Apunte - Series De Fourier 5m133c

Series de Fourier Conceptos previos Iniciaremos este capítulo con la revisión de algunos conceptos elementales que serán de aplicación en los desarrollos posteriores.

Funciones Pares

Una función y=f(x) es PAR si

Ejemplos: son funciones pares

Como consecuencia inmediata de la definición podemos observar que para todo par de puntos simétricos al origen “-x0” ; “x0” pertenecientes a su dominio, la función toma los mismos valores numéricos y por lo tanto “su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas”.

Propiedades de las funciones pares Sean f(x) y g(x) dos funciones pares: Propiedad 1: La suma de dos funciones pares es otra función par: U(x)= f(x) + g(x) es PAR, es decir, U(-x)=U(x) Demostración: U(-x)= f(-x)+g(-x)= f(x)+g(x)=U(x) por lo tanto se cumple que U(-x)=U(x)

Propiedad 2: El producto o cociente de dos funciones pares es otra función par: V(x)= f(x) .g(x) es PAR, es decir, V(-x)=V(x) Demostración: V(x)= f(x) .g(x) = f(-x) .g(-x) =V(-x) por lo tanto se cumple que V(-x)=V(x)

Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es par Propiedad 3: esta propiedad de la integral definida de una función par, en un intervalo de integración simétrico respecto del origen es evidente, si se tiene en cuenta la simetría de representación abordada anteriormente, el valor de la integral como área.

Funciones impares

Una función y=f(x) es IMPAR si

Ejemplos: son funciones impares

Propiedades de las funciones impares Sean f(x) y g(x) funciones impares: Propiedad 1: La suma de dos funciones impares es otra función impar: U(x)= f(x) + g(x) es IMPAR, es decir, U(-x)=-U(x) Demostración: U(-x)= f(-x)+g(-x)=- f(x)-g(x)=-( f(x) + g(x) )=-U(x) por lo tanto se cumple que

U(-x)=-U(x)

Propiedad 2: El producto o cociente de dos funciones impares es una función par: V(x)= f(x) .g(x) es PAR, es decir, V(-x)=V(x) Demostración: V(-x)= f(-x) .g(-x) =[- f(x)] .[-g(x)] = f(x) .g(x) =V(x) por lo tanto se cumple que Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es par

V(-x)=V(x)

Propiedad 3: El producto o cociente de una función par y otra impar da como resultado una función impar. Sean f(x) una función par y g(x)una función impar entonces V(x)= f(x) .g(x) es una función impar Demostración: Sabemos que f(x)=f(-x) y g(-x)=-g(x) V(-x)= f(-x).g(-x)=f(x).[-g(x)]=-[f(x).g(x)]=-V(x) por lo tanto V(x) es impar Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es impar

Propiedad 4: Dado que una función impar toma valores numéricos opuestos para valores opuestos de la variable independiente, su gráfica es una curva simétrica respecto al punto de origen. Ejemplo: f(x)=x3

Como consecuencia de esta propiedad de simetría geométrica resulta evidente que toda integral definida de una función impar en un intervalo de integración simétrico respecto del origen es nulo. Por lo tanto

.

Funciones Periódicas

Definición: Se dice que una función y=f(x) es periódica y que su período es “p” si se cumple que:

Ejemplos: las funciones trigonométricas, ya que:

En los dos primeros casos el período es 2π y en el tercero es π. Como consecuencia inmediata de la definición observamos que la gráfica de una función periódica se repite en intervalos consecutivos cuya amplitud es “p”.

Representamos la función de período 2π definida por:

Propiedades de las funciones periódicas

Propiedad 1: Si y , de modo que “cualquier múltiplo entero del período, también es período de la misma función”. El período “p” de menor valor se denomina período primitivo de la función. Hemos visto que tg x= tg(x+π) , son también períodos de la función tangente, primitivo de la función es p= π.

etc., pero el período

Propiedad 2: Si f(x) es una función periódica de período p, f(ax) es otra función de período p/a

.

