Descuento Simple Y Descuento Compuesto d4p3a

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Carrera:

Materia:

Matemáticas Financieras

Ciclo : Tema: Descuento simple y compuesto

PONENTE:

ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

1


Federico Villarreal

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA • Capacitar al estudiante en el dominio de las técnicas financieras para la toma de decisiones. • Desarrollar habilidades para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que se basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo. • Capacitar al estudiante para que se encuentre en condiciones de resolver con buen criterio, las operaciones financieras que se presentan en la actividad bancaria, comercial o industrial. • Capacitar al estudiante para que calcule los intereses y otros cálculos financieros que utilizará en su carrera profesional. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

2


Federico Villarreal

UNIDAD III TEMA 9:DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO CONTENIDO TEMÁTICO:

• Descuento simple. Definición • Valor actual, Pagos parciales, Descuentos en cadena o en serie, • Descuento a interés compuesto. • Valor actual. Valor nominal Ecuaciones de valores equivalente • Ejercicios y Problemas. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

3


Federico Villarreal

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DEL TEMA • Aprender la definición de descuento como base teórica. • Conocer las formas de descuento mediante problemas.

• Diferenciar entre descuento comercial e interbancario. • El alumno puede Identificar Valor actual, valor nominal mediante ejercicios. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

4


Federico Villarreal

TEMA 9: DESCUENTO SIMPLE. Se denomina descuento a la cantidad que se resta al Valor Nominal de un Titulo – Valor antes de su fecha de vencimiento con la finalidad de hacerlo efectivo en la fecha de descuento. Descuento racional – Simple y Compuesto Descuento Bancario - Simple y Compuesto Descuento Comercial – Unitario y Sucesivo ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

5


Federico Villarreal

9.1 DESCUENTO RACIONAL SIMPLE (DRS) Una tasa de interés es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento o deuda y el valor presente. D=S–P 𝐏=

-------(1)

𝑺 𝟏+𝒊𝒏

Factorizando: capital inicial o

-------(2)  valor presente

Reemplazando (2) en (1)

D=𝑺 𝟏

𝟏 − 𝟏+𝒊𝒏

------(3)

𝑺 𝑫=𝑺− 𝟏 + 𝒊𝒏 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

6


Federico Villarreal

EQUIVALENCIA DEL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Y EL INTERES SIMPLE: 𝑰 = 𝑷𝒊𝒏

D=𝑺 𝟏

𝟏 − 𝟏+𝒊𝒏

→

D = 𝑷 𝟏 + 𝒊𝒏

𝟏−

D = 𝑷 𝟏 + 𝒊𝒏

𝒊𝒏 𝟏+𝒊𝒏

𝐃 = 𝑷𝒊𝒏

D=I

𝒄𝒐𝒎𝒐 𝑺 = 𝑷 𝟏 + 𝒊𝒏

𝟏 𝟏+𝒊𝒏

El descuento racional simple efectuado sobre un valor futuro Produce el mismo resultado que el interés simple aplicado sobre su valor presente ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

7


Federico Villarreal

EJEMPLO:

Un pagaré es descontado mediante el DRS el día 15 de Agosto del pte. año , si a la fecha de vencimiento es el 22 de octubre del mismo año siendo su valor nominal de S/. 18,000 y la tasa de interés simple quincenal del 1.25%? a) ¿Calcule el descuento racional simple del titulo-valor? b) ¿Cuál es el valor presente? c) ¿Qué interés se deduce?

ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

8


Federico Villarreal

Datos: S = VN = 18,000 i = TNQ = 1.25%

n = 15/8 al 22/10 = 68 días DRS=? Descuento al valor futuro

𝟏

D = 𝑺 𝟏 − 𝟏+𝒊𝒏 ------(3)

DRS = 18,000*( 1-1 / (1 + 1.25% * 68/15)) DRS = 965.30 Valor Presente

𝐏=

𝑺 𝟏+𝒊𝒏

-------(2)

P = 18,000 /( 1 + 1.25% * 68/15 ) P = 17,034.70 Interés aplicado al Valor Presente I = 17,034.70 * 1.25% * 68/15 I = 965.30 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

