y0 , . . . , Yk ∈ X (M ), dw(Y0 , . . . , Yk ) =

k X (−1)i Yi ω(Y0 , . . . , Yˆi , . . . , Yk ) i=0

+

k X

(−1)i+j ω([Yi , Yj ], Y0 , . . . , Yˆi , . . . , Yˆj , . . . , Yk ).

0≤i<j≤k

Dado X ∈ X (M ) definimos a multiplica¸c˜ ao interior iX : Ωk+1(M ) → Ωk (M ) 9

por (iX ω)(Y1, . . . , Yk ) = ω(X, Y1, . . . , Yk ). 1) iX ω ´e tensorial (= F(M )-bilinear) em X e em ω. 2) ∀ ω ∈ Ωk (M ), σ ∈ Ωr (M ), iX (ω ∧ σ) = (iX ω) ∧ σ + (−1)k ω ∧ (iX σ). 3) iX ◦ iX = 0. §14.

Variedades com bordo

Fun¸c˜oes C ∞ e difeos sobre subconjuntos arbitr´arios S ⊂ M n. ˆ n arbitr´ Proposi¸c˜ ao 4. Seja U ⊂ M n aberto, S ⊂ M ario, e ˆ n. f : U → S um difeomorfismo. Ent˜ ao, S ´e aberto em M Corol´ ario 5. Sejam U e V abertos de Hn := Rn+ = {xn ≥ 0} e f : U → V um difeomorfismo. Ent˜ ao f leva pontos interiores (resp. de bordo) em pontos interiores (resp. de bordo). Variedade com bordo: defini¸c˜ao. (Vaga id´eia de orbifold). Pontos interiores. Bordo de M = ∂M ´e variedade de dimens˜ao dim(M ) − 1. ∂M vs bordo topol´ogico. Se p ∈ ∂M : Fp(M ), Tp∗M , v ∈ TpM (mas pode n˜ao existir curva com α0(0) = v), T M , orienta¸c˜ao: tudo igual que antes. Se p ∈ ∂M : v ∈ TpM interiores e exteriores. OBS: Numa variedade com bordo M , considerando a inclus˜ao inc : ∂M → M existe um campo exterior X ao longo de ∂M (X ∈ Xinc). Logo, ∂M ´e orient´avel se M for, com uma orienta¸c˜ao induzida dada por inc∗iX ω. Exemplos: Hn, [a, b]; B n, B n. 10

Exemplo: Se j = inc : Sn−1 = ∂B n → B n, Z(p) = p ∈ Xinc ´e exterior ⇒ orienta¸ca˜o σ em Sn−1⊂ B n via B n ⊂ Rn e dvRn : X ∗ ci ∧ · · · ∧ dxn. (2) (−1)i−1 xi dx1 ∧ · · · ∧ dx σ = j (iZ dvRn ) = i

§15.

Integra¸c˜ ao (Riemann)

Formas de sup. compacto = Ω•c (M ): preservadas por pullbacks. Se ω ∈ Ωnc(U ), U ⊂ Hn, temos ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn e definimos Z Z Z ω= ω := f dx. U

Hn

Hn

Pode fazer o mesmo para w n-forma cont´ınua em U , A R ⊂ U limitado com bordo de medida nula (e.g., A = cubo) ⇒ A ω. ξ : U ⊂ Hn → V ⊂ Hn ´e difeo, e = 1 (resp. -1) se ξ preserva (resp. reverte) orienta¸ca˜o, (1) e T. de mudan¸ca de vari´aveis ⇒ Z Z ξ ∗(f dx1 ∧ · · · ∧ dxn) ξ ∗ω = U ZU = f ◦ ξ (ξ ∗dx1 ∧ · · · ∧ ξ ∗dxn) ZU f ◦ ξ (dξ1 ∧ · · · ∧ dξn) = ZU Z = f ◦ ξ det(Jξ ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn = ω. U

V

Def.: Se M n est´a orientada, ϕ:U ⊂ M nR→ Hn carta orientada, R R e w ∈ Ωnc(U ), definimos U ω = M ω := ϕ(U )(ϕ−1)∗w. Linear! R P R n n n Def.: M w ∈ Ωc (M ) ⇒ M ω := α M ρα w. R orientada, R TMV: N ϕ∗ω = M ω, ∀ ϕ ∈ Dif+(N, M ), ∀ w ∈ Ωnc(M n). 11

n

Ωnc(M n)

M orientada, temosRo operador linear: ω ∈ P P O caso dim M = 0: f = f (p ) − i i j f (qj ). M R R −M ω = − M ω. §16.

7→

R M

ω.

Teorema de Stokes, vers˜ ao 1.0

n Teorema 6 (Stokes). M n orientada, w ∈ Ωn−1 c (M ) ⇒ Z Z dω = ω. M

∂M

Id´eia subjacente: Somar integrais em cubos pequenos, que as faces interiores cancelam devido `a orienta¸ c˜ao (ver dim 1 e 2). R n Cor.: M compacta orientada ⇒ M dω = 0, ∀ω ∈ Ωn−1(M ). Exerc´ıcio: Os teoremas cl´assicos do c´alculo seguem de Stokes.

OBS (!!): i : N k ⊂ M , N k sub.reg. compacta orientada, e R R ω ∈ Ωk (M ) (ou N k orientada e ωR∈ Ωkc (M )) ⇒ N ω (= N i∗ω). R Se ρ ∈ Dif+(N k ) ⇒ NRρ∗ω = R N ω ⇒ s´o interessa o valor na imagem i(N ). Nota¸c˜ao: i w := N i∗ω. R avel i: i w (mesmo Faz sentido para qualquer Rfun¸c˜ao diferenci´ R para M n˜ao orient´avel!), e i◦ρ w = i w (s´o interessa i(N )). Curiosidade: Teorema de Palais. Seja D : Ωk → Ωr tal que Df ∗ = f ∗ D, para toda f : M → N . R Ent˜ ao, ou k = l e D = cId, ou r = k + 1 e D = c d, ou k = dimM , r = 0, e D = c M .

§17.

