Libro Fractal 3 5l1x2n

Desarrollar

competencias para la

sociedad del conocimiento

SILVIA GARCÍA TATIANA MENDOZA

edición

Nueva

MATEMÁTICAS SECUNDARIA TERCER GRADO

Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Gerencia de publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición César Jiménez Espinosa Alberto Lara Castillo Armando Solares Rojas Coordinador de la serie David Francisco Block Sevilla Autores Silvia García Peña, Tatiana María Mendoza van der Borch Revisión técnica Ernesto Manuel Espinosa Asuar María de los Dolores Lozano Suárez Jesús Rodríguez Viorato Armando Solares Rojas Colaboración Ernesto Manuel Espinosa Asuar (páginas 62, 63, 64, 104, 105, 106, 156, 157, 158, 192, 193, 194, 224, 225 y 226) Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección Equipo SM, Daniel García Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de la serie Jesús García, Pedro Castellanos Diseño de portada Renato Aranda, Juan Bernardo Rosado Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia García Imagen Equipo SM Coordinación de diagramación Jesús Arana Diagramación María Elena Amaro Guzmán Aldo Botello Báez Víctor Hugo Romero Vargas Ilustraciones Maribel Vidals, Bertha Ramírez, Rubén Nava Judith Meléndrez, Guillermo López Wirth Javier De Aquino Fotografía Archivo SM, © 2011, Thinkstock Digitalización y retoque Carlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya

Fractal 3. Matemáticas Serie Construir Primera edición, 2008 Segunda edición, 2011 D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-471-840-9 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico

Presentación Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas. También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?, las medidas de los lados de un triángulo, ¿pueden ser tres números cualesquiera?, ¿es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7…? Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes. Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas. Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos, por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura. Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla. Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar. l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender. A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos:

Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas. Esperamos, como todos los autores que escriben libros para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, ¡esto sí me gusta! Los autores

Guía de uso Fractal 3 está dividido en cinco bloques. Cada bloque se inicia con una página introductoria que consta de los siguientes elementos: Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimiento de matemáticas.

Para estudiar la caída de los cuerpos, Galileo Galilei , arrojaba objetos de distintos tamaño desde lo alto de la torre de Pisa. Para relacionar la distancia que recorre un cuerpo en caída libre en relación con el tiempo que transcurre y la aceleración de la gravedad, se puede emplear la siguiente expresión: d = 12 gt2 En este bloque trabajarás expresiones como la anterior.

BLOQUE 1

En este bloque estudiarás: • expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(a + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2. • los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros. • las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias; la recta secante y la tangente a una circunferencia. • la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco. • la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. • la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa. • diseño de un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque.

Contenidos programáticos que se estudian en el bloque.

15

Los contenidos se desarrollan en lecciones de dos páginas que presentan estos componentes:

Actividades de construcción del conocimiento. Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.

introducción

Lección 28

Rectángulos semejantes

Texto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.

d

b c

a 1 Realicen lo siguiente:

a) Midan el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos.

a) Tracen un rectángulo A en el que el largo sea el triple del ancho. b) ¿Cuál es la razón de semejanza del rectángulo azul con respecto al rectángulo rojo?

c) Traza en tu cuaderno un rectángulo cuya razón de semejanza o factor de escala con respecto al rectángulo rojo sea 3 a 1. d) ¿El rectángulo que trazaste es semejante al rojo y al azul? ¿Cómo lo sabes?

● ● ●

En el rectángulo B el largo es seis veces el ancho. En el rectángulo B el largo también es el triple del ancho. En el rectángulo B el largo es el doble del ancho. 4 Se tienen las siguientes fotografías.

Dos rectángulos dibujados a escala son rectángulos semejantes.

Conceptos

d) Tracen en su cuaderno el rectángulo C semejante al rectángulo A con un factor de escala 4 a 1; verifiquen si conserva la misma relación que A y que B entre el largo y el ancho. 2 Comparen sus respuestas y lean y comenten la siguiente información.

A

Medidas (cm) La relación “doble” que guardan las dimensiones largo y ancho del rectángulo B con respecto al rectángulo A se llama factor de escala o, también, razón de semejanza entre los rectángulos. La relación de semejanza de dos rectángulos es una relación de proporcionalidad y la razón de semejanza, en este caso, es también constante de proporcionalidad. Por otra parte, en todos los rectángulos semejantes a A, el ancho es 13 del largo (o el largo es 3 veces el ancho). Esta razón entre largo y ancho no tiene un nombre especial.

B

Las siguientes son medidas de la base y la altura, respectivamente, de varios rectángulos. Anoten a cada rectángulo si es semejante a A a B o a ninguna. 5 � 4.5 18 � 15 12 � 10

8�5

24 � 15 9 � 7.5 16 � 10 12 � 7.5 a � 3a

Es semejante a:

5 Comenten en grupo los resultados a los que llegaron. 6 Para seguir trabajando con rectángulos semejantes, resuelve el anexo 3 de la página 225.

76

TECNOLOGÍA

2.3. Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y los lados

b) Supongan que trazan un rectángulo B a escala 2 a 1 del rectángulo A, o sea que sus lados tengan el doble del tamaño. ¿Cuál será la relación entre los lados del rectángulo B? Subraya lo que creas correcto:

c) Tracen en su cuaderno el rectángulo B y verifiquen su respuesta anterior.

Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

Formas de organización

3 Considera los siguientes rectángulos semejantes.

¿Todos los rectángulos son semejantes o sólo son parecidos? En el lenguaje de las matemáticas, la palabra semejante tiene un significado más preciso que el que se le da en el lenguaje cotidiano.

En algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo, individual, en equipos, en parejas o grupal.

77

tecnología

Contenido

Estas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro.

En cada lección se indica el contenido del programa oficial que se trabaja en la lección. Cuando en una lección intervienen de manera importante varios contenidos del programa, se señalan todos.

Guía de uso Al finalizar cada bloque, encontrarás tres secciones: Repasemos lo aprendido Contiene preguntas de los distintos temas que se vieron en el bloque. Contestar estas preguntas te permitirá repasar y, al mismo tiempo, identificar algunas cuestiones que quizá no te hayan quedado claras. Encontrarás el formato típico de los exámenes para que te vayas acostumbrando a usarlo: preguntas de opción múltiple y una o varias preguntas abiertas.

Repasemos lo aprendido

y

c)

y

d)

10

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

y

1 ¿Cuál es la ecuación de la recta?

20

-1

16

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

1

x

9 10

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

9 10

15

2 Un cono mide 10 cm de altura y el radio de la base es 5 cm. Si el cono se corta por la mitad como se muestra en la figura, ¿cuál es el volumen del cono pequeño que resulta de este corte?

14 13

2 ¿Cuál es la ecuación de la parábola? a) y = 4x2 c) y = x2

2

1

18

b) y = −4x d) y = 4x

3

2

19 17

a) y = x + 4 c) y = x − 4

4

3

I. Considera la gráfica y subraya la respuesta correcta.

10

9

12 11 10

b) y = 4x2 + 4 d) y = −x2

9

Se hace un corte aqui

10 cm

8 7

3 ¿En qué punto se intersecan la recta y la parábola?

6 5 4

a) (0,0) y (2, 4) b) (0, 0 ) y (4, 16) c) (0,0) y (16, 4) d) (4, 16) y (16, 4)

3 2

a)

1 -1

-1

x 1

2 3

4

5

6

7

8

a) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es el doble de su perímetro. b) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es la mitad de su perímetro. c) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es el cuadrado de su perímetro. d) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es igual a su perímetro. II. Subraya la respuesta correcta. 1 Supongamos que se tienen cilindros con altura igual a 1 unidad y se va variando la medida del radio. ¿Cuál gráfica representa esta situación? y

a)

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

9 10

-1

2

c)

π(2.5)25 cm3 3

d) π(5) 5 3 2

PIBPC (en dólares)

País

PIBPC (en dólares)

39 676 9 481 9 803 7 278 7 256 6 043

Canadá El Salvador Nicaragua Honduras Guatemala Belice

31 263 5 041 3 634 2 876 4 313 6 747

4 Las personas que hacen ejercicio deben controlar su ritmo cardiaco, es decir, el número de pulsaciones del corazón por minuto. Una vieja fórmula para calcular el máximo de pulsaciones por minuto es la siguiente. Máximo de pulsaciones por minuto = 220 − edad

Pregunta 1. Pedro tiene 62 años y dice que con la nueva fórmula su máximo de pulsaciones por minuto se increJustifica tu respuesta.

menta. ¿Tiene razón?

1

2

3

4

5

6

7

8

x

9 10

Pregunta 2. ¿Para qué edad el máximo de pulsaciones por minuto es igual con ambas fórmulas?

222

Las matemáticas en las espirales

223

Las matemáticas en… Se proponen situaciones de la vida cotidiana, de la naturaleza, de la música o de otros ámbitos, en los que, sorprendentemente, hay un conocimiento de matemáticas en juego.

La espiral de Arquímedes no aparece mucho en la naturaleza; la que sí aparece es la espiral logarítmica. En esta espiral, según vayamos girando alrededor del origen, la curva se irá alejando del origen de forma cada vez más rápida. La forma de espiral logarítmica aparece en conchas, en galaxias, en huracanes.

Desde los tiempos antiguos, las espirales han llamado la atención de artesanos, pintores y también de matemáticos. La espiral más sencilla, la espiral uniforme, también es conocida como espiral de Arquímedes, debido a que Arquímedes, un matemático y geómetra griego, escribió un tratado titulado De las espirales, en el que analizó sus propiedades. Podemos encontrar una espiral de Arquímedes en una cuerda enrollada sobre sí misma o en la espiritrompa de una mariposa.

Una técnica sencilla para dibujar una espiral es la siguiente. Haz este dibujo en papel milimétrico; puedes hacer tantos triángulos como quieras. Los catetos del primer triángulo rectángulo deben medir 1 cm. En los demás triángulos rectángulos uno de los catetos es la hipotenusa del triángulo anterior y el otro cateto mide 1 cm. ● Indica en tu dibujo cuánto mide cada una de las hipotenusas de los triángulos. En cada caso expresa esa medida como la raíz de un número. ● ¿Qué tipo de espiral se obtiene?, ¿una de Arquímedes o una logarítmica? ● ●

¿Cómo explicarías qué es una espiral?

●

¿Cuáles características observas en la espiral de Arquímedes?

La espiral de Arquímedes es sencilla de dibujar o de representar; aparece grabada en piedra o como motivo de adorno desde las épocas más remotas.

cm3

País

Estados Unidos Costa Rica México Panamá Colombia Venezuela

Máximo de pulsaciones por minuto = 208 − (0.7 × edad)

1 -1

b) π(5) 5 cm3 3

3 Con los datos de la tabla de la derecha elabora una gráfica de caja-brazos en tu cuaderno. ¿Qué conclusiones puedes obtener?

Sin embargo, más recientemente se dio a conocer otra fórmula.

10

9

1 -1

y

b)

10

π(2.5)210 cm3 3

9 10

4 Supongamos que el punto de intersección es el resultado de un problema. ¿Cuál de los siguientes podría ser ese problema?

Y para terminar... Mosaico de Chipre

Pasar el río

Capitel fenicio

Arquímedes definió a esta espiral diciendo:“Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral”. Actualmente la información digital en un CD se graba en forma de espiral de Arquímedes.

1 Un viejo se encuentra a la orilla de un río con un perro, una gallina y una bolsa de maíz. El viejo desea cruzar el río, dispone de una balsa en la que necesariamente debe ir él y es posible que cargue sólo una de las tres cosas que desea pasar. El problema consiste en pasar al perro, a la gallina y a la bolsa de maíz del otro lado, pero cuidando que nunca se quede la gallina con el maíz porque la gallina se lo come, ni el perro con la gallina por que el perro se la come. Escribe un instructivo detallado mediante el cual el viejo pueda pasar en su balsa a la gallina, el perro y el maíz.

193

2 Ocho excursionistas quieren cruzar un río. No hay puente; solo dos niños que juegan en un bote tan pequeño que sólo puede transportar a un adulto o máximo a los dos niños juntos. Un niño y un adulto lo harían hundirse. ¿Cómo hacer para que crucen todos los excursionistas? Describe cuál es tu solución.

