Tugas Matematika Ekonomi 26155w

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan perlatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik. Oleh karena itu pembuatan makalah yang berjudul “BARISAN DAN DERET” ini dilatar

belakangi

matematika ekonomi

untuk

mempermudah

proses

belajar

mengajar

mata

dan

keuangan serta

untuk

melatih

pembaca

agar

kuliah berfikir

dalam pertumbuhan dan perkembangan ekonomi di negara. Konsep barisan dan deret dalam bidang ekonomi antara lain digunakan dalam membahas model perkembangan usaha, model pertumbuhan penduduk, bunga majemuk, nilai masa datang dari anuitas, dana cadangan, nilai sekarang dari anuitas dan penyisihan pinjaman. Prinsip-prinsip barisan banyak diterapkan dalam perkembangan variabel-variabel tertentu misalnya biaya produksi, biaya pendapatan, penggunaan tenaga kerja, perekonomian modal berpola seperti barisan aritmatika perkembangan variabel tersebut. Prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prinsip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan.

B. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang permasalahan yang dipaparkan di atas, pemakalah dapat merumuskan pembahasan sebagai berikut : 1. Apa yang dimaksud dengan barisan dan deret ? 2. Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah barisan dan deret hitung ? 3. Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah barisan dan deret ukur ? 4. Apa saja penerapan barisan dan deret dalam bisnis dan ekonomi?

C. TUJUAN 1. Untuk mengatahui apa yang dimaksud dengan barisan dan deret. 2. Untuk mengetahui cara menghitung barisan dan deret hitung. 3. Untuk mengetahui cara menghitung barisan dan deret ukur. 4. Untuk mengetahui kegunaan dari barisan hitung dan deret hitung serta barisan ukur dan deret ukur. 5. Untuk mengetahui penerapan barisan dan deret dalam bisnis dan ekonomi.

BAB II MATERI A. PENGERIAN BARISAN Barisan adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya. Penggolongan barisan dapat di dasarkan pada: 1. Jumlah Suku Pembentuknya a. Barisan berhingga 1,2,3,4,5 1,3,5,7,9 b. Barisan tak berhingga 1,2,3,4,5,................................................. 1,3,5,7,9,................................................. 2. Pola perubahannya dibedakan menjadi a. Barisan Hitung(Aritmatika ) b. Barisan Ukur ( Geometri) c. Barisan Harmoni I. BARISAN HITUNG (ARITMATIKA) Barisan Hitung (Aritmatika) adalah barisan pola perubahan dimana dari satu suku ke suku berikutnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara satu suku ke suku sebelumnya. Contoh : a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + ..............................................................(a+nb) suku 1

2

3

4

5

suku ke n

Jika suku pertama dinyatakan dengan a maka selisih (pembeda) dinyatakan dengan notasi b, dan suku barisan ke n dinotasikan dengan Sn, maka di peroleh Rumus :

Sn = a + (n-1)b

Ket : a = Suku pertama b = Pembeda n = Suku ke n

Contoh Soal 1. Tentukanlah suku pertama, pembeda, suku ke 9 dari barisan bilangan berikut : 2,4,6,8 Jawab : Diket : Suku pertama S1 = a = 2 b=2 Ditanya : S9 ? Penyelesaian : Sn = a + (n-1)b S9 = 2 + (9-1)2 S9 = 18 Jadi suku ke 9 adalah 18 2. Dari suatu barisan diberikan suku ketiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke 10 Jawab : Diket : S3 = 150 S7 = 170 Ditanya : S10 ? Penyelesaian : S3 = a + 2b = 150 S7 = a + 6b = 170 -4b = -20 b=5

a + 2b = 150 a + 2.5 + 150 a + 10 = 150 a = 150 – 10 = 140

S10 = a + 9b = 140 + 9.5 = 185 II. BARISAN UKUR (GEOMETRI) Barisan Ukur ( Geometri ) adalah barisan bilangan dimana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya, besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara suku dengan suku sebelumnya. Contoh : a, suku 1

ar,

ar2,

ar3,

ar4, ...................................................................... arn-1

