Matematika Ekonomi-pertemuan 7 1y2ti

Matematika Ekonomi Pertemuan 7 Elastisitas, Biaya Produksi dan P Penerimaan, i M Maksimum k i d dan Mi Minimum i Suatu Fungsi

Elastisitas • Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap perubahan faktor yang mempengaruhinya (harga) (harga). εh h = %Perubahan %P b h jjumlah l h yang di diminta i t % Perubahan harga barang tsb

Elastisitas • Apabila terjadi perubahan harga dari P0 menjadi P1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q1. • Persentase perubahan harga: P1 – P0 . 100% P0 • Persentase perubahan jumlah barang: Q1 – Q0 . 100% Q0

Elastisitas εp = εh = ΔQ . P0 ΔP Q0 D Dengan d demikian, iki apabila bil di diambil bil lilimit it d darii ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi: εp = εh = dQ . P0 dP Q0

Jenis-jenis Jenis jenis Elastisitas Nilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah ∞. • εh > 1 Æ permintaan elastis • εh = 1 Æ unitary elastis (elastisitas tunggal) • εh < 1 Æ permintaan inelastis (tidak elastis)

Contoh Soal Bila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 – 2Q, 2Q berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20? Æ P = 50 – 2Q dP = -2 dQ dQ = -1 dP 2 Bila P = 20, 20 maka Q = 15 sehingga elastisitasnya: Εh = dQ . P0 dP Q0 Εh = -1 . 20 2 15 Εh = -2/3 • Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif, sehingga apabila Εh = |-2/3| = 2/3 Æ permintaan inelastis karena < 1

Biaya Produksi dan Penerimaan 1. Biaya y Produksi: • Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC atau FC Æ adalah jumlah biaya-biaya yang b besarnya tetap, b berapapun tingkat i k output yang dihasilkan. • Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC Æ adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. • Biaya Total (Total Cost) = TC Æ adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel. TC C = FC C + VC C

Biaya Produksi • •

• •

-

Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) = AFC Æ adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output output. AFC = TFC / Q Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC Æ adalah y y lain,, selain AFC yang y g dibebankan p pada setiap p semua biaya-biaya unit output. AVC = TVC / Q dimana kurva AVC diturunkan dari kurva TVC. Bi Biaya T Total t lR Rata-Rata t R t (Average (A Total T t lC Cost) t) = ATC Æ biaya bi ttotal t l yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi. ATC = TC / Q Biaya Marjinal (Marginal Cost) = MC Æ tambahan biaya total karena ada tambahan biaya produksi 1 unit output. MC = dTC dQ Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.

Contoh Soal Bila kurva biaya rata-rata rata rata ditunjukkan oleh persamaan: AC = 25 – 8Q + Q2, tentukan jjumlah output p yyang g diproduksi p p pada saat AC minimum. Æ Turunan pertama AC = 0 Æ -8 + 2Q = 0 Æ Q=4 Turunan kedua AC = 2 Æ AC > 1, sehingga pada Q = 4, maka AC minimum. p

Penerimaan • a. b. c.

Penerimaan (revenue) adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan Total (Total Revenue) = TR Æ penerimaan total p p produsen dari hasil p penjualan j outputnya. TR = P . Q Penerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR Æ penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual. AR = TR / Q = P Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR Æ tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output. MR = dTR dQ

Jenis Pasar 1. Pasar Persaingan g Sempurna p Æ ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. 2. Pasar Monopoli Æ ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain yang ya g menyaingi e ya g se sehingga gga p produsen oduse dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi diproduksi.

Penerimaan dan Elastisitas •

Konsep pp penerimaan seringkali g dihubungkan g dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah: 1 TR menaik 1. ik selama l elastisitas l i i h harga εh dari d i kurva permintaan D lebih besar dari satu. 2 TR mencapai maksimum pada saat elastisitas 2. harga sama dengan satu. 3. TR menurun 3 e u u pada dae daerah a d dimana a a kurva u a permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu

Contoh Soal Bila fungsi g p permintaan ditunjukkan j oleh p persamaan P = 20 – 0.4Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen? Æ TR = P . Q = (20 – 0.4Q) Q = 20Q – 0.4Q2 TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan t turunan keduanya k d <0 TR’ = MR = 20 – 0.8Q = 0 Æ Q = 25 Turunan kedua = -0.8 0.8 Æ < 0, sehingga pada Q = 25, penerimaan total maksimum sebesar 250. Pada Q = 25, TR = 250 maka P = 10

Maksimum dan Minimum Suatu F Fungsi i A. Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan g untuk mengetahui g bagian g fungsi g yang menarik dan bagian yang menurun. ( ) = 3x2 + 7,, maka turunan pertama p dari Contoh: f(x) fungsi f(x) = f’(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik d untuk dan k setiap i x<0 0, f( f(x)) merupakan k ffungsii yang menurun

Turunan Pertama • Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih kecil dari setiap ( ) untuk nilai x sekitar a. nilai f(x) • Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum pada x = a, bila f(a) ( ) lebih besar dari lokal p setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. • Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif. • Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan Pertama a. b.