Respuestas (en cada caso se indica una de las respuestas posibles): • Pasan dos caníbales • Se regresa un caníbal • Pasan dos caníbales • Se regresa un caníbal • Pasan dos misioneros

• Se regresa el viejo • Pasa el viejo con el maíz • Se regresa el viejo con la gallina • Pasa el viejo con el perro • Se regresa el viejo • Pasa el viejo con la gallina

Acertijo 1.

• Se regresa un misionero y un caníbal • Pasan dos misioneros

Se repiten estos pasos siete veces más

• Se regresa un caníbal

• Se regresa el otro niño

• Pasan dos caníbales

• Pasa un adulto

• Se regresa el misionero

• Se regresa un niño

• Pasa un misionero con un caníbal

• Pasan los dos niños

Acertijo 3

Acertijo 2.

Y para terminar… Contiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque.

3 Tres misioneros y tres caníbales se encuentran a la orilla de un río que quieren cruzar. El problema consiste en que el río está repleto de pirañas y para cruzar sólo disponen de una canoa de remos a la que le caben sólo dos pasajeros. Los tres misioneros son capaces de remar y los caníbales también. Se debe tener mucho cuidado al cruzar el río, pues si en algún momento, en alguna de las orillas, hay más caníbales que misioneros los caníbales se comerían a los misioneros. ¿Existe algún procedimiento mediante el cual puedan cruzar los seis sin que algún misionero sea devorado? De ser así, escribe un instructivo que permita resolver la situación.

• Pasa el viejo con la gallina

192

Tres acertijos para pasar el río

158

Al final del libro, encontrarás la sección Anexos, con algunas actividades que se llevan a cabo con computadora. Estas actividades te permitirán afirmar algunos aspectos de los temas que has venido estudiando, al mismo tiempo que aprenderás a usar algunos programas. Los momentos en los que se sugiere realizarlas vienen indicados en las lecciones con el símbolo TECNOLOGÍA. Por último, hallarás una tabla que relaciona los contenidos del programa y las lecciones del libro.

Presentación para el maestro El enfoque didáctico de Fractal A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal. Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar. Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado. ¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el conocimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo. Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales. Varios procedimientos y no uno solo. “¿Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?” es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de procedimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para resolver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que olvidan la técnica más avanzada. Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas. A final de cuentas, ¿cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve. Articulación de contenidos. Uno de los “males” de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los

Presentación para el maestro programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba. Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando aprovechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporcionalidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones. Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema. Algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases. En las preliminares se incluye una propuesta de dosificación para el desarrollo de las lecciones a lo largo del año escolar. Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos. En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico. • Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases; • para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento. Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos. Los autores

Dosificación Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

S E M A N A S 1

1

BLOQUES

2

3

4

5

2

3

4

1.1. Productos notables y factorización (lecciones 1 y 2)

1.1. Productos notables y factorización (lecciones 3 y 4)

1.2. Justificación propiedades de cuadriláteros (lecciones 5 a 8)

1.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y circunferencias entre sí (lecciones 9 a 11)

2.1. Ecuaciones no lineales (lecciones 23 y 24)

2.2. Ecuaciones cuadráticas por factorización (lecciones 25 a 27)

2.3. Figuras semejantes (lecciones 28 y 29)

2.3. Figuras semejantes (lecciones 30 y 31)

3.1. Funciones expresadas con tablas o expresiones algebraicas (lecciones 41 y 42)

3.2. Ecuaciones cuadráticas por fórmula general (lecciones 43 y 44)

3.3. Teorema de Tales (lecciones 45 a 48)

3.4. Homotecia (lecciones 49 a 52)

4.1. Método de diferencias finitas para sucesiones cuadráticas (lecciones 64 a 67)

4.2. Teorema de Pitágoras (lecciones 68 a 70)

4.3. Razones trigonométricas (lecciones 71 a 73)

4.4. Crecimiento aritmético y exponencial (lecciones 74 a 76)

5.1. Ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones (lecciones 79 y 80)

5.2. Conos, esferas y cilindros (lecciones 81 y 82)

5.3. Volumen de cilindros y conos (lecciones 83 y 84)

5.3. Volumen de cilindros y conos (lecciones 85 y 86)

Dosificación podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en… así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada.

S E M A N A S 5

6

7

8

9

1.4. Ángulo inscrito y ángulo central de una circunferencia (lecciones 12 y 13)

1.5. Medida de ángulos inscritos, centrales, arcos, sectores, coronas (lecciones 14 a 16)

1.6. Razón de cambio de una función lineal (lecciones 17 a 19)

1.7. Diseño de un estudio y comunicación de resultados (lecciones 20 a 22)

Repasemos lo aprendido (páginas 60 y 61)

2.4. Criterios de semejanza de triángulos (lecciones 35 y 36)

2.5. Uso de índices (lecciones 37 y 38)

2.4. Criterios de semejanza de triángulos (lecciones 32 a 34)

2.6. Simulación en situaciones probabilísticas (lecciones 39 y 40)

Evaluación del bloque 1 Repasemos lo aprendido (páginas 102 y 103) Evaluación del bloque 2

3.5. Gráficas de funciones no lineales (lecciones 53 y 54)

3.6. Forma y posición de las gráficas de funciones no lineales (lecciones 55 a 58)

4.5. Relación de datos de distinta naturaleza de un mismo fenómeno (lecciones 77 y 78)

Repasemos lo aprendido (páginas 190 y 191)

5.4. Estimar y calcular volúmenes de cilindros y conos (lecciones 87 y 88)

5.5. Gráfica de cajabrazo (lecciones 89 a 91)

3.6. Forma y posición de las gráficas de funciones no lineales (lecciones 59 a 61)

Evaluación del bloque 4 Repasemos lo aprendido (páginas 222 y 223) Evaluación del bloque 5

3.7. Gráficas formadas por secciones de rectas y curvas (lecciones 62 y 63)

Repasemos lo aprendido (páginas 154 y 155) Evaluación del bloque 3

Índice Presentación Guía de uso Presentación para el maestro Dosificación

3 4 6 8

Bloque 1

Conocimientos y habilidades

Lección 1. Lección 2. Lección 3. Lección 4.

Productos notables I Productos notables II Productos notables III Expresiones equivalentes

16 18 20 22

1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x − a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x 2 − a2 .


Construcciones I Construcciones II Construcciones III Construcciones IV

24 26 28 30

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

Lección 9. Lección 10. Lección 11.

En la carpintería Más sobre tangentes Posiciones relativas

32 34 36

1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

Lección 12. Lección 13.

Ángulos, arcos y cuerdas I Ángulos, arcos y cuerdas II

38 40

1.4. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.


Triángulos y circunferencias Un juego sobre ángulos Diseños con círculos

42 44 46

1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.


La velocidad como razón de cambio Variaciones de temperatura La pendiente como razón de cambio

48 50 52

1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.


Preguntas adecuadas y no tan adecuadas La presentación más adecuada Del problema a la comunicación de resultados

54 56 58

1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.


60

Las matemáticas en la medición de la circunferencia de la Tierra

62

Y para terminar…

64

Índice Bloque 2



La medida de un lado El número desconocido

66 68

2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.


Técnicas para resolver ecuaciones I Técnicas para resolver ecuaciones II Factorizaciones fáciles y no tan fáciles

70 72 74

2.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.


Rectángulos semejantes Una condición más sobre semejanza Encuentra los errores Rectángulos semejantes en el plano cartesiano

76 78 80 82

2.3. Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.

Lección 32. Lección 33. Lección 34. Lección 35. Lección 36.

Condiciones necesarias y suficientes Un criterio más de semejanza de triángulos Más sobre semejanza de triángulos ¿Cuánto mide la altura del poste? Calculando distancias

84 86 88 90 92

2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.


Análisis de índices I Análisis de índices II

94 96

2.5 Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.


¿Niña o niño? Simulando el problema

98 100


102

Las matemáticas en la criptografía

104

Y para terminar…

106

Bloque 3

2.6. Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.



Depreciación y plusvalía Cantidades que cambian y se relacionan

108 110

3.1. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.


Una fórma útil Algunos problemas

112 114

3.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

Lección 45.

Paralelas y segmentos proporcionales

116

3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

Lección 46.

El teorema de Tales y sus aplicaciones

118

Índice Lección 47. Lección 48.

Triángulos, hilo, palillos y algo más I Triángulos, hilo, palillos y algo más II

120 122

3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.


Sombras y otras proyecciones Homotecias fraccionarias y negativas Cambiando el centro de homotecia Más sobre homotecia

124 126 128 130

3.4. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.


Curvas en el plano La velocidad también varía

132 134

3.5. Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

Lección 55. Lección 56. Lección 57. Lección 58. Lección 59 Lección 60. Lección 61.

La máquina función I Funciones cuadráticas I Funciones cuadráticas II La máquina función II El recíproco de un número Parábolas y ecuaciones Si cambia la ecuación, cambia la gráfica

136 138 140 142 144 146 148

3.6. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.


Puntajes en videojuegos Cambia… la manera de cambiar

150 152

3.7. Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.


154

Las matemáticas en una hoja de papel

156

Y para terminar…

158

Bloque 4



Figuras con palillos Primeras o segundas diferencias El método de las diferencias Números y figuras

160 162 164 166

4.1. Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.


La cuerda de 12 nudos Una comprobación con material Problemas diversos

168 170 172

4.2. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

Índice Lección 71. Lección 72. Lección 73.

A veces, Pitágoras no alcanza La tangente tiene que ver con la pendiente El saber da poder

174 176 178

4.3. Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.


Planes de ahorro I Planes de ahorro II Planes de ahorro III

180 182 184

4.4. Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.


La basura El reciclado

186 188

4.5. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.


190

Las matemáticas en las espirales

192

Y para terminar…

194

Bloque 5



La traducción de los problemas De todo un poco

196 198

5.1. Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.


Girar una figura produce otra figura Cortes con formas inesperadas

200 202

5.2. Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera cono recto.


¿Cómo se hace un cilindro? El volumen de un cilindro ¿Cómo se construye un cono? Un cono a la medida

204 206 208 210

5.3. Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.


Volúmenes y capacidades Más giros

212 214

5.4. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

Índice Lección 89. Lección 90. Lección 91.

El mejor horno I El mejor horno II Duración de una anestesia

216 218 220


222

Las matemáticas en reflectores parabólicos

224

Y para terminar…

226

Anexos Bibliografía

227 235

5.5. Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

Para estudiar la caída de los cuerpos, Galileo Galilei , arrojaba objetos de distintos tamaño desde lo alto de la torre de Pisa. Para relacionar la distancia que recorre un cuerpo en caída libre en relación con el tiempo que transcurre y la aceleración de la gravedad, se puede emplear la siguiente expresión: d = 12 gt2 En este bloque trabajarás expresiones como la anterior.

BLOQUE 1

En este bloque estudiarás: • expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(a + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2. • los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros. • las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias; la recta secante y la tangente a una circunferencia. • la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco. • la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. • la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa. • diseño de un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

15

Lección 1

Productos notables I

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que tienen características especiales. Con base en estas características, se pueden identificar y resolver fácilmente.

1 La figura A es un cuadrado dividido en cuatro partes: un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Con base en esta información y la que ofrece la figura, anoten lo que se indica. Figura A

a) La medida de un lado de la figura.

x

y

b) El área de cada una de las partes.

x

y

Cuadrado grande. Cuadrado chico. Rectángulo.

c) El área total de la figura. d) De las siguientes cuatro expresiones, hay dos que corresponden al área de la figura A anterior. Subráyenlas. x2 1 y2 (xy)2 (x 1 y)2 x2 1 2xy 1 y2 e) Expliquen por qué se puede asegurar que la siguiente igualdad es correcta: (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 2 Desarrollen el producto que se indica. Si no recuerdan cómo se hace, lean la información que se da en el recuadro de la derecha. (x 1 y)2 es lo mismo que (x 1 y) (x 1 y).

