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GUIA DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

1. Movimiento periódico. Con frecuencias, en nuestra vida diaria, hemos observados objetos que describen movimientos de vaivén, como: la aguja de la maquina de coser, el péndulo de un reloj, el martillo de un timbre, un columpio o un objeto suspendido de un resorte que se encoge y se estira sucesivamente. Estas clases de movimientos se les conoce como Movimiento Periódico, que consiste en el movimiento de un cuerpo de un lado a otro en una trayectoria fija, regresando a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido.

1.1. El Movimiento Armónico Simple (M.A.S) es el movimiento periódico en ausencia de

rozamiento, producido por una fuerza restauradora(o de restitución) F que es directamente proporcional al desplazamiento (elongación) X y aplicado en la misma dirección pero en sentido opuesto. F = - K.X donde K es la constante del resorte, en N/m. La masa sujeta al resorte está en reposo. La fuerza neta sobre ella es cero (el resorte no está estirado ni comprimido, por lo cual esta posición 0 se llama de equilibrio). Si se separa la masa una distancia X hacia abajo y se deja libre este oscilará hacia arriba y hacia abajo indefinidamente (si no existe fricción del aire) alrededor de la posición de equilibrio. El M.A.S es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. El M.A.S es :

•

oscilatorio cuando la partícula que lo realiza se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio.

•

periódico cuando se repite a intervalos iguales de tiempo. Estos intervalos de tiempo reciben el nombre de periodos. El periodo (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilación completa o ciclo, es decir, partir de una posición cualquiera y retornar a ella después de haber pasado por las dos posiciones extremas, se mide en segundos.

•

La frecuencia es el número de oscilaciones realizadas en un segundo, su unidad es el Hertz (Hz = 1/s). La relación entre el periodo y la frecuencia es:

(La frecuencia es

inversamente proporcional al periodo).

•

La elongación es la posición del objeto en cualquier punto con respecto a la posición de equilibrio.

•

El valor del desplazamiento máximo, o la longitud de la máxima elongación, se denomina Amplitud (A) y mientras no exista fricción, permanece constante.

•

Se llama armónico porque, tanto la posición X(t), como la velocidad V(t) y la aceleración a(t) de la partícula que lo realiza, se describen por medio de las funciones armónicas Seno y Coseno.

X(t) = A sen (ωt + ). V(t) = Aw cos (ωt + ). a(t) = -A w2 sen (ωt + ). Vmax = A w a(t) = -w2 X

Siendo A, la amplitud, φ es un ángulo constante llamado fase inicial del movimiento y w es otra constante llamada frecuencia angular del movimiento y su unidad es rad/s.

La relación entre el periodo y la frecuencia angular es:

w = 2π/T. Se puede comprobar que w =

√ k/m y

w = 2π.f Se denomina simple para distinguirlo de otros movimientos armónicos tales como el armónico amortiguado y el amortiguado forzado, cuyo tratamiento es más complejo. La ecuación que permite calcular el periodo de oscilación T del movimiento armónico simple para el sistema Masa-resorte es:

T = 2π

.

Por lo tanto, el periodo de oscilación T,

 Es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa del cuerpo. Cuanto mayor sea la masa del cuerpo, tanto mayor será su periodo de oscilación y menor será su frecuencia.

 Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la constante del resorte K. Cuanto mayor sea la constante del resorte K, tanto menor será el periodo de oscilación y mayor será la frecuencia con que oscila el cuerpo.  No depende de la amplitud A.

La Energía en el

Movimiento Armónico Simple. En la figura, se observa un cuerpo de masa m atado a un resorte de constante elástica K, cuando el resorte se estira o se comprime se le puede asociar energía potencial elástica, la cual aumenta cuando la deformación del resorte aumenta. En el punto1,extremo izquierdo, la elongación es -A, la fuerza ejercida por el resorte es F = K.A, la aceleración es (a = KA/m), la energía cinética es cero, puesto que la velocidad es cero, , la energía potencial elástica es máxima

( EP = ½ KA2).

En el punto 2, extremo derecho, la elongación es A, la fuerza ejercida por el resorte es F = - K.A, la aceleración es (a = - KA/m), la energía cinética es cero, puesto que la velocidad es cero, la energía potencial elástica es máxima ( EP = ½ KA2). Al pasar por el punto 4(posición de equilibrio), mientras el objeto oscila, la elongación es cero, la fuerza ejercida por el resorte es F =0, la aceleración es cero, la velocidad es máxima, luego, la energía cinética es EC = ½ m . Vmax2, , la energía potencial elástica es cero ( EP = 0). Al pasar por el punto 3, mientras el objeto oscila, la elongación es X, la fuerza ejercida por el resorte es F =-K.X, la aceleración es a = - KA/m, la velocidad es V, luego, la energía cinética es EC = ½ m.V2, la energía potencial elástica es (EP = ½ KX2). La energía mecánica es constante y E = EP+ EC = ½ KX2 + ½ m.V2 = constante.