Outra forma de integrar (Spivak V.1 cap 8)

Se I k : [0, 1]k ,→ Rk ´e k-cubo, c: [0, R1]k → M ´e k-cubo singular. R c k-cubo singular, ω ∈ Ωk (M ) ⇒ c ω := [0,1]k c∗ω. Ck (M ) = Ck (M ; G) := k-cadeias de M = G-m´odulo livre sobre os cubos singulares, para G = Z ou R (ou Q ou Z2 ou...). 12

R

: Ck (M ) × Ωk (M ) → R est´a definido ∀ M e ´e bilinear! n (x1, . . . , xn−1) := I n(x1, . . . , xi−1, α, xi, . . . , xn−1)), α = 0,1. Ii,α P P n ci,α := c ◦ Ii,α , ∂c = ni=1 1α=0(−1)i+α ci,α (desenho dim 2). Extender linearmente ∂: Ck (M ) → Ck−1(M ): ∂c = bordo de c. Defs: c ∈ Ck (M ) ´e fechada se ∂c = 0; c ´e um bordo se c = ∂˜c. Exemplos: c1, c2 1-cubos. c1 fechado ⇔ c1(0) = c1(1); c = c1 −c2 ´e fechada ⇔ c1(0) = c2(0) e c1(1) = c2(1), ou c1 e c2 fechados. n n )j,β = (Ij+1,β )i,α ∀ 1 ≤ i ≤ j ≤ n−1 ⇒ ∂ 2 = 0 . Como (Ii,α O que provamos no Teorema 6 na verdade ´e o seguinte: Teorema 7 (Stokes, vers˜ ao 2.0). Para toda variedade diferenci´avel M , w ∈ Ωk−1(M ), e c ∈ Ck (M ), temos que Z Z dω = ω. c

∂c

R Logo, ∂ nas k-cadeias (sobre R) ´e o dual (com rela¸c˜ao a ) de d. Vale tudo igual considerando k-simplex em lugar de k-cubos. ´ FAZER EXERCICIOS DOS CAP. 8 E 11 DO SPIVAK!! §18.

Cohomologia de de Rham

(Spivak, v1 cap8)

Se w ∈ Ω1(Rn), quando w = df para certa f ∈ F(Rn)? Condi¸ca˜o ´ suficiente?? SIM: pegando 1-cubo singunecess´aria: dw = 0. E R lar c, c(0) = 0, c(1) = p, definimos f (p) = c w. Bem definida por Stokes(!), j´a que toda curva fechada em Rn ´e bordo. De fato, cs(t) = sc1(t) + (1 − s)c0(t). Ou seja, a solu¸ca˜o de uma EDPs tem a ver com a topologia do espa¸co. Lema de Poincar´e (veremos depois): Z k (Rn) = B k (Rn). 13

Localmente: sempre d´a, mas globalmente depende da topologia! Sistemas EDP lineares: Condi¸ca˜o de integrabilidade. Obstru¸co˜es p/resolver EDPs, ou globalizar certos objetos locais. Z k (M ) := Ker dk = Formas fechadas (condi¸ca˜o local) B k (M ) := Im dk−1 = Formas exatas (condi¸ca˜o global!) Defini¸c˜ ao: A k-´esima cohomologia de de Rham da variedade M (com ou sem bordo) ´e H k (M ) := Z k (M )/B k (M ). H 0(M ) = Rr , onde r = # componentes conexas de M . H n(M n) 6= 0 se M n ´e variedade compacta e orient´avel (Stokes). H n+k (M n) = 0, ∀ k ≥ 1. R n k n Ex: dimH (T ) ≥ k : se ωI := [dθi1∧· · ·∧dθik ] ⇒ TJ wI = δJI . Pull-back: F : M → N ⇒ F ∗(= F #) : H k (N ) → H k (M ). (F ◦ G)∗ = G∗ ◦ F ∗ ⇒ H k (M ) invariante da est. diferenci´avel(!). ∧ : H k (M ) × H r (M ) → H k+r (M ), [ω] ∧ [σ] := [ω ∧ σ] (boa). H •(M ) := ⊕k∈ZH k (M ) ´e o anel de cohomologia de M . De fato, H •(M ) ´e uma ´algebra graduada anticomutativa, e F ∗ ´e um homomorfismo de a´lgebras graduadas. §19.

Invariˆ ancia por homotopia

(Spivak, v1 cap8)

Defini¸c˜ ao 8. Dadas duas variedades (com ou sem bordo) M e N , dizemos que f, g : M → N s˜ao (diferenciavelmente) homot´opicas se existe uma fun¸ca˜o suave T : M × [0, 1] → N tal que T0 := T ◦ i0 = f , T1 := T ◦ i1 = g, onde is(p) = (p, s). ´ rela¸ca˜o de equivalˆencia nas fun¸c˜oes: f ∼ g. E Exemplo: M ´e contr´atil ⇔ IdM ∼ cte. 14

Proposi¸c˜ ao 9. Se M ´e uma variedade com ou sem bordo, para todo k existe uma aplica¸c˜ ao linear τ : Ωk (M × [0, 1]) → Ωk−1(M ) (chamada de homotopia de cocadeias) tal que i∗1 ω − i∗0 ω = dτ ω + τ dω, ∀ ω ∈ Ωk (M × [0, 1]). R1 ∗ Prova: Defina τ (ω) = 0 is (i∂/∂t(ω))ds. Basta ver dois casos (identifiquemos via π1∗ e π2∗). Se ω = f dxI , dω = · · · + (∂f /∂t)dt ∧ dxI , e portanto ´e o TFC. Se ω = f dt ∧ dxI , ent˜ao i∗1 ω = i∗0 ω = 0, e continha ⇒ dτ ω + τ dω = 0. Mais do que diferenci´avel: H •(M ) ´e um invariante homot´opico: Teorema 10 (!!!!!!). f ∼ g ⇒ f ∗ = g ∗ (em H •(M )). Prova: Imediata da Proposi¸ca˜o 9. (O mesmo vale para a homologia singular: ver Teorema 2.10 pag 111 em [Ha] e a prova). Corol´ ario 11. M contr´ atil ⇒ H k (M ) = 0, ∀ k ≥ 1. Corol´ ario 12. (Lema de Poincar´e) Z k (Rn) = B k (Rn) ∀k ≥ 1. Corol´ ario 13. M n comp. orient. n ≥ 1 ⇒ M n n˜ ao contr´ atil. Defini¸c˜ ao 14. f : M → N ´e uma equivalˆencia homot´ opica se existe g : N → M tal que g ◦ f ∼ IdM e f ◦ g ∼ IdN . Nesse caso, dizemos que M e N s˜ao homotopicamente equivalentes, ou que M e N tem o mesmo tipo homot´ opico: M ∼ N . Corol´ ario 15 (!!!!!). Seja f : M → N uma equivalˆencia homot´opica entre variedades com ou sem bordo. Ent˜ao f ∗ : H •(M ) → H •(N ) ´e um isomorfismo. Corol´ ario 16. Se M possui bordo, ent˜ ao H •(M ) = H •(M ◦). 15

