Practica Dirigida De Espacios Vectoriales Unac 2014 4r5ci

NOLAN JARA

ESPACIOS VECTORIALES 1. Determine si el conjunto dado, con las operaciones habituales de adición y multiplicación por escalares, es un EV:

(1   ) x   . …..SI  5x 

a. El conjunto de todos los vectores de  2 de la forma  Solución.

 x  (1   )t  5  y    5t   y  1   x  recta que pasa por el origen es un EV      x b. El conjunto de todos los vectores de la forma   , con x  0 y y  0 . …..NO  y Solución. Porque

2   2  A, pero - u     A   3 3

 x  y

A=   , con x  0 y y  0 . u  

c. El conjunto de vectores de  3 cuyos puntos terminales pertenecen al plano x  5z  a; a  0 . …..NO Solución. A= (5z + a, y, z) puntos terminales del conjunto de vectores de  3 que pertenecen al plano x  5z  a; a  0 . (5z1 + a, y, z1) y (5z2 + a, y, z2)  A (5z1 + a, y, z1) + (5z2 + a, y, z2) = (5(z1 + z2) + 2 a, 2y, z1 + z2)  A 2. Encuentre el vector de coordenadas de los vectores: a. p( x)   x  3x 2 con respecto a la base B  1  x; 1  2 x; x 2 de P2 . Solución.





1 1 ; s  ,t  3 3 3  2  0    1; 0  de  3 .      3  2 

 x  3x 2  r (1  x)  s(1  2 x)  tx 2  r 

 1  1      b. w  6 con respecto a la base B    1 ;      5  2   Solución.

1,6,2  r 1,1,5  s2,1,3  t 0,0,2  r, s, t    13,7,23 3. Determine si el conjunto B es una base del espacio vectorial V. a. B  x; 1  x; 1  x; x 2  x  1 , V  P2 Solución.





P2  rx  s ( 1  x)  t ( 1  x)  u ( x 2  x  1)  s  t  u   r  s  t  u x  ux 2





B  x; 1  x; 1  x; x 2  x  1 es lin ind.  B  1,0,0; 1,1,0; 1,1,0; 1,1,1 es lin. ind. r 1,0,0  s1,1,0  t 1,1,0  u 1,1,1  0,0,0  r , s, t , u    2t ,t , t ,0  0,0,0,0





B  x; 1  x; 1  x; x 2  x  1 es lin dep.  B no es base b.





B  1  x; 1  x ; x  x 2 , V  P2 2

Solución.

1

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P2  r 1  x   s ( 1  x 2 )  t ( x  x 2 )  r  s    r  t x  ( s  t ) x 2 1 1 0 B  1  x; 1  x ²; x  x es lin ind.  1 0  1  0 0 1 1



2



1 1 0 1 0  1  1  1  0  B  1  x; 1  x ²; x  x 2 es lin dep.  B no es base 0 1 1



c.

1  B  1; 1  

 1 1   0 , V  gen  1;      1  0   



1 0 ;   0

 2  1     1 

Solución.

 x, y , z   V

 x, y, z   r 1,1,1  s1,0,0   r  s, r , r 

r  s  x  s  x  y   ry  rz    x, y, z   x, y, y   y 1,1,1  ( x  y )1,0,0 v : B genera a V r  s  0  s  0  r0  B : lin . ind .   r0  d.









B  e  x ;  2e x ; e 2 , V  f  F / f ' ' ' f ' '  0

 1     1 4. Si A =  ;   2 1

 1 2  ; 0   1

 5   1       4 , determine una base para gen(A).  6     1 

5. Describa el espacio generado por cada uno de los conjuntos dados, determine su dimensión y proporcione dos bases para cada uno de ellos:

 1     0 a.  ;  1   1

1  1  ; 0   1

0   0        4 0     0  





b. 1  x; x 3  x 2  P3

6. Diga si los siguientes conjuntos son LI ó LD: a. x; 2 x  x 2 ; 6 x  2 x 2 en P2 b. 1  2 x; 3x  x 2  x 3 ; 1  x 2  2 x 3 ; 3  2 x  3x 3 en P3 Solución.









