Momentos 486xz

MOMENTOS Andrea Alejandra Hidalgo Valadez, Lilia Araceli Guinea Dom´ınguez, Alexis Rodriguez Gil 103 Facultad de Ingenier´ıa, Universidad La Salle

Resumen En este art´ıculo se desarrollan los prop´ositos de la pr´actica bas´andonos en lo visto en clase acerca de vectores y como deben ser descritos. Se pretende comprobar la primera y segunda condici´on de equilibrio de manera experimental haciendo mediciones con pesas de diferente masa sobre una regla colocada a manera de balanza con un soporte en el centro. Apartir de estas mediciones se obtuvo un equilibrio y al realizar los c´ alculos matem´ aticos se comprob´o la primera y segunda condici´on de equilibrio que enuncian: la suma de las fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo debe ser igual a 0 y la suma de las torcas aplicadas a un cuerpo con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que los contiene es igual a cero, se despreciaron los valores que pusieran influir en los resultados como la fricci´ on y el peso exacto de las pesas. Adem´ as se realiz´ o una comprobaci´on matem´atica de las dos condiciones de equilibrio. Abstract In this article we develop practical purposes based on, that seen in class about vectors and how they should be described. It aims to check the first and second of equilibrium condition experimentally by measurements with different mass weights placed on a ruler so as to balance the center . Apart from these measurements was obtained a balance that the mathematical calculations proved the first and second of equilibrium condition that states: the sum of the forces acting on a body must be equal to 0 and a sum of torques applied to a body about any axis perpendicular to the plane that contains equals zero, the values that bring despised influence outcomes such as friction and the exact weight of the weights. Also carried out a mathematical proof of the two equilibrium conditions.

I.

Introducci´ on

En est´a pr´actica experimentaremos con cuerpos Figura 1: Diagrama del ejercicio r´ıgidos y sus propiedades, consideraremos como una colecci´on de part´ıculas C ∈ R3 en las que la distancia entre 2 cualesquiera permanece constante a pesar del movimiento del cuerpo o de las uferzas a las que real de ingenier´ıa puede llegar a ser muy compleja y, consecuentemente, deben introducirse suposiciones se someta. que simplifiquen el problema. En est´atica, se des∀p, q ∈ C preciaran las fuerzas internas entre las part´ıculas de ∀t =⇒ ||p(t) − q(t)|| = ||p(0) − q(0)|| = cte un cuerpo s´olido y cualquier deformaci´on posibles. Ning´ un objeto es totalmente r´ıgido pero podemos Esta suposici´on est´a basada en la observaci´ on de que para materiales reales, tales como la madera o suponerlo para fines pr´ acticos. El comportamiento de los cuerpos r´ıgidos puede de- el acero, el cambio en las dimensiones es peque˜ no scribirse mediante movimientos y desplazamientos en comparaci´on con sus dimensiones u otras distanr´ıgidos. La descripci´ on matem´ atica de un problema cias en el sistema. Esta exigencia puede consider1

arse como una definici´ on practica de cuerpo r´ıgido. De una manera general se aconseja considerar todo cuerpo como una part´ıcula, esto es, un punto masa o un cuerpo de masa finita que tiene dimensiones peque˜ nas comparadas con otras dimensiones en el sistema. Tomaremos en cuenta los siguientes conceptos:

cientes para que un cuerpo r´ıgido y libre, inicialmente en reposo, permanezca en este estado con respecto a un sistema de coordenadas fijo y este, por tanto, en equilibrio est´atico, es: n X

→

Fi = 0

i=1

Primera condici´ on de equilibrio Se puede definir matem´aticamente, para el caso de fuerzas coplanarias, se debe cumplir que la suma aritm´etica de las fuerzas o componentes que tienen direcci´on positiva del eje X es igual a la suma aritm´etica de las que tienen direcci´ on negativa del mismo. An´alogamente, la suma aritm´etica de las fuerzas o componentes que tienen direcci´on positiva del eje Y es igual a la suma aritm´etica de las que tienen direcci´ on negativa del mismo. X X X X Fx+ = Fx− Fy + = Fy−

Equilibrio de traslaci´ on segunda ley de Newton Un cuerpo est´ a en equilibrio de traslaci´on cuando la fuerza neta que act´ ua sobre ´el es cero. La ley de equilibrio de Newton establece que un cuerpo en equilibrio de traslaci´ on, mantiene constante su velocidad de manera que si inicialmente estaba en reposo, contin´ ua en reposo por inercia y si inicialmente se nueve, contin´ ua a la misma velocidad por inercia

Segunda condici´ on de equilibrio Se puede definir matem´aticamente, para el caso de fuerzas coplanarias, se debe cumplir que la suma aritm´etica de los momentos relacionados con rotaciones en direcci´on contraria a las manecillas del reloj debe ser igual a la suma aritm´etica de los momentos relacionados con rotaciones en direcci´on a las manecillas del reloj1 . X X M0F ⊕ = M0F

Figura 2: Imagen de la relga en equilibrio

Fricci´ on Siempre que un objeto se mueve sobre una superficie o en un medio viscoso, hay una resistencia al movimiento debido a la interacci´on del objeto con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de friccion. Toda fuerza de fricci´on se opone a la direcci´ on del movimiento relativo. Emp´ıricamente se ha establecido que la fuerza de fricci´on cin´etica es proporcional a la fuerza normal N.

