Transformada De La Plas 42lk

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Contenido ¿Transformada de Laplace? ................................................................................................................ 1 ¿Qué es la transformada de Laplace? ................................................................................................. 2 Definición de la Transformada de Laplace .......................................................................................... 2 Condiciones para que exista la transformada de Laplace ................................................................... 3 Propiedades de la transformada de Laplace ....................................................................................... 3 Linealidad ........................................................................................................................................ 3 Cambio de escala............................................................................................................................. 3 Desplazamiento en Frecuencia ....................................................................................................... 3 Desplazamiento en el tiempo ......................................................................................................... 3 Transformada de Laplace de la derivada primera de una función ................................................. 4 Transformada de Laplace de la derivada−ésima función................................................................ 4 Tabla 1.- Funciones, transformada de Laplace (Extraída del libro Manual del Ingeniero Químico) ...................................................................................................................................... 4 Ejemplo de la transformada de Laplace .............................................................................................. 4 Bibliografía .......................................................................................................................................... 7

¿Transformada de Laplace?

La transformada de Laplace se denomina así en honor a Pierre Simon Marquéz de Laplace (17491827), matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal.

¿Qué es la transformada de Laplace? Es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de E.D. con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Cuando se resuelven E.D. usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la E.D. y posteriormente usar las propiedades de la transformada. Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:    

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S. Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Definición de la Transformada de Laplace

Sea f una función definida para 𝑡 ≥ 0, la transformada de Laplace (𝑡) de se define como, +∞

𝐿{𝑓(𝑡)} = ∫

𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

0

 

La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable.

Condiciones para que exista la transformada de Laplace Supóngase que 𝑓 es una función que es continua por tramos en cada intervalo finito 0 < t < T, de ∞

crecimiento exponencial en el infinito, y ∫0 | f(t)| d𝑡 existe (es finito para cada finito 𝛿 > 0. Entonces la transformada de Laplace de la función 𝑓 existe para todos los números complejos s con una parte real suficientemente grande.

Propiedades de la transformada de Laplace Linealidad La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones f, g ∈ 𝜀 se verifica,

Cambio de escala Sea f (t) ∈ . La función g (t) = f(αt) también pertenece a 𝜀 y se verifica,

Desplazamiento en Frecuencia Sea f (t) ∈ 𝜀. La función g (t) = eωt f (t) también pertenece a 𝜀 y se verifica,

Desplazamiento en el tiempo Sea f (t) ∈ 𝜀. La función g (t) = f (t − Te)u(t − T) también pertenece a 𝜀 y se verifica,

Transformada de Laplace de la derivada primera de una función Sea f(t) una función continua y de orden exponencial, cuya derivada primera f´(t) sea continua a trozos y de orden exponencial (f´(t) ∈ 𝜀). La transformada de Laplace de la primera derivada de f verifica,

Transformada de Laplace de la derivada−ésima función Sea f (t) una función continua y de orden exponencial, cuyas derivadas hasta orden (n−1) sean también funciones continuas y orden exponencial y la derivada n−ésima sea continua a trozos y de orden exponencial (f(n)(t)∈ 𝜀). La transformada de Laplace de la derivada−ésima de f verifica,

Tabla 1.- Funciones, transformada de Laplace (Extraída del libro Manual del Ingeniero Químico)

Ejemplo de la transformada de Laplace Obtener la Transformada de Laplace de 𝟏/𝟐 (𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭 + 𝐂𝐨𝐬 𝐚𝐭)

Primero separar la transformada de Cosh at y Cos at utilizando la fórmula ∞

ℒ f(t) = ∫ 𝑓 (t)e−st − dt 0

𝟏 /𝟐 [𝓛{𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭} + 𝓛{𝐂𝐨𝐬 𝐚𝐭}] Se obtiene por separado la Transformada de Cosh at y el Cos at ∞

ℒ{Cosh at} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 Cosh at dt 0

=

𝑒 −𝑠𝑡 (−s Cosh at − a Senh a(∞)) 𝑒 −𝑠𝑡 (−s Cosh at − a Senh a(0)) + 𝑠 2 − 𝑎2 𝑠 2 − 𝑎2 𝑠 𝑠 2 − 𝑎2

ℒ{Cosh at} =

Ahora hacemos la Transformada de Cos at utilizando la fórmula y (𝐭) = ∞

∫ 𝑓 (t)e−st 0 dt 0 ∞

ℒ{Cosh at} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 Cos at dt = 0

e − st(a Sen at − s Cos at) 𝑠 2 − 𝑎2

∞

𝑒 −𝑠𝑡 (a sen a∞ − s cos a(∞)) − 𝑠 2 − 𝑎2 0 𝑒 −𝑠𝑡 (−a sen a(0) − s cos a(0)) = 𝑠 2 − 𝑎2

ℒ{Cosh at} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 Cosh at dt =

ℒ{Cosh at} =

𝑠2

𝑠 − 𝑎2

Sustituir la Transformada de Cosh at y Cos at 𝟏 /𝟐 [𝓛{𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭} + 𝓛{𝐂𝐨𝐬 𝐚𝐭}] 1 /2 ([