Demostración: en la función f(ax) le asignaremos a x el valor x+p/a f(a(x+p/a)) distribuyendo queda f(ax+a.p/a)=f(ax+p) y como

incluso para (a.x)

entonces f(a(x+p/a))=f(ax) con lo cual queda demostrado que su período es p/a Como aplicación a esta propiedad observamos que siendo el período de f(x)=sen x es p=2 π por lo tanto el período de la función f(x)=sen nx será p=2 π/n Como consecuencia las gráficas correspondientes a sen x, sen 2x, sen 3x… se repiten 1,2,3,… veces el período 2 π, como se puede observar.

Lo mismo ocurre con las funciones cosenoidales para cos x, cos 2x, cos 3x, ya que conocemos su gráfica. Propiedad 3: Si f(x) es una función periódica de período p y b≠0, entonces f(x/b) es otra función periódica cuyo período es p.b. Demostración:

Propiedad 4: La suma de funciones periódicas de igual período es otra función periódica del mismo período. Sean f(x) y g(x) tales que:

entonces

Entonces se cumplirá: h(x+p)= f(x+p)+g(x+p)=f(x)+g(x)=h(x) Por lo tanto

h(x+p)=h(x)

Propiedad 5: Supongamos la función:

es una suma de funciones periódicas; la primera de las cuales (sen x) tiene período p=2 π; la segunda (sen 2x) tiene un período primitivo p= π y la tercera p=2 π/3 pero considerando la propiedad 2, ambas iten también período p=2 π.

En consecuencia f(x) tiene por período p=2 π. Por ser de suma importancia para interpretar algunos de los desarrollos en serie de Fourier construiremos su gráfica correspondiente. Para ello recordemos que en la función y=A.sen x, el coeficiente A es la “amplitud” de onda de modo que

Integrales definidas de funciones periódicas

Sea f(x) una función periódica de período p; f(x)=f(x+p) . Si f(x) es integrable en un intervalo de amplitud igual al período p, entonces es integrable sobre cualquier intervalo de . Además se verifica que: es constante, cualquiera sea el valor de a y siempre que la longitud del intervalo de integración sea p (en el gráfico “p” aparece como “T”).

Demostración:

(1) Analicemos la segunda integral, del segundo miembro: ; se hacemos x=t+p Si p=x

t=0;

si x=a+p

t=a ,

dx=dt, además reemplazando , reemplazando en (1) por lo tanto

Fórmulas de posterior aplicación

Verificamos las siguientes expresiones, donde m y n son número enteros. Fórmula 1: Fórmula 2:

es nula por ser sen nx una función impar.

Fórmula 3:

por lo tanto, dado que el integrando es el producto de dos

funciones, una par (cos nx) y una impar (sen mx) , la resultante será otra función impar y como los límites de integración son simétricos, la integral es nula. Fórmula 4: a) Primer caso

=0 b) Segundo caso si m=n

Fórmula 5: a. Primer caso

=0 por ser m±n ϵ Z, por lo tanto la integral es nula

b. Segundo caso si m=n

Fórmula 6: Desarrollando:

Reemplazando en cada término la siguiente expresión del coseno:

Sumando el segundo miembro, como los términos de una progresión geométrica, de razón q= número de términos es (2n+1) y el primer témino es , resulta que:

Multiplicando numerador y denominador por la misma expresión

obtenemos:

Dividiendo y multiplicando por 2i tendremos: con lo que queda demostrado.

Fórmula 7: Si a la igualdad

se la integra entre -π y π

, cuyo

En el primer miembro tendremos:

en consecuencia tendremos:

De la misma manera que el caso 6, se demuestra:

Funciones continuas por tramos en [a,b], entonces se verificará que :

Demostración: Supondremos primero que la función f(x) es continua en (a,b). Llamemos: (1) haciendo

Por lo tanto: (2)

llamando M al máximo valor de la función f(x) en (a,b);

y considerando que

Para λ > K1 es Para λ > K2 es

siendo por ser f(x) continua en (a,b)

En consecuencia: i Este teorema puede extenderse a funciones seccionalmente continuas en un intervalo (a,b), es decir a funciones que tengan un número finito de discontinuidades finitas en (a,b).

