Lecho Fluidizado 95k25

20

Fluidización

fluidización es necesario agregar constantemente sólidos al reactor por lo que se emplean reactores recirculantes.

Figura 2.4. Regímenes de fluidización.

2.5 Regímenes de flujo El comportamiento de un gas fluyendo a través de un tubo depende de la presión ya que puede estar en estado en donde hay muy pocas moléculas del gas (molecular), o se encuentran en un estado intermedio en donde ese número de moléculas ya no es tan pequeño; o bien en un estado viscoso, en donde el número de moléculas es muy grande. Como resultado se pueden tener diferentes regímenes de flujo y es posible definirlos mediante el número de Knudsen (Madrid, 1996):

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Fluidización

Kn ≡

λ D

(2.11)

en donde D es el diámetro del ducto y λ es la trayectoria libre promedio de las moléculas de fluido, que es la distancia promedio que recorre entre colisiones una molécula de fluido. Por lo tanto este número nos da la razón entre efectos individuales o discretos a efectos continuos. En la Tabla 2.1 se indica el Kn y los regímenes de fluidización y sus características. Si Kn >> 1, el flujo es “discreto” o “molecular”. En estas condiciones el sistema está muy diluido, de tal forma que existen pocas colisiones entre las moléculas. No es posible fluidizar. Si Kn ≈ 1, se tiene flujo intermedio. El comportamiento esta regido tanto por el fenómeno molecular y la viscosidad. Es posible tener fluidización. Si Kn << 1, el gas está en un estado viscoso. El flujo puede ser laminar, de transición o turbulento dependiendo del número de Reynolds. Los lechos fluidizados operan en estas condiciones comúnmente.

Kn

Kn>>1

Kn≈1

Kn<<1

Tabla 2.1 Regímenes de fluidización de acuerdo al Kn. Regímenes de Características fluidización • Escasas colisiones entre las partículas de gas. • Es grande la trayectoria libre promedio de las moléculas de gas comparada con el diámetro del Flujo ducto λ>>D. Molecular • Predominan las colisiones entre las moléculas del gas y la pared del ducto. • La viscosidad no es significativa. • No existe fluidización • Existen colisiones entre las partículas de gas. • Se tienen colisiones de las partículas de gas y las Flujo paredes del ducto. intermedio o • La trayectoria libre promedio de las partículas de de gas y el diámetro del ducto es similar λ≈1. deslizamiento • Se tienen efectos moleculares y viscosos. (slip) • Existe la fluidización. • Colisiones intensas entre las moléculas de gas. • La trayectoria libre promedio de las partículas de gas es muy pequeña comparada con el diámetro del ducto λ< >1

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Fluidización

En donde Re es el número de Reynolds que físicamente nos da la relación entre efectos inerciales a efectos viscosos, definido como,

Re ≡

ρ DV µ

(2.12)

en donde ρ y µ son la densidad y la viscosidad del fluido, respectivamente y V es la velocidad promedio del fluido.

2.6 Fluidización particulativa y granular Existen dos comportamientos de fluidización el particulativo y el granular. En la práctica se considera particulativa a la fluidización que se da en un sistema líquidosólido y granular a la de un sistema gas-sólido. A través del número adimensional de Froude, Fr, se puede clasificar esta fluidización, y está definido por vmf 2

Fr ≡

gd p

(2.13)