a.  x; 2 x  x 2 ; 6 x  2 x 2   rx  s 2 x  x 2   t 6 x  2 x 2   0 r  2s  6t  0 (i )  s  2t  0  s  2t

r  2s  6t x   s  2t x 2  0  

en (i ) : r  2t  r , s, t    2t ,2t ,.t   0,0,0

  x; 2 x  x 2 ; 6 x  2 x 2  LIN . DEP

Tambien por que : 6 x  2 x 2  2 x  22 x  x 2  2

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

b. 1  2 x; 3x  x 2  x 3 ; 1  x 2  2 x 3 ; 3  2 x  3x 3 1 2 0 3 1 0 3 2



0 0 1 1  11  0  1  2 x; 3x  x 2  x 3 ; 1  x 2  2 x 3 ; 3  2 x  3x 3  L.I 1 2 0 3





7. Suponga que B  v ; w es una base de un espacio vectorial V . ¿Cuál de los siguientes conjuntos son también bases de V ? a) v  w ; v b) v - w ; w  v

c) v + w ;  v; w

Solución. v  w; v 8. Un EV “V “ tiene dimensión 15 y W es un SEV de “V “, para el cual v1 ;...; v8  es un conjunto generador. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? a) dimW  8. b) dimW  15. ……..(V) c) dimW  7. d) Cada conjunto LI en W no contiene más de 8 vectores……..(V) 9. ¿Verdadero o falso? Justifique:

 x      i) El conjunto S   y : x  y  0 es un subespacio de R3 ...(F)    z      ii) El conjunto H   p  x   P3 : p 3  3 p 1  0 es un subespacio de P3 ...(V)





iii) El conjunto W  a  bx  cx2 : abc  0 es un subespacio de P2 ...(F)





iv) Sea V  F un espacio vectorial y A  e x ;sen3x; x2senx , entonces gen  A es subespacio vectorial de F .

...(V)

10. ¿Verdadero o falso? Justifique: 1  0     i) Los vectores v1   0  y v 2   1  generan el plano π : x  y  z  0 ...(V) 1 1    



ii) La función f : R  R, f  x   1 pertenece a gen e x ;e x



...(F)

 x      3 2 2 iii)El conjunto W    y   R : 3x  5 y  0  R3 es un subespacio de R3 ...(V)  z      3 iv) Si u,v,w son vectores de R , con v ≠ w, entonces gen u;v ≠ gen u;w ...(F)



11. Verifique que el conjunto S  A  M nxn  R  / A  AT



es un subespacio de

M nxn  R  .NO VIENE    gen 12. Determine   

1 2   ; 1   0

2 2  ; 0    4

 1 1  ; 2    6

0 3   3    6

      3

NOLAN JARA Solución.

x, y, z, w   r 1,2,1,0  s2,2,0,4  t  1,1,2,6  u 0,3,3,6  x  r  2s  t  y  2r  2 s  t  3u     z  r  2t  3u  w  4 s  6t  6u x  1 2  1 0  x  1 2  1 0  2 2 1 3  y  f 2 2 f1 0  2 3 3  y  2 x    f3  f1  f4  2 f2 1 0 2 0 0 3  z 3 3  zx      w   0 4  6  6  w 0 4  6  6  x 1 2  1 0   0  2 3 3  y  2 x    w  2 y  4x  0 0 0  3 3  zx   0 0  w  2( y  2 x) 0 0

1    13. a) Determine el valor de k para el cual el vector v  k sea combinación lineal del    5   1   2        conjunto de vectores del conjunto S    3 ;  1 .      2   1        Solución.

1, k ,5  r 1,3,2  t 2,1,1  r  2t ,3r  t ,2r  t 

r  2t  1    3r  t  k  2r  t  5  r  3, t  1, k  8  b) Exprese el polinomio p  x   1  3x de tres formas distintas como combinación lineal de los vectores del conjunto 1  x;1  x; 2  x . Solución.

1  3x  r 1  x   s1  x   t 2  x   r  s  2t )  (r  s  t x r  s  2t  1   r st 3  2r  t  2  t  2r  2, s  3  r  2r  2  3r  5, r  R  r , s, t   r ,3r  5,2r  2   1,2,0; 0,5,2; 1,8,4





14. a) Siendo A  1  2x;2x  x2 ;1  x2 ;1  x2 , determine gen(A) Solución.

gen( A)  r 1  2 x   s2 x  x ²   t 1  x ²   u 1  x ²   r  t  u )  (2r  2s x   t  u x ²  gen( A)  A  Bx  Cx ² b) Consideremos los vectores p  x   1  2x  3x2 , q  x   x  x2 , determine si el polinomio 4

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r  x   2  5x  5x2 es un elemento de gen

 p  x  ;q  x  .

Solución.

gen p( x), q( x)   s1  2 x  3 x ²   t x  x ²   s  2s  t x  3s  t x ² gen p( x), q( x)   s  2s  t x  3s  t x ²  2  5 x  5 x ² 

s2   2 s  t  5  t  1 3s  t  5  t  1 

 r ( x)  (2  5 x  5 x ²)  gen p( x), q( x)  o tambien 2 p( x)  q( x)  21  2 x  3x ²   x  x ²   2  5 x  5 x 2





c) Es P2 generado por el conjunto A  1  x; x  x2 ; 1  x2 ; es decir P2  gen  A ? Solución.

gen( A)  r 1  x   sx  x²   t 1  x²   r  t )  (r  s x  s  t x²  A  Bx  Cx ²  P2 ( x)

 gen( A)  P2 ( x) 15. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: i) Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y dim V  dim W , entonces V  W . ...(F) ii) Si u; v; w es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V , entonces el conjunto u  v; v  w; u  w es también LI. ...(V)





iii) Si V es un espacio vectorial de dimensión n y S  v1 ; v2 ;....v p un conjunto de vectores de V , con p  n, entonces el conjunto S es linealmente independiente. ...(F)

2 1  a          16. Determine el valor de a para el cual el conjunto A   1 ; 0 ; 2  forma una base de R 3 .       1 1  1         Solución.

2 1 A1 0

a 2  1 1  a   22  1  a  1  0  a  1

1 1 1 17. Determine una base y la dimensión de los siguientes espacios vectoriales:

 x      a) W   y  R 3 : x  y  z  0    z      Solución.

 x      3 W    y   R : x  y  z  0  z   x  y  z      Sea r, s, t   W  r, s, t   r , s,r  s   r (1,0,1)  s(0,1,1) B  (1,0,1), (0,1,1)  Dim(W )  2 b) W  p( x)  P2 : p(1)  0 Solución. P2(x)=(c-b) + (b-c)x +c(x-1)2

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



B  1; x; x 2 ; Dim(W)  3 18. Determine una base y la dimensión de gen(A) si



A  1  2 x; 2 x  x 2 ; 1  x 2 ; 1  x 2 Solución.





   c1  x   d 1  x 

A  1  2 x; 2 x  x 2 ; 1  x 2 ; 1  x 2



2 2 gen( A)  a1  2 x   b 2 x  x 2 gen( A)  a  c  d    2a  2b x   b  c  d x ²





B  1; x; x 2 ; Dim(A)  3 19. Halle la dimensión del subespacio generado por el conjunto A  R 4 :

1    1 A   ,  0  0

 2  2  , 0    0 

0  1  , 0    0 

 2 0   , 0     3

1    2  , 0   8 

0   0      0     0  

Solución.

1 2 0 2 1 0 1 2 1 0  2 0 A 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 3 8 1 0  1 2 0 2 0 0 1  2  3 0   0 0 0 0 3 8   0 0  0 0 0 0 Dimgen ( A)   3 20. Sea A  1  ax, a 2  3,



 x 1 2 0 2 1 0   y  f3 xf 4 1 2 1 0  2 0   0 0 0 0 3 8  z    w 0 0 0 0 0 0 x  y  x   z  0 en R 4  Espacio R³ w   z 

 x  y  f 2  f1   w   z



ax 2  1 ; a  0 un conjunto que no es base para

   1  0   1        M    2  ,  b  1 ,  0    3    2  1      

  3  un conjunto linealmente dependiente en R .   coordenadas de p( x)  abx  b  P1 en base B   1, 1  x. Solución.





P2

y sea

Determine el vector de

A  1  ax, a 2  3, ax 2  1 ; a  0  no es base para P2 si A no es Lin. IND. es decir

   r  a  3s  t  0  i



r 1  ax   s a 2  3  t ax 2  1  0  para a lg un r,s o t  0, en efecto : 2

   

a

ar  0  r  0 at  0  t  0 2

en i



 3 s  0; s  0  a 2  3  0  a   3

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   1  0   1        M    2  ,  b  1 ,  0    3    2  1      

    es lin. dep  M  0  

-1 0 1 M  2 b  1 0  b  1   4  3b  1  0 3 -2 1  4b  8  0  b  2 p( x)  2 3x  2  P1 en base B   1, 1  x





p( x)  2 3x  2  2  2 3 1  2 3 1  x  ADICIONALES 1. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: ii) Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y dim V  dim W , entonces V  W . ...(F) ii) Si u; v; w es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V , entonces el conjunto u  v; v  w; u  w es también LI. ...(V)





iii) Si V es un espacio vectorial de dimensión n y S  v1 ; v2 ;....v p un conjunto de vectores de V , con p  n, entonces el conjunto S es linealmente independiente. ...(F)

2 1  a          2. Determine el valor de a para el cual el conjunto A   1 ; 0 ; 2  forma una base de R 3 .       1 1  1         Solución.

2 1 A1 0

a 2  1 1  a   22  1  a  1  0  a  1

1 1 1 3. Determine una base y la dimensión de los siguientes espacios vectoriales:

 x      3 a) W   y  R : x  y  z  0    z      Solución.

 x      W    y   R 3 : x  y  z  0  z   x  y  z      Sea r, s, t   W  r, s, t   r , s,r  s   r (1,0,1)  s(0,1,1) B  (1,0,1), (0,1,1)  Dim(W )  2 b) W  p( x)  P2 : p(1)  0 Solución. P2(x)=(c-b) + (b-c)x +c(x-1)2





B  1; x; x 2 ; Dim(W)  3 4. Determine una base y la dimensión de gen(A) si

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

A  1  2 x; 2 x  x 2 ; 1  x 2 ; 1  x 2 Solución.





   c1  x   d 1  x 

A  1  2 x; 2 x  x 2 ; 1  x 2 ; 1  x 2



2 2 gen( A)  a1  2 x   b 2 x  x 2 gen( A)  a  c  d    2a  2b x   b  c  d x ²





B  1; x; x 2 ; Dim(A)  3 5. Halle la dimensión del subespacio generado por el conjunto A  R 4 :

1    1 A   ,  0  0

 2  2  , 0    0 

0  1  , 0    0 

 2 0   , 0     3

1    2  , 0   8 

0   0      0     0  

Solución.

1 1 A 0  0 1 0  0  0 6.

2 2 0 0

2 0 0 0

Sea

0 1 0 0

2 1 0 2 0 0 0 3

0 2 1 1 2 3 0 0 3 0 0 0



 x 1 2 0 2 1 0  x    y  f 3 xf 4 1 2 1 0  2 0  y  f 2  f1     0 0 0 0 3 8  w  z     w 0 0 0 0 0 0  z  x  y  x   z  0 en R 4  Espacio R³ ; Dimgen ( A)   3 w   z  ax 2  1; a  0 un conjunto que no es base para

0 0 0 8

0 0 8 0

   

A  1  ax, a 2  3,

   1  0   1        M    2  ,  b  1 ,  0    3    2  1      

  3  un conjunto linealmente dependiente en R .   coordenadas de p( x)  abx  b  P1 en base B   1, 1  x. Solución.





P2

y sea

Determine el vector de

A  1  ax, a 2  3, ax 2  1 ; a  0  no es base para P2 si A no es Lin. IND. es decir

   r  a  3s  t  0  i



r 1  ax   s a  3  t ax  1  0  para a lg un r,s o t  0, en efecto : 2

2

2

   

a

ar  0  r  0 at  0  t  0 2

en i



 3 s  0; s  0  a 2  3  0  a   3

   1  0   1        M    2  ,  b  1 ,  0    3    2  1      

    es lin. dep  M  0  

-1 0 1 M  2 b  1 0  b  1   4  3b  1  0 3 -2 1  4b  8  0  b  2 8

NOLAN JARA p( x)  2 3x  2  P1 en base B   1, 1  x





p( x)  2 3x  2  2  2 3 1  2 3 1  x 

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