2

3

4

5

suku ke n

Jika suku pertama dinyatakan dengan a maka selisih (pembeda) dinyatakan dengan notasi r, dan suku barisan ke n dinotasikan dengan Sn, maka di peroleh Rumus :

Sn = a.rn-1

Ket : a = Suku pertama r = Pembeda

n = Suku ke n Contoh Soal 1. Tentukanlah suku ke 6 , jika suku pertama adalah 20 dengan rasio 20. Jawab : Diket : a = 20 r = 20 Ditanya : S6 ? Penyelesaian S6 = arn-1 S6 = 20.26-1 S6 = 20.25 S6 = 20.32 S6 = 640

A. PENGERTIAN DERET Deret adalah rangkaian atau barisan dari bilangan yang tersusun secara teratur berdasarkan aturan tertentu. Bilangan-bilangan dalam barisan tersebut dinamakan suku. Perubahan diantara suku-suku yang berurutan ditentukan oleh suatu pola perubahan bilangan tertentu. 

1, 2, 3, 4, ........................................... (pembeda 1)



10, 20, 30, 40, ................................... (pembeda 10)



50, 40, 30, 20, ................................... (pembeda -10)



1, 3, 9, 27, ......................................... (rasio 3) Bentuk umum dari deret di atas adalah :



S1, S2, S3, S4, ................................................. Sn



S1, S2, S3, S4 = suku ke 1, 2, 3, 4 merupakan bilangan atau lambing tertentu.



Sn = suku ke-n merupakan bilangan atau lambing tertentu Pada umumnya deret dibedakan menjadi dua macam, yaitu Deret Hitung (deret aritmatika), dan Deret Ukur (deret geometri)

B. DERET HITUNG Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh : 1) 7, 12, 17, 22, 27, 32

(pembeda = 5)

2) 93, 83, 73, 63, 53, 43

(pembeda = -10)

Dua hal yang penting untuk diketahui atau dihitung dalam setiap persoalan deret, baik deret hitung maupun deret ukur, adalah besarnya nilai pada suatu suku tertentu dan jumlah nilai deret tersebut sampai dengan suku yang bersangkutan.

a.

Suku ke-n dari Deret Hitung Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus. Untuk membentuk rumus yang dimaksud perhatikan Contoh 1) di atas. Dalam contoh tersebut, nilai suku pertamanya (a) adalah 7 dan pembedanya (b) adalah 5. 7,

12,

17,

22,

27,

S1

S2

S3

S4

S5

32 S6

Sn = a + (n – 1)b S1 = 7 = a

S2 = 12 = a + b = a + (2 – 1) b

a = suku pertama atau S1

S3 = 17 = a + 2b = a + (3 – 1) b

b = pembeda

S4 = 22 = a + 3b = a + (4 – 1) b

n = indeks suku

S5 = 27 = a + 4b = a + (5 – 1) b S6 = 32 = a + 5b = a + (6 – 1) b Berdasarkan rumus di atas, dengan mudah dan cepat kita dapat menghitung nilai-nilai suku tertentu. Sebagai contoh, nilai suku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini masing-masing adalah: S10 = a + (n – 1)b = 7 = (10 – 1)5 = 7 + 45 = 52 S23 = a + (n – 1)b = 7 = (23 – 1)5 = 7 + 110 = 117 b. Jumlah n Suku Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1, atau a) sampai dengan ke-n (Sn) yang bersangkutan. Jn =

= S1 + S2 + ...... + Sn

J4 =

= S1 + S2 + S3 + S4

Berdasarkan rumus Sn = a + (n-1)b sebelumnya, maka masing-masing S dapat diuraikan. Dengan menguraikan setiap S, maka J 4 dalam ilustrasi diatas akan menjadi sebagai berikut : J4

= a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b)

= 4a + 6b Dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagi berikut : J4 = 4a + 6b = 4a + (4 – 1)b

Jn = na + (n – 1)b

Jn = { 2a + (n – 1)b}

atau Rumus Jn = { 2a + (n – 1)b} masih bisa disederhanakan lagi menjadi seperti berikut : Jn

= { 2a + (n – 1)b} = { a + a + (n – 1)b} Sn

= ( a + Sn ) Jn = Jn =

Jn = (a + Sn)

Jn = na +

{ 2a + (n – 1)b } (n – 1)b

Dengan demikian, untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan:

Untuk kasus deret hitung dalam cotoh 1 diatas tadi, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah: J10 =

( 7 + S10 ) = 5 ( 7 + 52 ) = 295.

Sedangkan untuk kasus deret hitung dalam cotoh 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah: J10 = (10)(93) +

(10 – 1)(-10) = 930 + 5(9)(-10) = 480

C. DERET UKUR Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilagan tertentu.

Bilangan

yang

membedakan

suku-suku

sebuah

deret

ukur

dinamakan pengganda,yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya. Contoh : 1. 5, 10, 20, 40, 80, 160

(pengganda = 2)

2. 512, 256, 128, 64, 32, 16

(pengganda = 0,5)

a.

Suku ke-n dari Deret Ukur Untuk dapat membentuk rumus perhitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur, perhatikan contoh 1 diatas yang disajikan dalam bentuk lain di bawah ini : S1 = 5 = a

Sn = ap n - 1

S2 = 10

= ap2-1

= ap

S3 = 20

= app

= ap2 = ap3-1

S4 = 40

= appp

= ap3 = ap4-1

a = suku pertama

S5 = 80

= apppp

= ap4 = ap5-1

p = pengganda

S6 = 160= appppp

= ap5

= ap6-1

n = indeks suku

Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam contoh1 dan contoh2 diatas masing-masing adalah : 1. S10 = (5)(2)10-1 = (5)(2)9 = (5)(512) = 2560

2. S10 = (512)(0,5)10-1 = (512)(0,5)9 = (512)(1/512) = 1 b. Jumlah n suku Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan. Jn =

= S1 + S2 + ...... + Sn Berdasarkan Sn = ap n – 1, maka masing-masing S dapat dapat dijadikan sehingga:

Jn = a + ap + ap2 + ap3 + .... + apn-2 +apn-1

(1)

Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka : pJn = ap + ap2 + ap3 + .... + apn-1 +apn

(2)

Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua persamaan ini yaitu : Jn - pJn Jn (1 – p) Jn =

= a - apn = a(1 – pn) atau Jn =

Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:

Rumus (1) untuk p < 1 dan Rumus (2) untuk p > 1 Untuk kasus deret ukur dalam contoh 1 diatas, dimana a = 5 dan p = 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah: J10 =

=

= 5115

Sebagaimana akan dapat dijumpai dalam bagian atau bab-bab selanjutnya dalam buku ini, prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan. D. PENERAPAN EKONOMI

Dibidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya 1. Model perkembangan usaha Jika perkembangan variable-variable tertentu dalam kegiatan usaha. Misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal. Berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya disini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. Kasus 1 Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyaj 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah yang dihasilkan pada bulan kelima? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai bulan tersebut? Diketahui :

a = 3.000 b = 500

c=5 jawab: S5 = 3.000 + (5 – 1) 500 = 5.000 J6 =

(3.000 + 5.000) = 20.000

E. APLIKASI DERET DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. Deret untuk pertumbuhan perduduk Robert Malthus menyatakan, bahwa pertumbuhan penduduk mengikuti deret ukur, sedangkan pertumbuhan pangan mengikuti deret hitung. Dengan demikian model pertumbuhan penduduk lebih sesuai dengan deret ukur. Secara sistematis dapat dirumuskan sebagai berikut :