en donde vmf es la velocidad mínima de fluidización, g es la aceleración de la gravedad y dp es el diámetro de la partícula. Fr se puede interpretar como la razón de los efectos inerciales a los gravitacionales, de su definición se puede ver que está dado por la razón del cuadrado de la velocidad característica de la corriente a la rapidez de posibles oscilaciones en el campo gravitacional. Por esta razón el comportamiento de un lecho fluidizado se puede determinar a partir del valor Fr, puesto que nos permite saber que efecto domina en el proceso de fluidización. Los regímenes de fluidización se clasifican como: Particulativa Se produce cuando las densidades del sólido y del fluido no son muy diferentes, las partículas son pequeñas y la velocidad del fluido es baja. El lecho se fluidiza homogéneamente y cada partícula se mueve individualmente en un espacio libre uniforme. La fase sólida presenta las características de un fluido. Este comportamiento se presenta en sistemas líquido-sólido (Dondé, 2001). Granular Se presenta cuando las densidades del sólido y del fluido son diferentes, las partículas son grandes y la velocidad del fluido es relativamente alta. La fluidización es inhomogénea y el fluido pasa por zonas preferenciales produciendo surtidores de partículas en la superficie de lecho. El lecho se comporta como si fuera un líquido con burbujeo de gas a través de él. Este comportamiento se presenta en sistemas gas-sólido en el cual el aumento de flujo determina la formación de burbujas (Dondé, 2001). En la Tabla 2.3 se indica el Fr y los regímenes de fluidización y sus características.

23

Fluidización

Tabla 2.3 Regímenes de fluidización de acuerdo al Fr. Régimen Competencia de Características Efectos Se presenta en sistemas líquidoo Inerciales > sólido. Fr >1 Agregativo Particulativo. Gravitacionales Densidades del fluido y del sólido son similares. El lecho se fluidiza homogéneamente. Se presenta en sistemas gas-sólido. Granular Inerciales < Densidades del Fr <1 Gravitacionales fluido y del sólido son muy distintas. Se tiene fluidización inhomogénea. Fr

2.7 Clasificación de partículas de Geldart Las propiedades de las partículas impactan directamente en la velocidad mínima de fluidización y en algunos otros aspectos. Por esta razón es importante tener una clasificación de las partículas para las cuales su comportamiento en el lecho fluidizado sea similar. En la Fig. 2.5 se muestra la clasificación de Geldart de las partículas según su diámetro promedio y su densidad. (Kunii, 1991) y en la Tabla 2.2 se dan sus características (Rojas, 1999).

Figura 2.5. Clasificación de Geldart. (Kunii, 1991)

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Fluidización

Grupo C (cohesivos): son los polvos muy finos o cohesivos, sus diámetros son menores a 20µm, son muy difíciles de fluidizar debido a que las fuerzas entre las partículas son más grandes e importantes que las logradas por el arrastre de la corriente de fluido. El talco y la harina son ejemplos de este grupo. Grupo A (baja densidad): Son partículas de tamaño medio y de baja densidad su diámetro promedio se encuentra entre 20µm y 90µm con una densidad menor a 1.4 g/cm3. Son partículas fáciles de fluidizar. El polvo catalizador (FCC), es un ejemplo de este grupo. Grupo B (arenosos): son partículas parecidas a la arena, tienen un diámetro promedio de 90µm a 650µm, su densidad se encuentra entre 1.4g/cm3 y 4g/cm3. Fluidizan relativamente fácil y su fluidización viene acompañada de fuertes burbujeos. La arena es un ejemplo de este grupo. Grupo D (densos): son partículas grandes o densas que forman lechos profundos difíciles de fluidizar. Algunos ejemplos son los granos de café, los guisantes y las partículas de trigo. Tabla 2.2 Características de los cuatro grupos de los polvos de Geldart Grupo C A B D Cohesivo Aereable burbujeante Borborante Características Flúor FCC Arena Trigo Ejemplo Tamaño de la dp<20µm 20µm 90µm dp>650µm partícula 3 <90µm <650µm ρp =2500Kg/m Grande Pequeño Despreciable Despreciable Encausamiento (acanalamientos) Desconocido Suave Rápido Rápido Efecto surtidor (spouted) Bajo: debido Alto: debido a Mediano Mediano Expansión a canales la formación de burbujas Ninguna, sólo Esfera de base Redondas Redondas Burbujas canales plana Campo alto Viscosidad Viscosidad Viscosidad Carácter reológico de presión aparente del aparente del aparente del de la fase densa orden de 1p orden de 5p orden de 10p Muy bajo Alto Mediano Bajo Mezclado de sólidos Muy bajo Alto Mediano Bajo Inversión de mezclado del gas Flujo tapón Asimétrico Demasiado Desconocido Modo intermitente asimétrico (slugging) Desconocido Considerable Pequeño Desconocido Efecto de dp hidrodinámica Desconocido Considerable Despreciable Puede causar Efecto de la coalescencia distribución del de burbujas tamaño de partículas