Recuerda. (a 1 b) (c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd

(x 1 y) (x 1 y) 5

3 Con ayuda de su profesor o profesora, expliquen por qué, en el caso de la figura de la actividad 1, x y y sólo pueden ser números positivos.

16

4 Calcula los valores de las expresiones A a F cuando x y y toman los valores que se indican.

y

2

3

5

1

4

10

1 2

2

21

22

2

23

22

3

B

C

D

E

x

y

2xy

x1y

x 1 2xy 1 y

2

2

2

F 2

(x 1 y)2

5 Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente. a) Comparen la explicación que dieron en la actividad 1, inciso e, con las que dieron sus compañeros. b) Verifiquen que la expresión E de la tabla vale lo mismo que la F, cualesquiera que sean los valores que den a x y y. c) Lean y comenten la siguiente información: La expresión (x + y)2 y la expresión x2 + 2xy + y2 son equivalentes. La expresión (x + y)2 es un binomio al cuadrado. Entonces, puede decirse que: El desarrollo de un binomio al cuadrado es igual a: el cuadrado de su primer término, más el producto de sus términos multiplicado por dos, más el cuadrado de su segundo término. 6 Expresen en forma de multiplicación los siguientes binomios al cuadrado y calculen los resultados, como en el ejemplo. a) (x 1 2y)2 5 (x 1 2y) (x 1 2y) 5 x2 1 2xy 1 2xy 1 4y2 5 x2 1 4xy 1 4y2 c) (2x 1 y)2 5

b) (a 1 3b)2 5

e) (3m 1 n)2 5

f) (2m 1 5)2 5

g) (1.5a 1 b)2 5

h) (2m 1 3n)2 5

d) (a 1 b)2 5

7 Con ayuda de su profesor o profesora, verifiquen que, siempre que se eleva un binomio al cuadrado, el resultado final, después de simplificar los términos semejantes, es un trinomio con las siguientes características: Dos de los términos son cuadrados perfectos. El otro término es el producto de las raíces cuadradas de los dos cuadrados perfectos, multiplicado por dos.

l l

1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

x

A

17

Lección 2

Productos notables II

El resultado de elevar al cuadrado un binomio se conoce como trinomio cuadrado perfecto. ¿Por qué crees que se llama así?

Figura A

1 La figura A es un cuadrado dividido en cuatro partes: un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos.

a

2b

a

2b

Relacionen las dos columnas; anoten en el paréntesis el número que corresponde. ( ) Medida de un lado del cuadrado grande

1) a

( ) Área de un rectángulo

2) a2 1 4ab 1 4b2

( ) Medida de un lado del cuadrado chico

3) 2b

( ) Área de la figura A

4) 2ab

2 Los siguientes trinomios son cuadrados perfectos porque se obtuvieron al elevar al cuadrado diferentes binomios. Encuentren en cada caso el binomio al cuadrado que corresponde. a) n2 1 2np 1 p2 5

b) a2 1 2ab 1 b2 5

c) 4a2 1 8ab 1 4b2 5

d) x2 1 6xy 1 9y2 5

e) 9x2 1 6xy 1 y2 5

f) 4m2 1 12mn 1 9n2 5

3 Desarrollen los binomios al cuadrado que encontraron en la actividad anterior para comprobar que sí corresponden a los trinomios. a) (

)2 5

b) (

)2 5

c) (

)2 5

d) (

)2 5

e) (

)2 5

f) (

)2 5

4 Averigüen cómo cambia el resultado de elevar un binomio al cuadrado, cuando uno o los dos términos son negativos.

18

a) (a 1 b)2 5

b) (a 2 b)2 5

c) (2x 1 y)2 5

d) (x 2 2y)2 5

e) (22m 1 n)2 5

f) (2m 2 2n)2 5

5 Encuentren los binomios al cuadrado de los que provienen las siguientes expresiones. a) n2 2 2np 1 p2 5

b) 9a2 1 6a 1 1 5

c) 4a2 2 8a 1 4 5

d) x2 2 6xy 1 9y2 5

7 La figura B es un cuadrado dividido en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Con base en la información que hay en la figura, anoten lo que se indica. Figura B a) La medida de un lado del cuadrado chico. n2 2mn b) La medida de un lado del cuadrado grande. c) El largo del rectángulo. d) La medida de un lado de la figura B. e) La expresión con la que se calcula el área de la figura B. f) El área de la figura B. 8 Resuelvan lo siguiente. a) (n 1 1)2 =

b) (n 2 1)2 5

c) Con base en los resultados anteriores, calculen el resultado de: 912 5 (90 + 1)2 5

2012 5

992 5

1992 5

9 El área de un cuadrado es x2 + 10x + 25. Con base en esta información resuelvan lo siguiente: a) ¿Cuánto mide un lado de ese cuadrado? b) ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado? 10 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados de las actividades 7, 8 y 9.


6 Con ayuda de su profesor o profesora comparen los resultados obtenidos en las actividades 4 y 5.

19

Lección 3

Productos notables III

Algunos productos son más fáciles de resolver de lo que te imaginas; sólo hay que saber reconocerlos.

1 La figura 1 es un cuadrado dividido en tres partes, dos trapecios iguales y un cuadrado. La figura 2 es un rectángulo que se formó con los dos trapecios iguales de la figura 1. Con base en esta información hagan lo que se indica. Figura 1 Figura 2

a

b

a

a) Anoten las medidas que hacen falta en el rectángulo. b) ¿Cuál es la expresión que permite calcular el área de la parte rayada de la figura 1? c) ¿Cuál es la expresión que permite calcular el área de la figura 2? d) Completen la siguiente igualdad y expliquen por qué es cierta. Área de la parte sombreada de la figura 1

igual a 5

área de la figura 2

e) Verifiquen que la igualdad anterior expresa lo siguiente: La suma de dos números multiplicada por su diferencia, es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. f) Desarrollen el siguiente producto. Simplifiquen el resultado y verifiquen si al final obtienen el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. (x 1 y) (x 2 y) 5 ______ 1 ______1 ______1 ______ 5 ______ 2 ______

20

2 Con ayuda de su profesora o profesor comparen sus respuestas con las de otros equipos. Si hay diferencias, identifiquen los errores y corríjanlos. 3 A la derecha de cada figura traza el rectángulo que se forma al recortar y acomodar los dos trapecios sombreados. Además anota las medidas en los lados del rectángulo y escribe la expresión que indica la igualdad de las áreas sombreadas.

2

y

2x

4 Lee la siguiente información.

Dos binomios de la forma (a + b) y (a – b) se llaman binomios conjugados. Como te habrás dado cuenta, el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. 5 Encuentren la parte que falta en las siguientes igualdades. a) (5 1 3)(5 2 3) 5

b) (3a 2 b)(3a 1 b) 5

c) m2 2 n2 5

d) 4a2 2 1 5

e) 106 3 94 5 (100 1 6) (100 2 6) =


6

21

Lección 4

Expresiones equivalentes

Hay expresiones algebraicas que, aunque se escriben diferente y aparentemente no tienen nada que ver una con otra, expresan el mismo valor, es decir, son expresiones algebraicas equivalentes.

1 Imaginen que tienen un cubo hecho con plastilina y por uno de sus vértices le cortan un cubo más pequeño, como se muestra en el dibujo. b a) ¿Cuál es el volumen del cubo completo? b) ¿Cuál es el volumen del cubo que se corta? c) ¿Cuál es el volumen de la parte restante, después de haber

a

cortado el cubo pequeño?

2 El volumen de la parte restante, después de haber cortado el cubo pequeño, se puede calcular de varias maneras. Una de ellas consiste en calcular los volúmenes de los cuatro prismas que se muestran en el siguiente dibujo y sumarlos.

1

2

4

a) Anoten enseguida el volumen de cada prisma. 3

Prisma 1 = Prisma 2 = Prisma 3 = Prisma 4 =

b) Anoten la expresión de la suma de los volúmenes y simplifíquenla. c) Verifiquen que la expresión anterior simplificada es la misma que escribieron en el inciso c de la actividad 1. 3 Con ayuda de su profesora o profesor comparen los resultados obtenidos en las actividades anteriores. Si hay diferencias, traten de encontrar los errores y corrijan.

22

4 El siguiente cubo, cuya arista mide x 1 y, está formado por ocho piezas como las que se muestran a la derecha. Con base en esta información, hagan lo que se indica. 1

1 2

3

y

4

4 6

7 5

x 2

3 8

x

7

6

a) Anoten sobre cada pieza su volumen. b) Identifiquen las piezas que son iguales.

5

¿Cuántos tipos de piezas son? ¿Cuántas piezas hay de cada tipo? c) Completen la siguiente expresión: (x + y)3 = _______ + _______ + _______ + _______ 5 Identifiquen las expresiones de izquierda y derecha entre las que se establece una igualdad, y escriban en los paréntesis la letra que corresponde. a) (p 2 q) (p2 1 pq 1 q2)

(p 1 q)3

(

)

b) p2 1 2pq 1 q2

p3 2 q3

(

)

c) p3 1 3p2q 1 3pq2 1 q3

p2 2 q2

(

)

d) (p + q) (p 2 q)

(p 2 q)2

(

)

e) p2 2 2pq 1 q2

(p 1 q)2

(

)

6 Con ayuda de su profesora o profesor verifiquen sus respuestas. Si lo desean, pueden asignarles valores a p y q para comprobar que las expresiones que relacionaron dan el mismo resultado.


y

23

Lección 5

Construcciones I

¿Cuántos cuadrados diferentes hay que tengan un lado de 5cm? ¿Cuántos rectángulos diferentes hay que tengan un lado de 5cm? Cuando nos dan medidas para construir una figura, resulta útil saber si, con esas medidas, es posible construir una sola figura, una infinidad de figuras diferentes, o ninguna figura. 1 Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos. De acuerdo con esto identifica, a ojo, las figuras que son paralelogramos y márcalos.

2 Vean si marcaron las mismas figuras. Si hay diferencias argumenten su selección y averigüen juntos quiénes están bien. Después, determinen si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y señálenlos con V o F. a) Un paralelogramo puede tener sólo dos lados iguales. b) Un paralelogramo puede tener sus cuatro lados iguales. c) Todos los paralelogramos tienen lados iguales dos a dos. d) Todos los paralelogramos tienen sus ángulos rectos. 3 Con ayuda de su profesora o profesor comparen sus respuestas de la actividad anterior; si hay diferencias, averigüen quién tiene razón.

24

4 Contesta la siguiente pregunta y haz lo que se pide después. a) Si cada miembro de tu grupo construye un paralelogramo cuyos lados midan 6.5 cm y 3.5 cm, respectivamente, ¿crees que todos los paralelogramos serán iguales? b) Dibuja el paralelogramo. Usa los instrumentos geométricos necesarios y de preferencia usa una hoja blanca. c) Compara tu paralelogramo con el de otros compañeros. ¿Todos fueron iguales? d) Si no fueron iguales, ¿qué otro dato se necesitaría para que todos fueran iguales?

5 Con ayuda de su profesor hagan lo siguiente:

b) Cuando consideren que una respuesta es falsa, traten de probarlo, trazando dos paralelogramos que cumplan lo que dice la respuesta y sin embargo no sean iguales. c) Si una respuesta les parece correcta, también traten de hacer dos paralelogramos distintos con lo que esa respuesta dice, para ver si de veras no se puede. 6 Los siguientes segmentos indican las medidas de los lados de un paralelogramo y su altura. lado

lado

altura

a) ¿Crees que, si cada miembro de tu grupo hace un paralelogramo con esta información, todos los paralelogramos saldrán iguales? b) Construye el paralelogramo y compáralo con los de tus compañeros. ¿Son iguales todos los paralelogramos? 7 Construyan un paralelogramo con las siguientes medidas. Un lado: 7 cm

Otro lado: 3.5 cm

Altura: 4.5 cm

8 Con ayuda de su profesora o profesor comenten el resultado de su trazo y traten de llegar a una conclusión. Anótenla.


a) Comparen sus respuestas a la pregunta 4, inciso d.

25

Lección 6

Construcciones II

¿Sabías que cualquier paralelogramo puede ser dividido en dos triángulos iguales?