𝑠2

s s ]+[ 2 ]) 2 −𝑎 𝑠 − 𝑎2

1/ 2 [ s 3 + a 2 s + s 3 − a 2 s

𝑠 3 + 𝑎2 𝑠+𝑠 3 − 𝑎2 𝑠 ] (𝑠 2 − 𝑎2 )(𝑠 2 + 𝑎2 )

Se procede a realizar la operación de fracciones algebraicas tomando como común el producto de ambos denominadores. 𝟏/ 𝟐

2𝑠3

,

(𝑠4 −𝑎 4 )

La Transformada de: 𝟏 /𝟐 (𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭 + 𝐂𝐨𝐬 𝐚𝐭) =

𝑠3 𝑠4 +𝑎 4

Obtener la Transformada de Laplace de (𝐭) =

𝑎𝑡Cosh at−Senh 2𝑎 3

2𝑎3 es una constante se saca 𝟏/ 𝟐𝒂𝟑 [𝓛(𝐚𝐭 𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭 − 𝐒𝐞𝐧𝐡 𝐚𝐭)] Como es una constante se extrae 𝟏/ 𝟐𝒂𝟑 [(𝐚𝐭 𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭 − 𝐒𝐞𝐧𝐡 𝐚𝐭)], Primero obtenemos la Transformada de Senh at utilizando la fórmula de, ∞

ℒ f(t) = ∫0 f(t)e−st 𝑑𝑡, {𝐒𝐞𝐧𝐡 𝐚𝐭}, Se procede a realizar la integral ∞

∫ 𝑒 −𝑠𝑡 − stSenh at dt = 0

𝑒 −𝑠𝑡 (−s Sen at − a Cosh at) ∞ 0 (𝑠 2 − 𝑎2 )

𝑒 −𝑠(∞) (−s Sen a(∞) − a Cosh a(∞)) (𝑠 2 − 𝑎2 ) 0 − 𝑒 −𝑠(0) (−s Sen a(0) − a Cosh a(0)) 0 − 1(−𝑎) = = 2 (𝑠 2 − 𝑎2 ) (𝑠 − 𝑎2 ) =

ℒSenh a𝑡 =

(𝑠 2

𝑎 − 𝑎2 )

Se procede a realizar la Transformada {𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭} pero primero se obtiene la Transformada de Cosh ∞

at utilizando la fórmula 𝓛 𝐟(𝐭) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 dt ∞

{𝐂𝐨𝐬 𝐚𝐭} = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 cosh at dt (−s Cosh at − a senh at) ∞ = 𝑒 −𝑠𝑡 ( 0 (𝑠 2 − 𝑎2 ) 𝑒 −𝑠∞ (−s Cos a(∞) − a Senh a(∞)) + 𝑒 −𝑠∞ (−s Cosh a(0) − a Senh a(0)) (𝑠 2 − 𝑎2 )

ℒSenh a𝑡 =

(𝑠 2

𝑠 − 𝑎2 )

Habiendo obtenido la Transformada de Cosh at se procede a obtener {𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭} empleando 𝓛{𝐭 𝐟(𝐭)} = 𝐅´(𝐬) donde: 𝐟(𝐭) = 𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭 y 𝐅(𝐬) = 𝐬/(𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 ) Entonces se deriva f(s) respecto a s utilizando la fórmula de derivación u/v 𝑠

𝐟(𝐬) =(𝑠2 −𝑎2 ) (𝒔𝟐 −𝒂𝟐 (1) − (s)(s2) −s2−𝑎2 =𝐟(𝐬) =(𝑠2 −𝑎2 )2 (𝑠2 −𝑎 2 )2

𝐟(𝐬) =

Se sustituye en la fórmula, 1 2𝑎 3

[𝐚 𝓛{𝐭 𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐚𝐭 − 𝐒𝐞𝐧𝐡 𝐚𝐭}]

1 as2 + a 3 ( 2𝑎 3 (𝑠2 −𝑎 2 )2

a

1

− (𝑠2 −𝑎2 ) =2𝑎3

2𝑎 3 (𝑠2 −𝑎 2 )2

Bibliografía 

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Castillo G. N. (2008) Transformadas Laplace. Instituto tecnológico de Tuxtepec. Oaxaca, México. http://caminos.udc.es/info/asignaturas/master_ic/mic511/images/Imagenes_co mplementarios/resumen_laplace.pdf Perry R. H. (2012) Manual del Ingeniero Químico, Séptima Edición, Volumen I. Páginas: Capítulo Matemáticas 53-54. Mc-Graw Hill Interamericana. México D.F. Tecnológico de Monterrey. Sitio web, sobre Transformada de Laplace y sus propiedades, recuperado el 4 de noviembre de 2014. Para más información visitar el link: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm Universidad de Curuña, Escuela Técnica Superior. Publicacion sobre la transformada de Laplace, informacion y ejercicios, recuperado el 4 de noviembre de 2014. Para más informacion visitar el link: Universidad de Huelva. Manuel de matemáticas, Tema 8, Transformada de Laplace, recuperado el 4 de noviembre de 2014. Para más información visitar el link: http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte07.pdf http://ciencia-arte.blogspot.com/2011/11/xenakis-y-la-distribucion-gaussiana.html