Trabajo Algebre Lineal Felix (1) 3st5a

ACTIVIDAD 1 MENSAJES OCULTOS

PRESENTADO POR VARGAS GUTIERREZ MIRYAM ANDREA MORENO HERRERA JHON ARMANDO LEAL CORTEZ JAVIER ENRIQUE LOZANO GONZALEZ YINNETH PATRICIA TORRES ROJAS FELIX ARTURO

TRABAJO PRESENTADO A PROFESOR JOSELIN MONTEALEGRE

INTITUCIÒN UNIVERSITARIA POLITECNICO GRAN COLOMBIANO INGENIERIA INDUSTRIAL ALGEBRA LINEAL BOGOTA 2018

INTRODUCCIÒN Este trabajo se realiza con el fin de identificar los conceptos, procesos del Algebra lineal, en un sistema de cifrado de mensajes utilizando la herramientas apropiadas para cifrar y descifrar mensajes. Nos permitirá transmitir de forma adecuada las ideas y conceptos del Algebra Lineal para resolver situaciones problema.

Actividad 1. Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave (1 7 0 1) y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras). A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

F 5

G 6

H 7

I 8

J 9

K 10

L 11

M 12

Ñ 13

N 14

O 15

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26

27

. 28

Y 25

Z 26

27

. 28

EL SISTEMA HILL Creado por el Profesor Matemático Lister Hill, quien nace en el año 1891 y fallece en 1961 Su sistema conocido como el sistema Hill o Cifrado en Bloques, se da a conocer en el año 1929.

1 Paso: cifrar la palabra DEDICACION A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

F 5

D 3

G 6

H 7

E 4

I 8

J 9

K 10

D 3

L 11

I 8

M 12

Ñ 13

C 2

N 14

O 15

A 0

C 2

P 16

Q 17

I 8

R 18

S 19

O 15

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

N 14

El primer paso es hacer una tabla donde se encuentre: Matriz por cifrar: que para este caso tomaríamos los 2 primeros números asignados a la letra (D) y letra (E), es decir el número 3 y 4; así sucesivamente hasta colocar en dicha matriz todos los números asignados a cada letra. Matriz Clave: que para este caso serían los números (17 01) Matriz Cifrada: que sería el resultado de multiplicar los Números por Cifrar por la Matriz Clave. A continuación se muestra la gráfica de lo mencionado anteriormente. Matriz por cifrar 3,4 3,8 2,0

Matriz Clave

17 01

2,8 15 , 13 Mensaje Codificado: 3, 25, 3, 29, 2, 14, 2, 22, 15,118

Matriz Cifrada 3 , 25 3 , 29 2 , 14 2 , 22 15 , 118

Ejemplo de cómo realizar los ejercicios ( 3 4 ) . ( 17 01 ) = 3 . 1+4 . 0=3+0=3 = 3 . 7+4 . 1=21+4

=3 =25

De esta manera se sigue consecutivamente con cada uno de los números de la Matriz por Cifrar, hasta hallar el resto de números cifrados.

Actividad 2. Suponga que se intercepta el mensaje NQÑTIJIQKSSEWNHRÑTYPIWADPHYEVNUHZEMQTEKHJQLLP Junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave (9 5 1 5 4 1 231) La misión del grupo es: 1. Descifrar tal mensaje. 2. Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje

A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

F 5

G 6

H 7

I 8

J 9

K 10

L 11

M 12

Ñ 13

N 14

O 15

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26

27

. 28

N Q Ñ T I J I Q K S S E WN H R Ñ T Y P I WA D P H Y E V N U H Z E MQ T E K H J Q L L P - . 1 1 1 2 8 9 8 1 1 1 1 4 2 1 7 1 1 2 2 1 9 2 0 3 1 7 2 4 2 1 2 7 2 4 1 1 2 4 1 7 9 1 1 1 1 2 2 4 7 3 0 7 0 9 9 3 4 8 3 0 5 6 3 6 5 2 4 1 6 2 7 0 0 7 1 1 6 7 8

Pasó a paso del ejercicio 1. Se realiza el cuadro donde se coloque la matriz por cifrar, la cual son los valores de las letras. 2. Para descifrar el mensaje se debe multiplicar la matriz cifrada por la matriz inversa, la misma se halla de la siguiente manera: Para calcular la matriz invertible a su derecha colocamos una matriz identidad 951 541 231

100 010 001

Se divide 1 –èsimo por 9

1 5/9 1/9 5 4 1 2 3 1

1/9 0 0 0 1 0 0 0 1

De 2; 3 filas se sustrae la 1 línea, multiplicada respectivamente por 5; 2 1 5/9 1/9 0 11/9 4/9 0 17/9 7/9

1/9 0 0 -5/9 1 0 -2/9 0 1

Se divide 2-èsimo por 11/9 1 5/9 0 1 0 17/9

1/9 4/11 7/9

1/9 0 0 -5 9/11 0 -2/9 0 1

De 1;3 filas se sustrae la 2 línea, multiplicada respectivamente por 5/9;17/9 1 0 0

0 1 0

-1/11 4/11 1/11

4/11 -5/11 0 -5/11 9/11 0 7/11 -17/11 1

Se divide 3-èsimo por 1/11 1 0 0

0 1 0

-1/11 4/11 1

4/11 -5/11 0 -5/11 9/11 0 7 -17 11

De 1;2 filas se sustrae la 3 línea, multiplicada respectivamente por -1/11;4/11 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Resultado=

1 -2 1 -3 7 -4 7 -17 11 1 -2 -3 7 7 -17

1 -4 11

La cual sería nuestra matriz clave inversa, la que nos permitirá realizar el siguiente cuadro. E

Matriz por cifrar 14,17,13 20,8,9 8,17,10 19,19,4 23,14,7 18,13,20 25,16,9 23,0,3 16,7,25 4,22,14 21,7,26 4,12,17 20,4,10 7,9,17 11,11,16

Matriz Clave-Inversa

1 -2 -3 7 7 -17

1 -4 11

Matriz Cifrada 54, -130, 89 59, -137, 87 27, -67, 50 -10, 27, 13 30, -67, 44 119, -285, 186 40, -91, 60 44, -97, 56 170, -408, 263 36, -92, 70 182, -435, 279 87, -213, 143 78, -182, 114 99, -240, 158 90, -217, 143

Mensaje Deesncriptado:54,-130,89,59,-137,87,27,-67,50,-10,27,13,30,-67,44,119,285,186,40,-91,60,44,-97,56,170,-408,263,36,-92,70,182,-435,279,87,-213,143,78,182,114,99,-240,158,90,-217,143.