1 En cada uno de los siguientes triángulos elijan un lado y a partir de ese lado construyan otro triángulo igual, de manera que la figura completa sea un paralelogramo. Después contesten las preguntas.

a) ¿Cuál de los criterios de congruencia sirve para mostrar que los triángulos que construyeron

son iguales a los originales? b) En el triángulo obtusángulo, René eligió un lado y sobre ese lado trazó un triángulo igual, pero no formó un paralelogramo. ¿Qué figura pudo haber formado? Dibújala.

c) ¿Con qué tipo de triángulos se puede formar un rombo? 2 Con tus compañeros y con ayuda de tu profesora o profesor, comparen sus respuestas; después, discutan sobre las siguientes preguntas. ¿Es cierto que el paralelogramo que se forma con dos triángulos rectángulos siempre es un cuadrado? ¿Es cierto que siempre es un rectángulo?

26

3 El siguiente trazo muestra un lado de un paralelogramo y los ángulos adyacentes a ese lado. Reproduce el trazo en una hoja, completa el paralelogramo y después haz lo que se indica.

50

°

130°

a) ¿Crees que tu paralelogramo debe ser igual al de tus compañeros?

¿Por qué?

4 Hagan lo siguiente. a) Indiquen si creen que es posible construir las siguientes figuras. Figura A. Un paralelogramo con las siguientes medidas: lado, 6.5 cm; ángulos adyacentes, 60° y 120°; altura, 3.5 cm. ¿Es posible? Figura B. Un paralelogramo con las siguientes medidas: lado, 5.5 cm; ángulos adyacentes, 35° y 125°; altura, 3.5 cm. ¿Es posible? b) Utilice cada quien una hoja de papel e intente hacer las figuras. 5 Analicen los trazos anteriores y contesten: a) ¿Por qué no fue posible hacer un paralelogramo con los datos de la figura B? b) Si sólo pudieran modificar uno de los cuatro datos de la figura B, ¿cuál modificarían para que el trazo sí fuera un paralelogramo? c) Modifiquen el dato elegido como crean conveniente, hagan nuevamente el trazo y verifiquen que es un paralelogramo. Recuerden que cualquier paralelogramo se puede dividir en dos triángulos congruentes. 6 Con ayuda de su profesora o profesor, comparen sus respuestas a la actividad anterior y traten de obtener una conclusión. Anótenla.


b) ¿Qué otro dato se necesitaría para que todos fueran iguales? c) Con ayuda de tu profesora o profesor, compara tus respuestas con las de tus compañeros.

27

Lección 7

Construcciones III

¿Sabías que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo deben medir 180°?

1 El siguiente trazo muestra dos lados de un paralelogramo y el ángulo que forman dichos lados. Con base en esta información haz lo que se indica.

a) Copia el trazo en una hoja de papel y termina de trazar el paralelogramo. 135°

b) ¿Crees que tu paralelogramo debe ser congruente con el de tus compañeros de grupo? ¿Por qué? c) Verifica tu respuesta anterior comparando tu paralelogramo con el de otros compañeros. 2 Con ayuda de su profesora o profesor, comparen los procedimientos utilizados para terminar de construir el paralelogramo. 3 El siguiente trazo muestra las dos diagonales de un paralelogramo y la medida de uno de los ángulos que forman las diagonales. Con esta información hagan lo que se indica. a) Copien el trazo en una hoja de papel y construyan el paralelogramo.

50°

b) Consideren como un hecho que los lados opuestos del paralelogramo que trazaron son iguales. Con base en esto, busquen argumentos para mostrar que las diagonales se cortan en sus puntos medios. c) ¿Cuál es el criterio de congruencia de triángulos que sirve para mostrar lo que se pide en el inciso anterior?

28

4 Las diagonales de un paralelogramo miden respectivamente 4 cm y 6 cm; uno de los ángulos formados por las diagonales mide 70°. Con base en esta información hagan lo siguiente. a) Tracen el paralelogramo sobre una hoja de papel. b) Comparen su paralelogramo con el de otros equipos para que vean si son congruentes. c) Completen el siguiente enunciado:

5 En cada uno de los siguientes trazos, el segmento es una de las diagonales de un paralelogramo y la circunferencia señala los límites de la otra diagonal. Además, aparece anotada la medida de un lado del paralelogramo. Con base en esta información hagan lo que se indica.

Lado: 1.5 cm

Lado: 4 cm Lado: 3.5 cm a) Copien los dibujos en una hoja y terminen de trazar los paralelogramos. b) Comparen sus paralelogramos y verifiquen que son congruentes. c) Si en algún caso no pudieron construir el paralelogramo, expliquen por qué no fue posible.

d) Anoten las medidas que crean convenientes para que se pueda construir un paralelogramo y constrúyanlo en sus cuadernos. diagonal 1: __________

diagonal 2: __________

lado: _________

6 Lean la siguiente información. Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos; pueden tener lados iguales dos a dos o cuatro lados iguales; sus ángulos internos consecutivos suman 180° y sus diagonales se cruzan en sus puntos medios.


Las diagonales de un paralelogramo siempre se cruzan en

29

Lección 8

Construcciones IV

¿Sabías que la forma de un cuadrilátero depende de cómo se tracen sus diagonales?

1 Las siguientes tablas muestran las maneras en que se pueden trazar las diagonales de un cuadrilátero. Analícenlas y hagan lo que se indica.

Diagonales iguales

Diagonales desiguales

Se cortan en el punto medio

No

No

Sí

Sí Son perpendiculares

Sí

No

No

Son perpendiculares

Sí

Se cortan en el punto medio

a) En cada casilla de las tablas pongan un ejemplo de cómo quedarían trazadas las diagonales. b) Anoten la palabra paralelogramo en las casillas donde necesariamente la figura que se forma es un paralelogramo. c) Anoten en cada casilla alguno de los siguientes nombres considerando la figura que se forma: Cuadrado Rectángulo Rombo Trapecio isósceles 2 Con ayuda de su profesora o profesor comparen sus resultados con los de otros equipos. 3 Completen las siguientes frases. a) Para que se forme un cuadrado, las diagonales deben ser _____________________________ b) Para que se forme un rombo, las diagonales deben ser _______________________________ c) Para que se forme un rectángulo, las diagonales deben ser ____________________________ d) Para que se forme un trapecio isósceles, las diagonales deben ser ______________________

30

4 Las siguientes etiquetas contienen propiedades de los cuadriláteros.

C

Diagonales iguales

Diagonales perpendiculares

B

D

E Diagonales que se cruzan en sus puntos medios

F

G

H

I

K

M

Cuatro ángulos rectos

Sólo dos ángulos rectos

Cuatro lados iguales

Lados opuestos paralelos

Diagonales desiguales

Diagonales no perpendiculares

Diagonales que no se cruzan en sus puntos medios

J

L

N

Ningún ángulo recto

Sólo un ángulo recto

Lados iguales dos a dos

Sólo dos lados paralelos

Debajo de cada una de las siguientes figuras anoten las letras que indican las propiedades que le corresponden.

l

5 Revisa los anexos 0, 1 y 2 de las páginas 228 a 230 para que aprendas más de las propiedades de las figuras usando logo.

TECNOLOGÍA


A

31

Lección 9

En la carpintería

¿Cómo obtener el mayor círculo posible de una pieza de madera? En esta lección se trabajará con este tipo de problemas.

1 Un carpintero necesita cortar círculos de madera; cuenta con las siguientes piezas y desea el mayor círculo posible de cada una. Las piezas están hechas a escala. Traza en cada una el mayor círculo posible.

2 Comenta con tus compañeros la manera en que realizaron el trazo en cada figura. Para la siguiente actividad debes recordar que:

La distancia de un punto a una recta se mide sobre la perpendicular a la recta que pasa por ese punto.

P

distancia

90

º

32

Figura 2

mide y anota sobre la línea la medida delBradio de la circunferencia 3 En cada figura A y la distancia del centro de la circunferencia al lado AB.

Figura 1

A

Figura 2

A

B

Figura 2

A

B

B

Figura 3 B

A

Figura 3

a) ¿En cuál figura el lado AB corta en dos puntos la circunferencia? __________ b) ¿En cuál figura el lado AB toca la Figura 3 circunferencia en un punto? ___________

A

B

c) ¿En cuál figura el lado AB no toca la circunferencia? _________________ 4 A partir de los resultados de la actividad analicen la relación entre la medida del radio, la distancia del centro de la circunferencia al lado AB y el número de puntos en que el lado AB toca la circunferencia. Anoten sus observaciones.

5 Compartan con sus compañeros de grupo sus respuestas a las actividades 3 y 4 y lean la siguiente información.

Una recta que no toca a la circunferencia es exterior a ella; si la toca en dos puntos la recta es secante a la circunferencia y si la toca sólo en un punto es tangente.

B 1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

A

33

Lección 10

Más sobre tangentes

Considera que tienes un cuadrilátero y los cuatro lados son tangentes a una circunferencia, ¿hay alguna relación de medida entre los lados del cuadrilátero? Lo sabrás al estudiar esta lección.

1 En las primeras circunferencias se han trazado secantes y en la última una tangente, todas las rectas forman un ángulo (a) con un radio.

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Observa cómo varía la medida del ángulo a, ¿Cuánto mide este ángulo cuando la recta es P

tangente?

2 ¿Por qué la siguiente recta no puede ser una tangente a la circunferencia?

X

41º 57º C

3 En tu cuaderno traza una recta y ubica sobre ella el punto P. Traza una circunferencia que sea tangente a la recta en el punto P. ¿Cuántas soluciones hay? 4 Comenten sus respuestas a las actividades anteriores y lean esta información. El punto donde la tangente toca la circunferencia se llama punto de tangencia. Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

5 Traza en tu cuaderno el desarrollo plano de un cilindro que tenga altura de 6 cm y de radio de la base 3 cm. Recuerda que en el desarrollo los círculos de las bases deben ser tangentes a la base del rectángulo que forma la cara lateral.

34

6 Haz lo que se indica. I. Traza el segmento PC. II. Ubica y llama M al punto medio de PC. III. Con centro M y radio MP traza una circunferencia. IV. Ahora hay dos circunferencias; observa que se cortan en dos puntos; llámalos A y B. V. Une P con A y P con B

P

C

Analiza la figura y contesta:

l

a) ¿Por qué podemos afirmar que PA y PB son tangentes a la circunferencia?

b) Busca una relación entre las medidas de las tangentes PA y PB, elabora una conjetura y anótala. 7 Consideren que los lados del cuadrilátero son tangentes al círculo y contesten. a) Si AB + CD = 9.5 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero? Argumenten su respuesta. A D B

b) Si AB + CD = 2x, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero? C

8 Comenten sus respuestas a los ejercicios 6 y 7. Es importante que tomen en cuenta que al medir pueden cometerse errores de aproximación.

Si dos segmentos trazados desde el mismo punto exterior son tangentes a una circunferencia, entonces tienen la misma medida.


35

Lección 11

Posiciones relativas

Hasta ahora has estudiado que hay rectas tangentes y secantes a una circunferencia. ¿Habrá circunferencias tangentes entre sí ?, ¿circunferencias secantes entre sí ?

1 Resuelve los siguientes problemas de construcción; en todos los casos usa tus instrumentos geométricos. a) En la circunferencia C1 marca un punto y llámalo A. Traza otra circunferencia que toque a C1 sólo en el punto A. C1

O

b) En la circunferencia C2 marca dos puntos y llámalos A y B.Traza otra circunferencia que también pase por A y por B.

C2

O

c) Traza una circunferencia que tenga su centro fuera de la circunferencia C3 y que no la toque en ningún punto.

C3

O

36

d) Traza una circunferencia que tenga el mismo centro que C4 y que su radio sea diferente al de C4. C4

O

e) Traza una circunferencia dentro de la circunferencia C5 de tal manera que su centro no sea el punto O y no toque a C5 en ningún punto. C5

2 Comparen los procedimientos y resultados finales de los trazos anteriores. Lean la siguiente información y después anoten junto a cada trazo la posición relativa de las circunferencias.

