Vector Unitario 341r69

Vector unitario En álgebra lineal y Física, un vector unitario o versor es un vector de módulo uno. En ocasiones se lo llama también vector normalizado.

Notación Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como (se lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una breve ( ) también es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector en la forma .

Definición Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición simbólica de vector unitario. Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante si y solamente si el módulo de v es igual a 1. O en forma más compacta:

Versor asociado a un vector Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que un vector dado . A tal vector se lo llama versor asociado al vector y se puede representar bien sea por o por e indica una dirección en el espacio. La operación vectorial que permite modificar el módulo de un vector sin alterar su dirección y sentido es dividirlo por su módulo, de modo que

Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se lo llama normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

El método para transformar una base ortogonal (obtenida, por ejemplo mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt) en una base ortonormal (es decir, una base en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilitando la ecuación anterior.

Producto escalar de dos vectores En el espacio euclídeo, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:

Pero:

Por lo tanto:

donde θ es el ángulo entre ambos vectores.

Proyección escalar De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un versor (o vector unitario) es la proyección escalar del vector sobre la dirección determinada por el versor.

Como el módulo del vector

es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:

de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado. Este resultado es muy frecuente en física, donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes ortogonales a una superficie.

Vectores cartesianos Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos designan por , respectivamente.

se

Los versores cartesianos permiten expresar analíticamente los vectores por medio sus componentes cartesianas. Ejemplo: la expresión analítica del vector

es

Coordenadas cartesianas El Sistema cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Historia Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificar todo el conocimiento. Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas»,el plano cartesiano tiene 2 ejes Y y X ideando las denominadas coordenadas cartesianas.

Sistema de coordenadas lineal Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero). Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x: . Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

Un punto:

también puede representarse:

La distancia entre dos puntos A y B es:

Sistema de coordenadas plano Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadas cartesianas. La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0). Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas). Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posición del punto A será:

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial. La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC. Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

[editar] Terna Ordenada Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

coordenadas cartesianas espaciales. Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos. La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

Las coordenadas del punto A serán:

y el B:

La distancia entre los puntos A y B será:

El segmento AB será:

[editar] Cambio del sistema de coordenadas Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación (del origen), rotación (alrededor de un eje) y escalado.

[editar] Traslación del origen

Traslación del origen en coordenadas cartesianas. Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

dado un segundo sistema de referencia S2

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:

Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores, que llamaremos:

Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:

despejando

Lo que es lo mismo que:

Separando los vectores por coordenadas:

y ampliándolo a tres dimensiones:

Rotación alrededor del origen

Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas. Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

y una base ortonormal de este sistema:

Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:

Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo

, respecto al primero:

y con una base ortonormal:

Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:

Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; se emplea una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular. La representación de B1 en B2 es:

Dado que el punto A en B1 es:

con la transformación anterior tenemos:

Y, deshaciendo los paréntesis:

reordenando:

Como: ; Tenemos que:

Como sabíamos:

Por identificación de términos:

Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de

.

Escalado Sea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en un factor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:

El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.

Cálculo matricial Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita. Definición de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario denominado

o también

.

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario

o también denominado

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario

.

o también denominado

. Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Vector unitario Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.

AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:

Vectores unitarios para los ejes cartesianos:

La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, siempre y cuando su orientación relativa sea la misma.

Del mismo modo pueden definirse un vector tangente y un vector perpendicular a una curva en cada punto, o un vector unitario en las direcciones radial y angular:

Con ayuda de estos vectores unitarios puede expresarse un vector cualquiera en función de sus vectores constituyentes.

Vectores constituyentes de un vector Una vez introducidos los vectores unitarios i, j, k que definen los sentidos positivos de los ejes cartesianos, podemos expresar cualquier vector como la suma de los siguientes vectores:

Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Como se observa en la figura anterior:

Y de forma análoga en tres dimensiones:

Que es la forma que más comúnmente emplearemos para expresar una magnitud vectorial. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Dos vectores a y b de V2, linealmente independientes, forman una base de V2, puesto que cualquier vector de V2, incluso ellos mismos, se puede escribir como combinación lineal de a y b, es decir, estos dos vectores generan todo el espacio vectorial. Al conjunto formado por un punto cualquiera del plano, O, sobre el que situaremos los orígenes de a y b, y los dos vectores a y b, lo llamamos sistema de referencia en el plano, y lo denotamos (O, a, b) VECTORES UNITARIO Vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado OPERACIONES CON NÚMEROS IMAGINARIOS

Potencias de la Unidad Imaginaria: i= i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 Para determinar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria "i" se toma su exponente, se lo divide por 4 (cuatro), y el resto de esa división que será siempre menor que 4 (cuatro), será en definitiva el valor buscado que quedará encuadrado dentro de la primeros cuatro valores de la tabla anterior. 1. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

iˆ

: tiene dirección del eje X positivo.

iˆ

: tiene dirección del eje X negativo.