Pt = P1 ( 1 + r )t-1 Keterangan : Pt = total penduduk pada periode t r = tingkat pertumbuhan p1 = total penduduk pada peride awal periode (%) pertahun t = peride waktu (tahun) Contoh soal : Di kota A pada tahun 2000 total penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa dan menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% pertahun. Berapakah total penduduk di kota A tahun 2004? Diketahui : P1 = 2.000.000 r = 2%=0,02 t = 2004-2000 = 4 tahun Pt = ? Jawab : Pt = P1 ( 1 + r )t-1 = 2.000.000 (1+0,02)4-1 = 2.000.000 (1,02)3 = 2.122.416 2. Deret untuk Usaha Bisnis Penerapan deret bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah daret hitung, karena jika diukur dengan deret ukur, variable-variable ekonomi seperti biaya, produksi, modal, pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya, dalam arti untuk segera memenuhinya Contoh soal: Sebuah dealer sepeda motor merek SPEED baru setahun membuka usahanya. Bulan pertama stok persediaan sepeda motor pada akhir tahun dievaluasi ternyata rata-rata jumlah permintaan sepeda motor sebanyak 7 buah. Berapakah jumlah stok persediaan bulan ketujuh? Jawab:

S7 = a + (n – 1)b = 10 + (7 – 1)7 = 10 + 42 = 52 3. Deret untuk Bunga Majemuk Model deret untuk bunga majemuk (bunga berbunga) yaitu deret ukur khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan atau siapa saja yang melakukan transaksi hutang piutang dengan model ini dan transaksi ini biasa disebut kredit. Sacara sistematis dirumuskan : Fn = P (1 – i)n Rumus ini untuk kredit dengan system pembayaran suku

bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaliknya jika suku bunnga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun, rumusnya menjadi : Fn = P (1+(

))nm

Keterangan: Fn = total nilai kredit dengan n periode P = total nilai lredit awal periode m = frekuensi pembayaran suku bunga dalam setahun i = suku bunga kredit n = banyak tahun Contoh soal: Tn. A kredit mobil dengan uang muka Rp10.000.000 sisanya kredit yaitu Rp30.000.000 dengan suku bunga kredit 2% perbulan dalam jangka waktu 2 tahun. a.

Berapakah total kredit setelah jatuh tempo pelunasan?

b. Berapakah total harga perolehan mobil Tn. A? Jawab: a.

Total kredit setelah jatuh tempo pelunasan F2 = 30.000.000 (1+0,02)(2)(12) = 30.000.000 (1,02)(24)

= 48.233.117,48 b. Total harga perolehan mobil Tn. A THP : 10.000.000 + 48.253.117,48 = 58.253.117,48 Penerapan yang lain pada tabungan nasabah suatu bank, Contoh soal: Tn. B ingin total tabungan pada lima tahun yang akan datang sebesar Rp20.000.000, asumsi suku bunga pertahun konstan sebesar 6%. Berapakah Tn. B besarnya saat mulai menabung di awal tahun? Jawab: F5 = P (1 + i)n 20.000.000 = P (1 + 0,06)5 20.000.000 = P(1,06)5 20.000.000 = 1,338P P= P = 14.947.683,11 F. SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Ada data sebanyak tujuh yaitu 10,15,20,25,30,35,40. Tentukan besarnya data ke sepuluh! Diketahui :

a = 10 b=5 n = 10 S10 = ... ?

Jawab : Sn = a + (n - 1)b S10

= 5 + (10-1)5 = 5 + (9)5 =50

2. Jika suatu data diketahui pembeda adalah 4,5 dan data ke 100 = 1000, maka tentukan besar data pertama! Diketahui :

b = 4,5 S100 = 1000 a = .... ?

Jawab :

Sn

= a + (n-1)b

S100

= a + (100-1)4,5

1000

= a + (99)4,5 = a + 445,5

a

= 1000 – 445,5 = 554,5

3. Jika suatu data hanya diketahui suku pertama 11,5 dan suku ke-100 = 2000, tentukan selisih diantara suku-suku tersebut! Diketahui: a = 11,5 S100 = 2000 b = ... ? Jawab : Sn

= a + (n-1)b

S100

= 11,5 + (100-1)b

2000

= 11,5 + (99)b

99b

= 2000-11,5

b

= = 20,08

4. Jika suku pertama sebesar 50 dan suku ke-5 sebesar 150, maka tentukan suku ke seratus! Diketahui :

a = 50 S5 = 150 S100 = ...?