Dos circunferencias pueden tener diferentes posiciones relativas entre sí: Secantes: Se cortan en dos puntos. Exteriores: Una está fuera de la otra y no se tocan en ningún punto. Interiores: Una está dentro de la otra y no se tocan en ningún punto. Tangentes: Se tocan sólo en un punto; pueden ser tangentes exteriores o tangentes interiores. Concéntricas: Sus centros coinciden.

3 Si se compara la suma de los radios de las dos circunferencias con la distancia entre los centros, ¿cómo son entre sí estas medidas para… a) dos circunferencias tangentes exteriores? b) dos circunferencias secantes? c) dos circunferencias exteriores? 4 Tracen en sus cuadernos dos circunferencias, una de 3 cm de radio y la otra de 4 cm de radio, en cada una de las tres posiciones indicadas en el ejercicio 3, y verifiquen si se cumplen sus respuestas.


O

37

Lección 12

Ángulos, arcos y cuerdas I

El círculo tiene propiedades que uno no se imagina. En esta lección y en la siguiente continuarás explorando algunas de estas propiedades.

1 Anota ✓ a los ángulos cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios de la circunferencia.

2 Traza en cada una de las siguientes circunferencias un ángulo con vértice en el centro y lados dos radios con la medida que se indica.

90°

60°

140°

220°

En una circunferencia, se le llama ángulo central al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios. Un ángulo central determina un arco, es decir, una parte de circunferencia. Al igual que el ángulo central, el arco puede medirse en grados; por ejemplo, este arco mide 90°.

3 En cada caso, anota la medida en grados de cada arco marcado con rojo.

38

4 Marca, respectivamente, un arco de 60°, 200° y 180°.

5 Lean la información del recuadro.

Arco 77° Cuerda 77°

a) Anoten si la afirmación es falsa (F) o verdadera (V)

La cuerda de un arco de 90º tiene el doble de longitud que la cuerda de un arco de 45º

l

Si se duplica la medida de un arco, también se duplica la medida del ángulo central correspon-

l

diente

Si dos ángulos centrales miden lo mismo, las cuerdas correspondientes tienen la misma longitud

l

b) Se tienen dos círculos de distintos tamaños. En cada uno se marca un ángulo central de 45° y también el arco y la cuerda correspondientes.

l

l

l

¿Los dos ángulos centrales miden lo mismo? ¿Las dos cuerdas miden lo mismo? ¿Los dos arcos miden lo mismo?

6 Con ayuda de su maestro, comparen sus respuestas a las preguntas anteriores.


A un ángulo central también le corresponde una cuerda: es el segmento que une los dos extremos del arco. Debido a que un ángulo central divide a la circunferencia en dos arcos; es importante marcar el ángulo que se está considerando, para saber cuál es el arco que le corresponde.

39

Lección 13

Ángulos, arcos y cuerdas II

En la lección anterior aprendiste que si dos ángulos centrales abarcan el mismo arco entonces tienen igual medida ¿Y si un ángulo es central y el otro no?, ¿qué sucede en estos casos?

1 Beto (B), Carlos (C), Dany (D) y Éric (E) están en las siguientes posiciones para tirar a gol. Considera que el ángulo de tiro de cada uno está en el plano del piso, como el de Éric. a) A simple vista, ¿quién de los cuatro te parece que tiene el ángulo de tiro de mayor tamaño?

B

E

b) Traza los tres ángulos que faltan y mídelos todos. Verifica si tu respuesta a la pregunta anterior es correcta. C

D

2 Con ayuda de tu maestro, revisen sus respuestas a la actividad anterior y lean la siguiente información.

En una circunferencia, se le llama ángulo inscrito a aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.

3 En cada circunferencia se ha trazado un ángulo inscrito en azul y un ángulo central en rojo, ambos abarcan el mismo arco.

Calca y recorta el ángulo central de la primera circunferencia y dóblalo a la mitad. Compara la medida de la mitad del ángulo central con el ángulo inscrito. Repite lo anterior en todas las circunferencias. Anota tus hallazgos.

40

4 En la siguiente figura, O es el centro de la circunferencia. Averigüen cuál es la medida de los ángulos A, B y C sin usar transportador, usando solamente la información que se da. Les servirá recordar que:

C

0 D= 120° A B la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es de…. un ángulo llano mide…. l los ángulos de la base de un triángulo isósceles son…. l l

a) Vean si ustedes encontraron las mismas medidas que sus compañeros para los ángulos B y C. Si hay diferencias, analicen juntos en dónde están los errores. b) Expliquen cómo encontraron las medidas y vean si sus compañeros las encontraron de la misma manera. c) Completen la siguiente tabla. Si el ángulo D midiera

la medida del ángulo A sería

la medida del ángulo C sería

130° 150° 160° x 2x

d) Observen que en la figura anterior, el ángulo inscrito C y el ángulo central A abarcan un mismo arco. Observen también que A siempre mide lo doble que C. Esto que acaban de hacer para un caso de ángulos inscritos y centrales se cumple para todos; en estudios posteriores podrán demostrarlo.

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo central que abarca el mismo arco. Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco miden lo mismo


5 Con ayuda de su profesor, hagan lo siguiente.

41

Lección 14

Triángulos y circunferencias

Un triángulo está inscrito en una circunferencia de tal manera que uno de sus lados es un diámetro, ¿qué tipo de triángulo es?

1 Sin medir, en la primera circunferencia traza un ángulo inscrito que mida la mitad del ángulo central y en la segunda circunferencia traza un ángulo inscrito que mida lo mismo que el ángulo central.

2 Un ángulo inscrito abarca un arco igual a la mitad de una circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo?

l

Argumenten su respuesta.

l

3 En la figura, MN es un diámetro. a) ¿Cuánto mide el ángulo inscrito MPN?

P M

_____________________ b) ¿Cómo lo averiguaste? ___________________________________________

N

___________________________________________

D

4 En la figura AC y BD son diámetros. a) ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD?

A

_____________________ b) Argumenta tu respuesta. ___________________________________________ ___________________________________________

42

C B

5 Considera el segmento PQ a) Traza varios rectángulos de tal manera que PQ sea una de sus diagonales. b) ¿Qué puedes decir de los otros dos vértices de todos los rectángulos que trazaste?

P

Q

7 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo. a) ¿Cuál es el ángulo recto?

B

C

b) Traza la circunferencia que pasa por los tres vértices.

D

c) Si AB mide 15 cm, ¿cuánto mide la mediana trazada con rojo?

A

d) ¿Si AB mide x, ¿cuánto mide CD? 8 Guíate sólo por los puntos y, sin medir, traza en la circunferencia un triángulo inscrito cuyos ángulos midan 30°, 45° y 105°.

9 En la circunferencia. a) Traza un triángulo cualquiera cuyos vértices estén sobre la circunferencia. b) Usa la figura para demostrar que los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180°. Escribe tus argumentos en tu cuaderno.

10 Compara con otros compañeros tus respuestas y procedimientos.

1.5. Calcular la medida de los ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

6 Comenten sus resultados de los ejercicios anteriores.

43

Lección 15

Un juego sobre ángulos

¿Siempre se puede trazar una circunferencia que pase por los cuatro vértices de un cuadrilátero?

1 Juega con un compañero, se trata de formar el mayor ángulo inscrito. a) Elige un punto P sobre la siguiente circunferencia de tal manera que formes el ángulo inscrito APB. b) En esta misma circunferencia, tu compañero elige otro punto Q de tal manera que forme el ángulo inscrito AQB. c) Gana el que forme el ángulo inscrito de mayor medida; comprueben midiendo con un transportador. d) Jueguen dos veces en la circunferencia de tu libro y dos veces en la circunferencia del libro de tu compañero.

B

A

2 En la circunferencia se han marcado los puntos elegidos por varios alumnos. a) ¿Quién ganó?

Bety

b) ¿Quiénes quedaron empatados?

B

A

Fer

c) ¿Cuánto mide el ángulo que formó Fer? Ara

d) ¿Cuánto mide el ángulo que formó Bety? Luis

44

3 Traza el ángulo formado por cada alumno y, sin medir, subraya en cada circunferencia el nombre del alumno que ganó. Luis A

A

Luis B

A

B

Esther

Pedro

A

Vero

Vero

Esther

B

Pedro

B

a) ¿Cuánto suman los ángulos formados por Pedro y Luis? b) ¿Cuánto suman los ángulos formados por Vero y Esther? c) Explica cómo se pueden conocer las sumas anteriores sin medir los ángulos.

5 ¿Cómo convencerías a otro alumno de lo siguiente? En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos siempre suman 180°.

Q M

Escribe aquí tu argumento. N

P

∡M 1 ∡P 5 180° 6 Traza una circunferencia que pase por los cuatro vértices de cada cuadrilátero, en los casos en que esto sea posible.

100° 80° 100°

80°

7 Con ayuda de su maestro, comparen sus respuestas a las preguntas 4, 5 y 6. Después contesten entre todos la pregunta con la que empezó esta lección: ¿Siempre se puede trazar una circunferencia que pase por los cuatro vértices de un cuadrilátero?


4 Contesta las siguientes preguntas. No necesitas medir cada ángulo.

45

Lección 16

Diseños con círculos

Hay figuras cuya área parece imposible de calcular… hasta que descubres que con algunas transformaciones se vuelve una tarea muy sencilla.

1 Considera que los cuadrados miden 4 cm de lado y para π toma el valor 3.14. Calcula el perímetro y el área de cada figura de color. a)

b)

c)

P 5 ____________

P 5 ____________

P 5 ____________

A 5 ____________

A 5 ____________

A 5 ____________

d)

e)

P 5 ____________

P 5 ____________

A 5 ____________

A 5 ____________

2 Considera que el lado del triángulo equilátero mide 4 cm y su altura mide 3.46 m. Para π toma el valor de 3.14. En cada caso calcula el perímetro y el área de la parte coloreada. Puedes usar tu calculadora. a)

46

b)

c)

d)

P 5 ____________

P 5 ____________

P 5____________

P 5____________

A 5 ____________

A 5 ____________

A 5 ____________

A 5 ____________

3 Considera los mismos valores del ejercicio anterior y calcula el área o perímetro de las partes coloreadas. b)

Perímetro 5 ____________

c)

Área 5 ____________

d)

Perímetro 5 ____________

Área 5 ____________

4 Toma las medidas que consideres necesarias y calcula el área de color de cada figura. Puedes usar tu calculadora. a)

b)

c)

5 Compara tus resultados y procedimiento con otros compañeros.


a)

47

Lección 17

La velocidad como razón de cambio

Un automóvil recorre 160 km en hora y media. Si mantiene una velocidad constante, ¿cuál es la velocidad en kilómetros por hora? La velocidad del automóvil es una razón que indica cómo cambia la posición del automóvil con respecto al tiempo; por eso es una razón de cambio.

1 Resuelve el siguiente problema. Alejandro dio un paseo en bicicleta sobre un camino que tiene un tramo de subida, en el que avanzó muy lento; uno plano, en el que fue un poco más rápido; y uno de bajada que recorrió mucho más rápido. Lo que no se sabe es qué tramo venía primero y cuál después. La siguiente gráfica indica la distancia que Alejandro llevaba recorrida en cada minuto del trayecto. Analízala y averigua en qué orden venían los tres tramos que Alejandro recorrió.

