Alg.lin.examen Final Resuelto 2015 A 4f463a

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS EXAMEN FINAL CURSO CICLO TURNO AULA FECHA PROFESOR

: : : : : :

 1     1 1) Sea A   ;   2 1 

ALGEBRA LINEAL I NOCHE 101-160 13 - 07- 15 NOLAN JARA JARA

 1 2  ; 0   1

 5   1      R 4 . Determine: gen ( A) .una base para gen(A) y la  6     1 

Dim(gen(A)). Solución.

 x  1   1  5   x     1   2   1  y    y   4 gen( A)    R / a    b   c      2  0   6   z    z             w  1   1   1   w  1  1 5 1 2  1  2 0 6  1 1 1

 x  1  1 5  x     y  0 3  6  y  x    z  0 2  4  z  2 x      w 0 2  4  w  x  x x 1  1 5   1  1 5   0 1  2  ( y  x )  ( z  2 x )  0 1  2  y  x  z       0 2  4   0 0 z  2x 0  3z  4 x  2 y      0  ( w  x )  ( z  2 x )  0 0 0  w x z  0 0 3z  4 x  2 y  0  3z  4( z  w)  2 y  0  z  4w  2 y gen( A)   w x z  0 x  z w  gen( A) : x, y, z , w  3w  2 y, y,4w  2 y, w  y  2,1,2,0  w3,0,4,1 B   2,1,2,0, 3,0,4,1 Dim( gen( A))  2

2) Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o linealmente dependientes. A  x;2 x  x 2 ;6 x  2 x 2 de P2









B  1  2 x;3x  x 2  x ³;1  x ²  2 x 3 ;3  2 x  3x 3 de P3 . Solución.

1







 



a. x; 2 x  x 2 ; 6 x  2 x 2  rx  s 2 x  x 2  t 6 x  2 x 2  0 r  2s  6t  0 (i)  s  2t  0  s  2t

r  2s  6t x   s  2t x 2  0  

en (i) : r  2t  r , s, t    2t ,2t ,.t   0,0,0





 x; 2 x  x 2 ; 6 x  2 x 2  LIN . DEP



Tambien por que: 6 x  2 x 2  2 x  2 2 x  x 2





b. 1  2 x; 3x  x 2  x 3 ; 1  x 2  2 x 3 ; 3  2 x  3x 3 1 2 0 3 1 0 3 2



0 0 1 1  11  0  1  2 x; 3x  x 2  x 3 ; 1  x 2  2 x 3 ; 3  2 x  3x 3  L.I 1 2 0 3





3) Determine una base y la dimensión de la imagen de la transformación lineal T : 2  R 3

  a  2b    definida por: T a  bx  cx ²   a  b  c    3b  c  También determine el núcleo T. Solución.

 x    a  2b   x      3 Im(T )   y   R /  p ( x)  (a  bx  cx ²)  P2 ; T a  bx  cx ²   a  b  c    y    z    3b  c   z     x   a  2b   x   1 2 0  x   1 2 0          T a  bx  cx ²   a  b  c    y    1 1 1  y    0 3 1  y  x   3b  c   z   0 3 1  z   0 0 0  z  y  x  z  y  x  0  x  y  z  0 P P : z  x  y  P :  x, y, z    x, y, x  y   x1,0,1  y 0,1,1 Im(T ) B  1,0,1; 0,1,1

 0     Nu (T )   p( x)  (a  bx  cx ²)  P2 ; T a  bx  cx ²   0   0     a  2b  0  a  2b  0  a  2b      T a  bx  cx ²   a  b  c   0   abc  0   3b  c  0  3b  c  0  c  3b  a, b, c   2b, b,3b ; b  R  L  p( x)  (2b)  bx  (3b) x 2

2

2 1 1  4) Encuentre los valores y vectores propios de la matriz A  0 1 2 . Determine si se   1 1 4 puede encontrar un conjunto de 3 vectores propios linealmente independientes. Solución.

2 1 0 1  1 1

1 2  0  2   1   4     2   2  1     0 4

 2   2  5  2   1     0  3  72  11  5  0    12 ,5 1 1 1   x  0   1  0 0 2  y   0  z  0, x  y  0  x, y, z   x1,1,0 1 1 3  z  0 1   x  0   3 1    5   0  4 2   y   0  z  2 y, x  y  x, y, z   y 1,1,2  1 1  1  z  0 No existentres vectores propios linealmente independientes.

3