Defini¸c˜ ao 17. Um retrato de M a uma subvariedade S ⊂ M ´e uma fun¸c˜ao f : M → S tal que f |S (= f ◦ incS ) = IdS . S ´e chamado de retrato de M (⇒ f ∗ ´e injetiva, e inc∗S ´e sobre). Teorema 18 (do ponto fixo de Brouwer). Se B ⊂ Rn ´e uma bola fechada (ou conjunto compacto convexo), ent˜ ao toda fun¸c˜ao cont´ınua f : B → B possui pontos fixos. Exerc´ıcio. Provar que se M ´e compacta e orient´avel n˜ao existe retra¸c˜ao f : M → ∂M .

Defini¸c˜ ao 19. Um retrato por deforma¸c˜ ao de M a S ⊂ M ´e uma fun¸ca˜o T : M × [0, 1] → M tal que T0 = IdM , Im (T1) ⊆ S, e T1|S = IdS (i.e., retrato T1 ∼ T0 = IdM ⇒ T1∗ e inc∗S s˜ao iso). Em outras palavras, um retrato por deforma¸ca˜o ´e uma homotopia entre retrato de M a S e a identidade de M . Em particular, se S ´e um retrato por deforma¸ca˜o de M , ent˜ao M ∼ S. Corol´ ario 20. Se E ´e um fibrado vetorial sobre M , ent˜ ao H •(E) = H •(M ). Aplica¸c˜ao: Vizinhan¸cas tubulares. Dada N ⊂ M uma subvariedade compacta e mergulhada, para cada 0 < < 0 existe aberto N ⊂ V ⊂ M , tais que N ´e um retrato por deforma¸c˜ao de V, V ⊂ V0 se < 0, ∩V = N . (Prova: usar o teorema de Whitney para M , ou m´etricas Riemannianas; ver Teorema 5.2 em [Hr]). Em particular, H •(V) = H •(N ). Defini¸c˜ ao 21. Um retrato por deforma¸c˜ ao forte ´e um retrato por deforma¸ca˜o T como na Defini¸ca˜o 19 tal que Tt|S = IdS , ∀ t ∈ [0, 1] (e.g, H embaixo). Exemplo: Rn \ {0} ∼ Sn−1 6∼ Rn: H(x, t) = ((1 − t) + t/kxk)x. Exemplo: Faixa M¨obius F ∼ S1 (⇒ H 2(F ) = 0). 16

§20.

Integrando em cohomologia: grau

(Spivak, v1 cap8)

Para M n˜ao compactas (e sem bordo) trabalhamos tamb´em com Hck (M ) := Zck (M )/Bck (M ), k ∈ Z. R n OBS: M orient´avel ⇒ : Hcn(M n) → R bem definida e linear. 22. Se M n ´e variedade conexa e orient´ avel, ent˜ ao RTeorema : Hcn(M n) → R ´e um isomorfismo (⇒ dim Hcn(M n) = 1). R Prova: Temos que ver que se M ω = 0, ent˜ao ω = dβ com β com e compacto. Rt (a) Vale para M = R. Se g(t) = −∞ ω ⇒ ω = dg. (b) Se vale para Sn−1, vale para Rn. Se ω ∈ Ωnc(Rn) ⊂ Ωn(Rn), como Rn ´e contr´atil ω = dη para alguma η ∈ Ωn−1(Rn) (mas η n˜ao tem nec. sup. compacto!). Agora, se Rω tem sup. R compacto (SPG, na bola B1n) e Rn ω = 0, temos Sn−1 j ∗η 0 = R R ∗ n−1 → Sn−1 i η = Rn ω = 0 pelo teorema de Stokes, onde i : S Rn e j : Sn−1 → Rn \ {0} s˜ao as inclus˜oes, e η 0 = η|Rn\{0}. Logo, por hip´otese, j ∗[η 0] = 0. Mas j ∗ ´e um isomorfismo pois Sn−1 ´e retrato por deforma¸ca˜o de Rn \ {0}. Conclu´ımos que η 0 = dλ para alguma λ ∈ Ωn−2(Rn \ {0}). Em particular, se h : Rn → R satisfaz h ≡ 1 fora de B1n e h ≡ 0 em Bn, β = η − d(hλ) ∈ Ωn−1(Rn) tem e em B1n, e ω = dβ. Uma outra prova, mais expl´ıcita, de (b): Se ω = f dvRn R∈ Ωn (Rn ) tem sup. compacto (SPG, 1 em bola B1n ), ent˜ ao definimos g : Rn → R por g(p) = 0 tn−1 f (tp)dt, r : Rn \ {0} → Sn−1 , n−1 n r(x) = x/kxk (retra¸c˜ ao), i : S → R a inclus˜ao e σ = iX dvRn ∈ Ωn−1 (Rn ) como em (2). • RConta ⇒ w = d(gσ) ao tem nec. sup. compacto!) R (por´em gσ R n˜ • Sn−1 (g ◦ i)i∗ σ = B n f dvRn = Rn ω = 0 ⇒ i∗ (gσ) = dλ, por hip´otese. • gσ = r∗ (i∗ (gσ)) = d(r∗ λ) fora de B1n , pois (i ◦ r)∗p = kpk−1 Πp⊥ , (i ◦ r)∗ σ(p) = kpk−n σ(p), e g(p) = kpk−n (g ◦ i ◦ r)(p), se kpk ≥ 1. • Se β := gσ − d(hr∗ λ) ⇒ w = d(gσ) = dβ, com sup(β) ⊆ B1n .