Setiap p fungsi g f(x) ( ) dapat p diselidiki apakah p mempunyai p y titik-titik maksimum atau minimum dengan cara: Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f’(x) f (x) = 0. Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f’(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f’(x) f (x) dari (+) ke (-) () menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f’(x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a lokal. a, maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

Contoh Soal Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi y = 2 3 + 3x 2x 3 2 – 36x 36 + 4 4. Æ yy’ = 6x2 + 6x – 36 = 0 Æ :6 y’ = x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 x1 = -3 dan x2 = 2 Untuk setiap x < -3 nilai y’ > 0 (+) dan untuk setiap -3<x<2 nilai y’ < 0 (-) sehingga fungsi tersebut maksimum pada x = -3 3. Untuk setiap -3<x<2 nilai y’ < 0 (-) dan untuk setiap x > 2 nilai y’ > 0 (+) sehingga fungsi tersebut minimum pada nilai x = 2.

Turunan Kedua • Turunan kedua dari suatu fungsi g merupakan p turunan dari turunan pertama suatu fungsi. • Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah. • Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya positif, maka yy’ = ff’(x) (x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d2y / dx2) > 0 • Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya negatif, maka k y’’ = f( f(x)) merupakan k fungsi f i yang menurun di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke bawah.

Turunan Kedua Turunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap g apakah p fungsi g tersebut suatu fungsi mempunyai titik amksimum atau minimum Bila f(x) ( ) dan f’(x) ( ) kontinu p pada x = a dan f’(a) ( ) – 0, maka: • Titik x = a maksimum bila f”(a) ( )<0 • Titik x = a minimum bila f”(a) > 0 • Tes tidak dapat dilakukan bila f”(a) f (a) = 0

Contoh Soal Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari y = 1/3 x3 – 2x2 – 5x +2 Æ y’ = x2 – 4x – 5 = 0 (x – 5)(x + 1) = 0 X1 = 5 dan x2 = -1 Untuk x = -1 Æ yy” < 0 Æ maksimum pada x = -1 Untuk x = 5 Æ y” > 0 Æ minimum pada x = 5

Keuntungan Produsen • Keuntungan g merupakan p selisih antara seluruh penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: π = TR – TC • Keuntungan yang diperoleh akan maksimum apabia dπ = 0 dan d2π < 0 dQ dQ2 atau MR = MC dan dMR < dMC dQ dQ • Untuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.

Contoh Soal Bila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR = 100Q – 4Q2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, 20Q maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum. Æ π

= TR – TC = 100Q – 4Q2 – 50 – 20Q = 80Q – 4Q2 – 50 π akan maksimum bila: 1. dπ/dQ = 0 Æ 80 – 8Q = 0 Æ Q = 10 2. d2π/dQ2 < 0 Æ -8 < 0 Æ syarat terpenuhi Atau • MR = MC MR = turunan TR = 100 -8Q MC = turunan TC = 20 100 – 8Q = 20 Æ Q = 10 2. dMR < dMC dQ dQ -8 < 0 Æ syarat terpenuhi

Contoh Soal 2 Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q2 – 25Q + 500 p keuntungan g maksimum yyang g dapat p diperoleh p bila harga g barang gp per unitnya y + 600/Q. Berapakah adalah P = 100? Æ AC = 1/3 Q2 – 25Q + 500 + 600/Q TC = AC . Q = 1/3 Q3 – 25Q2 + 500Q + 600 MC = turunan dari TC = Q2 – 50Q + 500 MR = P = 100 Keuntungan maksimum didapat apabila: 1. MR = MC Æ 100 = Q2 – 50Q + 500 Q2 – 50Q + 400 = 0 (Q – 10)(Q – 40) = 0 Q1 = 40 dan Q2 = 10 2. dMR < dMC dQ dQ untuk Q = 40 Æ dMR < dMC dQ dQ untuk Q = 10 Æ dMR > dMC Æ tidak memenuhi syarat dQ dQ TR = 40 x 100 = 4000 TC = 1/3 (40)3 – 25(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3 π = TR – TC = 2066 2/3

Tugas 3 1 Cari hasil dari: 1. a. b. 2. Cari turunan pertama dari: a. y = x2 +2x-10 b y = (x+1)(x+2) b. c. y = 1/(x2 +5) d y = llog(2x+10) d. (2 10)