Metode Pengali Lagrange 6q2p5i

Calculus Multivariable

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc

J. Metode Lagrange Multiplier Metode Langrang digunakan untuk optimasi fungsi dengan kendala kesamaan: Min ( , , ) atau Max ( , , ) dengan kendala ( , , )= , dengan , , adalah variabel dan konstanta. Berikut diberikan langkah-langkah optimasi fungsi dengan menggunakan metode Lagrange: 1. Selesaikan persamaan berikut: ∇ ( , , )= ∇ ( , , ) ( , , )= , dengan disebut pengali Lagrange (Lagrange multiplier) 2. Masukkan semua solusi yang diperoleh dari langkah 1 ke ( , , ) dan identifikasi nilai minimum dan maksimum. Catatan: ∇ ( , , ) = ∇ ( , , ) dapat ditulis , , = , , Contoh 1. Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak tanpa tutup yang memiliki luas permukaan 12 cm2. Penyelesaian: Misal , , berturut-turut merupakan panjang, lebar, dan tinggi kotak. Akan dicari volume maksimum, yaitu Maks = dengan kendala ( , , ) = 2 +2 + = 12. 1. Menyelesaikan persamaan ∇ = ∇ ( , , )=2 +2 + = 12, yaitu = → = (2 + ) (1) = → = (2 + ) (2) = → = (2 + 2 ) (3) 2 +2 + = 12 (4) Dengan mengalikan (1) dengan , (2) dengan , dan (3) dengan diperoleh = (2 + ) (5) = (2 + ) (6) = (2 + 2 ) (7) Persamaan (5) dan (6) mempunyai nilai sama, sehingga (2 + ) = (2 + ) ⟺ (2 + ) − (2 + ) = 0 ⟺ (2 + −2 − )= 0 ⟺2 ( − )=0 = 0 atau ( − ) = 0

Calculus Multivariable

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc

= 0 tidak memenuhi, karena berarti persamaan (1) menghasilkan = 0 → = 0 atau = 0, sedangkan panjang, lebar, dan tinggi tidak boleh 0. Jadi, (

− ) = 0 atau = . Persamaan (6) dan (7) mempunyai nilai sama, sehingga (2 + ) = (2 + 2 ) ⟺ (2 + ) − (2 + 2 ) = 0 ⟺ (2 + −2 −2 )= 0 ⟺ ( −2 )=0 = 0 atau ( − 2 ) = 0 Diperoleh = 2 atau =2 . . Dari (8) dan (9) diperoleh = =2 Dari (4) diperoleh 2 +2 + = 12 ⟺ 4 + 4 + 4 = 12 ⟺ 12 = 12 ⟺ =1 Jadi, = 2, = 2, = 1. 2. Volume maksimum (2,2,1) = 4 cm3. Contoh 2. Tentukan nilai ekstrim (minimum dan maksmum) dari ( , ) = Penyelesaian: Kendala pada soal di atas adalah ( , )= + = 1. 1. Menyelesaikan persamaan ∇ = ∇ ( , )= + = 1, yaitu = →2 = 2 = →4 = 2 + = 1. Dari (1) diperoleh 2 (1 − ) = 0 yaitu = 0 atau = 1. (i) Jika = 0, maka dari (3) diperoleh = ±1 (ii) Jika = 1, maka dari (2) diperoleh 4 = 2 atau = 0, sehingga dari (3) diperoleh

(8)

(9)

+2

dengan kendala

+

= 1.

(1) (2) (3)

Calculus Multivariable

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc

= ±1. Jadi mempunyai 4 kemungkinan nilai ekstrim di titik (0,1), (0, −1), (1,0), (−1,0) 2. Nilai fungsi untuk setiap titik yaitu (0,1) = 2 (0, −1) = 2 (1,0) = 1 (−1,0) = 1 Jadi, nilai maksimum dari dengan kendala + = 1 adalah 2 dan nilai minimum 1. Contoh 3. Tentukan minimum dan maksimum dari + = 1.

( , , ) = 4 −2

dengan kendala 2 −

Penyelesaian: Kendala pada soal di atas adalah ( , , )=2 − − =2 ℎ( , , ) = + = 1. 1. Menyelesaikan persamaan ∇ = ∇ + ∇ ( , , )=2 − − =2 ℎ( , , ) = + = 1, yaitu = + ℎ →0= 2 +2 = + ℎ →4= − +2 = + ℎ → −2 = − 2 − − =2 + =1 . Dari (3) diperoleh = 2, sehingga dari (1) dan (2) diperoleh 0= 4+2

→ =−

4 = −2 + 2

→ =

(1) (2) (3) (4) (5)

.

Dari (5) diperoleh + (i) Untuk

=

=1→

(ii) Untuk

= ±√13

= √13 diperoleh =−

√

=

,

√

, = −2 −

√

..

= −√13 diperoleh =

√

,

=−

Jadi, diperoleh 2 titik: −

√

√

,

√

, = −2 + , −2 −

√

− = 2 dan

√

. dan

√

,−

√

, −2 +

√

.

Calculus Multivariable

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc

2. Nilai fungsi untuk setiap titik yaitu − √

√

, ,−

√ √

, −2 − , −2 +

√ √

= 4+ = 4−

Jadi, didapatkan maksimum pada −

= 11.2111

√

= −3.2111

√

√

,

√

, −2 −

√

Tugas 4. Tentukan mínimum dan maksimum dari fungsi berikut. ( , )= a. − , dengan kendala + =1 b. ( , , ) = + 2 , dengan kendala + + = 1 dan

dan minimum pada

+

= 4.

√

,−

√

, −2 +

√

.