17

(c) (!!!) Se vale para Rn vale para toda M n. Fixemos qualR quer w0 ∈ Ωnc(U0) com U0 ⊂ M n difeo a Rn, tal que M w0 6= 0. n Seja w ∈ Ωnc(M n). Basta ver que existe a ∈ R e η ∈ Ωn−1 c (M ) tais que w = aw0 + dη. Pegando parti¸c˜oes da unidade podemos supor que sup(w) ⊂ U , U difeo a Rn. Como M n ´e conexa, existe uma sequˆencia {Ui, 1 ≤ i ≤ m}, Ui difeo a Rn com Um = U e Ui ∩ Ui+1 6= ∅. Seja R wi com e compacto, sup(wi) ⊂ Ui ∩ Ui+1, e tal que M wi 6= 0. Como vale para Rn ∼ = Ui+1, wi+1 − ci+1wi = dηi+1. Pronto! Teorema 23. M n conexa n˜ ao orient´ avel ⇒ Hcn(M n) = 0. ˜ n → M n. Exerc´ıcio. Provar o Teorema 23 usando o recob. duplo orient´avel π : M

Teorema 24. M n conexa n˜ ao compacta com ou sem bordo ⇒ H n(M n) = 0. Provas: Usar a id´eia em (c). Para o Teorema 24, supor M n orient´avel e usar exaust˜ao por compactos, e para M n n˜ao orient´avel, ˜ n) ´e injetiva (ver [Hi]). provar que π ∗ : H n(M n) → H n(M Pelo Teorema 22, para qualquer fun¸ca˜o diferenci´avel pr´opria entre variedades conexas orientadas, f : M n → N n (mesma dimens˜ao!), existe um n´umero deg(f ) ∈ R, o grau de f , tal que Z Z f ∗ω = deg(f ) ω, ∀ ω ∈ Ωnc(N n). M

N

Teorema 25. Nas hip´ oteses acima, se q ∈ N n ´e um valor regular de f e f (p) = q, definimos sgnf (p) = ±1, de acordo se f∗p preserva ou reverte a orienta¸c˜ ao. Ent˜ ao, X deg(f ) = sgnf (p). p∈f −1 (q) 18

Em particular, deg(f ) ∈ Z, e deg(f ) = 0 se f n˜ ao for sobre. Prova: Se {p1, . . . , pk } = f −1(q), escolhamos vizinhan¸cas pequenas e disjuntas Ui de pi e V de q tais que f : URi → V ´e difeo. Seja R ω∗ com e Rcompacto em V e tal que N ω 6= 0. Ent˜ao, Ui f ω = sgnf (pi) V ω. Logo, o resultado ´e imediato... se valesse que sup(f ∗ω) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . Mas se conserta assim: Seja K ⊂ V compacto tal que q ∈ K o. Ent˜ao, K 0 = f −1(K) \ (U1 ∪· · ·∪Uk ) ´e compacto, e logo f (K 0) ´e fechado e n˜ao contem q. Basta agora trocar V por qualquer V 0 ⊂ K o \ f (K 0) ⊂ K que automaticamente satisfaz f −1(V 0) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . OBS: {Valores regulares} ´e aberto e denso, e a soma ´e finita. OBS: Hcn(M n) 6⊂ H n(M n) em geral: Hcn(Rn) = R, por´em H n(Rn) = 0, n ≥ 1. De fato, f ∼ g 6⇒ f ∗ = g ∗ em Hc•. Mas: Corol´ ario 26. f, g : M n → N n como acima, f ∼ g (propriamente homot´opicas) ⇒ deg(f ) = deg(g). Exemplo: deg(−IdSn ) = (−1)n+1. Corol´ ario 27. Teorema do cachorro peludo 2n-dimensional. OBS: Podemos sempre pentear cachorros de dimens˜ao ´ımpar. ´ Corol´ ario 28. Teorema Fundamental da Algebra. Prova: Estender g(z) = z k +a1z k−1 +· · ·+ak a C ∪∞ = S2 via zk ´ suave pois 1/g(1/z) = , e ´e homot´opica g(∞) = ∞. E 1+a1 z+···ak z k a h(z) = z k via gt(z) = z k + t(a1z k−1 + · · · + ak ). 19

Seja w = f (r)dxR ∧ dy = f (r)rdr ∧ dθ com f com e R compacto. Logo, R2 h∗w = k R2 w ⇒ deg(g) = deg(h) = k > 0 ⇒ g ´e sobrejetora. Outra forma: h ´e difeo local que preserva orienta¸ca˜o em C \ {0}, e ∀u ∈ C \ {0}, h−1(u) possui k pontos ⇒ deg(h) = k. §21.

Motiva¸c˜ ao do conceito de sequˆ encia exata

Sejam U, V ⊂ M abertos tais que M = U ∪ V , k ∈ Z ⇒ iU : U ,→ M , jU : U ∩ V ,→ U ⇒ i∗U : Ωk (M ) → Ωk (U ), jU∗ : Ωk (U ) → Ωk (U ∩ V ). Idem para iV , jV . Temos ent˜ao: i = i∗U ⊕ i∗V : Ωk (M ) → Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ), j = jV∗ ◦ π2 − jU∗ ◦ π1 : Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) → Ωk (U ∩ V ), i.e., i(ω) = (ω|U , ω|V ), j(σ, ω) = jV∗ ω − jU∗ σ = ω|U ∩V − σ|U ∩V . Juntando, temos j

i

0 → Ωk (M ) → Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) → Ωk (U ∩ V ) → 0,

(3)

com cada imagem contida no n´ucleo da seguinte. Agora, o ponto importante ´e que, de fato, s˜ao iguais! (o u´nico n˜ao obvio ´e que j ´e sobre, mas, se {ρU , ρV } ´e parti¸c˜ao da unidade subordinada a {U, V } e ω ∈ Ωk (U ∩ V ), ent˜ao ωU := ρV ω ∈ Ωk (U ), ωV := ρU ω ∈ Ωk (V ), e j(−ωU , ωV ) = ω). §22.

