Fecha Focal 2h6813

 Diagrama  de  tiempo   Por: Alma Ruth Cortés Cabrera

Los diagramas de tiempo son herramientas que sirven para plantear y resolver problemas financieros, pues son útiles para identificar los desplazamientos simbólicos del capital en el tiempo. Por medio de los desplazamientos se pueden llevar las cantidades de dinero que forman parte de un problema, hasta una fecha en común, la cual se conoce como fecha focal o fecha de referencia. La fecha focal es el punto donde convergen todos los pagos o flujos, tanto los positivos como los negativos, con la particularidad de que al resolver la ecuación de valor en cualquier fecha focal el resultado de la incógnita despejada siempre va a ser el mismo. Empleando los valores de la fecha focal y separando los importes que corresponden a las deudas y los importes de los pagos (o sea, por un lado los cargos y por otro lado los abonos), se establece una igualdad a la que se llama ecuación de valores equivalentes o ecuación de valor. Posteriormente, la ecuación será resuelta despejando las incógnitas que en ella aparezcan, a fin de lograr solucionar el problema. La solución varía dependiendo de la localización de la fecha focal cuando se trata de interés simple, pero en los casos de interés compuesto la solución es la misma para cualquier ubicación de la fecha focal. Las cantidades de dinero pueden ubicarse de la siguiente manera: antes o después de la fecha focal, como se ve en el diagrama que está en la figura 1. Esto es, si la cantidad A está antes de la fecha mencionada (fecha focal), los intereses se sumarán para encontrar su valor futuro equivalente en la fecha focal. Si la cantidad B está después los intereses se restarán para obtener su valor presente equivalente en la misma fecha focal. Recuerda que trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor presente de él (un tiempo antes de su vencimiento). El diagrama SA es el monto de A y CB es el valor presente de B. En los dos casos se aplica la fórmula de interés compuesto o del interés simple para realizar el traslado cuando así lo indique el problema.

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Figura 1. Fecha focal.

Ejemplo Liquidación de créditos con pagos diferidos El día de hoy se cumple 5 meses de que un comerciante en abarrotes consiguió un crédito de $40,000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace 3 meses le concedieron otro crédito y firmó un documento con valor nominal de $55,000, valor que incluye los intereses de los 6 meses del plazo. Hoy abona $50,000 a sus deudas y acuerda con su acreedor liquidar el resto en 4 meses contados a partir de hoy. ¿Cuál será la cantidad del pago si tiene intereses de 11.55% nominal mensual? Solución El siguiente diagrama muestra la situación antes descrita. Observa que cada subdivisión de la recta representa un periodo mensual.

Figura 2. Ejemplo de diagrama de fecha focal.

Tal como se muestra en el diagrama, la figura traslada las tres cantidades a la fecha focal (hoy), la cual se ha fijado arbitrariamente.

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Los primeros $40,000 se ubican 5 meses antes del día de hoy que es la fecha en que se hizo el préstamo. Para llevarlos a la fecha focal se deben sumar los intereses de los 5 meses y obtener el importe a esta fecha, dado que los $ 55,000 incluyen intereses, pues son el valor nominal del nuevo documento y se colocan a la fecha de vencimiento, 3 meses a partir del día de hoy. En este caso para trasladarlos a la fecha focal, se le restan los intereses de los mismos en meses. Ambos valores forman el debe y se anotan en la parte superior del diagrama. El haber se forma por los pagos, los primeros $50,000 que ya aparecen en la fecha focal y el pago x que se realiza 4 meses después (por lo que se le restan los intereses de 4 meses). Como se observa en el diagrama, ambos totales las deudas D y los pagos P son iguales pues están en la misma fecha. Entonces obtienes la ecuación de valor de P = D. Para calcular el valor futuro, utilizarás la fórmula: 𝑺 = 𝑪(𝟏 + 𝒊  /𝒑)𝒏𝒑 Donde: S = S1 = Se ignora. C = 40,000. i/p = 11.55 % entre 12 meses = 0.1155/ 12 porque es capitalizable mensualmente. np = periodos de capitalización = 5 meses. El valor futuro de los $ 40,000 con intereses de 5 meses es:

! 0.1155 $ S1 = 40, 000 #1+ & " 12 %

S1 = 40, 000 (1.009625)

5

ya que S = C(1+i)

n

5

S1 = 40, 000 (1.0490603)

o

S1 = 41,962.41

Para el valor presente de los $ 55,000 se restarán los intereses de 3 meses también empleando la fórmula n de interés compuesto: S = C(1+i) Donde: S = 55,000. C = C1 = Se ignora. i = 11.55% entre 12 meses = 0.1155/ 12, porque es capitalizable mensualmente. n = periodos de capitalización = 3 meses. 3

55,000= C1 (1.009625) 55,000= C1 (1.0291538) Despejando C1 de la fórmula:

3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

C1 = 55,000 / 1.0291538

o

C1 = 53,441.96

El equivalente redondeado a los dos préstamos en la fecha focal queda:

D = S1 + C1 D = 41,962.41 + 53,441.96 o D = 95,404.37 Como puedes darte cuenta, una interpretación real del resultado es que con este importe se liquidarían las deudas (D) a la fecha de hoy. El diagrama se vería así:

Figura 3. Diagrama del ejemplo.

Enseguida deben calcularse los pagos, pues recuerda que para trabajar en fecha focal aplica la ecuación de valor P = D, y se conoce el primer pago de $ 50,000. De esta forma necesitas quitar intereses de 4 meses al segundo abono x (no se conoce), con lo que quedaría C2 como sigue:

𝒙 = 𝑪𝟐 1.009625 !        ya  que  S  =  C  (1+i/p)  np    donde  ya  se  conoce  el  interés  (0.1155/12).   𝑪𝟐 = 𝟏  /    𝟏. 𝟎𝟑𝟗𝟎𝟓𝟗 𝑪𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟒𝟎𝟑 𝟏 𝒂 𝟏 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆         = 𝒂( ) 𝒃 𝒃 Con este resultado y el pago que se realiza el día de hoy, se obtiene el equivalente a los dos pagos en la fecha focal, dicho de otra forma:

P = 50,000 + C2

P = 50, 000 + ( 0.9624093) x Puedes notar que el coeficiente de x, 0.96240 significa que adelantar 4 meses el pago reduce casi el 4 %, o sea que si se paga hoy, se sufragaría sólo el 96.24% aproximadamente. La ecuación de valores equivalentes quedaría: 4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

P = 50, 000 + ( 0.9624093) x = 95, 404.37 puesto que P = D Donde, para despejar la incógnita, 50,000 pasa restando y 0.96240 pasa dividiendo, al lado derecho y queda así:

x = (95,404.37 − 50,000) / 0.9624093 o $47,177.82 x = 47,177.82 Existe una solución más breve, cuando el número de capitales no es tan grande, encontrando el saldo al día de hoy, después de considerar el pago de $ 50,000 para llevarlo 4 meses después. El saldo es S1 + C1 − 50,000 , es decir, 41,962.41 + 53,441.96 − 50,000 = 45,404.37

! 0.1155 $ S = 45, 404.37 #1+ & " 12 %

4

S = 45, 404.37 (1.039059419 ) = 47,177.84

o $47,177.84

 

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 Bibliografía   Rivera, J. (1994). Matemáticas financieras. México: Instituto Politécnico Nacional. [IPN]. Villalobos, J. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson Prentice Hall.

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