25

Fluidización

En este capítulo se presentaron las propiedades y características físicas de los reactores de lechos fluidizados, que como se mencionó son sistemas multifásicos. El proceso de fluidización es muy complejo y para entenderlo es necesario establecer y resolver las ecuaciones representativas de acuerdo a su aplicación. En el siguiente capítulo se presentan las ecuaciones generales para estos sistemas.

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Ecuaciones para un lecho fluidizado

Capítulo 3 Ecuaciones para un lecho fluidizado Las ecuaciones de balance de masa, momentum y energía para un sistema multifásico se obtienen de manara análoga a la ecuaciones de un fluido simple (Apéndice A). El Teorema de Transporte de Reynolds (Apéndice B) indica que la razón de cambio de una propiedad ψ en un volumen de control en un sistema en un determinado momento es igual a la velocidad instantánea de acumulación de la propiedad ψ dentro del volumen de control más la diferencia entre los flujos instantáneos de salida y entrada de dicha propiedad.

d dt i

 ∂ψ

∫∫∫ψdV = ∫∫∫  ∂t

V (t )

V (t )

 + ∇ ⋅ψvi dV 

(3.1)

El volumen de la fase i -ésima está dado por la Ec. (3.2):

Vi = ∫∫∫ ε i dV

n

donde

∑ε

i

=1

i = s, f

(3.2)

i =1

V (t )

Siempre y cuando nuestro fluido sea incompresible, es decir, Vi permanece constante. Del Teorema de Transporte de Reynolds, Ec. (3.1), para un sistema multifásico con un fluido incompresible se tiene: ∂ε i + ∇ ⋅ (ε i vi ) = 0 ∂t

con i = s, f

(3.3)

3.1 Balance de masa En un sistema multifásico se puede obtener la masa de una de las fases i en términos de la densidad de la fase ( ρ i ) , de la fracción volumen de la fase ε i y el volumen total del sistema multifásico V .

mi = ∫∫∫ ε i ρ i dV

(3.4)

V (t )

Desde una descripción Lagrangiana, el balance de masa m i moviéndose con una velocidad v i está dada por:

27


dmi d = i i dt dt

∫∫∫ ε ρ dV = ∫∫∫ m dV i

' i

i

(3.5)

La fracción volumen ε i está incluida en el término mi' e incorpora la rapidez de producción de la fase i debida a la reacción química que se tiene entre el sólido y el fluido. Aplicando el Teorema de transporte de Reynolds, Ec. (3.1) en la Ec. (3.5), se obtiene la ecuación de continuidad para la fase i : ∂(ε i ρ i ) + ∇ ⋅ (ε i ρ i vi ) = mi' ∂t

(3.6)

Si hay conservación de la masa se debe de cumplir que la sumatoria de mi' de las i fases sea igual a cero. Esto debido a que la masa que pierde una de las fases la gana la otra. n

∑m

' i

=0

(3.7)

i =1

3.2 Ecuación de balance de momentum La rapidez de cambio de momentum de una partícula en un sistema en r movimiento con velocidad vi es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el sistema. En sistemas multifásicos existen fuerzas de interacción de la fase i con otras fases. Estas fuerzas de interacción son debidas a la presión p (Bowen, 1976) El balance de momentum para la fase i es:

r r d ρ i vi ε i dV = f i ∫∫∫ dt V (t )

(3.8)

Rapidez de cambio de momentum de la fase i = fuerzas que actúan sobre la fases i . La Ec. (3.8) se deduce a partir de la segunda ley de Newton r d r f = p dt

r r donde p = mv

(3.9)

r Las fuerzas f que actúan sobre un elemento de volumen o partícula de fluido se pueden dividir en dos: r r r f = f superficiales+ f volumétricas

