Cosenos Directores De Una Recta En El Espacio 555s27

Integrantes: Durand Huamán, Darwin Pintado García, Jonathan Rojas Pizarro, Marcelo Ruiz Márquez, Emiliano Urbina Avendaño, Francisco

COMO SE DETERMINA LA DIRECIÓN DE UNA RECTA

EN EL PLANO

EN EL ESPACIO

Por medio de su ángulo de inclinación o pendiente.

Por medio de los ángulos que forma con los ejes coordenados.

Trasladando la recta al punto de intersección de los ejes Coordenados.

Trasladando los ejes coordenados hacia la recta.

POR CONVENIENCIA

Es mejor trabajar con los cosenos de los ángulos para la resolución de los problemas, que con los mismos ángulos.

COSENOS DIRECTORE S

SI LA RECTA (L) ESTÁ DIRIGIDA EN EL SENTIDO DE P1 Y P2 SIENDO : P1(x1, y1, z1) P2(x2, y2, z2)

SI LA RECTA (L) ESTÁ DIRIGIDA EN EL SENTIDO DE P2 Y P1 SIENDO: P1(x1, y1, z1) P2(x2, y2, z2)

Vamos a determinar 10s cosenos directores de una recta cuya posición en el espacio est4 dada por dos de sus puntos . Sea 1 [fig. 160 (a) ] una recta que pase por los puntos PI (XI, 91, 21) y Pz(x2, y2, 22). Primero consideraremos el caso en que 1 tiene el sentido indicado en la figura. Por cada uno de los puntos PI y P2, hagamos pasar planos paralelos a los coordenados, formando así un paralelepípedo recto rectangular cuya diagonal es PI P2, y cuyas aristas paralelas a los ejes X, Y y Z son, respectivamente, PIVI, PIVZ y P1V3. Si cada arista tiene el mismo sentido que el eje a que es paralela, los Ángulos directores son a = Angulo P2 P1 V1 , 0 = Angulo Pz P1 V2,

Ahora consideremos [figs. 160 (b) , (c) y ( d ) ] los tres triángulos rectángulos formados por los dos puntos P1, P2 y cada uno de los vértice-s V1 , V2 y V3. Para cada uno de estos triángulos sea d = I PI P2 1, en que d se determina como en el teorema 1 del Articulo 108. También , como se vio en el Articulo 108 ,

Por tanto, de los tres triángulos , tenemos , para los cosenos directores,

TEOREMA 4 La suma de los cuadrados de los cosenos diretores de cualquier recta es igual a la unidad.

NOTA. Por la ecuación (3) se ve que los ángulos directores de una recta no son todos independientes. En efecto, fijados dos de ellos, el tercero y su suplemento quedan determinados. Por la ecuación (3) vemos también que no todos los cosenos directores de una recta pueden ser nulos Como tendremos ocasión de referirnos a este hecho , lo anotaremos como un corolario al teorema 4. COROLARIO. De los cosenos directores de una recta uno, cuando menos, es diferente de cero.

COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO.