Fluidos 73454p

DINÁMICA DE FLUIDOS Se estudia ahora a los fluidos en movimiento. La teoría a desarrollar permitirá predecir las velocidades de las partículas de fluido que están pasando por algunos puntos fijos. También se verán los conceptos de flujo de masa y flujo de volumen o caudal y la forma de calcularlos. Características de un flujo Flujo laminar o estable En este caso las partículas en movimiento describen trayectorias o líneas curvas llamadas líneas de corrientes. La velocidad del fluido en cualquier punto es constante en el tiempo. Figura 1. Porción de un tubo de flujo formado por líneas de corriente. La partícula en P, tiene una velocidad v que es tangente a la línea de corriente Flujo turbulento o no estable. Las partículas ya no tienen velocidades constantes en el tiempo, es decir que no describen líneas de corriente. Los movimientos son caóticos como en los torbellinos Flujo no viscoso Las fuerzas de fricción entre capas de fluido en movimiento son despreciables Flujo Incompresible La densidad del fluido es constante en todo punto y en todo instante. Flujo irrotacional Cuando las partículas de fluido no realizan movimientos de rotación además de traslación. La teoría se realiza considerando fluidos ideales, es decir aquellos que son irrotacionales, incompresibles y no viscosos. Flujo de masa: La masa por unidad de tiempo (en kg/s) que esta cruzando por una sección transversal de un tubo de flujo se calcula con la ecuación: m  Av t

(1)

La ecuación de continuidad La figura 2, nos muestra una porción de un fluido entre las secciones A1 y A2 de un tubo de flujo. Por A1 ingresa un flujo de masa sale simultáneamente el flujo [

m m ]1  [ ]2 t t

[

m ]2 . t

m ]1 t

y por A2

Por conservación de la masa se tiene:



Para  = cte, se tiene de (2):

[

1A1 v1 = 2A2 v2 A1v1 = A2v2

(2) (3)

A las expresiones (2) o (3) se les llama ecuación de continuidad. Figura 2. Se muestra el flujo entrante por A1 y el flujo saliente por A2 La ecuación de Bernoulli Esta ecuación esta basada en la conservación de la energía. Se le aplica a un flujo no viscoso, incompresible y laminar. La ecuación relaciona la presión p, la velocidad de flujo v y la altura y, entre dos puntos de una misma línea de corriente como la indicada en la figura 3. Figura 3. Tubo de corriente con sección transversal y altura variables. La porción de fluido contenido entre las secciones A1 y A2 avanza por acción de la fuerza p1A1, mientras que la fuerza p2A2 se opone al desplazamiento. La figura 3 nos muestra que las fuerzas p1A1 y p2A2 realizan un trabajo neto W al desplazar la porción de fluido contenido entre las secciones A1 y A2: W = p1A1x1 - p2A2x2 = (p1 – p2) V donde por continuidad se tiene que A1x1 = A2x2 = V.

(4)

Este trabajo que realiza la diferencia de presión (p1 – p2), da como resultado un incremento de la energía mecánica de la masa m = m1 = m2 = V: W =

1 2

m (v22 – v12) +

(p1 – p2) V =

1 2

1 2

m g (y2 – y1)

 V (v22 – v12) +

1 2

(5)

 V g (y2 – y1)

(6)

Simplificando V y reordenando (6) se obtiene la ecuación de Bernoulli: p1 

1 1  v 1 2   g y1  p 2   v 2 2   g y 2 2 2

(7)

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli El medidor de Venturi El tubo o medidor de Venturi, es un dispositivo que se utiliza para medir la velocidad de flujo de un fluido incompresible. Como indica la figura 4, esta formado por un tubo horizontal por donde circula el fluido de densidad . Se observa un estrechamiento de la sección transversal, lo cual origina una diferencia de presión entre los puntos 1 y 2. Parte del medidor es el tubo en U que contiene un liquido de densidad ’ > . La diferencia de presión (p1 – p2) produce el desnivel h, cuyo valor es proporcional a la velocidad v1 que se quiere medir. Figura 4. Tubo de Venturi Debido a que A1 > A2, v2 > v1. Por Bernoulli se tiene que p1 > p2. En el tubo en U se aplica estática para calcular p1 – p2 Aplicando Bernoulli a los puntos 1 y 2 se tiene: p1 - p 2 