𝑰 = 𝑷𝒊𝒏

9


Federico Villarreal

9.2 DESCUENTO BANCARIO SIMPLE. (DBS) Cuando se consigue un préstamo por un capital C, el deudor se compromete a pagarlo mediante la firma de un pagaré, cuyo valor nominal generalmente es mayor que C, puesto que incluye los intereses. Es práctica común que el acreedor, es decir, el propietario del documento, lo negocie antes de la fecha de vencimiento, ofreciéndolo a un tercero —a una empresa de factoraje por ejemplo—, a un precio menor que el estipulado en el propio documento, con un descuento que puede evaluarse de dos formas: a) Descuento real. b) Descuento comercial. El primero se calcula utilizando la fórmula del interés simple M = C(1 + in), donde M es el valor nominal. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

10


Federico Villarreal

DESCUENTO REAL Ejemplo ¿Cuál es el descuento real de un documento con valor nominal de $25,300, 72 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 11.4% simple anual? En la fórmula del interés simple, se sustituyen: M por 25,300, El valor nominal del documento n por 72 días, El plazo o tiempo que falta para el vencimiento i por d = 0.114, La tasa de interés, es decir, de descuento ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

11


Federico Villarreal

Entonces,

de donde

25,300 = C[1 + (0.114/360)72] 25,300 = C(1.0228)

M = C(1 + in)

C = 25,300/1.0228 o C = 24,736.02

El descuento real es, entonces, D = M − C, es decir, D = 25,300 − 24,736.02 o D = $563.98


12


Federico Villarreal

DESCUENTO COMERCIAL O DESCUENTO BANCARIO SIMPLE A diferencia del anterior, el descuento comercial, llamado así por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen a sus artículos cuando los venden, quitando algunos soles al precio de lista, se calcula restando al valor nominal un descuento. El descuento comercial, el cual, en general, se obtiene multiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir,

D = Sdn



Descuento bancario simple

Donde d es la tasa de descuento simple anual, n es el plazo en años, D es el descuento comercial y S es el valor nominal del documento correspondiente. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

13


Federico Villarreal

DE LA FORMULA D = Sdn SE OBTIENE: 𝐷 𝑆= 𝑑𝑛

𝐷 𝑑= 𝑆𝑛

𝐷 𝑛= 𝑆𝑑

Ejemplo: Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/. 5 000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5%. Solución: D=? S= 5 000 d= 0.05 n= 43/30

D = 5000 x 0.05 x 43/30 D = 358.33 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

14


Federico Villarreal

Ejemplo: Determine el valor nominal de un pagare cuyo importe del descuento bancario ha sido S/. 500. la operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 5% en un periodo de 45 días. Solución: S=? D= 500 d= 0.05 n= 45/30

500 𝑆= 0.05 𝑥 45/30 𝑆 = 6666.66


15


Federico Villarreal

9.2.1 VALOR COMERCIAL DE UN PAGARÉ O VALOR LIQUIDO SIMPLE DEL TITULO VALOR

Ejemplo

El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6,500, tres meses antes de Vencer, es decir, n = 3/12, puesto que éste es el plazo en años, con un tipo de descuento del 11.2% simple anual, es:

D = 6,500(3/12)(0.112) o D = Sdn D = $182 Si al valor nominal del pagaré se le resta este descuento, entonces se obtendrá su valor comercial o valor descontado P, que en este caso será: P = 6,500 − 182

ò

P = $6,318


16


Federico Villarreal

Fórmula general El resultado anterior se expresa generalmente como P = S − Snd ya que D = Snd Donde, al factorizar S, se obtiene la fórmula del siguiente teorema. TEOREMA: 

VALOR LIQUIDO DEL TITULO VALOR DESCONTADO BANCARIAMENTE:

El valor comercial P de un documento con valor nominal S, n años antes de su vencimiento es:

P = S(1 − nd)

………..(4)

Donde d es la tasa de descuento simple anual. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

17 87


Federico Villarreal EJEMPLO

¿Cuál es el valor comercial del 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $26,500, recibido el 25 de enero pasado con intereses del 12% simple anual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 12.5%. En la figura se muestra un diagrama temporal, donde aparecen las fechas, las cantidades de dinero y los plazos. FIGURA


18 88


Federico Villarreal

Primero es necesario hallar el valor futuro de los $26,500 del préstamo, mediante la fórmula del interés simple: S = 26,500[1 + (186/360)(0.12)]  S = P(1 + ni) S = 26,500(1.062) o S = $28,143 Con este valor futuro, el plazo n = 79/360 años y la tasa de descuento d = 0.125, se obtiene el valor descontado. P = S(1 − nd)

………..(4)

P = 28,143*1 − (79/360)(0.125)+ P = 28,143(0.972569445)

ò


P = $27,371.02 19


Federico Villarreal

Ejemplo calculo del valor liquido simple: 𝑷 = 𝑺 𝟏 − 𝒅𝒏 … … … … … … . . (𝟒) ¿Cual será el valor liquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de S/. 2 000? La letra se descontó 38 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple mensual del 5%. Solución: P=? S= 2 000 d= 0.05 n= 38/30

𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟓 𝒙 𝟑𝟖/𝟑𝟎 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟗𝟑𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕 𝑷 = 𝟏𝟖𝟕𝟑. 𝟑𝟑 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

20


Federico Villarreal

9.2.2 CALCULO DEL VALOR NOMINAL SIMPLE P = S(1 − dn)

………..(4)

Despejando S de (4)…….

→ 𝑺=𝑷

𝟏 𝟏−𝒅𝒏

……………(5)

Ejemplo ¿Por qué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un articulo al crédito cuyo precio de contado es S/. 1500.00? La financiación es 60 días y sin cuota inicial. La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4% Solución: S=? P= 1500 n= 2 d= 0,04

𝑺 = 𝟏𝟓𝟎𝟎

𝟏 𝟏−𝟎.𝟎𝟒 𝒙 𝟐

S = 1630.43 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

21


Federico Villarreal

9.3 DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO (DRC) Sabemos que interés descuento racional producen el mismo resultado, entonces: D=S–P

-------(a)

𝐏=𝑺 𝟏+𝒊

−𝒏

Factorizando:

-------(b) 

𝑫=𝑺 𝟏− 𝟏+𝒊

−𝒏

------(c)

Reemplazando (a) en (b) 𝑫 = 𝑺 −𝑺 𝟏 + 𝒊

−𝒏


22


Federico Villarreal

EQUIVALENCIA DEL DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Y EL INTERES COMPUESTO:

𝑰=𝑷

𝟏 + 𝒊 𝒏 −𝟏

D= 𝒔 𝟏− 𝟏+𝒊 𝐃=𝑷 𝟏+𝒊

𝒏

−𝒏

→

𝟏− 𝟏+𝒊

𝒄𝒐𝒎𝒐 𝑺 = 𝑷 𝟏 + 𝒊

𝒏

−𝒏

𝐃 = 𝑷 𝟏 + 𝒊 𝒏 −𝟏

D=I

La identidad del descuento racional compuesto e interés compuesto queda demostrado ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

23


Federico Villarreal

Ejemplo: Calcule el descuento racional compuesto a practicarse aun pagare con valor nominal de S/. 10 000 y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%. Solución: Datos: D=? S = 10 000 i = 0.04 n = 2 meses

D= 𝒔 𝟏− 𝟏+𝒊

−𝒏

D = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒

−𝟐

D = 𝟕𝟓𝟒, 𝟒𝟒


24 89


Federico Villarreal

Ejercicio:

D= 𝒔 𝟏− 𝟏+𝒊

−𝒏

La empresa ÑAÑITO, comercializadora de útiles de escritorio, ha efectuado compras de mercaderías por un importe total de S/. 40 500 incluido IGV del 18% ¿Qué importe de la factura puede utilizar para el crédito fiscal? Compruebe su respuesta Solución: D = 𝟒𝟎𝟓𝟎𝟎 𝟏 − 𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟖 −𝟏 Datos: D = 𝟔𝟏𝟕𝟕. 𝟗𝟕 D=? S = 40 500 comprobación i = 0.18 Valor venta 34 322.03 n=1 IGV 18% 6177.97 Precio venta ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

40 500.00 25


Federico Villarreal

9.4 DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO El descuento bancario compuesto consiste en una serie de cálculos de descuento simple donde, en primer termino, se aplica el descuento por un periodo sobre el valor nominal de la deuda a su vencimiento, encontrando su valor liquido al final del primer periodo. A este valor obtenido se aplica el descuento por segunda vez encontrando su valor liquido pagadero dentro de 2 periodos y así sucesivamente para todos los periodos del horizonte temporal, comprendiendo entre la fecha que se hace efectivo el abono del importe liquido del documento y la fecha del vencimiento de la deuda ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

