Bilangan Rasional 2h4j1d

Bilangan irasional Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Langsung ke: navigasi, cari Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π,

, dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat = 3.14, tetapi = 3,1415926535.... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... Untuk bilangan

:

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798.. dan untuk bilangan e:

1. Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,……} 2. Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,….} 3. Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,….}

4. Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} 5. Himpunan bilangan rasional Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q ∈ bulat dan q berulang.

≠

0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 6. Himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, √7 7. Himpunan bilangan riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 8. Himpunan bilangan imajiner Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i 9. Himpunan bilangan kompleks Ηιµ π υ ν α ν β ι λ α ν γ α ν κ ο µ π λ ε κ σ α δ α λ α η η ι µ π υ ν α ν βιλα ν γ α ν ψα ν γ α ν γ γ ο τ α−αν γ γ ο τ α ν ψ α (α + β ι) δ ι µ α ν α α , β ∈ R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

Tuesday, October 7, 2008 Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional ^^ Posted by hendry_dext Huaam. Sudah tahukah kalian tentang bilangan irasional? Lalu, kalau sudah tahu, tentunya kalian bisa donk menjawab pertanyaan ini: 1. Apakah adalah bilangan irasional? 2. Apakah adalah bilangan irasional? 3. Apakah 0,12111111... adalah bilangan irasional? 4. Bisakah kamu membuat bilangan 0,25252525... menjadi bentuk pecahan a/b yang paling sederhana? 5. Buktikan bahwa itu irasional (Sumber: ariaturns) 6. Buktikan 2log 3 adalah bilangan irasional 7. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional? Nah, kalo kalian masih b'lom tw, baca lagi joedoel post di atas: "Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional". So, tenang aja... Here, I'll introduce you my friend, Irrational numbers.. Hehehe.. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Definisi Bilangan Rasional Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan . Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja. Contoh: 1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional. 2. Pecahan . Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3. 3. Pecahan juga.

. Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional

Bagaimana dengan bilangan

..???

Jawab: Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional. Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638? Jawab: Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi

.

Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...? Jawab: Misalkan A= 0,2525252525.... _____._(persamaan pertama) Kalikan A dengan 100 menghasilkan: 100A=25,2525252525.... ___(persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu: 100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525... 99A = 25 A=

.

Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk menjadi pecahan di mana a=25 dan b=99. Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional. Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional? Jawab: Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola. Anggap A=0,121111... Kalikan A dengan 100 menghasilkan 100A = 12,1111... _____._(persamaan pertama) Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan 1000A = 121,1111... ____(persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu 1000A-100A = 121,1111... - 12,1111... 900 A = 109

A= . Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional. Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional? Jawab: Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional. Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat? Jawab: Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah. Contoh: 1. Tentukan bilangan pecahan paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123.... Jawab:

Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah Setelah disederhanakan maka menjadi

.

.

2. Jika adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517.... Tentukan a+b positif terkecil! Jawab: Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517.... Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:

. Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Definisi Bilangan Irasional Nah, sekarang kita baru lanjut ke "Bilangan Irasional". Tentunya, jika sudah paham tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika bilangan itu tidak dapat dijadikan pecahan , maka bilangan itu irasional.

Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan irasional? Jawab: Ya. Misalnya pi yang disimbolkan dengan digit 3,14159265358979323846264.... Digitdigit itu tak pernah berulang. Oleh karena itulah tidak bisa dijadikan pecahan . Begitu pula dengan yang digit-digitnya adalah 1,41421356237309504880168872420969807.... Oh iya, bilangan juga merupakan bilangan irasional yang pertama kali berhasil dibuktikan orang sebelum Masehi. Orang itu bernama Hippapus (Sumber: ariaturns). Untuk membuktikan apakah itu irasional, kita tidak perlu menghitung semua digitnya karena digitnya itu infinite (tak hingga) banyaknya. Hippapus berhasil memberikan kita gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya. Bagaimana cara membuktikan bahwa

itu bilangan irasional?

Jawab: Untuk membuktikan adalah irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi (proof by contradiction), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar. Pertama, asumsikan bahwa

bilangan rasional yang bisa dibentuk menjadi .

= Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi: 2 = Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = 2k. 2 = =2

Maka mengakibatkan juga genap. Artinya b haruslah genap. Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak akan ada a dan b yang memenuhi kondisi

= . Jadi,

adalah bilangan irasional.

