Teselaciones 6k3w59

TESELACIONES ¿Qué es una Teselacion? Es cubrir una superficie repitiendo un patrón de figuras, de modo que no queden espacios, ni una figura entremedio distinta a la que corresponda, y cuidando que no se traslapen nunca las figuras. Ejemplos simples son los azulejos del baño, que son puros cuadrados pegados uno al lado de otro, o también una pelota de fútbol antigua, que seguía un patrón de hexágonos blancos y pentágonos negros.

 TIPOS DE DESTELACIÓN -los regulares: Es un patrón que se consigue repitiendo un polígono regular (para que sea regular los lados y los ángulos tienen que ser iguales). solo existen tres teselaciones regulares. Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. En cada vértice la suma de ángulos es de 360º, para que no queden espacios:

TRIANGULOS EQUILATEROS

CUADRADOS

HEXAGONOS

-los semiregulares: Son parte de las regulares, una teselacion semi-regular está hecha con dos o más polígonos regulares. ¡El patrón debe ser el mismo en todos los vértices! Solo existen 8 teselaciones semi-regulares. Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades: 1. Está formado solo por polígonos regulares. 2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. 3. Solo existen ocho teselados semirregulares.

4 8 8

33344

33434

33336

3 12 12 3464

3636

4 6 12

-los demirregulares: los teselados demi-regulares están formados usando los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares.

-los irregulares: Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica.

Cuadriláteros Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo deben prolongarse sus lados paralelos y construirse los nuevos paralelogramos congruentes al primero. Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar, con el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible.

Triángulos Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente. En general, cualquier triángulo tesela el plano al construir un paralelogramo de la misma manera.

Hexágonos Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. Otros hexágonos no regulares no teselan el plano.

Teselado de El Cairo Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto, y en el arte islámico; de ahí su nombre. Este pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°. Al igual que para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Teselado de El Cairo, Egipto.

Polígonos cóncavos

Flecha derecha Cruz griega

Flecha de pestaña Ángulo himterk

 EJEMPLOS DE TIPOS DE DESTELACIONES Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos.

Ejemplos:

Rectángulos

Octágonos y cuadrados

Pentágonos

EJEMPLOS DE Teselaciones regulares

Triángulos

Cuadrados

Hexágonos

3.3.3.3.3.3

4.4.4.4

6.6.6

Fíjate en un vértice...

Un vértice es simplemente "una esquina". ¿Cuáles son las formas que coinciden en un vértice?

En este vértice coinciden tres hexágonos, y un hexágono tiene 6 lados. Así que esta teselación se llama "6.6.6".

EJEMPLOS DE Teselaciones semi-regulares

3.3.3.3.6

3.3.3.4.4

3.3.4.3.4

3.4.6.4

3.6.3.6

3.12.12

4.6.12

4.8.8

EJEMPLO DE DEMIREGULARES También existen otros tipos de teselaciones, como las "demiregulares", ¡pero los matemáticos todavía no se han puesto de acuerdo en cuáles son esas exactamente! Y también se pueden permitir formas curvas (no sólo polígonos) con lo que tienes teselaciones como estas:

Formas curvas

Círculos

¿Águilas?

 AUTORES Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.   

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Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas. Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano. Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos. Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, e iniciaron así el estudio sistemático y profundo de los teselados. Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.