1.2. Movimiento pendular.

Supóngase que un pequeño cuerpo de masa m se encuentra suspendido al extremo de un hilo de masa despreciable, cuya longitud es L y que oscila en un plano vertical sin fricción, como lo indica la figura. Este dispositivo constituye un péndulo simple en oscilación. La fuerza restauradora que mantiene al cuerpo en oscilación es la componente de su peso tangente a su trayectoria. Un péndulo simple que oscila con pequeña amplitud ejecuta un movimiento armónico simple. Galileo Galilei, estudió el comportamiento del péndulo y enunció algunas de sus leyes, que se resumen en la relación algebraica del periodo de oscilación del péndulo simple: T tanto, el periodo de oscilación del péndulo:

= 2π √ L/g,

Por lo

 Es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del hilo que sostiene el cuerpo.  Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad donde oscile el péndulo.

 No depende de su masa ni de la amplitud de la oscilación, siempre que esta sea menor de 10º

Cuando un péndulo oscila, la masa describe un arco de circunferencia y la cuerda forma con la vertical un ángulo α , variable en el tiempo, cuyo valor se puede expresar α(t) = α o sen(wt+ϕ) donde α o es la amplitud angular y w la frecuencia angular cuyo valor es: w = √g/L . La energía total del péndulo, permanece constante y es igual a la suma de energía cinética EC más la energía potencial gravitacional EPG que ordinaria mente se mide respecto al nivel más bajo del péndulo y se expresan así: EC = mgl (cos α - cos α o) EPG =mgl (1 - cos α o)

EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE RESUELTOS (M.A.S) 1. Un pequeño riel de masa desconocida se une a un resorte con una constante de recuperación de 200 N/m y vibra en un mas sobre un riel de aire con una frecuencia de 4.00hz. Determine a) el periodo b) la frecuencia angular c) la masa del pequeño riel. DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS K=200N/m

F=?

F=4.00Hz

T=?

m=?

W=

W=

OPERACIONES T=1/f T=1/f T=1/4 T=0.25s W= W=25013 Rad/s W= M=k/w2 M= 200/(25.13)2 M=0.31kg 2. Un péndulo simple tiene un periodo sobre la tierra de 1.20s ¿ cual es el periodo sobre la superficie de la luna, donde g=1.62m/s2. DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS T=1.20s T=? T=p G=1.92 OPERACIONES TT =p

L= L=1.27/5.23 L=0.48s 3. Un oscilador consta de un bloque con masa de 0.5 Kg., conectado a un resorte. Cuando se pone a oscilar con una amplitud de 35.0cm. Este repite el movimiento cada 0.500s. Determine a)el periodo, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) la constante del resorte, e)la rapidez máxima y f)la fuerza máxima que se ejerce sobre el bloque. DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS m=0.5kg T=? W= A= 35.0 cm f=? T=1/f T= 0.500s w=? F= 1/ T K=? Vmax= w xmax V=? OPERACIONES T=1/f T=0.500s f= 1/ T f= 1/0.500 f= 2.00Hz W=2p f W= 12.6 rad/s W= K=mw2 K= 79038 N/m Vmax= w xmax Vmax= 4.40 m/s 4. En una rasuradora eléctrica, la navaja se mueve en vaivén sobre una distancia de 2.00mm. El movimiento es armónico simple con frecuencia de 120hz. Calcule a) la amplitud b) la máxima rapidez de la navaja y c) la máxima aceleración de la navaja. DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS Rango = 2.0mm A=? A= rango /2 F=120Hz v=? V= wxmax A=? V= w2 xmax OPERACIONES A= rango /2 A= 2.0/2 A=1.00mm V= wxmax Vmax = 2p fxmax Vmax= wxmax Vmax= 2p (120)(1 x 10-3 ) Vmax= 0.75 m/s

V= w2 xmax Vmax = 2p f2 xmax Vmax= wxmax Vmax= 2p (120)2 (1 x 10-3 ) Vmax= 750 m/s2