Complexos e sequˆ encias exatas

(Spivak, v1, cap.11)

Sequˆencias exatas (esp. vet. ou grupos abelianos): curta, longa. Exerc´ıcio. O dual de uma sequˆencia exata ´e exata. 20

f

A → B → 0 ⇔ f epimorfismo f 0 → A → B ⇔ f monomorfismo f 0 → A → B → 0 ⇔ f isomorfismo f A→B→C →0⇒C∼ = B/Im f 0→A→B→C →0⇒C∼ = B/A Proposi¸c˜ ao 29. (Teorema da dimens˜ao na a´lgebra linear) Se P β α 0 → V 1 → V 2 → · · · → V k → 0 ´e exata ⇒ i(−1)i dim V i = 0. β[ ]

Prova: Indu¸c˜ao em k, trocando por 0 → V 2/Im α → V 3 → · · · Complexo de cocadeias: C = {C k }k∈Z + ‘diferenciais’ {dk }k∈Z: d−1

d

d

· · · C −1 → C 0 →0 C 1 →1 C 2 · · · ,

dk ◦ dk−1 = 0.

Soma direta de complexos de cocadeias a ∈ C k ´e uma k−cocadeia de C a ∈ Z k (C) := Ker dk ⊂ C k ´e um k−cociclo de C a ∈ B k (C) := Im dk−1 ⊂ C k ´e um k−cobordo de C A k-´esima cohomologia de C ´e dada por H k (C) := Z k (C)/B k (C). Se a ∈ Z k (C) ⇒ [a] ∈ H k (C) ´e a classe de cohomologia de a Um mapa de cocadeias ϕ : A → B ´e uma sequˆencia {ϕk : Ak → B k }k∈Z tal que d ◦ ϕk = ϕk+1 ◦ d. Isto nos d´a aplica¸c˜oes ϕ∗ : j i H •(A) → H •(B). A sequˆencia 0 → A → B → C → 0 ´e dita exata curta se em cada n´ıvel k ela for exata. Neste caso, j∗

i∗

H k (A) → H k (B) → H k (C) ´e exata para todo k. Mas n˜ao ´e exata com 0 a` direita ou a` esquerda... Por´em: 21

i

j

Teorema 30 (!!!!!!!). Se 0 → A → B → C → 0 ´e exata curta, ent˜ao existem homomorfismos (expl´ıcitos e naturais!) δ ∗ : H k (C) → H k+1(A), ao origem ` a chamados homomorfismos de conex˜ ao, e que d˜ seguinte sequˆencia longa de cohomologia:

Prova: (“Persegui¸c˜ao”: fazer com alunos) Dada c ∈ Z k (C), existe b ∈ B k tal que jb = c. Mas ent˜ao db ∈ Ker j (jdb = djb = dc = 0), e, como Ker j = Im i, existe a ∈ Ak+1 tal que db = ia (dada b, a ´e u´nica pois i ´e injetiva). Agora, ida = dia = d2b = 0 ⇒ da = 0. Definimos ent˜ao δ ∗[c] := [a] (independe das escolhas de b e c). Vejamos agora, e.g., que a sequˆencia longa ´e exata em H k (C). • Im j ∗ ⊂ Ker δ ∗: Para [b] ∈ H k (B), temos δ ∗j ∗[b] = δ ∗[jb]. Pela defini¸ca˜o de δ ∗, podemos pegar como o b que leva a c = jb o pr´oprio b. Mas b ´e um cociclo: db = 0. Portanto, na defini¸c˜ao de δ ∗, ia = db = 0, de onde a = 0. Logo, δ ∗[jb] = [0] = 0. • Ker δ ∗ ⊂ Im j ∗: Se δ ∗[c] = 0, o a na defini¸c˜ao de δ ∗ ´e um cobordo e o b um cociclo: a = da0, pelo que db = ida0 = dia0, i.e., d(b − ia0) = 0. Mas ent˜ao j ∗[b − ia0] = [jb − jia0] = [jb] = [c]. 22

§23.

A sequˆ encia de Mayer-Vietoris

Como vimos, (3) ´e exata para todo k, logo temos como corol´ario: Teorema 31 (!!!!). A seguinte sequˆencia longa de cohomologia, chamada de sequˆencia de Mayer-Vietoris, ´e exata: i∗

0

0

j∗

0

δ∗

0

0 → H (M ) → H (U ) ⊕ H (V ) → H (U ∩ V ) → · · · ··· δ∗

i∗

k

k

j∗

k

δ∗

k

· · · → H (M ) → H (U ) ⊕ H (V ) → H (U ∩ V ) → δ∗

→H

k+1

i∗

(M ) → H

k+1

(U ) ⊕ H

k+1

j∗

(V ) → H

k+1

δ∗

(U ∩ V ) → · · ·

E, pelo mesmo pre¸co, temos uma receita para construir δ ∗: • Se ω ∈ Ωk (U ∩ V ), com part. da unidade conseguimos formas ωU e ωV em U e V tais que j(−ωU , ωV ) = ωV |U ∩V +ωU |U ∩V = ω; • Agora, se ω for fechada, −dωU e dωV coincidem em U ∩ V (!!!), j´a que j(−dωU , dωV ) = dj(−ωU , ωV ) = dω = 0; • Logo, −dωU e dωV definem uma forma σ ∈ Ωk+1(M ), que ´e obviamente fechada (mas n˜ao necessariamente exata!). Ent˜ao, temos que δ ∗[ω] = [σ] ∈ H k+1(M ). OBS: Se U, V e U ∩ V s˜ao conexos come¸camos em k = 1, i.e., 0

i∗

0

j∗

0 → H (M ) → H (U ) ⊕ H (V ) → H 0(U ∩ V ) → 0, 1

0

i∗

1

j∗

1

0 → H (M ) → H (U ) ⊕ H (V ) → · · · 0

δ∗

s˜ao exatas (pois M ´e conexa, e H (U ∩ V ) → H 1(M ) ´e a fun¸c˜ao nula, j´a que j ∗ : H 0(U ) ⊕ H 0(V ) → H 0(U ∩ V ) ´e sobre). S Exemplos: M = i Mi disjunta ⇒ H k (M ) = ⊕iH k (Mi), H •(Sn), H •(T 2). 23

§24.

