Matriks Invers Ordo 3x3 5c2a1a

Aljabar Linear

Matriks Invers Ordo 3 × 3 Oleh : Kelompok IV (Kelas A)

STMIK DIPANEGARA MAKASSAR 2013

Bentuk Umum

 Matriks yang terdiri dari 3 baris dan 3 kolom merupakan bentuk umum dari matriks ordo 3 x 3.

A=

 a11 a12 a a 21 22  a31 a32

a13   a23  a33 

Rumus Matriks Invers

Keterangan :

𝐴−1

1 = . 𝑎𝑑𝑗 𝐴 |𝐴|

 A−1= Invers dari matriks A  adj A= matriks Ad dari A

 |A|= determinan dari matriks A

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Determinan dari sebuah matriks dapat diperoleh melalui minor dan kofaktor matriks tersebut.

A=

 a11 a12 a13  a  a a  21 22 23  a31 a32 a33 

Pada matriks berorde 3 × 3, maka minor elemen aij dinotasikan dengan Mij, didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berorde 2 x 2 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian Mij dengan (-1)i+j dan ditulis dengan Cij.

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

A=

 a11 a  21 a31

a12 a22 a32

a13  a23  a33 

Maka minor dari elemen a11 adalah

 a11 a12 a13  a 22 a 23 a   21 a22 a23  sehingga M11 = a32 a33 a31 a32 a33 

 Sedangkan kofaktor elemen  aij = Cij = (-1)i + j Mij

 Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah C11 =

(-1)1 +1

M11 =

(-1)2

𝑎22 𝑎32

𝑎23 𝑎33

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

A=

 a11 a  21 a31

a12 a22 a32

a13  a23  a33 

Minor dari elemen a32 adalah

 a11 a12 a13  a11 a13 a   21 a22 a23  sehingga M32 = a21 a23 a31 a32 a33 

 Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah C32 =

(-1)3 +2

M32 =

(-1)5

𝑎11 𝑎21

𝑎13 𝑎23

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi determinan :  Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang baris ke-i :

 Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang kolom ke-j :

1. det A = | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 (baris ke-1)

1. det A = | A | = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31 (kolom ke-1)

2. det A = | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 (baris ke-2)

2. det A = | A | = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 (kolom ke-2)

3. det A = | A | = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 (baris ke-3)

3. det A = | A | = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 (kolom ke-3)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Contoh Soal :

Tentukan nilai determinan dari matriks A dengan cara koofaktor 1 2 A = 3 1 −1 4

−1 2 −2

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Penyelesaian : 1 A = 3 −1

 𝑀22 =

2 −1 1 2 4 −2

 a21

2+2

1 −1

−1 −2

= (1)(-2 – 1) = -3

 a23 2 4

 𝑪𝟐𝟏 = −1



 | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23

1 −1 −1 −2

 𝑪𝟐𝟐 = −1 

 𝑀21 =

 Nilai Determinan

 a22

−1 −2 2+1

 𝑀23 = 2 −1 4 −2

= (-1)(-4 – (-4)) = 0

1 2 −1 4

 𝑪𝟐𝟑 = −1 

2+3

1 −1

= (-1)(4 – (-2)) = -6

2 4

= (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6)

= -15

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

det A =

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31 a32

Du – Ds = |A| |A| = ( a11 a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21 a32 ) + ( a31 a22 a13  a32 a23 a11  a33 a21 a12 )

Determinan Matriks (Cara Sarrus) Contoh Soal :

1 Tentukan nilai determinan dari matriks A = 3 −1

2 −1 1 2 4 −2

Determinan Matriks (Cara Sarrus) Penyelesaian:

1 2 −1 1 2  A = 3 1 2 3 1 −1 4 −2 −1 4 = {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)} – {(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)}

= {(-2) + (-4) + (-12)} – { 1 + 8 + (-12)} = (-18) + (-3) |A| = -15

Ad Matriks (Terpisah/Minor) 𝑎11  Jika matriks A = 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝐶11 𝑎23 dan matriks kofaktornya adalah 𝐶21 𝑎33 𝐶31

𝐶12 𝐶22 𝐶32

𝐶13 𝐶23 maka 𝐶33

ad matriks A adalah transpos dari matriks kofaktor itu, sehingga diperoleh:

C11 =

(-1)1 +1

M11 =

(-1)2

𝑎22 𝑎32

𝑎23 𝑎33

𝐶11 Adj A = 𝐶12 𝐶13

𝐶21 𝐶22 𝐶23

𝐶31 𝐶32 𝐶33

Ad Matriks (Terpisah/Minor) Contoh Soal :

Tentukan ad dari matriks 1 2 A= 3 1 −1 4

−1 −10 2 dengan matriks kofaktor (C) 0 5 −2

−4 13 −3 −6 −5 −5

Ad Matriks (Terpisah/Minor) Penyelesaian:

−10 matriks kofaktor (C) 0 5

−4 −3 −5

−10 0 5  Adj A = Ct = −4 −3 −5 13 −6 −5

13 −6 −5

Ad Matriks (Gabungan)

Ad dari sebuah matriks juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

𝑎22 + 𝑎 32 𝑎21 Adj A = − 𝑎 31 𝑎21 + 𝑎 31

𝑎23 𝑎33 𝑎23 𝑎33 𝑎22 𝑎32

𝑎12 − 𝑎 32 𝑎11 + 𝑎 31 𝑎11 − 𝑎 31

𝑎13 𝑎33 𝑎13 𝑎33 𝑎12 𝑎32

𝑎12 + 𝑎 22 𝑎11 − 𝑎 21 𝑎11 + 𝑎 21

𝑎13 𝑎23 𝑎13 𝑎23 𝑎12 𝑎22

Ad Matriks (Gabungan) Contoh Soal :

Tentukan ad dari matriks 1 2 −1 A= 3 1 2 −1 4 −2

Ad Matriks (Gabungan) Penyelesaian:

1 2 4 −2 3 2 Adj A = (−1) −1 −2 3 1 −1 4 −10 0 5 = 4 −3 −5 13 −6 −5

2 −1 (−1) 4 −2 1 −1 −1 −2 1 2 (−1) −1 4

2 1

−1 2 1 −1 (−1) 3 2 1 2 3 1

Contoh Soal

1 2 −1 −10 0 Matriks A = 3 1 2 dengan det A = -15, dan adj A = 4 −3 −1 4 −2 13 −6 Tentukan invers dari matriks A!

5 −5 −5

Contoh Soal

1 2 −1 −10 0 Matriks A = 3 1 2 dengan det A = -15, dan adj A = 4 −3 −1 4 −2 13 −6 Tentukan invers dari matriks A!

5 −5 −5

Contoh Soal Penyelesaian:

𝐀−𝟏

1 = . adj A |A|

det A =|A| = -15 −10 adj A = 4 13

0 5 −3 −5 −6 −5

−10 0 5 1 A-1 = . 4 −3 −5 −15 13 −6 −5 2 3

0 4

= − 15 −

13 15

1 5 2 5

1 − 3 1 3 1 3

KELOMPOK IV (KELAS A) 1. (122020) FITRI RAHAYU PASASIH 2. (122017) PUTRI CAMANI 3. (122026) ELMIRA SABBAN 4. (122018) YULI ANTI

5. (122330) KEZIA IMANUELA 6. (122348) NOVITA SAPAN 7. (122350) SITI MUNAWAROH AZIS

SEKIAN Terima Kasih 