ˆj : tiene dirección del eje Y positivo

Z

 ˆj

: tiene dirección del eje Y negativo kˆ  kˆ

k

: tiene dirección del eje Z positivo. : tiene dirección del eje Z negativo. 

El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida: iˆ  ˆj  kˆ  1

j i

X

VECTORES UNITARIOS

Y



Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares: iˆ  ˆj  kˆ



En el espacio tridimensional el vector

 a

tiene tres componentes:

r a  ( ax ; a y ; az )  ax iˆ  a y ˆj  az kˆ

r a  3iˆ  12 ˆj  4kˆ EJEMPLO 01: Se tiene un vector

. Determine el módulo del vector.

Resolución Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

r 2 a  32   12   4 2  9  144  16

r a  13 Respuesta: el módulo del vector es 13. 2. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

uˆ 

a a

 a  a .uˆ

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores. A  3 i  4 j  12 k EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector: Resolución A 3 i  4 j  12 k uˆ   13 A El vector unitario se define como: uˆ 

El vector unitario es:

3 4 12 i j k 13 13 13

3. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano.  a Z En el sistema cartesiano tridimensional vector tiene tres componentes rectangulares: r az ˆ ˆ ˆ

a  ( ax ; a y ; a z )  a x i  a y j  a z k

 a

 , y 

ay

Designamos con los ángulos que el vector hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes:

a x  a.Cos a y  a.Cos a z  a.Cos ,

ax

X

,

Y

…(1)

COMPONENTES DEL VECTOR

a 2  a x2  a y2  a x2 Cálculo del módulo del vector:

 Cos 

reemplazando (1) en (2) tenemos:  a Entonces el vector unitario de es:

…(2)

  Cos    Cos   1

2

2

2

uˆ   Cos ; Cos ; Cos 

AyB 4. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores

, su

r A

A B producto escalar o interno se representa por , y se define como el producto de sus módulos por el coseno del



ángulo que forman, esto es:

A  B  A . B .Cos  B . A .Cos , donde



0  

O

A B Debemos enfatizar que es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector. PROPIEDADES

A B  B  A I.

Se cumple la propiedad conmutativa:





A B  C  A  B  A  C II.

Propiedad Distributiva:

PRODUCTO ESCALAR

B

i i  j  j  k k 1 III.

Vectores paralelos:

IV.

Vectores ortogonales:

i j  jk ik  0

A  a1.i  a2 . j  a3 .k V.

Dado los vectores:

B  b1.i  b2 . j  b3 .k y

A  B  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3 A  A   a1    a 2    a3  2

VI.

2

B  B   b1    b2    b3  2

2

2

2

VII.

A A  A VIII.

2

Cuadrado del módulo:

A B  0 IX.

Si y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

AyB 5. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores externo se representa por otro vector

C

, su producto vectorial o

, que se denota como

C  A B

C . Su módulo se define como el producto de sus módulos



por el seno del ángulo que forman entre sí, esto es:

A B  A . B .Sen , donde Debemos enfatizar que

C

0  

es perpendicular al plano formado por los

A 

PRODUCTO VECTORIAL

AyB vectores X.

.

Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo



gira en el sentido desde A hacia B.

PROPIEDADES

B

A B  0 I. Si

, entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos.

A B   B  A II. Anti conmutativo:





A B  C  A  B  A  C III. Propiedad Distributiva:

ii  j  j  k k  0

IV. Vectores paralelos:

i j  k

V. Vectores ortogonales: VI. Dado los vectores:

j  k  i k i  j ,

,

A  a1 .i  a2 . j  a3 .k y

B  b1 .i  b2 . j  b3 .k

A

entonces se cumple que:

 i A B   a1  b1

j a2 b2

k



a3  b3 

B AREA DEL PARALELOGRAMO

AyB El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes

es:

Area del parale log ramo  A B

AyB XI.

El área de la región triangular formado por los vectores

Area del triangulo 

es:

A B 2

6. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores

se forma:

A2

A3

A  B  C  B1 B2 C1 C 2

B3 C3





A1



A  B C

A, B y C



PROPIEDADES: I. El producto triple escalar es un número real:





A  B  C  número real











A  B  C  B  C  A  C  A B

C



II. III. El valor del “triple producto escalar” representa el

B

A,B y C A

volumen de un paralelepípedo de aristas 7. TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO

vectoriales de tres vectores

 A  B   C C  B   A

o PROPIEDADES:

se pueden formar productos como: , en todos estos casos el resultado es otro vector.



  I. No se puede asociar: A   B  C    A  C  B   A  B C II.  A B  C   A  C B   B  C  A



A B C  A B  C

III.



A B C

A, B y C



,



r A O Proyección de A sobre B

8. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proyección del vector otro vector paralelo al vector

B

A

sobre el vector

B

, es

que se denota del siguiente modo:

 A B  B .  B  B  

Pr oyec B A  

Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector B.

CompB A 

A B B