Distancia (km)

40 35 30 25 20 15 10 5 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

a) A partir de la gráfica, contesta las siguientes preguntas. ¿Cuál fue la longitud total del trayecto?

l

¿Cuánto tiempo duró en total el trayecto?

l

¿Qué distancia llevaba recorrida a los 30 minutos?

l

48

90

100

110

120 Tiempo (min)

b) Completa los datos de la siguiente tabla. Primer tramo

Segundo tramo

Tercer tramo

Tiempo que se hizo en el tramo

____ minutos

45 minutos

45 minutos

Distancia recorrida en el tramo

20 km

_____ km

5 km

Velocidad promedio en el tramo, en metros por minuto

111.11 m/min

c) ¿En qué tramo Alejandro avanzó más rápido? __________________________

a) ¿De qué color es la recta que grafica el movi miento del tren más veloz? ______________

Tiempo (horas)

x

b) ¿Y del más lento? ______________________ c) Traza en el mismo plano cartesiano una recta que sea la gráfica del movimiento de un tren más veloz que cualquiera de los cuatro anteriores. d) Traza en el mismo plano cartesiano una recta que sea la gráfica del movimiento de un tren menos veloz que cualquiera de los cuatro anteriores. 3 Indiquen cuáles de las siguientes frases son verdaderas, cuáles son falsas y comenten la información que se da al final. Un tren A va más rápido que un tren B si: a) por cada minuto, el tren A avanza más kilómetros que el B. b) el tren A tarda más minutos que el B en avanzar 100 kilómetros. c) dado un mismo aumento en el valor de x (tiempo) en la dos gráficas, aumenta más el valor de y (distancia) en la gráfica del tren A. d) dado un mismo aumento en el valor de y (distancia) en las dos gráficas, aumenta más el valor de x (tiempo) en la gráfica del tren A. e) la gráfica del tren A es una recta más “acostada” que la del tren B.

Para determinar cuál es el movimiento más rápido, no basta con mirar solamente el tiempo transcurrido, ni tampoco solamente la distancia recorrida. Es necesario considerar la relación entre el tiempo y la distancia, por ejemplo,160 km en 30 minutos, o 320 km por hora. Esta relación es una razón, o razón de cambio, y se llama velocidad.


x representa el tiempo en horas y y la distancia en kilómetros.

y

Distancia (km)

2 Las siguientes rectas son gráficas de la relación entre tiempo y distancia del movimiento de cuatro trenes, suponiendo que fueran a una velocidad constante.

49

Lección 18

Variaciones de temperatura

Las razones con las que trabajaste en la lección expresaban velocidades y eran positivas. ¿Hay razones negativas? Si las hay, ¿cómo se interpretan?

1 Considera que un trozo de hielo se calentó bajo ciertas condiciones. Mediante un mecanismo fue posible medir su temperatura cada instante durante 6 minutos; el resultado de las mediciones está representado en la gráfica. Temperatura (ºC)

a) Explica brevemente cómo varió la temperatura a lo largo de los 6 minutos, no olvides mencionar el tramo horizontal.

10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo (minutos)

-5

-10

b) La gráfica permite identificar tres comportamientos distintos en la variación de la temperatura. ¿A qué intervalos de tiempo corresponden esos comportamientos? Para saber cuánto varía la temperatura por minuto en cada uno de los intervalos de tiempo, calcula los siguientes cocientes. Variación de temperatura entre los minutos 0 y 2 5 Tiempo transcurrido entre los minutos 0 y 2

Variación de temperatura entre los minutos 2 y 5 5 Tiempo transcurrido entre los minutos 2 y 5 Variación de temperatura entre los minutos 5 y 6 5 Tiempo transcurrido entre los minutos 5 y 6 Lo que calculaste son razones que indican la variación de la temperatura por minuto. También se les llama razones de cambio de la temperatura. c) Observa que las razones de cambio de temperatura son diferentes.

50

l

l

¿En cuál de los tres intervalos de tiempo no hubo cambio de temperatura? _______ ¿En cuál el aumento de temperatura por minuto fue mayor?___________________

d) La ecuación que relaciona x con y en el primer intervalo es y 5 5x 2 10. ¿Cuál es la pendiente?

¿Qué relación tiene esta pendiente con la razón de cambio que encontraste?

2 Considera ahora la siguiente situación: un recipiente que contiene agua a 20 °C se puso a enfriar en un medio que permite un enfriamiento constante. Al igual que en el problema anterior, se midió la temperatura durante un periodo. Los resultados de estas mediciones están representados en la gráfica de la derecha. a) ¿Qué sucede con la temperatura conforme el tiempo aumenta?

T (ºC) 20

15

10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 t (minutos)

Variación de temperatura entre los minutos 0 y 4 Tiempo transcurrido entre los minutos 0 y 4

5

Variación de temperatura entre los minutos 4 y 8 Tiempo transcurrido entre los minutos 4 y 8

5

–6

Variación de temperatura entre los minutos 0 y 10 5 Tiempo transcurrido entre los minutos 0 y 10 c) Habrás notado que las razones son iguales, ¿qué representan estas razones? d) La ecuación que relaciona x con y es y 52 32 x 1 20. ¿Cuál es la pendiente? ¿Qué relación tiene esta pendiente con la razón de cambio que encontraste? 3 Compara con tus compañeros tus respuestas; lean esta información. Una característica de las rectas es que la razón de cambio es constante. Si cuando x aumenta y también aumenta, la razón de cambio es positiva. En el ejemplo de disminución de temperatura, mientras x aumenta, y disminuye, por eso la razón de cambio de la recta es negativa. La razón de cambio de una recta es su pendiente.


b) Calcula las siguientes razones. Expresa la disminución de la temperatura con un signo negativo.

51

Lección 19

La pendiente como razón de cambio

En segundo grado aprendiste que la pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la misma; en las dos lecciones anteriores has descubierto que la pendiente ¡también es una razón! En esta lección seguirás explorando esta última idea.

1 En cada caso están las coordenadas de dos puntos. A cada punto le corresponde una recta que pasa por ese punto y por el origen. Sin trazar la recta, anota cuál de las dos crees que tiene la mayor pendiente, es decir, cuál se acerca más a la vertical. Pista: dado un punto de coordenadas (x, y), imagina que al desplazarte x unidades sobre el eje horizontal, subes y unidades sobre el vertical. ¿En qué caso la pendiente es mayor, cuando te desplazas 1 para subir 2 o cuando te desplazas 1 para subir 3? a) Recta

Pasa por

m n

(0, 0) y (1, 2) (0, 0) y (1, 3)

p q

(0, 0) y (1, 2) (0, 0) y (4, 8)

r s

(0, 0) y (4, 8) (0, 0) y (3, 8)

¿Qué recta crees que tiene la mayor pendiente?

¿Cómo lo sabes?

b)

c)

Traza las rectas en un plano cartesiano y verifica tus respuestas. 2 Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. 3 En las siguientes tablas se han calculado los valores de dos puntos de rectas que NO pasan por el origen. Recta a x y 1 5 2 9

Recta b x y 2 4 3 5

a) Sin trazar las rectas, anoten cuál de las dos creen que tiene mayor pendiente, es decir, que se acerca más a la vertical. b) Argumenten su respuesta.

52

4 Comenten con sus compañeros su respuesta y sus argumentos. Después tracen las rectas en un plano cartesiano y verifiquen sus respuestas. Junto con su maestro, lean y comenten la siguiente información. La pendiente de una recta también es su razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas: cambio de y Razón de cambio 5 cambio de x En el caso de funciones cuyas gráficas corresponden a rectas, la pendiente de la recta es igual a la razón de cambio. Así como la pendiente de una recta es constante, su razón de cambio también es constante. Entonces, para calcularla podemos elegir dos puntos cualesquiera de la recta; por ejemplo, si elegimos (6, 11) y (3, 7): cambio de y cambio de x Razón de cambio 5 11 2 7 623 4 Razón de cambio 5 3

y (6, 11)

(3, 7)

x

Esta razón de cambio indica que, por cada vez que la x aumenta 3, la y aumenta 4. O, lo que es lo mismo, cada que la x aumenta 1, la y aumenta 1.333.

5 En las siguientes tablas se han calculado los valores de algunos puntos de las rectas, anota el valor de su razón de cambio (pendiente).

x 0 1 2 3

y 5 7 9 11

x 0 0.5 1 1.5

6 Considera la siguiente recta.

¿Cuál es la razón de cambio (pendiente) de una recta que forme un ángulo de 45º con el eje x?

y 2.5 3 3.5 4

x

y

0

0

1 2 3 2 5 2

2 6 10

y

45º

7 Inventa y escribe en tu cuaderno un problema que se resuelva usando la razón de cambio de una recta. Plantea el problema a tu compañero y resuelve el que él te plantee. 8 Platica ante tu grupo cómo obtuviste las respuestas.

x


Razón de cambio 5

53

Lección 20

Preguntas adecuadas y no tan adecuadas

Cuando se quiere saber algo, una manera de recabar información es por medio de preguntas, pero ¿cómo hacer preguntas adecuadas de las cuales se obtenga información precisa y confiable?

1 Contesta el siguiente cuestionario. Nombre: ______________________________________ 1. ¿Cuánto mides de estatura? 2. ¿Estudias mucho? 3. ¿Qué deporte te gusta más? 4. ¿Tienes letra bonita? 5. ¿Cuántas habitaciones tiene tu casa?

2 Reúnete con otros compañeros, comparen sus respuestas y juntos continúen resolviendo lo que resta de la lección. 3 Con respecto a la pregunta 1: a) La medida que anotó cada uno, ¿corresponde a su estatura con zapatos, sin zapatos, o la medida de algunos es con zapatos y la de otros, sin zapatos? b) ¿Hace cuánto tiempo que se midió cada uno? c) ¿Hubo alguien que no sabía su estatura y dijo un número aproximado? ¿Quién? d) Si quisieran saber con certeza la estatura actual de cada uno, ¿consideran conveniente tomar en cuenta lo que contestaron en el cuestionario? e) ¿Qué proponen para recabar información precisa y confiable sobre la estatura de cada uno?

54

Alumno A: Sí (no estudia en las tardes pero considera que pasar toda la mañana en la escuela es estudiar mucho). Alumno B: Sí (además de estar en la escuela, todas las tardes estudia un promedio de 3 horas). Alumno C: No (sólo estudia en la escuela, al llegar a casa no abre ni un libro). Alumno D: No (estudia todas las tardes pero siente que no es mucho porque su hermano estudia como una hora más que él).

a) Comparen las respuestas de ustedes y comenten si los criterios para decir si estudian o no estudian mucho son iguales en todos. b) ¿La pregunta permite saber quiénes estudian mucho y quiénes no? c) Si quisieran saber cuánto estudia cada uno, ¿qué pregunta formularían? 5 Comenten las preguntas 3, 4 y 5 del cuestionario. Anoten en su cuaderno para qué podría servir saber las respuestas y cómo investigarían esos datos de una manera adecuada.

Un cuestionario es útil para recabar información. Las preguntas deben plantearse de acuerdo con el propósito de lo que se investiga. Para que funcionen bien, se debe preguntar exactamente lo que se desea saber, las preguntas deben ser cortas, fáciles de entender y de responder. Además, la pregunta debe hacerse de manera que la respuesta sea lo más precisa posible. En general, es recomendable probar el cuestionario con algunas personas antes de aplicarlo para la investigación final. En algunas ocasiones es mejor recabar la información de manera directa en lugar de hacer preguntas (como en el caso de las estaturas de los alumnos).

6 Elijan uno de los temas de las tres primeras preguntas (estaturas, tiempo de estudio o deportes). Hagan un breve estudio sobre él: decidan cómo recabar la información –si es con una pregunta háganla de manera adecuada–, elijan a quiénes investigarán, a cuántas personas, organicen los datos en tablas y/o gráficas –si lo consideran adecuado pueden calcular alguna de las medidas de tendencia central (media, mediana o moda)– y después presenten al grupo sus resultados.

1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la infromación.

4 Con respecto a la pregunta 2, consideren que un equipo de cuatro alumnos contestó lo siguiente:

55

Lección 21

La presentación más adecuada

Cuando se hace un estudio estadístico los datos recabados se comunican mediante diversas formas; ¿cuál es la manera más adecuada para presentar los resultados?

1 Los siguientes resultados fueron tomados de una página de internet que se dedica a hacer encuestas en México.1 Las respuestas corresponden a la pregunta ¿Cuál es tu superhéroe favorito? y aparecen cuatro opciones (spiderman, superman, batman, y el chapulín colorado) de entre las cuales el de internet elige una. Discutan y anoten en su cuaderno cuál o cuáles de las siguientes consideran que es la manera más adecuada de presentar los resultados de esta encuesta y por qué lo consideran así. ¿Por qué consideran que las otras presentaciones no son adecuadas? ¿Cuál es tu superhéroe favorito?

¿Cuál es tu superhéroe favorito? 3500 3000

Batman 14%

2865

2500 Spiderman 34%

2283

2154

2000 1500

El Chapulín Colorado 25%

1175 1000 500 0 Superman 27%

Spiderman

Superman

El Chapulín Colorado

Batman

¿Cuál es tu superhéroe favorito? 3500

¿Cuál es tu superhéroe favorito?

3000 2865 2500

2283

2000 1500 1175

1000 500 0

Spiderman

Superman

Spiderman

2 865

Superman

2 283

El chapulín colorado

2 154

Batman

1 175

2154

El Chapulín Colorado

Batman

Tomado de: http://www.lasencuestas.com/index.php?action=results&poll_ident=13 [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

1

56

3 Las siguientes son diferentes presentaciones sobre la cotización del dólar en diferentes épocas. Tipo de cambio ventanilla vs. interbancario (48 hrs.)

PESO-DÓLAR 11.80

11.6

11.60 Pesos

11.2 11

05-Oct

21-Sep

07-Sep

24-Ago

10-Ago

27-Jul

13-Jul

29-Jun

11.20 15-Jun

11.4 01-Jun

11.30 18-May

11.6 20-Abr

11.40

Fuente: http://www.guanajuato.gob.mx/desarrollo/comunicados/documentos/ 200610101038300.boletin%20101006.pdf [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

11.61

11.54

11.50

11.8

04-May

Pesos

11.70

11.70

11.4

11.46 11.44 11.38

01 02 03 06 07 08 09 10 13 14 15 17 20 21 22 23 24 27 28 29 30 Septiembre 2004

Dólar

Euro

Fuente: http://www.nafin.com/portalnf/files/pdf/Economia1004. [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

Cotizaciones del peso al 13 de junio de 2006 Apertura

Máximo

Mínimo

Cierre

Var.

Martes

11.4200

11.4733

11.4160

11.4675

0.0425

Lunes

11.3795

11.4250

11.3775

11.4250

0.0320

semanal

11.3553

11.3809

11.3315

11.3530

0.0729

Mayo

11.0834

11.1273

11.0605

11.1005

0.0492

2005

10.8900

10.9103

10.8712

10.8901

-0.4007

FIX

14-Jun-06

11.4327

11-Jun-06

11.3827

-0.0500

Fuente: http://www.monex.com.mx/contenidos/origen/190/1167/dlr.pdf [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

En la última semana de diciembre, el dólar interbancario valor 48 horas (spot) se fortaleció 2.90 centavos frente al peso y cerró en 10.3040 unidades. El dólar acumula una apreciación de un peso con catorce centavos del 1 de enero de 2002 hasta el 27 de diciembre; mientras que, en diciembre, la divisa estadounidense mantiene una ganancia de 15.50 centavos; en tanto, en la semana del 23 al 27 el dólar sumó un avance de 9.50 centavos frente al peso. La pérdida que reportó la moneda mexicana durante la semana se debió a la debilidad del dólar estadounidense frente al euro, paridad que cerró en 1.037 unidades, y por el nerviosismo de los mercados ante un ataque de Estados Unidos a Irak.

a) Discutan cuál o cuáles presentaciones les parecen más adecuadas y por qué. Anótenlo en su cuaderno. b) Comenten qué tipo de información, con respecto a la cotización del dólar, se presenta en cada caso. c) Investiguen la cotización del dólar durante todo el mes anterior y presenten al grupo los resultados de su investigación. Fuente: http://132.248.72.141/Boletin_electronico/2003/v9-01/finanzas.html# MERCADO%20CAMBIARIO,%20BMV%20Y%20TASAS%20DE [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]


2 Organicen una encuesta sobre el superhéroe favorito de 30 personas. Decidan si harán una pregunta con opciones para que los encuestados elijan o la harán abierta para que contesten lo que quieran (analicen las ventajas y desventajas de cada caso); también deben decidir cuál será la población encuestada. Una vez que hayan recabado los datos elijan la mejor manera de presentar al grupo los resultados y háganlo.

57

Lección 22

Del problema a la comunicación de resultados

En esta lección llevarás a cabo un pequeño proyecto de investigación en el que podrás usar tus conocimientos sobre tablas y gráficas; para ello, consulta tus libros de primero y segundo grado en caso de ser necesario. 1 Consideren la siguiente situación. El equipo de maestros de una escuela, preocupados por las bajas calificaciones de los alumnos, decidió investigar cuáles eran las materias de más bajo aprovechamiento. A partir de los datos que recaben, decidirán qué estrategias llevar a cabo, por ejemplo, asesorías en horas libres, clubes de tareas, elaboración de materiales de estudio, etcétera.

a) ¿Cuál es el problema que han detectado los maestros? b) ¿Qué información necesitan recabar y cómo podrían recabarla? Explíquenlo con detalle. c) Una vez que tengan la información, ¿cómo podrían organizarla para que fuera muy clara y fácil de interpretar? ¿Qué recursos les podrían servir?

2 Lean esta información. La estadística te permite estudiar un conjunto de datos con el propósito de obtener información que sirva para tomar decisiones. Un estudio estadístico puede realizarse de acuerdo con las siguientes tareas: 1. Especificar el problema. Lo que se desea averiguar. 2. Recopilar los datos. Determinar qué datos se requieren, la manera en que pueden recabarse y después, recopilarlos. 3. Organizar los datos. Decidir si se organizan en tablas y/o en diferentes tipos de gráficas como las de barras, polígonos de frecuencia, circulares, etc., y calcular alguna o algunas medidas como la media, la mediana o la moda. 4. Interpretar y comunicar los resultados. Obtener conclusiones de los datos recabados y comunicarlas.

58

3 Sigan reunidos en equipo para realizar un estudio por medio de un cuestionario corto. El cuestionario puede tener una sola pregunta.

Tarea 2. Decidan qué pregunta o preguntas tendrá su cuestionario y anótenla(s).

Tarea 3. Decidan a quiénes y a cuántas personas aplicarán su cuestionario. Anótenlo.

4 Comenten ante todos los compañeros del grupo lo que acordaron para las tareas 1, 2 y 3. Entre todos comenten los diferentes proyectos, propongan mejoras y hagan las adecuaciones necesarias. Cuando todos estén de acuerdo, continúen con las siguientes tareas. Estas tareas les llevarán varios días, pónganse de acuerdo con su maestro sobre las fechas en que presentarán sus resultados. Tarea 4. Organícense en el equipo para recabar la información. Tarea 5. Organicen en tablas y gráficas (del tipo que consideren pertinentes) la información que recabaron. Tarea 6. Comuniquen a su grupo los resultados a los que llegaron.

5 Discutan sobre los diferentes proyectos presentados; si es posible hagan un periódico mural en la escuela para comunicar los resultados obtenidos.


Tarea 1. Discutan en equipo qué problema les gustaría investigar mediante un cuestionario o, simplemente, qué información les interesaría conocer. La información puede ser sobre el grupo, la escuela o la comunidad. Cuando se hayan puesto de acuerdo, describan brevemente el problema en su cuaderno.

59

Lección 13 Repasemos lo aprendido

I. Subraya la respuesta correcta. 1 ¿Cuál es el área del cuadrado? a) x + 2x + 4 c) x2 2 4x + 4 2

x 2

b) x + 4x – 4 d) x2 + 2x – 4 2

2 Se sabe que el área de un rectángulo es x2 + 6x + 8 y que su altura mide x + 4, ¿cuánto mide su base? a) x 1 2

b) x 1 4

c) x 2 2

d) x 2 4

A losAdiagramas el segmento AB es tangente a la circunferencia? 3 ¿En cuál de A A

a)

70° A A 70° C C 70° 70° C C

c)

A

20° 20° B

20° 20° B

B

b)

50° 50°35° 35° B A A C C

B

35° 50° 50°35° B C C

B

d) A

80° A80° A C C

A 20° 20° B

20° 20° B 80° 80° C C 4 ¿Cuánto mide el ángulo ABC?

B

A

40° 40° C C A A

B

40° 40° C C

C

a) 100° b) 80° c) 50° d) 25°

B A

60

B

100°

17° 17° B

17° 17°

B

B

B

5 Si O es el centro de la circunferencia, ¿cuánto mide el ángulo MNP? a) 110° b) 90° c) 70° d) 20°

M 70° P O N

6 Considera la siguiente gráfica, ¿cuál es la razón de cambio de la recta?

y 7 6 5 4 3 2 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

7 ¿Cuál de las siguientes rectas tiene una razón de cambio negativa? a)

c)

b)

y 7 y 7 6 6 7 y 5 y57 6 4 46 5 3 35 4 2 24 3 1 13 x x 2 2 -7 -6 -5 -4 52 63 74 5 6 7 1 -7 -3 -6 -2 -5 -1 -4 -3-11 -2 2 -1 3 4 1 -11 x x -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 -2 2 -2 3 -1 4 -2 5 6 -7 -1 -6 -5-1-4 -3 1 7 2 3 4 5 6 7 -3 -3-1 -2 -4 -4-2 -3 -5 -5-3 -4 -6 -6-4 -5 -7 -7-5 -6 -6 -7 -7

y 7 6 5 4 3 2 1

y 7 6 y57 46 35 24 13 x x 2 52 63 74 5 6 7 -3-11 -2 2 -1 3 4 1 -11 x x -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 -2 2 -2 3 -1 4 -2 5 6 -7 -1 -6 -5-1-4 -3 1 7 2 3 4 5 6 7 -3 -3-1 -2 -4 -4-2 -3 -5 -5-3 -4 -6 -6-4 -5 -7 -7-5 -6 -6 -7 -7

y 7 y 7 6 6 y 7 5 y57 6 4 46 5 3 35 4 2 24 3 1 13 x x 2 2 -7 -6 -5 -4 1 -7 -3 -6 -2 -5 -1 -4 -3-11 -2 2 -1 3 4 1 52 63 74 5 6 7 -11 x x -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 -2 2 -2 3 -1 4 -2 5 6 -7 -1 -6 -5-1-4 -3 1 7 2 3 4 5 6 7 -3 -1 -3 -2 -4 -4-2 -3 -5 -5-3 -4 -6 -6-4 -5 -7 -7-5 -6 -6 -7 -7

y 7 y 7 6 6 y 7 5 y57 6 4 46 5 3 35 4 2 24 3 1 13 x x 2 2 -7 -6 -5 -4 1 -7 -3 -6 -2 -5 -1 -4 -3-11 -2 2 -1 3 4 1 52 63 74 5 6 7 -11 x x -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 -2 2 -2 3 -1 4 -2 5 6 -7 -1 -6 -5-1-4 -3 1 7 2 3 4 5 6 7 -3 -1 -3 -2 -4 -4-2 -3 -5 -5-3 -4 -6 -6-4 -5 -7 -7-5 -6 -6 -7 -7

y 7 6 5 4 3 2 -7 -6 -5 -4 1 -7 -3 -6 -2 -5 -1 -4

d)

8 ¿Cuánto mide la superficie azul si el radio del círculo mayor es 2x y el del menor es x? a) 4x2 2 πx2 c) 4πx2 2 2πx2

b) 4πx2 + 2πx2 d) 4πx2 2 πx2

II. Traza en tu cuaderno lo que se indica 1. Un cuadrilátero cuyas diagonales se corten en su punto medio. 2. Un cuadrilátero con cualquier par de ángulos contiguos que sumen 180°.

61

Las matemáticas en la medición de la circunferencia de la Tierra

Eratóstenes fue un matemático, astrónomo, geógrafo y poeta griego. En el año 236 antes de nuestra era fue llamado a Egipto para que se hiciera cargo de la biblioteca de Alejandría. Gracias a un papiro de la biblioteca, Eratóstenes sabía que Siena (hoy Asuán, en Egipto) está situada prácticamente sobre el trópico de Cáncer, así que el día del solsticio de verano, a mediodía, los objetos en esta ciudad no proyectaban sombra alguna. Eratóstenes consideró que Siena y Alejandría se encontraban a la misma longitud, por lo que estaban sobre una circunferencia que pasa por los polos (realmente distan 3º). También pensó que debido a que el Sol se encuentra tan alejado de la Tierra, sus rayos podían suponerse paralelos entre sí. En Alejandría, el día del solsticio de verano, Eratóstenes enterró una vara en el suelo y se dio cuenta de que, a pesar de ser mediodía, la vara sí proyectaba una sombra. Utilizó entonces un instrumento parecido a un reloj de sol para determinar que el ángulo que se formaba entre la vara y los rayos del sol era de 1 de 360°. 50

A S l

l

Si C es el centro de la circunferencia que representa a la Tierra, Eratóstenes se dio cuenta de que el ángulo ACS mide también 1/50 de 360°.