(3.10)

donde

28


r r r f superficiales= f normales+ f tangenciales

(3.11)

Las fuerzas volumétricas se deben a la fuerza de gravedad y a fuerzas centrifugas. r Agrupando las fuerzas superficiales y volumétricas se obtiene que f i está dado por: r fi =

t

∫∫τ S (t )

i

r r r r ⋅ dS + ∫∫∫ ρ i ε i Fn dV + ∫∫∫ ρ i gε i dV + ∫∫∫ mi' vi dV

(3.12)

V (t )

en donde

t

∫∫τ

i

r ⋅ dS = fuerzas superficiales

S (t )

r

∫∫∫ ρ i ε i Fn dV = fuerzas externas V (t )

r

∫∫∫ ρ gε dV i

i

= Fuerzas de interacción entre fases

r

∫∫∫ m v dV = cambio de momentum debido a cambios de fase ' i i

La integral de superficie es utilizada para obtener el flujo de las fuerzas que actúan a través del área transversal de un elemento de volumen, al integrar sobre S(t) se halla el total de las fuerzas superficiales que pasan a través de la superficie S. En coordenadas cartesianas ( x, y, z ) , el tensor de esfuerzos τ i para la fase i está dado por la matriz: τ ixx τ ixy τ ixz    (3.13) τ i = τ iyx τ iyy τ iyz  τ   izx τ izy τ izz  en donde τ ixy es la i -ésima fuerza en la dirección x por unidad de área en la cara y :

τ iyx =

∂Fix ∂A y

(3.14)

Aplicando el teorema de la divergencia (Stewart, 1999),

r

∫∫τ i dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ τ i dV

(3.15)

a

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Aplicando el teorema de transporte de Reynolds, Ec. (3.1) al miembro derecho de la Ec. (3.12) y usando la Ec. (3.15) se obtiene un balance de momentum para cada una de las fases i como se muestra a continuación:

r r ∂ ( ρ i ε i vi ) r r r r + ∇ ⋅ (ρ i ε i vi ⊗ vi ) = ∇ ⋅ τ i + ρ i ε i f i + ρ i ε i g + mi' vi ∂t

(3.16)

donde ⊗ indica la multiplicación del vector velocidad (3x1) por el vector velocidad v i (1x3) dando como resultado una matriz de (3x3). Diferenciando el lado izquierdo de la Ec. (3.16) se obtiene:

r r ∂vi r r  ∂ (ρ i ε i ) r r  ρ iε i + ρ i ε i v i ⋅ ∇vi + v i  + ∇ ⋅ ρ i ε i vi − mi'  = ∇ ⋅ τ i + ρ i ε i f i + ρ i ε i g i ∂t  ∂t 

(3.17)

El término entre corchetes es precisamente la ecuación de continuidad, Ec. (3.6) y por lo tanto es igual a cero. Finalmente se obtiene que el balance de momentum para la fase i es:

ρiε i

r dvi dt

i

r t r = ∇ ⋅τ i + ρ i ε i f i + ρ i ε i g

(3.18)

3.3 Ecuaciones de la mezcla La ecuación de la mezcla para la masa, el momento y la energía se puede simplificar en la suma de las fases. El volumen de la mezcla Vt es la suma de los volúmenes individuales de cada una de las fases. n

Vt = ∑ Vt ,i

(3.19)

i =!

En términos del volumen especifico Vi y de la masa mi la relación es la siguiente. n

mV = ∑ miVi

(3.20)

i =1

Definimos Wi como la fracción masa de la fase i Wi = m i / m

(3.21)

Dividiendo la Ec. (3.30) entre m se obtiene:

30


n 1 1   mV = ∑   miVi m i =1  m 

(3.22)

Sustituyendo Wi se tiene n

V = ∑ WiVi

(3.23)

i =1

3.4 Conservación de la masa de la mezcla La sumatoria de la Ec. (3.6) da como resultado n

∑ i =1

n ∂ (ε i ρ i ) n + ∑ ∇ ⋅ (ε i ρ i vi ) = ∑ mi' ∂t i =1 i =1

(3.24)