(Sumber: ariaturns) Bagaimana cara membuktikan bahwa 2log 3 adalah bilangan irasional? Jawab: Gunakan cara yang sama seperti soal sebelumnya. Asumsikan bahwa 2log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka kita dapat: 2

log 3 = =3 =

Di sini kita akan menemui sesuatu yang kontradiktif. Ruas kiri, , akan selalu bernilai genap untuk semua nilai m, sedangkan untuk ruas kanan, akan selalu bernilai ganjil untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi, 2log 3 adalah bilangan irasional. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional? Jawab: Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi sebagai berikut. , di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional. Seandainya, kita ambil contoh a =

dan b =

, maka kita tentunya bisa saja

menganggap bahwa sebagai salah satu contoh bilangan rasional. Maka, di sini jawabannya sudah didapat. Namun, apabila

itu merupakan bilangan irasional, maka kita bisa menganggap

bahwa a = dan b = , dengan demikian c = merupakan jawaban yang dimaksud.

. Artinya, c = 2,

Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan irasional atau bilangan rasional? Jawab: Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih sedikit ketimbang bilangan irasional. Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan irasional. Misalnya, merupakan bilangan rasional, namun , , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan? Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real, jumlah bilangan irasional jauh lebih banyak daripada jumlah bilangan rasional. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan rasional dan irasional. (Masih ada tingkat lanjutannya.) Jika ada yang tidak dimengerti, tanya ajah.. ^^.. Sumber: macem2, salah satunya http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2. Thx for http://jovieblog.blogspot.com juga yang turut memberi inspirasi mengenai design blog. 10 comments:

Sistem Bilangan Real August 10th, 2008 by aurino | Filed under Uncategorized.

Sistem Bilangan Real Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep Himpunan (sets) Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi φ atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a ε S dan dibaca “a elemen S“. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan

dan dibaca “a bukan elemen S“.

Himpunan dapat disajikan dengan 2 cara. Pertama, dengan menuliskan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis: A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis merupakan anggota B.

, jika setiap anggota A

Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah Himpunan semua bilangan asli adalah N ={1,2,3,…}. Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya

dan

untuk setiap

. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z, Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah dan π . Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1

Sedangkan bilangan π merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.1.2).

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan masing-masing

dapat

dinyatakan

dalam

desimal

sebagai

Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

1.

berhenti (

), atau

2.

berulang beraturan (

).

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

AKAR DUA BILANGAN RASIONAL Akar dua yang dilambangkan dengan x2, adalah suatu bilangan, sebut saja x, yang memenuhi x2=2. Bilangan x2 muncul sebagai akibat adanya teorema yang kebenarannya ditunjukan oleh Phytagoras, seorang filsuf dari Yunani. Misalkan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang masing-masing sisi siku-sikunya adalah a dan b. Dan panjang sisi miringnya adalah c,maka akan memenuhi persamaan: c2=a2+b2 Apabila segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi sikusikunya adalah 1, maka panjang sisi miringnya, yang dinamai c, mamenuhi persamaan berikut: c2=12+12 c2=1+1 c2=2 c=x2 Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan bilangan rasional. Sedangkan, yang dimaksud dengan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p dan q masing-masing bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat, maka n senantiasa dapat dituliskan sebagai n/1. Contohnya: • •

5=5/1 12=12/1

Selain bilangan bulat ada bilangan rasional yang dikenal sebagai bilangan pecahan, salah satu contohnya bilangan yang lambangnya 1/2, dibaca satu per dua atau dikenal dengan nama setengah. Contoh yang lain adalah 3/4 dibaca tiga per empat. Dan masih tak hingga banyak lagi contoh yang lain. Dilihat dari penulisannya, sebuah bilangan rasional terdiri atas 2 bagian, yaitu bagian atas dikatakan sebagai pembilang dan bagian bawah dikatakan sebagai penyebut dari sebuah bilangan rasional. Apabila pada suatu bilangan rasional, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih kecil dari 1. Dan apabila pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih besar dari 1. Sedangkan apabila pembilangnya sama dengan penyebutnya maka nilai bilangan rasional itu sama dengan 1. Kalau dihitung dengan kalkulator x2=1,414213562... Kalau dilihat pada garis bilangan, x2 terletak diantara bilangan bulat 1 dan 2.

Sifat persamaan yang sudah dikenal sejak mulai belajar aljabar adalah suatu persamaan