Series de Fourier

En numerosos problemas prácticos de física, ingeniería y otras ciencias, aparecen funciones periódicas cuya transformación en suma de funciones periódicas más simples como lo son sen nx y cos nx nos permite el estudio de las mismas. Este desarrollo se denomina “Serie de Fourier” en honor al físico francés Jean Baptiste Fourier. Veamos algunos ejemplos de funciones periódicas de aplicación práctica. Ejemplo 1: Rectificador de media onda La corriente eléctrica con la que se alimenta el sistema eléctrico Argentino posee un voltaje senoidal dado por la ecuación V=E. sen ωt donde E es su tensión máxima y 2π/ω su período. Si pudiésemos ver con un osciloscopio la onda obtendríamos un seno con frecuencia de 50 Hz (período de 20 mS).

Si se aplica a través de un rectificador de media onda, que anula sus valores negativos de la onda (presente en la gran mayoría de electrodomésticos) se obtiene la función definida de la siguiente forma:

cuya gráfica es

Ejemplo2: Frecuentemente para obtener la rectificación de la onda completa se emplean dispositivos combinados que producen la inversión de la porción negativa de la onda y se produce la onda de la siguiente gráfica:

Estos rectificadores de media onda o de onda completa son dispositivos que see emplean en la ingeniería electromecánica o electrónica con el fin de transformar intensidades o voltajes de una corriente alternada en intensidad o voltaje de una corriente continua. Ejemplo 3: Otra onda que aparece frecuentemente es la llamada “dientes de sierra”

Series de Fourier para funciones de período 2π

Sea una función f(x) de período p=2π, que además es continua o seccionalmente continua con un número finito de discontinuidades finitas en ´[-π,π] y supongamos puede ser desarrollada en una serie de Fourier de la forma:

Donde a0,an, y bn son los coeficientes cuya determinación estudiaremos. Este desarrollo de la función esn una suma de infinitas funciones simples senoidales y cosenoidales recibe el nombre de “Serie de Fourier”. Para determinar los coeficientes partimos del supuesto de que el desarrollo existe y la serie converge hacia los valores de la función. Con posterioridad estudiaremos en qué condiciones se verifica dicha convergencia. Supongamos su desarrollo de la forma:

 Integrando ambos entre los límites –π y π se obtiene:

Conforme a lo demostrado anteriormente las integrales que aparecen dentro del paréntesis son nulas, resultando:

de donde

 Multiplicamos ambos del desarrollo por

Todas las integrales del segundo miembro son nulas con la excepción de la integral

Por lo tanto

de donde  Multiplicando ambos del desarrollo por

De acuerdo a lo demostrado anteriormente todas las integrales del segundo miembro son nulas exceptuando :

de donde

Las fórmulas obtenidas para la determinación de los coeficientes a0,an, y bn se les da, el nombre de “ Fórmulas de Euler”, para la determinación de los coeficientes de Fourier de la serie:

Condiciones de Dirichlet Si una función f(x):    

está definida arbitrariamente en el intervalo (- , excepto posiblemente en un número finito de puntos pertenecientes al intervalo es periódica de período p=2 , fuera de ese intervalo, es decir f(x)=f(x+2 es continua en (- , , a lo sumo tiene un número finito de discontinuidades de primera especie (saltos) posee un número finito de máximos o mínimos en el intervalo (- ,

entonces f(x) puede ser desarrollada por la serie de Fourier cuyos coeficientes han sido determinados anteriormente por las fórmulas de Euler. Esta serie converge uniformemente hacia los valores de la función f(x), si x es un “punto de continuidad” y hacia el promedio

si x0 es un punto de discontinuidad, entendiéndose por :

Las condiciones expresadas son “suficientes” pero no “necesarias”. No existen condiciones necesarias y suficientes, tampoco lo es suficientes ser continuas en (- , .

Fórmula de Dirichlet Para sumas parciales de una Serie de Fourier

Donde

por la Fórmula 6 mostrada anteriormente en Fórmulas de posterior aplicación Haciendo: t-x = s  t=s+x y para un x0 fijo dt=ds Y también Sustituyendo estos valores:

Como el integrando tiene un período 2 , podemos reemplazar el intervalo intervalo de longitud 2 en particular , por lo tanto la sumatoria será:

por cualquier otro

Convergencia de la serie de Fourier

Sea f(x) continua por tramos en

con período 2

y se supone que:

entonces el desarrollo de la serie de Fourier para f(x) converge a f(x0) en cada x0, donde f(x) tenga una derivada por la derecha y por la izquierda.