1  (v 2 2 - v1 2 )   g (y 2 - y1 ) 2

(8)

Por estática en el tubo en U, en la horizontal que pasa por los puntos M y N es pM = pN : p1 +  g y1 = p2 +  g (y2 - h) + ´ g h p1 - p2 =  g (y2 - y1- h) + ´ g h De las ecuaciones (7) y (8) se elimina p1– p2 , obteniéndose:

(9)

v1  A 2

2(  ' -  )gh 2



2

 (A1 - A 2 )

2(  ' -  )gh A [( 1 ) 2 - 1] A2

(10)

Pregunta Por una tubería horizontal fluye agua . Si la sección transversal del tubo disminuye a la mitad, explique en cual de las secciones es mayor la presión. Solución Por continuidad entre los puntos 1 y 2 : A A 1 v1  A 2 v 2  v 1  2 v 2 A1 Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 , y combinando con la expresión anterior se halla una relación entre p1 y p2 : A 1 1 1 1 2 2 2 2 p1   v1  p 2   v 2  p1 - p 2   [v 2 - v1 ]   v 2 [1 - 2 ]  0 2 2 2 2 A1 se deduce que en un tubo de corriente p1 > p2 siempre que v1 < v2 Ejemplo Desde un gran tanque fluye el agua como muestra la figura. Por el punto 2 sale el agua con velocidad v2 . Se observa que el agua avanza la distancia x = 40 cm. Si h = 26 cm, halle: a) El valor de v2 . b) La altura H del nivel del agua. c) La presión en el punto 3, sabiendo que A3 = 10 cm2 y A2 = 4 cm2. d) El tiempo que transcurre para que H = h. A1 = 1 m2. Solución a) Siendo x = v2 t y h =

1 g t2 , se deduce: 2 g v2  x  1,754 m/s 2h

b) Por Bernoulli y continuidad entre los puntos 1 y 2 se halla H: Hh

1 2 v 2  0,414 m 2g

c) Se aplican Bernoulli y continuidad entre 2 y 3: A 1 1 2 2 2 p 3  p 0   (v 2 - v 3 )  p 0   v 2 [1 - ( 2 ) 2 ]  101,292 x 10 3 N/m 2 2 2 A3 t 0,26 A1 dy A2 dy 2g(H  h)  d) v1   t  0 dt   0,414 A1 dt 20 A 2 y-h

t

A1 2 [ 0,414 - 0,26 - 0]  438,75 s = 7,3 min. 20 A 2

Ejemplo El agua fluye con una velocidad de 5 m/s en una tubería cuya sección transversal es de 4 cm2 . El tubo desciende gradualmente 10 m y al mismo tiempo la sección transversal aumenta a 8 cm2. a) ¿ Cual es la velocidad del flujo en el nivel mas bajo ? b) Si la presión del agua en el nivel superior es de 1,5 x105 Pa , ¿ cual es la presión en el nivel inferior ? Solución A1 = 4 cm2 , v1 = 5 m/s , A2 = 8 cm2, y1 = 10 m , y2 = 0m Por continuidad: v2 = (8/4) 5 = 10 m/s a) Por Bernoulli: p 2  p1 

1  (v1 2 - v 2 2 )  g (y1 - y 2 )  2,125 x 10 5 Pa 2

Ejemplo El agua entra en una casa por una tubería de 2 cm de diámetro interior, con una velocidad de 4 m/s y desemboca por un caño en el segundo piso, situado 5 metros por encima. El diámetro interior del caño es de 1 cm. (a) Con que velocidad sale el agua por el caño. (b) Calcule la presión en la tubería de entrada. Solución a) Por continuidad: b) Por Bernoulli: p1  p 0 

v2 = (A1/A2) v1 = 16 m/s

1  ( v 2 2 - v1 2 )   g ( y 2 - y1 )  2,7 x 10 5 Pa 2

Viscosidad Es la fricción que se opone al movimiento relativo entre capas adyacentes de un mismo fluido. El valor de la viscosidad se puede medir de la siguiente manera. - Se separan dos laminas de vidrio con una capa de fluido viscoso de espesor , de tal modo que la lamina inferior se fija a la mesa, mientras que la otra es deslizada con velocidad constante aplicándole una fuerza horizontal F como indica la figura. - El movimiento del vidrio superior produce un esfuerzo de corte a la capa de fluido de espesor . - Esta capa esta formada por muchas laminas, las cuales avanzan con diferentes velocidades debido a la viscosidad como indica la figura 6.