26


Federico Villarreal

9.4.1 CALCULO DEL VALOR LIQUIDO COMPUESTO 𝑆 𝑃𝑛

𝑃1

𝑃2

𝑃𝑛 𝑃1 = 𝑆 1 − 𝑑

𝑃2 = 𝑆 1 − 𝑑 𝑃𝑛 = 𝑆 1 − 𝑑

1

2

𝑛

𝑷=𝑺 𝟏−𝒅


𝒏

27


Federico Villarreal 𝑷=𝑺 𝟏−𝒅

𝒏

Ejemplo: El 7 de marzo la empresa MATUSITA , correntista del banco continental, acepto un pagare de S/. 9 000 con vencimiento a 90 días. ¿Cuál fue el valor liquido que MATUSITA recibió en esa fecha, Si la TNA de descuento fue 48%, con periodo de descuento bancario cada 30 días. Solución: Datos: P=? S = 9000 n=3 d = 0.48/12

𝑷 = 𝟗𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟒

𝟑

𝑷 = 𝟕𝟗𝟔𝟐. 𝟔𝟐


28


Federico Villarreal

9.4.2 CALCULO DEL VALOR NOMINAL COMPUESTO

Despejando “S” de → 𝐏 = 𝑺 𝟏 − 𝒅 𝑺 = 𝑷 𝟏 − 𝒅 −𝒏

𝒏

Ejemplo: La empresa Moticon requiere disponer de un valor liquido de S/. 5000. para tal efecto utiliza una línea de descuento de pagares. ¿cual debe ser El valor nominal del documento con vencimiento a 60 días y ha una tasa de descuento anual del 48% a un periodo de descuento bancario mensual.? Solución: Datos: P=? S = 5000 n=2 d = 0.48/12

𝑺 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟒

−𝟐

𝑺 = 𝟓𝟒𝟐𝟓. 𝟑𝟓 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

29


Federico Villarreal

9.4.3 CALCULO DEL DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO 𝑫=𝑺−𝑷

→ 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐏 = 𝑺 𝟏 − 𝒅

𝑫=𝑺−𝑺 𝟏−𝒅

𝒏

𝒏

𝑫=𝑺 𝟏− 𝟏−𝒅

𝒏

Ejemplo: halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor nominal es S/. 7000 y vence dentro de 45 días. La TNA es 36% con periodo de descuento mensual.

Solución: Datos: P=? S = 7000 n = 1.5 d = 0.36/12

𝑫 = 𝟕𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟑

𝟏.𝟓

𝑫 = 𝟑𝟏𝟐. 𝟔𝟑 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

30


Federico Villarreal

9.5. DESCUENTO COMERCIAL El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un articulo. Se llama Descuento unitario cuando se practica solo una vez y descuento sucesivo cuando existe mas de un Descuento sobre el mismo articulo. Simbología: Dc = Descuento comercial. d = Tasa de descuento expresada en tanto por uno. PV = Precio de venta. PR = Precio rebajado. ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

31


Federico Villarreal

9.5.1 DESCUENTO COMERCIAL UNITARIO Es el resultado de aplicar por una sola vez una determinada tasa sobre el precio de venta de un determinado articulo. Ejemplo: El descuento de un articulo cuyo precio de venta es S/. 1000 al que se aplica una tasa del 10% será de S/.100 y el pecio rebajado será S/. 900 (1) PV

(2) d

(3) = (1) x (2) Dc

(4) = (1) – (3) PR

1 000

0.1

100

900

PV

d

PV(d)

PV - PV(d) = PV(1-d)

De donde se refiere la siguiente formula:

De descuento comercial

Y el precio rebajado

Dc = PV(d)

PR = PV(1-d) ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

32


Federico Villarreal

9.5.2 DESCUENTO COMERCIAL SUCESIVO Cuando se aplican diferentes tasas sucesivas de descuento comercial, el primero sobre el precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados. Ejemplo: El descuento de un articulo cuyo precio de venta es S/. 1000 al que se aplica una tasa del 10% y 5% entonces los cálculos serán: (1) PV