Jawab: 1) Sn

= a + (n-1)b S5

= 50 + (5-1)b

150

= 50 + (4)b

b

= = 25

2) Sn S100

= a + (n-1)b = 50 + (100-1)25

= 50 + (99)25 = 50 +2475

= 2525 5. Sebuah data penjualan dari beberapa tahun sebagai berikut : Penjualan

100

95

90

85

80

75

70

65

60

Tahun 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 Tentukan jumlah penjualan selama sembilan tahun terakhir tersebut! Diketahui :

a = 100 b = -5 n = 9 tahun J9 = ...?

Jawab: Jn =

(2a + (n-1)b)

J9 =

(2(100) + (9-1)(-5))

= 4,5 (200 + (-40)) =4,5 (160) = 720 6. Jika diketahui suku pertama sebesar 25 dan suku keempat sebesar 60, tentukan : a.

Berapa besar nilai suku kelimapuluh?

b. Berapa jumlah suku sampai suku kelimapuluh tersebut? Diketahui :

a = 25 S4 = 60

Tanya : a.

S50 = .... ?

b. J50 = .... ? Jawab: a.

Sn

= a + (n-1)b

Sn

S4

= 25 + (4-1)b

S50

60

= 25 + (3)b

b

=

= an +

= 25 + (50-1)11,67 = 25 + (49)11,67 = 25 + 571,67

= 11,67 b. J50

= a + (n-1)b

= 596,67 (n-1)b

= (25x50) +

(50-1)11,67

= 1250 +14.291,67 = 15.541,67 7. Suatu data diketahui 10,20,40,80,160,320,640, maka tentukan suku ke-10! Diketahui: a = 10 P=2 S10 = ... ? Jawab: Sn = aPn-1 S10 = 10 (210-1) = 10 (29) =5.120 8. Jika diketahui suku kelima =100, dan pengganda sebesar 4, tentukan suku ke-10! Diketahui: S5 = 100 P=4 S10 = ...? Jawab: = aPn-1

1) Sn

2)

S5

= a(45-1)

100

= a(44)

a

=

= aPn-1

Sn S10

= 0,39 (410-1) = 0,39 (49) = 0,39 (262.144)

= 0,39

= 102.236,16

9. Jika diketahui suku ke-10 = 1000 dan suku pertama sebesar 4, tentukan nilai penggandanya! Diketahui: S10 = 1000 a=4 p = ... ? Jawab: Sn

= aPn-1 = 4(P10-1)

S10 1000

= 4(P9)

P9

=

= 250 = (250)1/9

P

= 1,85 10. Jika suku pertama 4, sedangkan penggandanya sebesar 10, maka tentukan jumlah lima suku pertama! Diketahui: a = 4 P = 10 J5 = ... ? Jawab: Jn = a (Pn-1)/ P-1 J5 = 4 (105-1)/4-1 = 222.221,78 11. Jika suku ke-1 dan suku ke-5 masing-masing -5 dan 20. Berapakah nilai pembedanya? Diketahui: a = -5 S5 = 20 P = ... ? Jawab: Sn = a + (n-1)b S5 = -5 + (5-1)b 20 = -5 +4b b

= = 6,25

12. Diketahui deret hitung A mempunyai nilali awal sebesar 10 dan b=2. Untuk deret hitung B mempunyai nilai awal sebesar 20 dan b=4. Kapan deret hitung A dan B mempunyai nilai yang sama? Diketahui: Deret hitung A

a = 10

deret hitung B

b=2

b=4

kapan A dan B mempunyai nilai sama? Jawab: Sn A

= a + (n-1)b

a = 20

Sn A

= a + (n-1)b

= 10 + (n-1)2

= 20 + (n-1)4

= 10 + 2n -2

= 20 + 4n - 4

= 8 + 2n

= 16 + 4n

Agar A dan B mempunyai nilai yang sama, maka Sn A = Sn B, sehingga : 8 + 2n

= 16 + 4n

2n – 4n

= 16 – 8

-2n

=8

n

= -4

13. Jika diketahui S30 = 9.000 dan J40 = 200.000, maka tentukan: a.

Nilai a dan b?

b. Suku ke-10 dan jumlahnya? Diketahui: S30 = 9.000 J40 = 200.000 Jawab : a.

