Series De Fourier En Cosenos 645nl

Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo. Desarrollos en serie de Fourier de funciones pares e impares. En la sección sobre funciones pares e impares mostramos algunas propiedades operativas de estas funciones. Con base en estas propiedades resultan evidentes los siguientes dos casos al calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función: 1. Si f (t) es una función par, entonces 2 𝐿 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝐿 0

2 𝐿 𝑛𝜋 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 0 𝐿

𝑏𝑛 = 0

Y la serie de Fourier está dada por ∞

1 𝑛𝜋 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos 𝑡 2 𝐿 𝑛=1

2. Si f (t) es una función impar, entonces 𝑎0 = 0

𝑎𝑛 = 0

2 𝐿 𝑛𝜋 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 0 𝐿

Y la serie de Fourier está dada por ∞

𝑓(𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 sin 𝑛=1

𝑛𝜋 𝑡 𝐿

Serie de Fourier de funciones pares e impares. Podemos observar que la serie de Fourier de una función par solo contiene términos en cosenos (el término constante se considera un término en cosenos) y la serie de Fourier de una función impar solo contiene términos en senos. Esto se establece en las siguientes definiciones. Serie de Fourier en cosenos. Si f (t) es una función par entonces los coeficientes de su serie de Fourier están 2 𝐿 2 𝐿 𝑛𝜋 dados por 𝑎0 = 𝐿 ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , 𝑎𝑛 = 𝐿 ∫0 𝑓(𝑡) cos 𝐿 𝑡 𝑑𝑡 𝑦 𝑏𝑛 = 0. Y la serie resultante 1

𝑓(𝑡) = 2 𝑎0 + ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 cos

𝑛𝜋𝑡 𝐿

Se conoce como serie de Fourier en cosenos.

Serie de Fourier en senos. Si f (t) es una función impar entonces los coeficientes de su serie de Fourier están 2 𝐿 𝑛𝜋 dados por 𝑎0 = 0, 𝑎𝑛 = 0 𝑦 𝑏𝑛 = 𝐿 ∫0 𝑓(𝑡) sin 𝐿 𝑡 𝑑𝑡. Y la serie resultante 𝑓(𝑡) = ∑∞ 𝑛=1 𝑏𝑛 sin

𝑛𝜋𝑡 𝐿

Se

conoce

como

serie

de

Fourier

en

senos.

EJEMPLO 1: La serie de Fourier en cosenos de una función par Calcular la serie de Fourier de la función 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 𝑒𝑛 − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋. Solución: La FIGURA 5.13 muestra la gráfica de f (t).

Identificamos que L = 𝜋 y determinamos los coeficientes de Fourier. De esta manera, el término constante es 2 𝜋 2 2𝜋 2 𝑎𝑛 = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜋 0 3 Los coeficientes de los términos en coseno son 2 𝜋 2 4(−1)𝑛 𝑎𝑛 = ∫ 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 𝜋 0 𝑛2 Como la función es par, los coeficientes de los términos en seno son 𝑏𝑛 = 0. La serie de Fourier buscada es ∞ 𝜋2 4(−1)𝑛 𝑓(𝑡) = +∑ cos 𝑛𝑡 3 𝑛2 𝑛=1

En la FIGURA 5.14 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspondiente; n representa el número de términos de la serie.

EJEMPLO 2: La serie de Fourier en senos de una función impar Calcular la serie de Fourier de la función 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑒𝑛 − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋. Solución: La FIGURA 5.15 muestra la gráfica de f (t).

Calculamos los coeficientes de la serie. Como la función es impar, entonces el término constante es𝑎0 = 0, y los coeficientes de los términos en coseno son 𝑎𝑛 = 0. 2

𝜋

Los coeficientes de los términos en seno son 𝑏𝑛 = 𝜋 ∫0 𝑡 2 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = − La serie de Fourier buscada es 𝑓(𝑡) = − ∑∞ 𝑛=1

2(−1)𝑛 𝑛

2(−1)𝑛 2

.

sin 𝑛𝑡.

En la FIGURA 5.16 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspondiente; n representa el número de términos de la serie.

Desarrollos en series de Fourier en cosenos y en senos para funciones definidas en un intervalo [0, L]. No todas las series de Fourier tienen aplicación sobre un intervalo centrado en el origen; en muchos casos, es necesario determinar la serie trigonométrica de una función definida sobre un intervalo de la forma [0, L]. Al desarrollo de la serie Fourier con estas características se le conoce como un desarrollo de medio rango o de medio intervalo. Desarrollos en serie de Fourier de medio intervalo. Si una función f (t) está definida sobre el intervalo [0, L], su desarrollo en una serie de Fourier se conoce como un desarrollo de medio rango o de medio intervalo. Antes de describir los procedimientos que nos permitirán calcular los coeficientes de la serie de Fourier de medio intervalo y los diferentes casos existentes, definimos las siguientes funciones especiales. Extensión par e impar de una función Sea f (t) una función definida sobre el intervalo [0, L]. 1. Se define su extensión par 𝑓𝑝 (𝑡) como 𝑓(−𝑡) −𝐿 <𝑡 <0 𝑓𝑝 (𝑡) = { 𝑓(𝑡) 0<𝑡<𝐿 2. Se define su extensión impar 𝑓𝑖 (𝑡) como −𝑓(−𝑡) −𝐿 <𝑡 <0 𝑓𝑖 (𝑡) = { 𝑓(𝑡) 0<𝑡<𝐿

Se puede verificar sin mayor dificultad que 𝑓𝑝 (𝑡) es una función par mientras que 𝑓𝑖 (𝑡) es una función impar. Otra propiedad importante es que 𝑓𝑝 (𝑡) = 𝑓(𝑡) 𝑦 𝑓𝑖 (𝑡) = 𝑓(𝑡) sobre el intervalo [0, L]. Las gráficas de las extensiones par e impar de una función se pueden observar en la FIGURA 5.17.

Para desarrollar en una serie trigonométrica a una función definida sobre medio intervalo es posible utilizar las mismas expresiones que para el caso de intervalo centrado. Existen tres maneras de desarrollar la serie de Fourier de una función en medio intervalo. Las dos primeras consideran las extensiones par e impar. La tercera opción se analiza en la siguiente sección. El procedimiento para obtener la serie de Fourier en cosenos o senos de una función definida sobre el intervalo [0, L] se expone en la siguiente observación.

Cálculo de la serie de Fourier en cosenos y senos para funciones definidas sobre [0, L] Dada la función f (t) definida sobre el intervalo [0, L], es suficiente con considerar sus extensiones par 𝑓𝑝 (𝑡) e impar 𝑓𝑖 (𝑡) y después realizamos el cálculo de la serie de Fourier en el intervalo centrado [−L, L] a cada una de ellas. El resultado son dos series de Fourier: una serie en cosenos y otra en senos, que convergen cada una a la función f (t) en el intervalo [0, L]. Como lo especificamos anteriormente y por la naturaleza de las extensiones, tendremos los siguientes dos casos: Dado que 𝑓𝑝 (𝑡) = 𝑓(𝑡) sobre [0, L], realizamos un análisis de Fourier a la extensión par𝑓𝑝 (𝑡); de esta manera 𝑎0 =

2 𝐿 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝐿 0

𝑎𝑛 =

2 𝐿 𝑛𝜋 ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 0 𝐿

Y la serie de Fourier de medio intervalo está dada por

𝑏𝑛 = 0

∞

1 𝑛𝜋 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos 𝑡 2 𝐿 𝑛=1

2. Análisis de Fourier en senos Dado que 𝑓𝑖 (𝑡) = 𝑓(𝑡) sobre [0, L], realizamos un análisis de Fourier a la extensión impar 𝑓𝑖 (𝑡); de esta manera 𝑎0 = 0

𝑎𝑛 = 0

Y la serie de Fourier está dada por

∞

𝑓(𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 sin 𝑛=1

2 𝐿 𝑛𝜋 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 0 𝐿

𝑛𝜋 𝑡 𝐿

EJEMPLO 3: Serie en cosenos y senos de medio intervalo Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función 0 0<𝑡<0 𝑓(𝑡) = { 1 1 < 𝑡2 Solución: La grafica de la función f (t) se muestra en la FIGURA 5.18.

Primeramente, identificamos que L = 2 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en cosenos 1 2 2 𝐿 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ (0)𝑑𝑡 + ∫ (1)𝑑𝑡 = 1 𝐿 0 0 1

𝑎0 =

1 2 2 𝐿 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ (0) cos 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ (1) cos 𝑡 𝑑𝑡 = − sin 𝐿 0 𝐿 𝐿 𝐿 𝑛𝜋 2 0 1

La serie de Fourier en cosenos es ∞ ∞ 1 𝑛𝜋 1 2 1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos 𝑡 = (1) − ∑ ( sin ) cos 𝑡 2 𝐿 2 𝜋 𝑛 2 2 𝑛=1

𝑛=1

De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos 1 2 2 𝐿 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡𝑑𝑡 + ∫ (0) sin 𝑡𝑑𝑡 + ∫ (1) sin 𝑡𝑑𝑡 = − (−1)𝑛 ] [cos 𝐿 0 𝐿 𝐿 𝐿 𝑛𝜋 2 0 1

La serie de Fourier en senos es ∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑓(𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 sin 𝑡 = ∑ (cos − (−1)´´) sin 𝑡 𝐿 𝜋 2 2 En la FIGURA 5.19 se muestran las gráficas de las series de Fourier en senos y cosenos para diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie a la función f (t) en el intervalo [0, 2]. En todos los casos, la gráfica de la izquierda corresponde a la serie en cosenos y la gráfica de la derecha a la serie en senos.

Podemos observar que en ambos casos las series de Fourier convergen a la función f (t) en [0, 2], pero que mientras la serie en cosenos es par, la serie en senos es impar.

EJEMPLO 4: Serie en cosenos y senos de medio intervalo. Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función 𝑡 0<𝑡<1 𝑓(𝑡) = { 1 1<𝑡<𝜋 Solución La gráfica de la función f (t) se muestra en la FIGURA 5.20.

Primeramente, identificamos que L = 𝜋 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en cosenos 𝜋 2 𝐿 2 1 2𝜋 − 1 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = [∫ 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ (1)𝑑𝑡] = 𝐿 0 𝜋 0 𝜋 1 1 𝜋 2 𝐿 𝑛𝜋 2 cos 𝑛 − 2 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 + ∫ (1) cos 𝑛𝑡𝑑𝑡 = 𝐿 0 𝐿 𝜋𝑛2 0 1

La serie de Fourier en cosenos es ∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 𝑛𝜋 2𝜋 − 1 2 cos 𝑛 − 2 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos 𝑡= + ∑( ) cos 𝑛𝑡 2 𝐿 2𝜋 𝜋 𝑛2 De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos 𝑏𝑛 =

1 𝜋 2 𝐿 𝑛𝜋 2 sin 𝑛 (−1)𝑛 ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 + ∫ (1) sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = ( 2 − ) 𝐿 0 𝐿 𝜋 𝑛 𝑛 0 1

La serie de Fourier en senos es ∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

𝑛𝜋 2 sin 𝑛 (−1)𝑛 𝑓(𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 sin 𝑡 = ∑( 2 − ) sin 𝑛𝑡 𝐿 𝜋 𝑛 𝑛 En la FIGURA 5.21 se muestran las gráficas de las series de Fourier en cosenos y senos para diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie a la función f (t) en el intervalo [0, 𝜋].

Podemos observar que en ambos casos, las series de Fourier convergen a la función f (t) en [0, 𝜋] pero la serie en cosenos se “pega” más rápido a f (t) que la serie en senos.

Desarrollo de series de Fourier para funciones definidas en medio rango. Iniciamos esta sección recordando un resultado abordado en el ejercicio 2 de la sección 5.1 acerca de una propiedad de las funciones periódicas. Propiedad de traslación de una función periódica El ejercicio 2 de la sección Desarrollo de competencias 5.1 establecía que si f (t) es 𝑎+𝑇 𝑏+𝑇 una función periódica de periodo T, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 para cualesquiera a, b. En particular para el caso a=-L y b=0 tenemos −𝐿+𝑇

∫

𝑇

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝐿

0

Y para el valor T = 2L 𝐿

2𝐿

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 −𝐿

0

Esta propiedad nos será de gran utilidad para poder calcular una serie de Fourier de una función definida en medio intervalo de la forma [0, p]. Como ya lo hemos mencionado, existe una tercera forma de calcular una serie de Fourier para una función definida sobre un intervalo [0, p]. Esta consiste en 𝑝 “desplazar” la gráfica de f (t) hacia la izquierda − unidades, de manera que quede definida sobre el intervalo [−

𝑝𝑝 2, 2

2

].

Si definimos por 𝑓𝑚 (𝑡) a esta función, entonces 𝑝 𝑓 (𝑡 + ) 2 𝑓𝑚 (𝑡) { 𝑝 𝑓 (𝑡 + ) 2

𝑝 ≤𝑡<0 2 𝑝 0≤𝑡≤ 2

−

La FIGURA 5.22 muestra la gráfica f (t) y su desplazamiento hacia la izquierda 𝑓𝑚 (𝑡).

Podemos observar que al desplazar de esta manera a la función f (t), la función resultante 𝑓𝑚 (𝑡) No es ni par ni impar, de manera que la serie de Fourier correspondiente contendrá todos los términos, es decir, un término constante, términos en coseno y términos en seno. Para simplificar las expresiones y poder calcular los coeficientes de la serie de Fourier con las mismas expresiones que para el caso de una función definida en un 𝑝 intervalo centrado en el origen, suponemos que p = 2L; de manera que 𝐿 = 2. Por 𝐿

2𝐿

la observación anterior tenemos que ∫−𝐿 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, entonces los coeficientes de la serie de medio intervalo están dados por 1. El término constante es 1 𝐿 1 2𝐿 2 𝑝 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝐿 −𝐿 𝐿 0 𝑝 0 2. Los coeficientes de los términos en coseno son 1 𝐿 𝑛𝜋 1 2𝐿 𝑛𝜋 2 𝑝 2𝑛𝜋 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 −𝐿 𝐿 𝐿 0 𝐿 𝑝 0 𝑝 3. Los coeficientes de los términos en seno son 1 𝐿 𝑛𝜋 1 2𝐿 𝑛𝜋 2 𝑝 2𝑛𝜋 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 −𝐿 𝐿 𝐿 0 𝐿 𝑝 0 𝑝 La serie de Fourier de medio intervalo En resumen, los coeficientes de la serie de Fourier de medio intervalo de una función definida en [0, p] se pueden calcular por medio de las expresiones 2 𝑝 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑝 0

2 𝑝 2𝑛𝜋 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑝 0 𝑝

2 𝑝 2𝑛𝜋 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑡 𝑑𝑡 𝑝 0 𝑝

De manera que la serie de Fourier de medio intervalo está dada por ∞ ∞ 1 2𝑛𝜋 2𝑛𝜋 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos 𝑡 + ∑ 𝑏𝑛 sin 𝑡 2 𝑝 𝑝 𝑛=1

𝑛=1