A caracter´ıstica de Euler

Nesta se¸ca˜o vamos supor que todas as cohomologias de M tˆem dimens˜ao finita (veremos que isto acontece se M for compacta). Defini¸c˜ ao 32. A caracter´ıstica de Euler de M ´e o invariante homot´opico X χ(M ) := (−1)ibi(M ) ∈ Z, i

onde bk (M ) := dim H k (M ) ´e o k-´esimo n´ umero de Betti de M . Mayer-Vietoris + Proposi¸ca˜o 29 ⇒ χ(M ) = χ(U )+χ(V )−χ(U ∩ V ).

(4)

Simplex ⇒ triangula¸co˜es: sempre existe (pela base enumer´avel). Teorema 33. Para qualquer triangula¸c˜ ao de M n vale que n X χ(M n) = (−1)iαk , i=0

onde αk = αk (T ) ´e o n´ umero de k-simplex em T . Prova: Para cada n-simplex σi de T , sejam pi ∈ σio e uma bolinha pi ∈ Bpi ⊂ σio (pensar pi como bolinha tamb´em). Seja U1 a uni˜ao disjunta destas αn bolinhas, e Vn−1 = M \ {p1, . . . , pαn }. Logo, (4) ⇒ χ(M n) = χ(Vn−1) + (−1)nαn. Agora, para cada (n−1)-face τj de T , pegue uma bolinha “longa” Bτj unindo as duas Bpi ’s de cada n-simplex adjacente a τj . Chame de U2 a` uni˜ao destas αn−1 bolinhas (disjuntas). Pegue tamb´em um arco (dentro de Bτj ) unindo os bordos das duas Bpi ’s , e 24

seja Vn−2 o complemento destes αn−1 arcos. De novo, (4) ⇒ χ(Vn−1) = χ(Vn−2) + (−1)n−1αn−1. Indutivamente, temos Vn−3, · · · , V0, este u´ltimo sendo uma uni˜ao de α0 conjuntos contr´ateis (cada um vizinhan¸ca de um v´ertice de T ), de onde χ(V0) = α0 e χ(Vk ) = χ(Vk−1) + (−1)k αk . Corol´ ario 34. (Descartes-Euler) Se um poliedro convexo tem V v´ertices, F faces, e E arestas, ent˜ ao V − E + F = 2. Corol´ ario 35. S´o existem 5 s´ olidos Pitag´ oricos. Prova: Se r ≥ 3 ´e o n´umero de arestas (= v´ertices) em cada face, e s ≥ 3 ´e o n´umero de arestas (= faces) que chegam a cada v´ertice, temos que rF = 2E = sV . Mas V − E + F = 2 ⇒ 1/s + 1/r = 1/E + 1/2 > 1/2, ou (r − 2)(s − 2) < 4. Como F = 4s/(2s + 2r − sr) temos (r, s) = (3,3) = tetraedro = Fogo, (4,3) = cubo = Terra, (3,4) = octaedro = Ar, (3,5) = icosaedro = Agua, e (5,3) = dodecaedro... que, segundo Plat˜ao, foi “...usado por Deus para distribuir as (12!) constela¸co˜es no Universo” (n˜ao consegui completar a prova desta afirma¸ca˜o).

Modelo Plat´ onico do sistema solar por Kepler; Circogonia icosahedra; Pedras de 2000 AC

FORTE CONSELHO: Assistir este v´ıdeo sobre a vida de Kepler, da espetacular s´erie Cosmos (a dos anos ’80!). 25

OBS: Em dimens˜ao n = 4 tem 6 s´olidos regulares (tem um com 24 faces), e para n ≥ 5 tem s´o 3: o simplex (tetraedro), o hipercubo (claro), e o hiperoctaedro, que ´e a c´apsula convexa de {±ei}. §25.

Mayer-Vietoris para e compacto

N˜ao podemos simplesmente trocar H k por Hck em Mayer-Vietoris, pois ω ∈ Ωkc (M ) 6⇒ i∗U (ω) ∈ Ωkc (U ). Por´em, se ω ∈ Ωkc (U ), a extens˜ao como 0 de ω, ˆiU (ω), satisfaz ˆiU (ω) ∈ Ωkc (M ). E isto funciona! (j := jˆU ⊕ jˆV , i := ˆiU − ˆiV ): Lema 36. A seguinte sequˆencia ´e exata ∀k (exerc´ıcio f´ acil): j

i

0 → Ωkc (U ∩ V ) → Ωkc (U ) ⊕ Ωkc (V ) → Ωkc (U ∪ V ) → 0. Logo, Teorema 30 + Lema 36 ⇒ Teorema 37. A seguinte sequˆencia longa ´e exata: δ∗

··· → δ∗

Hck (U

j∗

∩V) →

Hck (U )

⊕

Hck (V

j∗

i∗

)→

δ∗ k Hc (M ) →

i∗

δ∗

→ Hck+1(U ∩ V ) → Hck+1(U ) ⊕ Hck+1(V ) → Hck+1(M ) → · · · OBS: Comparar as duas Mayer-Vietoris. ˜ MISTURAR/CONFUNDIR!!! OBS: CUIDADO PARA NAO OBS: O Teorema 30 ´e uma f´abrica de teoremas! §26.

Mayer-Vietoris para pares

Seja i : N ,→ M uma subvariedade compacta e mergulhada, e k ∈ Z. Ent˜ao, W = M \ N ´e uma variedade e portanto temos ˆj

i∗

W Ωkc (M \ N ) → Ωkc (M ) → Ωk (N ).