Equilibrio est´ atico En muchos dise˜ nos de ingenier´ıa es necesario que un determinado sistema estructural permanezca en reposo con relaci´on a otro. Por ejemplo, un puente debe permanecer en reposo con respecto a sus cimientos, un techo debe permanecer en reposo con respecto a sus apoyos y el asiento de un autom´ ovil debe permanecer en reposo con respecto al chasis. Este requisito es necesario si se desea que estas estructuras cumplan la funci´ on propuesta. Las leyes de Newton sugieren que un cuerpo r´ıgido y libre inicialmente en reposo, referido a un sistema de coordenadas dado, que no est´a fijo al cuerpo, permanecer´ a en reposo si el sistema de fuerzas que se le aplica puede reducirse a una fuerza resultante y un par resultante nulos. Dicho cuerpo se dice que est´ a en equilibrio est´atico. Las condiciones necesarias y sufi-

II.

Desarrollo

Con ayuda de una regla de momentos un juego de pesas colocamos la regla en su base met´alica y la intentamos equilebrar, nos damos cuenta que no necesariamente el equilibrio se logra estando la regla en 1 Cuando el movimientos es favor de estas el momento es negativo y cuando es en contra es positivo

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su marca de 50 cm. Y tenemos esto en cuenta ya que introduce un error sistem´ atico en todas las mediciones de distancia. Las medidas que obtuvimos con el arreglo de la figura 1 fueron: Determinamos te´oriFigura 5: Resultados te´oricos

Figura 3: Datos obtenidos camente la inc´ognita X3 a trav´ez de las ecuaci´ones: X X Fy = 0 Mc = 0 Convertimos los g a N y cm a m. 270g ·

m Kgm 0.001Kg · 9.81 2 = 2.6487 2 = 2.6487N 1g s s

m Kgm 0.001Kg · 9.81 2 = 4.905 2 = 4.905N 1g s s 0.001Kg m Kgm 130g · · 9.81 2 = 1.2753 2 = 1.2753N 1g s s Y con estos datos obtenemos que:

Figura 6: Trabajo realizado en el laboratorio

500g ·

III.

Conclusiones

En el desarrollo de esta pr´actica se pretend´ıa comprobar la primera y segunda ley de equilibrio de manera experimental, con la realizaci´on del experimento de una regla puesta de manera de columpio y unas pesas colocados a una cierta distancia y con la medida de esta distancia. Se logro comprobar, despreciando la fricci´on y los probables imperfectos del Figura 4: Datos en N y m material, que se encontraba en equilibrio, ya que no se inclinaba hacia ninguno de los lados y despu´es con X Fy = Fy −2.6487N −4.905N −1.2753N = 0 (1) las formulas correspondientes de la primera y segunda condici´on de equilibrio. Por lo tanto se declara Fy = 8.8286N (2) como exitosa esta pr´actica ya que se logro lo que se X logro comprobar los puntos planteados al inicio. Mc = 0.47m(2.6487N ) − 0.14m(4.905N ) −X3 (1.2753N ) = 0 X

Mc = 0.558189N · m − X3 1.2753N = 0

Referencias

(3)

´ n Rafael Cinem´ [1] Cisneros Limo atica de Localizaci´ o n de un Cuerpo R´ ıgido, Universidad La (4) Salle, Rob´otica I, 2da Edici´on, Diapositiva 8, 2010. (5)

0.558189N · m = 0.437692m 1.2753N ´ n de equilibrio: Est´ atica, Al comparar el valor de la reacci´ on en C obtenida [2] Primera condicio Didactika.com, Ayuda did´actica on-line, http: te´oricamente con la medici´ on de la suma de los pe//www.didactika.com/fisica/estatica/ sos colocados en la relga y comparando tambi´en el 1ra\_condicion\_equilibrio.html, valor te´orico de X3 con la distancia medida para la 2002,2003. tercera masa obtenemos que 42.7cm ≈ 43.76cm X3 =

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[3] Nara R. Harry,: Mec´ anica vectorial para ingenieros, M´exico D:F, Limusa Wiley,1964,pag: 29,30, 117-121.

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