Figura 5 Capa de un liquido viscoso entre dos laminas de vidrio. La lamina superior se mueve con velocidad v originando la deformación x = vt. - El esfuerzo de corte y la deformación que produce la fuerza tangencial F son: Esfuerzo 

F A

,

Deformación 

x 

- La deformación de corte esta aumentando debido a la velocidad v de la lamina de vidrio: Deformacion x/ v   t t 

A v/ se le llama gradiente (uniforme) de la velocidad. - El coeficiente de viscosidad  se define como 

F/A v/

(11)

Fluidos newtonianos son aquellos en los cuales F  v - Si el gradiente de velocidad no es uniforme, se tiene 

Unidades de :

F/A dv/dy

(12)

 = [ 1 N.s/m2 ] = [10 poises]

Se observa experimentalmente que - La viscosidad de los gases es mucho menor que la de los líquidos. - La viscosidad de los líquidos disminuye con el aumento de la temperatura.

Valores Típicos de coeficientes de viscosidad Temperatura (ºC) 0 20

Petróleo crudo (poises) 53,0 9,86

Agua (centipoises) 1,792 1,005

Aire (micropoises) 171 181

40 60 80 100

2,31 0,80 0,30 0,17

0,656 0,469 0,357 0,284

190 200 209 218

Ley de Poiseuille Se analiza un flujo viscoso y estacionario que se mueve en un tubo de radio R, la velocidad de flujo es diferente en distintos puntos de la sección transversal. La velocidad depende del radio r tal como se muestra en la figura 6(a). La capa mas externa (r = R) tiene velocidad cero debido a que se adhiere a la superficie del tubo.

Figura 6 (a) Se muestra el perfil de velocidades de un flujo viscoso. Las partículas que pasan por el centro tienen la máxima velocidad. (b) Porción cilíndrica del fluido, de radio r y longitud L, que se desplaza por acción de la diferencia de presiones (p1 – p2) y frenada por fuerzas viscosas.

En la figura 6(b), la porción cilíndrica de fluido se desplaza por la fuerza que origina la diferencia de presión F = (p1 – p2) r2

(13)

La fuerza viscosa Fv que se opone al movimiento del fluido es Fv   2 rL

dv dr

(14)

Como el flujo es estacionario, F = Fv, se tiene entonces de (13) y (14) después de reordenar (p - p 2 ) r dv - 1 dr 2 L

(15)

Integrando (15) se halla v(r) v

(p1 - p 2 ) (R 2 - r 2 ) 4 L

(16)

Con la ecuación (16) se puede hallar el flujo o caudal a través de la sección Q

R dV  R 4 p1 - p 2   v (2  r dr)  0 dt 8 L

(17)

Ejemplo A través de una tubería de acero lisa de 1 km de longitud y 15 cm de diámetro ha de bombearse aceite de 300 centipoises de viscosidad y de 0,90 g/cm3 de densidad, desde un gran deposito abierto a otro. La tubería descarga en el aire en un punto situado 30 m por encima del nivel del aceite de deposito de suministro. a) ¿ Qué presión manométrica ha de ejercer la bomba para mantener un régimen de 0,05 m3/s ? b) ¿ Cuál es la potencia consumida por la bomba ? Solución a) Q = 0,05 m3/s ,  = 300 = 300 (10-3 N.s/m2) = 0,3 N.s/m2 , L = 1 km R = 0,075 m , h = 30 m Diferencia de presión según Poiseuille para mantener el flujo horizontal (p1 - p 2 ) 

8 L Q  R4

Diferencia de presión para elevar el fluido la altura h = 30 m (p1 - p 2 )   g h

La diferencia de presión neta que debe proporcionar la bomba es (p1 - p 2 ) 

b)

Potencia 

8 L Q   g h  2,714 atm  R4

W  (p1 - p 2 ) Q  2,714 x 10 5 (0,05)  1,357 x 10 4 W t