26

Mas esta n˜ao ´e exata em Ωkc (M ): o n´ucleo de i∗ s˜ao as formas que se anulam em N , enquanto que a imagem de jˆW s˜ao as que se anulam em vizinhan¸ca de N . Mas isto se conserta assim: Seja V uma viz. tubular com fecho compacto de N , j : N ,→ V a inclus˜ao, e π : V → N um retrato por deforma¸ca˜o, i.e., π ◦ j = idN , j ◦ π ∼ idV . Constru´ımos agora uma sequˆencia de tais V , V = V1 ⊃ V2 ⊃ · · · com ∩iVi = N . Ent˜ao, dizemos que ω e ω 0 em Ωk (U ) para algum aberto U ⊂ M contendo N s˜ao equivalentes se existe r > i, j tal que ω|Vr = ω 0|Vr . O conjunto destas classes forma um espa¸co vetorial G k (N ), o dos “germes de k-formas definidas numa vizinhan¸ca de N ”, que tem seu diferencial obvio induzido por d, e ´e portanto um complexo de cocadeias G = (G •(N ), d). Isto d´a um mapa de cocadeias ˆi∗ k Ωc (M ) → G k (N ), onde ˆi∗(ω) = classe de ω|V . 1

Lema 38. A seguinte sequˆencia ´e exata (outro exerc´ıcio): 0→

Ωkc (M

ˆjW

\ N) →

ˆi∗ k Ωc (M ) →

G k (N ) → 0.

Agora, como j ∗ : H k (Vi) → H k (N ) ´e isomorfismo para todo i e para todo k, H k (N ) ´e isomorfo a H k (G) (exerc´ıcio). Logo, Teorema 30 + Lema 38 ⇒ Teorema 39. Existe uma sequˆencia longa exata: δ∗

· · · → Hck (M \N ) → Hck (M ) → H k (N ) → Hck+1(M \N ) → · · · De maneira totalmente an´aloga ao Teorema 39, temos: Teorema 40. Seja M uma variedade com bordo compacto. Ent˜ao existe uma sequˆencia longa exata: δ∗

· · · → Hck (M\∂M ) → Hck (M ) → H k (∂M ) → Hck+1(M\∂M ) → · · · 27

OBS: Se M ´e variedade com bordo e M o = M \∂M o seu interior, retirando viz. tubulares Vi do bordo como na defini¸c˜ao de G temos Mi = M \Vi, e inclus˜oes Mio ,→ Mi ,→ M o ,→ M . Mas Mi ∼ M e Mio ∼ M o, o que induz dois isomorfismos em cohomologia, e o que nos permite concluir que H •(M ) ∼ = H •(M \ ∂M ). Aplica¸c˜ao: Se B ⊂ Rn ´e bola aberta, Hck (Rn) = Hck (B) ∼ = Hck (B) = H k (B) = H k (B) = 0, ∀ k 6= n. Em particular, Hck (Rn) ∼ = H n−k (Rn) ∼ = (H n−k (Rn))∗ ∀ k. Exerc´ıcio: Calcular H • (Sn × Sm ). Sug: Sn × Sm = ∂(B × Sm ).

§27.

Aplica¸c˜ ao: o Teorema de Jordan generalizado

Teorema 41 (Jordan generalizado). Seja M n ⊂ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie compacta, conexa e mergulhada. Ent˜ ao, n n+1 n M ´e orient´avel, R \M tem exatamente 2 comp. conexas, uma limitada e a outra n˜ ao, e M n ´e o bordo de cada uma. Prova: Pela aplica¸c˜ao acima e o Teorema 39, temos 0∼ = Hcn (Rn+1 ) → H n (M n ) → Hcn+1 (Rn+1 \ M ) → Hcn+1 (Rn+1 ) ∼ = R → 0.

Isto ´e, dim H n(M n) + 1 = # comp.conexas de Rn+1 \ M n ≥ 2 (exerc´ıcios 23 a 26 Spivak cap.8 sobre winding numbers mod 2: f : M n×I → N n homotopia, y ∈ N n valor regular de f, f0, f1 ⇒ #f0−1(y) = #f1−1(y) mod 2; fazer desenho).

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Portanto, pelo Teorema 22 e Teorema 23, H n(M n) ∼ = R, M n ´e orient´avel, e # comp.conexas de Rn+1 \ M n = 2. Ainda pelo mesmo argumento com winding numbers, todo ponto de M n est´a arbitrariamente perto de pontos nas duas componentes conexas. Corol´ ario 42. Nem a garrafa de Klein, nem o plano projetivo possuem mergulhos em R3. §28.

Dualidade de Poincar´ e

Seja U ⊂ Rn aberto, limitado e estrelado em rela¸c˜ao a 0, i.e., U = Uρ = {tx : 0 ≤ t < ρ(x), x ∈ Sn−1} para alguma fun¸c˜ao limitada ρ : Sn−1 → R>0. Lema 43. Se ρ ∈ C ∞, U ´e difeomorfo a Rn. Prova: SPG, ρ ≥ 1, e basta pegar o difeomorfismo h: B1 → U como h(tx) = (t + (ρ(x) − 1)f (t))x, para qualquer fun¸c˜ao diferenci´avel f com f = 0 em [0, ), f 0 ≥ 0, f (1) = 1. Agora, ρ pode nem mesmo ser cont´ınua... Mas ´e semi-cont´ınua: Lema 44. Dado x ∈ Sn−1 e > 0, existe viz. Vx = V (x, ) de x tal que ρ|Vx > ρ(x) − . (Prova: U ´e aberto). Lema 45. H •(U ) ∼ = Hc•(Rn). (De fato, U = H •(Rn) e Hc•(U ) ∼ ´e difeomorfo a Rn mesmo que ρ n˜ ao seja C ∞, mas ´e dif´ıcil). Prova: O primeiro ´e obvio pois U ´e contr´atil. Basta ver ent˜ao Hck (U ) = 0 para k < n pela aplica¸ca˜o anterior (pag. 26). Mas se [ω] ∈ Hck (U ), suponhamos que existe ρ ∈ C ∞(R) tal que 29

