Primer Parcial Investigacion De Operaciones 5w4q1w

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS, GEOLOG´IA Y CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIER´IA SISTEMAS

Primer Examen Parcial PROFESOR

:

Lic. JACKSON M’COY ROMERO PLASENCIA

CURSO

:

´ DE OPERACIONES (IS-262) INVESTIGACION

INTEGRANTES

:

APAICO HUAMAN´I, Ray Henry (27150337) BALABARCA ARONES, Arnold Martin (27147895) CAMASCA ATMI, Joseph Giovani (27148293) ´ GARC´IA CACERES, Christian Kevin (27141412) ´ CUCHO, Joseph Junior (27140893) GOMEZ

Ayacucho - Per´ u 2017 1

1

1.

PREGUNTA 1:

Pregunta 1:

Uno de los productos de la firma ITAY es un modelo de juguete que genera una ganancia unitaria estimada en 3 d´ olares. Debido a gran demanda, la istraci´on desea aumentar su nivel de producci´ on actual de 1000 unidades por d´ıa. Sin embargo, existen dificultades en el abastecimiento de dos tipos de piezas A y B para el ensamblado de los juguetes. Cada juguete requiere de 2 piezas de tipo A; pero el proveedor solo puede aumentar el volumen de entrega actual hasta un m´aximo de 3000 por d´ıa. Por otro lado, cada juguete requiere en su fabricaci´on de solo una pieza de B; y el proveedor no puede aumentar el volumen de entrega actual que representa 1000 unidades por d´ıa. Como no se dispone de otros proveedores en plaza, ra istraci´on piensa iniciar un nuevo proceso de producci´ on interno para producir al mismo tiempo igual n´ umero de piezas de los dos tipos que permita completar las entregas de los dos proveedores. Se ha estimado que el costo para la firma de producir una pieza de tipo A o B cuesta 2.5 d´olares m´as que el costo de compra en plaza. La istraci´ on desea determinar el volumen de producci´on del juguete y la de cada pieza que maximice la ganancia total. a. Formule el modelo de programaci´ on lineal. b. Resolver por el m´etodo gr´ afico. Resoluci´ on a. Los datos se plasman en la siguiente tabla Recursos

Pieza Tipo A

Pieza Tipo B

Gananc´ıa/Unid

Juguetes Producidos Piezas Producidas Cant de Recursos Disponibles

2 -1 3000 —————

1 -1 1000

3 2.5 -

Maximizar Z = 3x1 − 2,5x2 Sujeto a: R(1)3x1 − x2 ≤ 3000 R(2)x1 − x2 ≤ 1000 R(3)x1 , x2 ≥ 0

2

2

PREGUNTA 2:

Gr´afico 01 Puntos Factibles Punto (A) Z = 3(0) − 2,5(0) = 0 Punto (B) Z = 3(1000) − 2,5(0) = 3000 Punto (A) Z = 3(2000) − 2,5(1000) = 3500 El punto C, que representa el punto optimo de nuestro gr´afica no acotada nos indica que el volumen de juguetes a producir es de un total de 2000, con un total de piezas fabricadas de 1000.

2.

Pregunta 2:

Considere el siguiente modelo de programaci´on lineal: MAXZ = 4x1 + 3x2 + x3 + 2x4 Sujeto a: 4x1 + 2x2 + x3 + X4 ≤ 5 3x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 4 x1 , x2 , x3 , x4 0 Sean x5 y x6 las variables de holgura de las restricciones respectivas. Aplicando el m´etodo simplex para resolver este MPL, se llega a la tabla final siguiente: x1

x2

x3

x4

x5

x6

SOL

-

-

-

-

1 1 -1

1 -1 2

-

La soluci´on del MPL est´ a en funci´ on de x2 y x4 a. Completar la tabla final a partir de esta. 3

2

PREGUNTA 2:

b. Identifique las variables b´ asicas y no b´asicas. Soluci´on a. Conociendo los p´ arametros del modelo en la tabla inicial (c, A, B), y solo los coeficientes de la variable de holgura en la tabla final (y* y S*), estas ecuaciones permiten calcular todos los dem´as valores de la tabla. Contamos con los siguientes datos: h i C= 4 3 1 2   4 2 1 1  A= 3 1 1 1   5 b=  4 h i y∗ = 1 1   1 −1  S∗ =  −1 2   2 1  B= 1 1 Hallamos los dem´ as valores: ∗ −1 Hallamos  A = B ∗ A    1 −1 4 2 1 1 1 1 0 0  =  A∗ =  −1 2 3 1 1 1 2 0 1 1 Hallamos b∗ = B−1∗ b    1 −1 5 1   =   b∗ =  −1 2 4 3 ∗ −1 Hallamos Z = cb ∗ B  ∗ b h i 1 −1 5   = 9 Z∗ = 3 2  −1 2 4 Hallamos cB = y ∗ ∗b h i 2 1 h i = 3 2 cB = 1 1  1 1

Hallamos z ∗ = c−1 B ∗A z ∗ = cB ∗ A∗  h i 1 1 0 0 h i ∗   z = 3 2 = 7 3 2 2 2 0 1 1 Calculamos z ∗ − C h i h i h i z∗ − C = 7 3 2 2 − 4 3 1 2 = 3 0 1 0 Finalmente tenemos la matriz

4

3

PREGUNTA 3:

  3 0 1 0 1 1 9     t = 1 1 0 0 1 −1 1   2 0 1 1 −1 2 3

3.

Pregunta 3:

Luego de sucesivas iteraciones de la aplicaci´on del m´etodo simplex a un MPL se obtuvo el siguiente cuadro. X1 -200/7 3/7 1/70

X2 0 1 0

X3 -100/7 5/7 2/35

X4 0 0 1

X5 152/ 7 4/35 -1/350

X6 32/7 -1/35 9/350

Sol Z* A B

Adem´as se sabe que c2 =200 y c4 = 400 a. Hallar los coeficientes de la funci´ on objetivo. b. Hallar la iteraci´ on 0, sabiendo que X5 y X6 son las variables de holgura asociadas a cada restricci´on. c. Plantear el MPL sabiendo que la soluci´on de la primera interaci´on es (6000, 4000). d. Determinar A y B Soluci´ on:



 4/35 −1/35  S∗ = B −1 =  −1/350 9/350   3/7 1 5/7 0   1/70 0 2/35 1   h i 9 10 h i  = 200 400 cB = y ∗ B = 152/7 32/7  1 40   h i 3/7 1 5/7 0 h i  = 640/7 200 1160/7 400 z∗ = cB A∗ = 200 400  1/70 0 2/35 1 h i z ∗ −c = −200/7 0 −100/7 0 h i h i c = 640/7 200 1160/7 400 − −200/7 0 −100/7 0 h i c = 120 200 180 400      9 10 A 9A + 10B   =   b = Bb∗ =  1 40 B A + 40B Por lo tanto la Iteraci´ on 0: Segun dato Iteracion 1: {(35/4)A = 600 5

4

X1 -110 15/4 1/40

X1 120 4 1

X2 200 9 1

X2 -190 35/4 1/40

X3 -150 25/4 3/40

X3 180 7 3

X4 400 10 40

X4 0 0 1

X5 0 1 0

X5 0 1 0

X6 10 -1/4 1/4

X6 0 0 1

6000(4) 30

=

B = 4000 −

4800 7

4800 7(40)

=

27880 7



  −1/35 4800/7   Z∗ = cB B −1 b = 200 400  −1/350 9/350 27880/7 h

Z∗ =

4.

i

4/35

231680 7

Pregunta 4:

determine on grafica:  el tipo de soluci´  X1 X2 X3 S1 S2      a b 20000 10000 10000 0 10000       c d 1 1/2 1/2 0 5    0 3/2 −1/2 1 3 De la tabla  anterior  se definen las siguientes matrices: 1/2 0  B−1 =  −1/2 1   1 1/2  A∗ =  0 3/2   5 b∗ =   3 h i y∗ = 10000 0 h i z∗ − c = 0 0 z∗ = c De acuerdo al m´etodo SIMPLEX S∗ = B −1 A∗ = BA∗

6

Sol 0 9A+10B A+40B

Sol 10A+400B=1600000 6000=35/4A 4000= A/40 + B

A40+B=400 A=

PREGUNTA 4:

4   2 0  B= 1 1      2 1 2 0 1 1/2  =   A= 1 2 1 1 0 3/2 ∗ y∗ = cb B −1 , entoncesb  = Bb h i 2 0 h i  = 20000 0 cb = 10000 0  1 1 ∗ −1 ∗ b =B b,entoncesb    =Bb 10 2 0 5   =   b= 8 1 1 3 −1

∗

z∗]=cb B ;A=cb A   h i h i 1 1/2  = 20000 10000 z∗ = 20000 0  0 3/2 De: h i z∗ = c = 20000 10000 Por  lo que tenemos:  X1 X2 S1 S2 Sol     −20000 −10000 0 0 0       2 1 1 0 10    1 2 0 1 8 El infinitas  m´etodo grafico usado es de soluciones 

X1 X2 S1 S2 Sol     1800 1800 0 1800 2700000      1 1 0 1 1500    0 2 1 1 1500 De la tabla se definen las siguientes matrices:  anterior  0 1  B−1 =  1 1   1 1  A∗ =  0 2   1500  b∗ =  1500 h i y∗ = 0 1800 h i z∗ − c = 0 0 z∗ = c De acuerdo al m´etodo SIMPLEX

7

PREGUNTA 4:

4 S∗ = B −1 A∗ =BA∗  0 1  B= 1 1      −1 1 −1 1 1 1  =  A= 1 1 1 0 0 2 ∗ y∗ = cb B −1 , entoncesb   = Bb h i 0 1 h i  = 1800 0 cb = 0 1800  1 1 ∗ −1 ∗ b =B b,entoncesb  =Bb   0 0 1 1500  =  b= 1500 1 1 1500 −1

∗

z∗]=cb B ;A=cb A   h i h i 1 1  = 1800 1800 z∗ = 1800 0  0 2 De: h i z∗ = c = 1800 1800 Por  lo que tenemos:  X1 X2 S1 S2 Sol     −1800 −1800 0 0 0       −1 1 1 0 0    1 1 0 1 1500 El m´etodo grafico usado es de soluciones infinitas

8

PREGUNTA 4: