Makalah Bilangan Rasional Dan Bilangan Irasional w5u5h

BILANGAN RASIONAL DAN BILANGAN IRASIONAL Disusun untuk memenuhi tugas Matematika

(kasi logo universitasmu)

Disusun oleh : Dwi Noviandi Prasetyo (Kasi NIM)

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR UNIVERSITAS TERBUKA SAMPANG 2016 – 2017

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimahkan rahmat dan anugerah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusnan makalah dengan judul “ Bilangan Rasional dan Irasional “ . Penyusunan makalah ini bertujuan untuk memenuhi tugas Matematika dan memberikan informasi kepada pembaca tentang bilangan Rasional dan Irasional. Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini ada pihak yang terlibat dalam memberikan bantuan dan dorongan selama penyusunan makalah ini. Untuk itu kami mengucapkan terimakasih kepada teman kami Maulidya Rizky Utami Amd. Rad dan semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Makalah ini diharapkan dapat menambah pengetahuan kepada pembaca tentang Bilangan Rasional dan Irasional dan pada akhirnya dapat memanfaatkan ilmu yang diperoleh sebagaimana mestiya. Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini terdapat kesalahan, untuk itu setiap saran, kritik, dan komentar sangat kami harapkan untuk perbaikan makalah ini.

Pamekasan, 25 September 2016

Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.................................................................................................. KATA PENGANTAR............................................................................................... DAFTAR ISI............................................................................................................. BAB 1 PENDAHULUAN A. B. C. D.

Latar Belakang............................................................................................. Rumusan Masalah....................................................................................... Tujuan Penulisan......................................................................................... Manfaat Penulisan.......................................................................................

BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Bilangan Rasional...................................................................... B. Pengerian Bilangan Irasional...................................................................... BAB III PENUTUP A. Kesimpulan................................................................................................. B. Saran........................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Mata pelajaran matematika adalah mata pelajaran yang isi muatannya berkaitan dengan hitung menghitung. Keadaan ini menuntut setiap orang baik itu anak-anak maupu dewasa hingga berusia lanjut sekalipun harus teliti dalam berhitung. Tujuannya adalah agar tidak terjadi kesalahan dalam proses menghitung yang berakibat fatal. Orang yang mahir matematika bukan karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika disyaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya seringnya berlatih soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang di pelajarinya. Sehingga bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam masalah ini di cantumkan uraian singkat tentang bilangan rasional dan irasional. B. Rumusan Masalah 1. Apa pengertian bilangan rasional ? 2. Apa pengertian bilangan irasional ? C. Tujuan Penulisan 1. Untuk memahami pengertian bilangan rasional 2. Untuk memahami pengertian bilangan irasional D. Manfaat Penulisan 1. Untuk memperdalam egetahuan tentang bilangan rasional dan irasional 2. Agar pembaca dapat membedakan antara bilangan rasional dan irasional

BAB II PEMBAHASAN

A. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan perbandingan (rasio) dalam bentuk

a , yang mana adalah bilangan bulat , b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. b

Bilangan rasional dilambangkan dengan Q. Jadi bilangan rasional Q terdiri atas : bulat positif B+, bulat negatif B-, pecahan positif, pecahan negative dan nol. Bilangan rasional terdiri atas : 1. Bilangan bulat, misalnya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, … 2. Bilangan pecahan, misalnya 

1 1 1 1 , , , 2 4 2 4

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal terbatas, atau dalam bentuk desimal berulang terbatas. Contoh : 1. 0,5 =

1 2

4.

1 = 0,33333… 3

2.

3 = 0,75 4

5.

8 = 0,727272… 11

3.

5 = 2,5 2

6.

7 = 0,212121… 33

Cara mengubah bentuk desimal berulang ke bentuk pecahan biasa ! Contoh : a. 0,323232… atau 0,32 Misal : x = 0,323232… 100x = 32,323232… x=

0,323232…

99x = 32

32 99

x =

Jadi 0,323232… =

32 99

b. 2,6666… atau 2,6 Missal : x = 2,6666… 10x = 26,6666.. x = 2,6666.. 9x = 24 x=

24 8 = 9 3

Jadi 2,6666… =

8 3

B. Bilangan Irasional Bahwa bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk

a dengan a dan b bilangan bulat, b  0 dengan kata lain bilangan irasonal adalah b

bilangan yang tidak rasional. Pada umumnya bilangan bentuk akar merupakan bilangan irasional, akan tetapi perlu diketahui bahwa tidak semua bilangan yang menggunakan tanda akar pasti bentuk akar. Bentuk akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional. Contoh bilangan irasional :

2,

3

,

5,

, log 2, log 3.

Perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh : 1)

5

=

bentuk akar

2)

9

= 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar

3)

20

= bentuk akar

4)

100

= 10 ( rasional) jadi bukan bentuk akar

5) 3 6)

4

7

= bentuk akar

81 = 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar.

Menyederhanakan Bentuk Akar Bilangan bentuk akar disebut sederhana jika : 1. Indeks ( pangkat akar) tidak dapat diperkecil 2. Tidak ada factor dari radikan (bilangan di bawah tanda akar) yang berpangkat sama besar dengan atau lebih dari indeks. Jika salah satu atau kedua – duanya tak memenuhi , maka bilangan bentuk akar itu dapat disederhanakan. Dapat juga dengan cara lain yaitu dengan memfaktorkan bilangan di bawah tanda akar menjadi dua bilangan bulat, dengan salah satu bilangan berupa bilangan kuadrat murni. Contoh : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a.

b. 18

32

c.

24

d.

80

e.

80

Jawab : a.

32

=

b.

18 =

9 .2 

c.

24 =

4.6  2 6

d.

80 =

16.5 

e.

80 =

49.3  7 3

16.2 

16 . 2  4 2 9. 2  3 2

16 . 5  4 5

Operasi Bilangan Pada Bentuk Akar 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.

Contoh : a. b. c.

32 3 3 6

6 4 6 5 6

d.

32  8 

e.

20 

50  98

28  125 

63  80

5 2 3 4 5 5 3

Jawab : a. b.

3  2 3  (1  2 ) 3 3 6

6  4 6  5 6  (3 1 4  5) 6

c.

5  2 3  4 5  5 3  (1  4) 5  ( 2  5) 5  3 5  7 3

d.

32 

8

50 

98  16.2 

4. 2 

25.2 

49.2

 4 2 2 2 5 2 7 2  4 2

e.

20 

28  125 

63  80  2 5  2 7  5 5  3 7  4 5  7 5  5 7

2. Perkalian Bentuk Akar Dengan Bentuk Akar 

ax b 



axb

a c xb d  axbx cxd



ax a  a

Contoh : Selesaikanlah dan sederhanakanlah. a. b.

5x 7 2 34 2

Jawab : a. b.

5x 7 

5 x7 

2 34 2=

=8x

35

(2 x 4) x 3 2

3

2

=8

6

Merasionalkan Penyebut Dengan menggunakan bentuk akar yang hasil kalinya rasional Yaitu : 1.

a



2.

a a

a b





a  b ab

pecahan yang penyebutnya bentuk akar dapat dirasionalkan dengan cara sebagai berikut: 1.

2.

3.

a b



c a b

a b



b



c a b

c  a b

a b



b



b

a b a b



c a b 2



a b

a b c  a  b ab

c  a b





a b



Contoh : Rasionalkan penyebut dari a.

5

4

b.

3

62 3

Jawab a.

b.

5 3



5 3



4 62 3

3 3



5 3 3 4

=

=

=

6 2 3

4



62 3



62 3 6  12

4 6 8 3  6 6

62 3



c.

32 2 3 2 2

d.

5

3 3

= 32 2

c.

3 2 2

=

=

4 8 6 3 6 6

32 2 3 2 2



32 2 62 3

96 2 6 2 8 98

= 17 - 12 2 5

d.

2 2

=

5

2 1



=

5 2 2 2

=

5 2

2 2

2 1

C. BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan bilangan bulat. Pertanyaan selanjutnya adalah “apakah diperbolehkan bilangan real berpangkat dengan rasional ?”. Pada subbab ini akan dibahas bilangan real dipangkatkan dengan bilangan rasional. DEFINISI Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan : 3

a  b jika b 3  a

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini. 1)

3

8  2 karena 23 = 8.

2)

3

125  5 karena 53 = 125.

3)

3

 27  3 karena (-3)3 = -27.

4)

3

1000  10 karena 103 = 1000.

5)

3

 1000  10 karena (-10)3 = -1000.

DEFINISI Akar pangkat n dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan n menjadi bilangan a, ditulis dengan : na b

jika

bn  a

Jika n genap, maka nilai a harus non negatif. Dalam keadaan khusus: 1. Jika n genap maka

n

={

an

a, jika

 a, jika

2. Jika n ganjil maka n a n

a

a0

a 0

, untuk sembarang nilai a.

DEFINISI 1

Untuk n bilangan asli, arti dari a n adalah

na

1 n

a na 1

a n akan mempunyai nilai apabila: 

Untuk n genap, nilai a harus positif.



Untuk n ganjil.

Pangkat bilangan rasional secara umum didefinisikan berikut ini. m

Untuk bilangan bulat non negatif m dan bilangan asli n, arti dari a n adalah a

m n

1    a n 

m













n

a

 atau m

m

 

a n  am

1 n

 n am .

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan Bilangan rasional dapat berbentuk rasional bulat atau rasional pecahan. Operas-operasi

pada

bilangan

rasional

adalah

penjumlahan,

perkalian,

pengurangan, dan pembagian. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai desimal berakhir atau desimal berulang. Bilangan rasional dapat dinyatakan

sebagai

bilangan desimal dengan mengubah penyebut menjadi 10, 100, 1000, ......... atau dengan pembagian biasa. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak irasional. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan

a yang mana a, b € I dan b ≠ 0. b

Bentuk-bentuk bilangan irasional antara lain bentuk akar, bentuk logaritma, dan bentuk nilai fungsi trigonometri. Nilai bilangan irasional tertentu daat dicari pendekatannya dengan cara-cara khusus.

B. Saran

Sebaiknya pembaca lebih memahami terlebih dahulu konsep dasar tentang bilangan Rasional dan Irasional.

DAFTAR PUSTAKA Sa’dijah Cholis.1999. Pendidikan Matematika II. Malang : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Proyek Pendidikan Guru Sekolah Dasar. Karso, dkk. Buku Materi Pokok PDGK4203/3SKS/MODL 1-9. Pendidikan Matematika I. Tangerang Selatan : Universitas Terbuka, 2014.