S30

= a + (n-1)b

9.000 = a + (30-1)b 9.000 = a + 29b a

= 9.000 – 29b

J40

= an + (

200.000

(n-1)b)

= (9.000-29b)(40) + (

(40-1)b)

= 360.000 – 1.160b + 20 (39b) 200.000 – 360.000

= -1.160b + 780b

380b

= 160.000 b

= = 421,05

a

= 9.000 – 29b = 9.000 – 29 (421,05) = 9.000 – 12.210,45 = - 3.210,45

b. S10

= a + (n-1)b = -3.210,45 + (10-1) 421,05 = -3.210,45 + (9) 421,05 = -3.210,45 + 3.789,45 = 579

J10

= an + (

(n-1)b)

= (-3.210,45)(10) + (

(10-1)421,05)

= -32.104,5 + 18.947,25 = -13.157,25 14. Perusahaan keramik menghasilkan 5000 buah keramik pada produksi pertama. Dengan adanya penambahan tenaga kerja maka jumlah produk yang dihasilkan juga dapat ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan. Berapa jumlah keramik yang telah dihasilkan pada bulan ke-12? Berapa buah jumlah keramik yang telah dihasilkan selama 1 tahun pertama produksinya? Diketahui :

a = 5000 n = 12 b = 300

tanya: a.

S12 = ... ?

b. J12 = ... ? Jawab: a.

Sn

= a + (n-1)b S12

= 5000 + (12-1)300 = 5000 + (11)300 = 5000 + 3300 = 8300 buah keramik

b. Jn

= J12

+ (a + S12) =

+ (5000 + 8300)

= 6 (13.300) = 79.800 15. Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp 700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp 125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?

Diketahui: a = 700.000 b = 125.000 n=9 Jawab: Sn = a + (n-1)b S9 = 700.000 + (9-1)125.000 = 700.000 + (8)125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000 16. Pada tahun 1990 penduduk Indonesia jumlahnya 179 juta jiwa, tingkat per-tumbuhan penduduk 1,98%. Berapakah jumlah penduduk tahun 2000? Diketahui: P1 = 179.000.000 r = 1,98% = 0,0198 t = 2000-1990 = 10 Jawab: Pt = P1 (1 + r)t-1 P10 = 179.000.000 (1 + 0,0198)9 = 179.000.000 (1,0198)9 = 179.000.000 (1,193) = 213.547.000 jiwa 17. Suatu modal sebesar M dipinjamkan dengan bunga majemuk, suku bunga ditetap-kan sebesar 12% pertahun. Jika penggabungan bunganya dilakukan triwulan. Tentukan selama 5 tahun a.

Periode bunga

b. Frekuensi penggabungan c.

Besar suku bunga untuk setiap periode

d. Banyaknya periode bunga Diketahui: a.

Karena 1 triwulan = 3 bulan, maka periode bunga adalah 3 bulan.

b. Frekuensi penggabungan = 12/3 = 4 c.

Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12%)/4 = 3 %

d. Banyaknya periode bunga = 5 x 4 = 20.

