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Actividad Integradora Malthus Módulo 18 Semana 3 C4G5-063 Rosalinda Martínez Muñoz Oscar García Serrano

Malthus 1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la anti derivada. En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P (t), en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos. Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la anti derivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación: dP = kP (t) dt Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta: dy = kydt Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:

En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su anti derivada. 2. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración:

Función

Integral

Función

Integral

↓

↓

↓

↓

∫

𝒅 𝒚

=

𝐥𝐧 𝒚

∫ 𝒌 𝒅𝒕

=

𝒌∫ 𝒅𝒕 ⟶ 𝒌𝒕 + 𝒄

Entonces la integral de la ecuación diferencial es: lny = kt+c Una vez que tengas las respectivas anti derivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus: y=Cekt Donde la variable y representa la tasa de crecimiento de la población. Despejando a “y” y aplicando la siguiente propiedad: ln a=n por lo tanto a=en Entonces ln y = kt +C despejando “y” tenemos que: y= Cekt en donde “y” representa a la tasa de crecimiento

3. Desarrollo. Con la aplicación de la anti derivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica: Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Tenemos que la anti derivada es y= Cekt En donde: y= tamaño de la población dada 350 t= tiempo: 0 k= crecimiento: 0 Entonces sustituyendo tenemos que: y= Cekt 350= Cekt 350 = C+e0 350 = C(1) 350 = C

este es el valor de C

Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano. De la fórmula de estimación del tamaño de población: y= Cekt Tenemos que: k= 0.3 t= 12 C= 350 Sustituyendo tenemos que: y= Cekt y= (350)e(0.3)(12) ⟶ y= (350)e3.6 ⟶y=(350)( 36.5982) ⟶ y= 12809

Por lo tanto de una población de 350 individuos, se estima que dentro de 12 años, habrán 12809 individuos, por lo que la función que determina este crecimiento es y= 350e0.3t que son 12809 individuos

Bosqueja una gráfica a mano:

Fuentes de consulta: Jorge Alonso Santos Mellado. (2016). Actividad Integradora 2 Semana 3 Módulo 18, Prepa en Línea. Bien explicado. 24 de julio de 2017, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=aOusStas6Ro Profesor Juan Pablo Carrillo Sandoval. (2017). Semana 3 - Módulo 18 - Prepa en línea SEP. 24 de julio de 2017, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=KOARSgDb8Ds Desconocido. (2017). contenido extenso. 23 de julio de 2017, de prepa en línea SEP Sitio web: http://148.247.220.231/pluginfile.php/12940/mod_resource/content/2/ExtensoM18-U2.pdf