Demostración: Primer caso: Suponemos f(x) continua en x0, por lo tanto

Además como las derivadas existen a ambos lados de

, será entonces:

partiendo de esta hipótesis, demostraremos que :

Por la fórmula de Dirichlet: (1)

(2) Si restamos (1) y (2) obtendremos:

multiplicando y dividiendo por s,

Llamemos g(s) al primer factor del integrando

Por ser f(x) continua, es g(s) continua Para

existen los límites por la derecha y por la izquierda de g(s) en s=0, por lo que g(s) es seccionalmente

continua en el período –

.

Aplicando el lema de Rieman-Lebesgue ya visto, es: por lo tanto: Segundo caso: Cuando x0 es un punto de discontinuidad de f(x).

Demostración: , converge a por lo tanto

(1) Además por descomposición de la Fórmula 7 en Fórmulas de posterior aplicación, por ser un integrando par:

Por lo tanto multiplicando la primera integral por

Y sumando ambas igualdades obtenemos otra igualdad: (2)

Restando (1)-(2) tenemos:

es continua en el intervalo [-π,0]

para

tendremos:

para Aplicando el teorema de Rieman-Lebesgue, ambas integrales tenderán a cero cuando

y entonces:

Desarrollo en Serie de Fourier de funciones pares

Si f(x)es par se cumple que f(x)=f(-x); sabemos también que cos nx es par y sen nx es impar. Como el producto de dos funciones pares es otra función par, entoces f(x).cos nx es una función par y el el desarrollo de Fourier los coeficientes de los términos cosenoidales toman la forma siguiente:

De la misma manera:

En cambio por ser el producto f(x). sen nx una función impar, se tendrá:

Los coeficientes de los términos sinusoidales serán todos nulos, por lo tanto el desarrollo de la serie de Fourier se reduce, resultando así: donde sus coeficientes serán

Desarrollo en Serie de Fourier de funciones impares

Si f(x) es impar entonces

Por lo tanto : y por ser los integrandos funciones impares, por lo cual el desarrollo de la serie de Fourier para funciones impares quedaría:

donde

Desarrollo en serie de Fourier para funciones de período 2L

Sea f(x) una función periódica de período 2L, es decir,

. Supongamos que f(x) cumple las

condiciones necesarias para poder ser desarrollada en Serie de Fourier. Si hacemos

Demostraremos en primer lugar que la nueva función

.t entonces

es también una función periódica de período 2π.

ya que la función f(x) tiene período 2L y podemos escribir: , queda sí demostrado que 2π. En esas condiciones,

es una función periódica de período

puede ser desarrollada en serie de Fourier de la forma conocida: (1)

Donde los coeficientes a0,an, y bn están dados por la fórmula de Euler:

Haciendo el cambio de variable correspondiente Además sabemos que

de donde

y

, también los límites de integración:

cuando cuando reemplazando en (1) todas las expresiones encontradas:

Los coeficientes serán:

Ejemplo 1: Desarrollar en Serie de Fourier la forma simétrica de una onda rectangular dada por:

Siendo

la onda ilustra el siguiente gráfico, simétrica al eje y

Por tratarse de una función par la serie de Fourier es un desarrollo reducido de términos cosenoidales ya que bn=0. siendo

y

Cálculo de a0:

Cálculo de an:

ya que sen n.0=sen n.π=0 esto indica que

...

donde todos los términos de orden par se anulan y los de orden impar son alternadamente positivos y negativos, tomando

factor común:

a) Función Original

b) Serie de Fourier n=3

c) Serie de Fourier n=6

Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Fourier la forma antisimétrica de una onda rectangular:

siendo f(x)=f(x+2) Ilustramos la onda en el siguiente gráfico, simétrica respecto del origen. Por tratarse de una función impar del desarrollo de la serie, como vimos anteriormente, se reduce a una suma de términos senoidales, mientras que a0=an=0 y solo debemos calcular bn.

término general del coeficiente bn Si n es par Si n es impar

Como vemos el factor

entonces:

es común a todos los términos, por lo tanto el desarrollo en serie de Fourier será:

a) Función Original

b) Serie de Fourier n=3

Autor: Ing. Leopoldo De Urrutia Responsable de edición en formato electrónico: Prof. Bibiana Altamirano Gráficos: Ing. Luciano Curie

c) Serie de Fourier n=6