5. Considere que un carro esta montado sobre cuatro resortes idénticos, como si ocurrieran oscilaciones verticales en cada uno de ellos. Los resortes de un cierto carro se ajustan de tal forma que la oscilación tiene una frecuencia de 3.00hz. ¿Cuál es la constante de resorte de cada resorte si la masa del carro es de 1450kg y el peso se distribuye equitativamente en los cuatro resortes? B). ¿cuál será la frecuencia de vibración si se suben al carro cinco pasajeros, con un promedian de 72kg cada uno? (Otra ves supongan una distribución uniforme del peso). DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS F=3.00Hz K=? M1=1450mkg f=? F= 1/2p M2 =5(73) kg OPERACIONES K= ¼ k= p 2 f2 m K= p 2 (3)2 (1450) K= ¼ k=1.29 x 105 N/m F= 1/2p F= 1/2p F= 2.68 Hz 6. El embolo en el cilindro de una locomotora tiene una carrera (dos veces la amplitud) de 0.76m. Si el embolo se mueve en un mas con una frecuencia angular de v=180 rev/min ¿cuál es su rapidez máxima? DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS A=0.76m v=? W= W= 180rev/min v= w OPERACIONES W=2p f Si f= 180 rev/min = 3Hz

W= 2p (3)= W=18.84rad v= w v= w v= w A v= (18.84)(0.76)= V=14.31 m/s 7. Un bloque de 2.00kg de masa cuelga de un resorte. Un objeto de .300g colgado abajo del bloque estira adicionalmente al resorte 2.00cm, a) ¿cual es la constante del resorte ¿ b) si el objeto de 0.300g se retira y el bloque entra en oscilación. Determine el periodo del movimiento. DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS M1=2kg K=? T= 2p M2=0.003kg T=? X=2cm OPERACIONES Si f=kx K=D f/D x si f=mg K= (0.009)(9.8)/0.02= K=1.47 N/m T= 2p T= 2p T=7.32 s

8.

Un cuerpo de 0,25 kg de masa está sometido a una fuerza elástica restauradora, con constante de recuperación k = 25 N/m. a) Dibújense la gráfica de la energía potencial elástica U en función del desplazamiento x en un intervalo de x comprendido entre -0,3m y + 0,3 m. Tómense 1 cm = 1J en el eje vertical y 1 cm = 0,05m en el eje horizontal. b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?. c) ¿Cuál es la energía potencial cuando el valor de desplazamiento es la mitad que el de la amplitud?. d) ¿Para que valor del desplazamiento son iguales la energía cinética y potencial? e) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el punto medio de su trayectoria?. f) El período T1. g) La frecuencia f1 y h) La frecuencia angular ω. i) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial θ 0si la amplitud A = 15 cm, el desplazamiento inicial x0 = 7,5 cm y la velocidad inicial Vo es negativa?. Desarrollo

a) El cuerpo inicia su oscilación con energía potencial inicial de 0,6J y energía cinética inicial de 0,2 J. A partir de la gráfica, respóndanse las cuestiones siguientes: U = k.x ²/2 x

U

0 ±0,05 ± 0,10 ±0,15 ± 0,20 ± 0,25 ± 0,30

0 0,031 0,125 0,281 0,500 0,781 1,125

b) A = ? ET = ω ².A ²/2 ω ² = k/m

ω ² = 25/0,25 = 100 A = √2.(0,8)/100 = 0,12 m c) Ep = k.x ²/2 x = 0,6 m Ep = 25.0,6/2 = 4 J d) Ep = k.x ²/2 0,6 = 25.x ²/2 x =± 0,219 m e) Calcúlense: Ec = m.v ²/2 v = ±√2.0,2/0,25 = ±1,26 m/s f) T = 1/f = 0 2.π.f = √k/m ƒ = √k/m/2.π = √25/0,25/2.π f = 1,59 Hz T = 0,628 s g) f = 1,59 Hz h) ω = ? k = m. ω ² ω = √k/m = √25/0,25 ω = 10 rad/s i) La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación: X = A.cos.(ω.t + θ o)

entonces no da que: X = A.cos. θ o por lo que para este caso como son las condiciones iniciales (t = 0) se deduce que: ω.t 0 nos da por consiguiente: 7,5 = 15.cos θ 0 θ0 = arc cos (7,5/15) = 1,047 rad 9.

Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de 15 cm de amplitud y 4Hz de frecuencia, calcúlense:

a) Los valores máximos de la aceleración y de la velocidad. b) La aceleración y la velocidad cuando el desplazamiento es 9 cm, y. c) El tiempo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio a un punto situado a 12 cm de la misma.