Dibuja y escribe una justificación para esta afirmación. (Sugerencia: utiliza lo que sabes de los ángulos que se forman cuando una recta corta dos rectas paralelas.)

C

Eratóstenes consideró que los rayos solares eran paralelos, sabía que en Siena (S) los objetos no generaban sombra. En Alejandría (A) midió el ángulo que se formaba entre los rayos solares y la vara.

62

La leyenda dice que Eratóstenes mandó medir la distancia entre Siena y Alejandría, pero es probable que ya conociera ese dato. Para sus cálculos tomó la distancia de 5 000 estadios. Éste es el tamaño del arco de la circunferencia comprendido entre A y S. l

Con este dato Eratóstenes pudo calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra. Ahora haz tú el cálculo: La circunferencia de la Tierra mide __________ estadios. Justifica tu respuesta.

l

Se piensa que el estadio que utilizó Eratóstenes medía 158 m. ¿Cuántos kilómetros calculó Eratóstenes que mide la circunferencia de la Tierra? _____________________

l

Eratóstenes pudo confirmar su teoría de que la Tierra es redonda y no plana como se llegó a pensar. ¿Qué hubiera pasado con la sombra de la vara en Alejandría si la Tierra fuera plana?

Para investigar Actualmente se cuenta con instrumentos muy precisos. De hecho se sabe que la Tierra no es totalmente redonda, sino que está ligeramente achatada. Investiga cuántos kilómetros mide la circunferencia ecuatorial de la Tierra y cuánto mide la circunferencia polar. l ¿Eratóstenes midió la circunferencia ecuatorial o la circunferencia polar? Justifica tu respuesta. l

Investiga qué es el trópico de Cáncer y el trópico de Capricornio y qué son los equinoccios y los solsticios. l Investiga por qué fue tan importante la biblioteca de Alejandría. l

63

Y para terminar...

Flexágonos Los flexágonos son objetos de papel que en lugar de tener 2 caras tienen 3 o más. El flexágono más simple es el trihexaflexágono, que tiene tres caras y seis lados.

Para hacer un trihexaflexágono 1 Recorta una tira de papel con 10 triángulos equiláteros. El lado de cada triángulo debe medir al menos 4 cm. 2 Colorea los triángulos. Sigue la numeración que se muestra, de manera que cada número indique un color distinto. 1

3 1

2 2

3

1

3

1

2

3 Voltea la tira y coloréala siguiendo la numeración. El lado blanco de la izquierda va atrás del lado de color 3. Los triángulos blancos se van a pegar uno encima del otro.

2

3 3

1 1

4 Dobla la tira sobre todas las líneas varias veces para que el flexágono sea más flexible. 5 Dobla la tira hacia atrás como se muestra. En el segundo paso, al doblarla otra vez hacia atrás, se coloca el penúltimo triángulo sobre el primero, de esta manera, en el frente, todos los triángulos son de color 1. 6 El triángulo sobrante se dobla y se pegan los dos triángulos blancos uno encima del otro.

2 2

3

3 2

3

1 3

2

2

1

1 1 3

2 1

1

1

1

1

1

2

1

1 2

1 1

1

1 1

Flexionando el flexágono

Puede ser difícil abrir el flexágono la primera vez, hazlo con cuidado. El flexágono se abre como una flor para que aparezca la cara con el color 3

Al flexionar el flexágono van apareciendo las tres caras. ¡Inventa tus propios diseños!

64

1

1 1

En una tienda de fotografía, al revelar el carrete entregan tres copias de cada exposición: normal, reducida y ampliada. Al observar las fotografías de abajo es evidente que tanto la ampliada como la reducida conservan la misma forma que la normal, pero varían sus dimensiones. La fotografía ampliada y la reducida son semejantes a la normal. En este bloque estudiarás algunas propiedades de las figuras semejantes.

BLOQUE 2 • ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas; • ecuaciones cuadráticas que modelan; • situaciones y resolverlas usando la factorización. • figuras semejantes y a comparar las medidas de los ángulos y de los lados. • los criterios de semejanza de triángulos. Los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. La semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles. • índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones. • la simulación para resolver situaciones probabilísticas.

1.4. Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando literales como números generales con los que es posible operar.

En este bloque estudiarás:

65

Lección 23

La medida de un lado

Anteriormente has estudiado las ecuaciones de primer grado, así como diferentes problemas que se puedan resolver con ellas. Ahora empezarás a estudiar las ecuaciones de segundo grado. ¿Cómo son estas ecuaciones y cómo se usan? De aquí en adelante podrás averiguarlo. 1 Los siguientes enunciados dicen qué relación existe entre las medidas de los lados de los rectángulos que aparecen enseguida. Anoten la medida que le corresponde a cada lado usando una literal. La figura C es un ejemplo. Figura A: el largo mide 5 metros más que el ancho. Figura B: el largo mide 3 veces el ancho. Figura C: el ancho mide 3 metros menos que el largo. Figura D: el ancho mide la mitad del largo. A

B

Área 5 234 m2

Área 5 1083 m2

C

D

Área 5 550 m2

Área 5 800 m2

x23

x 2 Para cada uno de los rectángulos anteriores, formulen una ecuación que relacione las medidas de los lados y el área. Nuevamente la figura C es un ejemplo. Figuras

A B C D

Ecuaciones

x(x - 3) 5 550; x2 2 3x 5 550

3 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen los resultados de la tabla anterior, en particular; analicen en qué son diferentes las ecuaciones de primer y segundo grado. Anoten su conclusión:

66

4 Para cada una de las ecuaciones de la tabla anterior, encuentren un valor de x que satisfaga la ecuación. Pueden usar el procedimiento que quieran y la calculadora. Después hagan lo siguiente: a) Anoten con números el largo y el ancho de cada uno de los siguientes rectángulos, que son los mismos de la página anterior. b) Verifiquen que con las medidas anotadas se obtiene el área que se indica. A Área 5 234 m2

Área 5 1083 m2

C

D

Área 5 550 m2

Área 5 800 m2

5 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen las medidas que anotaron en los rectángulos; si hay diferencias, traten de localizar los errores y corrijan. 6 Formulen la ecuación de segundo grado que corresponde a cada uno de los siguientes problemas y resuélvanla. a) El área de un cuadrado es 182.25 m2, ¿cuánto mide un lado de ese cuadrado? Ecuación:

Medida de un lado

b) El área de un rectángulo es 358 m2; si el largo mide el triple que el ancho, ¿cuáles son las medidas del rectángulo? Ecuación:

 largo: Medidas   ancho:

7 Lee la siguiente información Una ecuación como x2 2 3x 5 550 es de segundo grado, porque la incógnita está elevada al cuadrado. Cuando la incógnita está elevada al cubo, como en x3 5 8, se trata de una ecuación de tercer grado. Un número que satisface la ecuación x2 2 3x = 550 es 25, porque 252 – 3(25) = 550.


B

67

Lección 24

El número desconocido

En algunos problemas, las literales representan números desconocidos y esto permite hacer operaciones con ellos como si fueran conocidos; así podemos averiguar de qué números se trata.

1 Anoten la información que falta en la siguiente tabla. Problemas

Ecuaciones

Soluciones

El cuadrado de un número más 11 es igual a 92. ¿Cuál es ese número? El cuadrado de un número menos 15 es igual a 106. ¿Cuál es ese número? El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 182. ¿Cuál es ese número? x2 2 x 1 12 5 144 El cuadrado de un número más el doble de ese número menos 5 es igual a 75. ¿Cuál es ese número? 2 Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente: a) Revisen la primera columna para ver si el problema que ustedes escribieron corresponde a la ecuación ya escrita. b) Revisen la segunda columna para ver si las ecuaciones que escribieron coinciden. c) Revisen las soluciones y verifiquen que los valores encontrados satisfacen las condiciones de cada problema. 3 Lee la siguiente información. En una ecuación de segundo grado como x2 5 25, una solución es 5, porque 52 5 25. Sin embargo, la solución también es 25, porque (25)2 5 25. Esto quiere decir que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones. En ciertos casos las soluciones son dos números simétricos. 4 Regresen a la tabla de la actividad 1 para hacer lo siguiente: a) Averigüen en cuáles casos el simétrico de la solución que encontraron, también es solución de la ecuación. Anoten así las soluciones: x15

68

x2 5

b) En los casos en los que el simétrico no es solución de la ecuación, prueben con otros números para encontrar la otra solución.

x

x2

3x

x2 1 3x

1 2

1 4

3 6

4 10

a) En la tabla anterior, se ve que cuando x vale 1, x2 + 3x es igual a 4. Cuando x vale 2, x2 + 3x es igual a 10. Prueben con otros valores de x hasta que encuentren que x2 + 3x es igual a 28. b) Hay un número negativo que también satisface la ecuación x2 + 3x = 28. Usen la misma tabla para encontrarlo. c) Según lo que encontraron, la ecuación x2 +3x = 28 tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Anótenlas. x15

x2 5

6 Encuentren las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. a) 5x2 5 45

b) 4x2 5 1

c) x2 1 x 5 56

d) x2 2 x 2 56 5 0

e) x2 2 13x 5 130

d) x2 2 56 5 x


5 Una manera de resolver las ecuaciones de segundo grado consiste en buscar, por ensayo y error, números que satisfagan la ecuación. Así por ejemplo, para resolver la ecuación x2 + 3x = 28, se puede usar una tabla como la siguiente

69

Lección 25

Técnicas para resolver ecuaciones I

El ensayo y error es un procedimiento útil para resolver ecuaciones, aunque a veces resulta muy tardado.

1 La figura A es un rectángulo, traten de averiguar cuánto mide cada lado. No olviden verificar que, efectivamente, con las medidas que encontraron, el área es 84 cm2 y el perímetro 38 cm. Figura A Perímetro 5 38 cm Área 5 84 cm2 Largo 5 Ancho 5 2 Con ayuda de su profesor o profesora hagan lo siguiente: a) Revisen los resultados que encontraron y determinen cuáles son correctos. b) Comenten sobre los procedimientos y vean cuáles sí y cuáles no llevaron al resultado correcto. 3 En la siguiente tabla se anotaron los pasos de un razonamiento para encontrar las medidas de los lados de la figura A. Completen la tabla. Razonamiento

Paso 1. Si el perímetro del rectángulo mide 38 cm, entonces el largo más el ancho miden 19 cm. Paso 2. Si el largo más el ancho miden 19 cm, esas medidas se pueden representar así: ancho 5 x largo 5 19 + x Paso 3. Si el ancho mide x y el largo 19 + x, entonces el área se puede expresar así: x(19 + x) 5 84 Paso 4. Por tanteo, se pueden encontrar las medidas buscadas: si x 5 1, el área vale 1 (20)  84 si x 5 2, el área vale 2 (21)  84

70

¿Es correcto? sí/no

Si creen que no es correcto, corríjanlo

Libro Fractal 3 5l1x2n

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Libro Fractal 3 5l1x2n

Ciudad Fractal 3m1e6r

Fractal Robots 3x2q64

Paradigma Fractal 3n1p1n

Fractal Geometry.pdf 6bd4x

Fractal Es 6x3e34

More Documents from "karen oyuki becerra santos" 2t2cz

Crucigrama De Mapas 4o4w48

Benjamin Carson 4r3l5s

El Lazarillo De Tormes Segundo Tratado 3492o

Libro Fractal 3 5l1x2n

Mary Kay Folleto The Look Julio-agosto 2019 2c4b2k

Misosa 2f614e