Derivada De Un Vector Unitario 5749g

DERIVADA DE UN VECTOR UNITARIO Cada vector unitario de longitud constante, se calculará la velocidad de los vectores unitarios eˆ1 , eˆ2, eˆ3 dibujados del sistema fijo x y z y rotando juntos como un cuerpo rígido con una velocidad angular absoluta ω .

De la ecuación (2.2), vemos que la velocidad de las puntas de los vectores unitarios, esto es, sus derivadas con respecto al tiempo son: •

eˆ1 = ω × eˆ1 ;

•

eˆ2 = ω × eˆ2 ;

•

eˆ3 = ω × eˆ3 -----------------(2.5)

*La derivada de un vector puede ser interpretada como la velocidad de la punta del vector cuando el otro extremo esta fijo. Si eˆ1 , eˆ2, eˆ3 forman un conjunto de vectores unitarios ortogonales

ω = ω1eˆ1 + ω 2 eˆ2 + ω3 eˆ3

•

eˆ1

eˆ2

e1 = ω1 ω 2 1 0

eˆ3

ω3 = ω3 eˆ2 − ω 2 eˆ3 ------------- (2.6) 0

•

eˆ1

eˆ2

e2 = ω1 ω 2 0 1

•

eˆ1

eˆ2

e3 = ω1 ω 2 0 0

eˆ3

ω3 = −[ω3 eˆ1 − ω1eˆ3 ] = ω1eˆ3 − ω3 eˆ1 -------------------- (2.7) 0 eˆ3

ω3 = ω 2 eˆ1 − ω1eˆ2 ---------------------- (2.8) 1

Para el caso particular de vectores unitarios cartesianos iˆ, ˆj , kˆ

eˆ1 = iˆ ;

eˆ2 = ˆj ;

eˆ3 = kˆ

ω = ω x iˆ + ω y ˆj + ω z kˆ Así •

iˆ = ω z ˆj − ω y kˆ •

ˆj = ω x kˆ − ω z iˆ

•

kˆ = ω y iˆ − ω x ˆj En cada caso las derivadas de los vectores unitarios se hallan en un plano perpendicular a el vector, en acuerdo con la definición de producto vectorial. Los términos relativo a/o con respecto a un sistema dado significan como son vistos por un observador fijo en ese sistema y moviéndose con él.

DERIVADA DE UN VECTOR El cambio ΔA en el vector corresponde al cambio Δu en el escalar, así la derivada del vector A con respecto a el escalar u es definida por el límite. dA ΔA = lim du Δu →0 Δu

Fig.: derivada de un vector.

Δ ( A + B ) = ΔA + ΔB

d ( A + B ) dA dB = + du du du d dg dA A+ g ( gA) = du du du d dA dB ( A ⋅ B) = ⋅ B + A⋅ du du du d dA dB ( A × B) = × B + A× du du du

A = A1eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 •

•

•

•

•

•

•

A = A1 eˆ1 + A 2 eˆ2 + A3 eˆ3 + A1 eˆ1 + A2 eˆ 2 + A3 eˆ 3

La razón de cambio de un vector unitario es siempre perpendicular a ese vector unitario.

DERIVADAS DE UN VECTOR EN SISTEMAS ROTATORIOS A es un vector visto por un observador fijo en el sistema x y z y también

por un observador sobre un sistema rotativo, definido por la triada eˆ1 , eˆ2, eˆ3 , el cual rota con una velocidad angular ω , relativa a x y z donde O es el origen a ambos sistemas.

Fig.: vector a relativo a marcos de referencia fijos y rotativos.

El cambio absoluto de A , escrito en términos de los vectores unitarios del sistema rotativo es: •

•

•

•

•

•

•

A = A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 + A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3

---------------------- (1)

Donde la razón del cambio de A, visto por un observador en el sistema rotativo es: • • • ⎛•⎞ ⎜ A ⎟ = A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 ------------ (2) ⎝ ⎠r

Ya que los vectores unitarios están fijos al sistema rotativo. Los otros tres términos de la ecuación (1) son: •

•

•

A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 = A1ω × eˆ1 + A2 ω × eˆ2 + A3 ω × eˆ3 --------------- (3) = ω × ( A1eˆ1 + A2 eˆ2 + A3eˆ3 ) = ω × A De las ecuaciones (1), (2) y (3), se tiene que el cambio absoluto de A, puede expresarse en términos de sus valores relativos a un sistema rotativo.

• ⎛•⎞ A = ⎜ A ⎟ + ω × A ------------------ (4) ⎝ ⎠r

⎛•⎞ ⎜ A ⎟ → es la razón de cambio de A vista desde el sistema rotativo. ⎝ ⎠r

ω → es la velocidad angular absoluta del sistema rotativo.

Generalizando (4) a cualquier sistema ⎛•⎞ ⎛•⎞ ⎜ A⎟ = ⎜ A⎟ + ω B A × A ⎝ ⎠ A ⎝ ⎠B

ω B A → es la razón de cambio de rotación del sistema B visto desde A. ⎛•⎞ ⎛•⎞ ⎜ A⎟ = ⎜ A⎟ + ω A B × A ⎝ ⎠ ⎝ ⎠A

(11)

ω A B = −ω B A

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN UN SISTEMA DE COORDENADAS MOVILES Ahora usaremos el resultado general de la ecuación (4) para obtener las ecuaciones para la velocidad y aceleración absoluta de una partícula P que está en movimiento relativo a un sistema de coordenadas móviles.

Fig.: vector de posición de un punto P relativo a un sistema fijo y a un sistema móvil.

Condiciones: P: partícula

X Y Z → sistema fijo en un marco de referencia inercial. x y z → sistema móvil (trasladándose y rotando con respecto al sistema fijo) r : vector de posición de P ⎫ ⎬ R : vector de posición de O'⎭

Relativas a O en el sistema fijo

De la figura, el vector de posición absoluto es:

r = R + ρ ------------- (2.9.1) ∴

ρ → es el vector de posición de P, relativo a O’.

La velocidad absoluta es: •

•

•

v = r = R + ρ ------------------ (2.9.2) Ambas derivadas de la derecha de la ecuación (2.9.2) son calculadas desde el punto de vista del observador fijo. •

ρ es función de sus valores relativos al sistema móvil x y z es: •

⎛•⎞ ⎝ ⎠r

ρ = ⎜ ρ ⎟ + ω × ρ ------------- (2.9.3) Donde:

ω → es la velocidad absoluta de rotación del sistema móvil. Sustituyendo (2.9.3) en (2.9.2) • ⎛•⎞ v = R + ⎜ ρ ⎟ + ω × ρ ----------------- (2.9.4) ⎝ ⎠r

Considérese el punto P’ coincidente con P en un instante de tiempo, pero fijo en el sistema x y z .

Se tiene que: •

R → es la velocidad absoluta de O’. ω × ρ → es la velocidad de P’ relativa a O’ vista por un observador

NO

ROTATIVO.

Entonces: •

R + ω × ρ → representa la velocidad absoluta de P’, y ⎛•⎞ ⎜ ρ ⎟ → es la velocidad de P relativa a O’, vista por un observador rotando ⎝ ⎠r con el sistema x y z . También se puede interpretar como la velocidad de P

relativa a P’, vista por un observador NO ROTANTE.

ACELERACIÓN ABSOLUTA DE P Se tiene:

d ⎛ • ⎞ •• ⎜ R ⎟ = R --------------- (2.9.5) dt ⎝ ⎠

De la ecuación (4)

d ⎡⎛ • ⎞ ⎤ ⎛ •• ⎞ ⎛•⎞ ⎢⎜ ρ ⎟ ⎥ = ⎜ ρ ⎟ + ω × ⎜ ρ ⎟ ------------------- (2.9.6) dt ⎣⎝ ⎠ r ⎦ ⎝ ⎠ r ⎝ ⎠r • • d [ω × ρ ] = ω× ρ + ω × ρ dt • ⎡⎛ • ⎞ ⎤ ----------------------- (2.9.7) = ω× ρ + ω × ⎢⎜ ρ ⎟ + ω × ρ ⎥ ⎣⎝ ⎠ r ⎦ • ⎛•⎞ = ω× ρ + ω × ⎜ ρ ⎟ + ω × (ω × ρ ) ⎝ ⎠r

Sumando las ecuaciones (2.9.5), (2.9.6) y (2.9.7) se obtiene la aceleración absoluta. •• • ⎛•⎞ ⎛ •• ⎞ ⎛•⎞ a = R + ⎜ ρ ⎟ + ω × ⎜ ρ ⎟ + ω × ρ + ω × ⎜ ρ ⎟ + ω × (ω × ρ ) ⎝ ⎠r ⎝ ⎠r ⎝ ⎠r

•• • ⎛ •• ⎞ ⎛•⎞ a = R + ω × ρ + ω × (ω × ρ ) + ⎜ ρ ⎟ + 2 ω × ⎜ ρ ⎟ ----------------- (2.9.8) ⎝ ⎠r ⎝ ⎠r

••

R → es la aceleración absoluta de O’. •

ω × ρ + ω × (ω × ρ ) → representa la aceleración de P’ relativa a O’ vista por un observador fijo.

⎛ •• ⎞ ⎜ ρ ⎟ → es la aceleración del punto P relativo al sistema x y z , visto ⎝ ⎠r por un observador móvil. (rotante) ⎛•⎞ 2 ω × ⎜ ρ ⎟ → es la ACELERACIÓN DE CORIOLIS y es debida a dos ⎝ ⎠r fuentes. En la ecuación (2.9.6) es debida al cambio en la dirección de la velocidad de P en el sistema móvil y en la ecuación (2.9.7) el término representa la razón de cambio de la velocidad ω × ρ , debido al cambio de la

magnitud o dirección del vector de posición ρ relativo al sistema en movimiento.

•

a A = a B + ω × ρ + ω × (ω × ρ ) + 2 ω × v rel + a rel

(MERIAM)