(2) 𝒅𝟏

(3) = (1) x (2) 𝑫𝒄𝟏

(4) = (1) – (3) 𝑷𝑹𝟏

(5) 𝒅𝟐

(6) = (4) x (5) 𝑫𝒄𝟐

(7) = (4) – (6) 𝑷𝑹𝟐

1 000

0.1

100

900

0.05

45

855

PV

𝒅𝟏

PV(𝒅𝟏 )

PV - PV(𝒅𝟏 ) = PV(1 - 𝒅𝟏 )

𝒅𝟐

PV(1 - 𝒅𝟏 ) 𝒅𝟐


𝑷𝑹𝟏 − 𝑫𝒄𝟐 = PV(1 - 𝒅𝟏 )(1 - 𝒅𝟐 )

33


Federico Villarreal

El descuento comercial sucesivo total es igual a la diferencia del precio original y el articulo pecio rebajado 𝑫𝒄 = 𝑷𝑽 − 𝑷𝑹𝒏 𝑫𝒄 = 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 𝟏 − 𝒅𝟏 𝟏 − 𝒅𝟐 … … . 𝟏 − 𝒅𝒏 FACTORIZANDO TENEMOS

𝑫𝒄 = 𝑷𝑽 𝟏 − 𝟏 − 𝒅𝟏 𝟏 − 𝒅𝟐 … … . 𝟏 − 𝒅𝒏 el termino entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada ULTIMO PRECIO REBAJADO:

El ultimo precio rebajado después de haber otorgado un conjunto de descuentos sucesivos se obtiene con la siguiente formula:

𝑷𝑹𝒏 = 𝑷𝑽 𝟏 − 𝒅𝟏 𝟏 − 𝒅𝟐 … … . 𝟏 − 𝒅𝒏 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

34


Federico Villarreal

Ejemplo: Por campaña de quincena una tienda de autoservicios ofrece el descuento del 20% + 15% en todos los artículos para automóviles. Si un cliente compra una batería cuyo precio de lista es S/. 120, calcule: a) b) c) d)

El descuento total La tasa de descuento acumulada El precio rebajado a pagar Efectué la liquidación de la facturación

solución: a)

El descuento total

𝑫𝒄 = 𝟏𝟐𝟎 𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟐 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟓 ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

= 𝟑𝟖. 𝟒𝟖 35


Federico Villarreal

b)

La tasa de descuento acumulada

𝒅 = 𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟐 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟓 c)

El precio rebajado a pagar

𝑷𝑹 = 𝟏𝟐𝟎 𝟏 − 𝟎. 𝟐 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟓 d)

= 𝟎. 𝟑𝟐 = 𝟑𝟐%

= 𝟖𝟏. 𝟔𝟎

Efectué la liquidación de la facturación Precio de venta

120.00

Descuento 20%

-24.00

Subtotal

Descuento 15% Total

96.00

-14.40 81.60


36


Federico Villarreal

EJERCICIOS 1.

2. 3.

4. 5.

Calcule el descuento bancario simple al 7 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/. 6 000 y fecha de vencimiento el 19 de julio. La tasa de descuento mensual es del 8%. Determine el valor nominal de un pagare cuyo importe del descuento bancario ha sido S/. 500. la operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 3.4% en un periodo de 37 días. ¿Por qué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un articulo al crédito cuyo precio de contado es S/. 2450.00? La financiación es 50 días y sin cuota inicial. La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 5% Calcule el descuento racional compuesto a practicarse aun pagare con valor nominal de S/. 9 000 y vencimiento a 90 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4.7%. La empresa ETURSA requiere disponer de un valor liquido de S/. 4 000. para tal efecto utiliza una línea de descuento de pagares. ¿cual debe ser? El valor nominal del documento con vencimiento a 90 días y ha una tasa de descuento anual del 35% a un periodo de descuento bancario mensual.? ECON. MANUEL ESQUIVEL TORRES

37


Federico Villarreal


38

Descuento Simple Y Descuento Compuesto d4p3a

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Descuento Simple Y Descuento Compuesto d4p3a

Descuento Simple 5u2f3g

Interes Y Descuento Compuesto Diapositivas 5j5r6t

Descuento Simple 5u2f3g

Descuento Simple 5u2f3g

Descuento Bancario Compuesto l1vc

More Documents from "Elvis Braulio" 2g773

6g3p1u

Matematica Financiera 1t156z

6g3p1u

Microeconomia. Guia De Estudio. Euded 1l5od

6g3p1u

Contabilidad Diccionario.pdf 6o323o