Ecuacion De La Recta En El Espacio 4w303p

Ecuación vectorial de la recta en el espacio Para obtener la ecuación vectorial de una recta necesitamos un punto por donde pase y su vector de dirección. Por tanto, tenemos un punto Po, por donde pasa la recta:

Y el siguiente vector de dirección:

Tal y como se muestra en la siguiente figura:

Vamos a ir demostrando poco a poco cómo obtener la ecuación vectorial de una recta en el espacio, conociendo su vector de dirección y un punto perteneciente a la recta. Tomamos un punto cualquiera de la recta, como puede ser el punto P:

La ecuación vectorial viene determinada por el vector OP, como veremos más abajo, que es el vector que tiene origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto P, que pertenece a la recta:

Podemos hallar el vector OP como la suma vectorial de un vector con origen en el origen de coordenadas y con extremo en el punto Po, que sería el vector OPo más el vector PoP, es decir, otro vector con origen en el punto Po y extremo en el punto P:

Cuya representación gráfica queda:

El vector PoP, también se puede expresar en función del vector director de la recta r, sólo con multiplicar el vector v, por un número t, tal que la longitud del vector v sea la misma que el vector PoP:

Que en gráficamente sería:

Por lo que la ecuación vectorial de una recta en el espacio se expresa de la siguiente forma:

Si ponemos la fórmula anterior, en función de las coordenadas de cada vector nos queda:

Fórmula que podemos obtener directamente cuando conocemos el vector de dirección y un punto que pasa por la recta, siendo X0, Y0 y Zo las coordenadas del punto, V1, V2 y V3, las coordenadas del vector de dirección y t un número perteneciente al conjunto de los números reales.

Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio Vamos a ahora con las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, que se obtiene a partir de la ecuación vectorial:

Para ello, multiplicamos el número “t” por cada una de las coordenadas del vector de dirección:

Y sumamos los vectores, coordenada a coordenada, expresándolas en un solo vector:

Ahora, podemos escribir en expresiones separadas la ecuación de cada una de las coordenadas del vector de dirección, obteniendo por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio:

Donde Xo, Yo y Zo son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y V1, V2 y V3 son las coordenadas del vector director:

Por tanto, las ecuaciones paramétricas pueden obtenerse directamente si conocemos el punto y el vector de dirección, sustituyendo las coordenadas por sus valores correspondientes.

Ecuación continúa de la recta en el espacio La ecuación continua de la recta en el espacio se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas:

Solo tenemos que ir despejando “t” en cada una de las tres ecuaciones.

En la primera ecuación:

Despejamos “t” y queda:

En la segunda ecuación:

Volvemos a despejar “t”:

Y en la tercera ecuación:

Despejamos “t” de nuevo:

Igualando las tres expresiones obtenidas, ya que “t” es el mismo valor en las tres, llegamos a la ecuación continua de la recta en el espacio:

Donde una vez más, Xo, Yo y Zo son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y V1, V2 y V3 son las coordenadas del vector director:

Por tanto, la ecuación continua puede obtenerse directamente conocidos el punto y el vector de dirección, solo con sustituir cada una de las coordenadas por sus valores.

1.-

2.- Expresa las ecuaciones de la recta, en todas sus formas posibles sabiendo que pasa por el punto:

Y tiene como vector de dirección: Empezamos por la ecuación vectorial:

Sustituimos las coordenadas del punto Xo, Yo y Zo por las coordenadas del punto y las coordenadas V1, V2 y V3 por las coordenadas de nuestro vector de dirección y nos queda:

Seguimos con las ecuaciones paramétricas:

Sustituimos X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto y V1, V2 y V3 por las coordenadas del vector de dirección:

Ahora obtenemos la ecuación continua:

Volviendo a sustituir las coordenadas del punto y del vector

ECUACIONES DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS CONOCIDOS.