18. Tn. Sule membeli secara kredit sepeda motor dengan uang muka Rp. 2.000.000,- sisanya Rp. 10.000.000,- diangsur selama 4 tahun. Tingkat suku bungan kredit flat sebesar 18 %. Berapakah total kredit Tn. Sule yang harus dibayarkan selama 4 tahun tersebut. Jawab : Fn = P(1+i)n F4 = 10.000.000 (1 + 18%)4 = 10.000.000 (1,18)4 = 10.000.000 x 1,93877776 = 19.387.777,6 19. Si tukul menabung sebesar Rp. 2.500.000,- selama 2 tahun dengan pembayaran bunga setiap bulan dan tingkat suku bunga per tahun sebesar 6%. Tentukan : a. Total tabungan si tukul selama dua tahun jika pembayaran bunga setiap tahun, b. Total tabungan si tukul selama dua tahun jika pembayaran bunga setiap bulan. Diketahui : P = 2.500.000 i = 6%/tahun a.

Total tabungan si Tukul dengan pembayaran bunga tabungan/ tahun sebagai berikut : Fn

= P (1 + i)n

F2

= 2.500.000 (1 + 6%)2 = 2.500.000 (1,06)2 = 2.500.000 x 1,1236 = 2.809.000 \

b. Total tabungan si Tukul dengan pembayaran bunga tabungan per bulan, sebagai berikut : Fn

= 2.500.000 (1 + (6%/12))2(12)

F4

= 2.500.000 (1,005)4 = 2.500.000 x 1,127159776 = 2.817.899,441

20. Pak Tani 5 tahun yang lalu menabung di sebuah bank dengan setoran pertama Rp. 500.000,dan kini telah menjadi Rp. 1.200.000,- dengan pembayaran bunga tabungan setiap bulan. Berapakah sebenarnya bunga tabungan (%) pak tani tersebut ? Diketahui F5 = 1.200.000 P

= 500.000

n

= 5 tahun

m = 12kali i

= ... ?

Jawab: = P (1 + i/m)nm

Fn

1.200.000 = 500.000 (1 + i/12)5(12) 1.200.000 = 500.000 (1 +i/12)70 (1+i/12)70 = (1+i/12)70 = 2,4 1+ i/12

= (2,4)1/70

1+ i/12

= 1,01258

i/12

= 1,01258 – 1

i/12

= 0,01258

i

= 0,01258 x 12

i

= 15%

KESIMPULAN 1. Deret adalah rangkaian atau barisan dari bilangan yang tersusun secara teratur berdasarkan aturan tertentu. Bilangan-bilangan dalam barisan tersebut dinamakan suku. 2. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan. 3.

Menghitung suku ke-n pada deret hitung

Sn = a + (n – 1)b Jn = Jn =

Jn = (a + Sn)

Jn = na +

( 2a + (n – 1)b ) (n – 1)b

Menghitung n jumlah suku pada deret hitung

4. Menghitung suku ke-n pada deret ukur Sn = ap n 1

Jn =

atau Jn =

Menghitung jumlah n suku pada deret ukur Rumus (1) untuk p < 1 dan Rumus (2) untuk p > 1 5.

Aplikasi deret dalam kehidupan



Untuk menghitung pertumbuhan peduduk



Untuk menghitung usaha bisnis menggunakan deret hitung



Untuk menghitung bunga majemuk

Pt = P1 ( 1 + r )t-1

Fn = P (1 – i)n Fn = P (1+(

))nm

DAFTAR PUSTAKA 1. Sunyoto, Danang. 2007. Matematika Ekonomi Soal Jawab dan Aplikasi.Yogyakarta: Amara Books 2. Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-dasar matematika Ekonomi. Jakarta: Total Media

3. Dumairy. 2012. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogykarta : BPFE Yogyakarta 4. Sarjono, Haryadi dan Lim Sanny. 2012. Aplikasi Matematika untuk Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Salemba Empat 5. Dumairy. 2013. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta 6. Sunyoto, Danang dan Henry Sarnowo. 2013. Matematika untuk Ekonomi dan Keuangan. Yogyakarta: CAPS 7. http://www.slideshare.net/haidarkrisna/aplikasi-barisandanderatdalamekonomi 8. http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret-pengertianrumus.html Diposkan oleh Lutfiana Nur Azizah di 20.45 Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke Pinterest