K = sup(ω) ⊂ Uρ ⊂ U (isto ´e, ρ < ρ). Ent˜ao Uρ ∼ = Rn e [ω] ∈ Hck (Uρ) = 0. Logo, existe η ∈ Ωck−1(Uρ) ⊂ Ωck−1(U ) tal que ω = dη. Para provar que existe tal ρ, seja 2 = d(K, Rn \ U ) > 0 e, para x ∈ Sn−1, t(x) := max{t : tx ∈ K} ≤ ρ(x) − 2. Em viz. Vx de x temos que t|Vx < ρ(x) − < ρ|Vx pelo Lema 44 e a defini¸ca˜o de . Pegamos um subcobrimento finito {Vxi } de Sn−1 e uma parti¸ca˜o da unidade {ϕi} subordinada a ele, e definimos P ρ = i(ρ(xi) − )ϕi. Logo, t < ρ < ρ − < ρ. Defini¸c˜ ao 46. Dizemos que M n tem tipo finito se existe um cobrimento finito U de M n tal que toda interse¸c˜ao V n˜ao vazia de elementos de U satisfaz que H •(V ) = H •(Rn) e Hc•(V ) = Hc•(Rn). Um tal cobrimento U se diz bacana. Lema 47. Toda variedade compacta tem cobrimento bacana. Prova: Viz. totalmente normais (Geometria Riemanniana). Proposi¸c˜ ao 48. Se M tem tipo finito (e.g. M compacta), ent˜ao H •(M ) e Hc•(M ) tˆem dimens˜ ao finita. Prova: Indu¸c˜ao em # U usando Mayer-Vietoris. Agora, observando que H k (M ) ∧ Hcr (M ) ⊂ Hck+r (M ), temos: Teorema 49 (Dualidade de Poincar´ e). Se M n ´e conexa e orient´avel, a fun¸c˜ao linear P D: H k (M ) → (Hcn−k (M ))∗, Z P D([ω])([σ]) := ω∧σ M

´e um isomorfismo, para todo k. 30

Prova: A prova para variedades de tipo finito segue por indu¸c˜ao no n´umero de elementos de um cobrimento bacana usando o seguinte Lema. Lema 50. Se U e V s˜ao abertos tais que P D ´e isomorfismo para todo k em U , V e U ∩ V , ent˜ ao P D ´e isomorfismo para todo k em U ∪ V . Prova: Seja M = U ∪ V e l = n − k. Mayer-Vietoris nos diz H k−1 (U ) ⊕ H k−1 (V ) → H k−1 (U ∩ V ) → H k (M ) → H k (U ) ⊕ H k (V ) → H k (U ∩ V ) ↓ PD ⊕ PD (Hcl+1 (U )

⊕

Hcl+1 (V

↓ PD ∗

)) →

Hcl+1 (U

↓ PD ∗

∩V) →

Hcl (M )∗

→

↓ PD ⊕ PD (Hcl (U )

⊕

Hcl (V

∗

)) →

↓ PD Hcl (U

∩ V )∗

onde todos os mapas verticais s˜ao isomorfismos (menos talvez o do meio). Mais ainda, todos os quadrados comutam a menos de sinal (exerc´ıcio), e portanto trocando os sinais de alguns P D tudo comuta. O Lema segue ent˜ao do Lema dos cinco (provar), que diz precisamente que o do meio tamb´em tem que ser isomorfismo. Corol´ ario 51. Se M n ´e compacta, conexa e orient´ avel ⇒ bk (M n) = bn−k (M n). Em particular χ(M n) = 0 se n for ´ımpar. §29.

Homologia singular e o Teorema de deRham

Como vimos na Se¸c˜ao 17, temos um operador de bordo entre cadeias (de simplex) com qualquer grupo abeliano G como coeficientes, ∂k : Ck (M ) → Ck−1(M ), que satisfaz ∂ 2 = 0. Isto ´e, as cadeias formam um complexo (para qualquer espa¸co topol´ogico). A homologia desse complexo ´e chamada de homologia singular de M : Hk (M ) = Hk (M ; G) := Ker ∂k /Im ∂k+1. 31

Agora, se M = U ∪V , compondo cadeias com as inclus˜oes, temos a seguinte sequˆencia obviamente exata de Mayer-Vietoris: 0 → Ck (U ∩ V ) → Ck (U ) ⊕ Ck (V ) → Ck (U + V ) → 0, onde Ck (U + V ) s˜ao as k-cadeias de M que se decomp˜oem como soma de k-cadeias em U e V . Pelo Teorema 30 temos ent˜ao a sequˆencia longa correspondente em homologia. Mas, com uma id´eia conceitualmente similar `a que levou a constru¸c˜ao de G (“decomposi¸ca˜o baricˆentrica”) se prova com algum trabalho que H•(U ∪ V ) ∼ = H•(U + V ). Logo, temos a sequˆencia longa exata de homologia singular: · · · Hk+1 (M ) → Hk (U ∩ V ) → Hk (U ) ⊕ Hk (V ) → Hk (M ) → Hk−1 (U ∩ V ) → · · · (5)

Comparar com o Teorema 37 e usar o Teorema 7! Para a homologia singular (diferenci´avel) com coeficientes em R, H•(M ; R), pelo teorema de Stokes e de maneira an´aloga a` Dualidade de Poincar´e (Lema 50 na prova do Teorema 49), se prova o seguinte (ver Se¸ca˜o 27 e Se¸ca˜o 17): Teorema 52 (Teorema de deRham). Para toda variedade M , a fun¸c˜ao linear DR : H k (M ) → (Hk (M ; R))∗, Z DR([ω])([c]) = ω c

´e um isomorfismo, para todo k. Prova: Ver aqui um argumento geral, mesmo que a variedade n˜ao seja de tipo finito. Fim. :o)

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References [Ha] Hatcher, A.: Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. [Hi] Hitchin, N.: Differentiable manifolds. Lecture notes here. [Hr] Hirsch, M.: Differential topology. Graduate text in Mathematics 33, Springer-Verlag, New York, 1972. [Le] Lee, J.: Introduction to smooth manifolds. University of Washington, Washington, 2000. [Tu] Tu, L: An introduction to manifolds. Second edition. Universitext. Springer, New York, 2011. [Sp] Spivak, M.: A comprehensive introduction to differential geometry.. Vol. III. Third edition. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1979.

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