Desarrollo a)

A = 15 cm F = 4 Hz a máximo = ? V máximo = ? a = -A. ω ².cos ω .t

a máximo = A. ω ² a máximo = 15.25 ² a máximo = 9375 cm/s ² = 93,75 m/s ² ω = 2.π.f ω = 2.π.4 ω = 25 V máximo = ω .A 25.0,15 = 3,76 m/s b) a = ? y la V = ? cuando x = 9 cm a = - ω ².x a = -25 ².9 a = -56,84 m/s ²

V = ± 3,02 m/s c) x = A.cos ω.t 12/15 = cos 25.t cos 25.t =0,8 25.t = cos-1 0,8 25.t = 0,64

t = 0,025 s

10. Un cuerpo de 10gr. De masa se mueve con movimiento armónico simple de 24 cm. De amplitud y 4s. de período: El desplazamiento es + 24 cm. Para t = 0. Calcúlense:

a) La posición del cuerpo cuando t = 0,5 s. b) La magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando t = 0,5s. c) El tiempo mínimo necesario para que el cuerpo se mueva desde la posición inicial al punto en que x = -12 cm, y d) La velocidad de dicho cuerpo cuando x = -12 cm. Desarrollo a) m = 10 g A = 24 cm T=4s x = 24 cm para t = 0 t = 0,5 s x=? x = A.cos 2.π.f.t

x = 24.cos (2.π.0,5/4) x = 16,97 cm b) F = -k.x F = -m. ω ².x ω = 2.π.f F = -10.(2.π./4) ².19,97 F = 418,71 g. cm-1 la dirección está hacia abajo, porque al no completarse todavía el período (X = 16,97), la fuerza lleva a la masa hacia abajo hasta su máxima amplitud. c) Δt = ? x = A.cos ω .t x/A = cos ω .t arc cos (x/A) = ω .t Δt = [arccos (-12/24)]/(2.π /4) Δt = 1,33 s d) x = 12 cm V = -A. ω .cos ω .t V = -24.(2 π /4).cos (1,33.π /2) V = -18,67 cm.s-1

11. El movimiento del pistón del motor de un automóvil es aproximadamente armónico simple.

a) Si la carrera de un pistón (dos veces la amplitud) es 10 cm y el motor gira a b) Si el pistón tiene una masa de 0,5 kg, ¿qué fuerza resultante ha de ejercerse sobre él en ese punto?. c) ¿Cuál es la velocidad del pistón, en kilómetros por hora, en el punto medio de su carrera?. Desarrollo a) 3600 rev/mm., calcúlese la aceleración del pistón al final de la carrera. 2.A = 10 cm A = 5 cm = 0,05 m f = 3600 (rev/min).(1 min/60 s) = 60 Hz a máximo = k.x/m a máximo = (2.π.f) ².A a máximo = (2.π.60) ².0,05 a máximo = 7106 m.s ² b) m = 0,5 kg F = m.a F = 0,5.7106 F = 3553 N c) V = ? en el punto medio, la velocidad es máxima. V máximo = ω .A ω = 2 π.f V máximo = (2 π.f).A

V máximo = (2 π.60).0,05 V máximo = 18,85 m/s = 67,9 km/h

12. Un cuerpo de 2 kg. De masa está suspendido de un resorte de masa despreciable, y se produce un alargamiento de 20 cm.

a) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?. b) ¿Cuál es el período de oscilación del cuerpo si se tira hacia abajo y se abandona así mismo?. c) ¿Cuál sería el período de un cuerpo de 4 kg de masa pendiente del mismo resorte?. Desarrollo a) F = -k.x m.g/x = k k = 2.9,8/0,2 = 98 N/m b) k = m. ω ² ω = √k/m = 7 rad/s ω = 2.π.f

f = ω /2.π = 1,11 Hz T = 1/f = 0,89 s c) m = 4 kg ω = 4,94 rad.s-1 T = 1,26 s

13. La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 180 N tiene 9 cm de longitud. Se observa que un cuerpo suspendido de la balanza oscila verticalmente a 1,5 Hz. ¿Cuál es la masa del cuerpo?. Despréciese la masa del resorte. Desarrollo

F = 180 N f = 1,5 Hz F = -k.x k = -F/x

Por lo que si sustituímos en la ecuación se tiene que: k = |-2000 N/m| k = m.ω ² ω = 2.π.ƒ ω = 2.π.1,5 ω = 9,42 rad/s Sustituyendo: m = k/ω ² m = (2000 N/m)/(9,42 rad/s) ² m = 22,53 kg