La densidad total de la mezcla ρ está definida como: n

ρ ≡ ∑ ε i ρi

(3.25)

i =1

Se define la fracción masa de la fase i como Wi Wi ≡ mi / m

(3.26)

en términos de la densidad de cada una de las fases se reescribe como Wi = (ε i ρ i ) / ρ

(3.27)

En el segundo miembro de la Ec. (3.24) aparece en forma natural la velocidad media de la mezcla. r n r (3.28) ρ v ≡ ∑ ε i ρi vi i =1

La Ec. (3.27) muestra que la velocidad media de la mezcla es función de la fracción masa de cada una de las fases, ya que dividiendo la Ec. (3.28) entre ρ se tiene:

1 r n 1 r   ρv = ∑  ε i ρ i vi i =1  ρ  ρ

(3.29)

de donde se sigue que

r n r v = ∑ Wi v i

(3.30)

i =1

31


n

Si hay conservación de la masa debe de cumplirse que

∑m

' i

= 0 y con las definiciones

i =1

(3.25) y (3.28), se recupera a partir de la Ec. (3.24), la ecuación de continuidad para un fluido simple.

3.5 Identidades de la mezcla Para poder obtener la ecuación de balance de momentum para una sola fase, es necesario obtener algunas identidades análogas para una mezcla multifásica dadas por Bowen (1976) Así se define la velocidad relativa con respecto a la velocidad media de la mezcla como:

r r r vi ,rel = vi − v

(3.31)

r Despejando de esta ecuación vi se obtiene la velocidad relativa de la fase i

r r r vi = vi , rel + v

(3.32)

Sustituyendo en la Ec. (3.28), n

r

r

r

ρv = ∑ ε i ρ i (vi ,rel + v )

(3.33)

i =1

o bien, n

r

n

r

r

ρv = ∑ ε i ρ i vi ,rel + ∑ ε i ρ i v i =1

(3.34)

i =1

Como n

r

r

n

∑ε ρ v = v∑ε ρ i

i

i

i =1

i

r = vρ

i =1

y

r

n

r

r

ρv = ∑ ε i ρ i vi ,rel + v ρ i =1

finalmente se obtiene n

r

∑ε ρ v i

i i , rel

=0

(3.35)

i =1

Considerando una función diferenciable Γ moviéndose con la fase i

r r dxi ∂Γ r dΓ dΓ(t , xi (t )) dΓ = = + ∇Γ ⋅ = + ∇Γ ⋅ v i i dt dt dt ∂t dt

(3.36)

r aplicando la regla de la cadena y la definición de vi mientras se mueve con la mezcla se obtiene que r r d Γ d Γ ( t ,x( t )) d Γ dx ∂Γ r = = + ∇Γ ⋅ = + ∇Γ ⋅ v dt dt dt dt ∂t

(3.37)

32


Por otra parte, n

Γρ = ∑ ε i ρ i Γi

(3.38)

i =1

en donde ε i ρ i / ρ es la fracción masa de la fase i . La diferenciación de las Ec. (3.36) y (3.37) dan como resultado

r   ∂Γ r dΓ dΓ  ∂Γ − = + ∇Γ ⋅ v i  −  + ∇Γ ⋅ v  i dt  ∂t dt   ∂t  o bien,

r d Γ dΓ − = ∇Γ ⋅ vi ,rel i dt dt

(3.39)

Diferenciando la Ec. (3.38) y aplicando la Ec. (3.39) se tiene.

ρ

n r  r  dΓ dρ  dΓ  d (ε i ρ i ) +Γ = ∑ ε i ρ i  ii − ∇Γi ⋅ vi , rel  +Γi  − ∇ε i ρ i ⋅ vi ,rel  i dt dt  dt   dt  i =1

(3.40)

Considerando que existe conservación de la masa de la fase i la ecuación puede reescribirse en términos de ε i ρ i como: mi' r 1 d (ε i ρ i ) = −∇ ⋅ v + i ε i ρ i dt i ε i ρi

(3.41)

sustituyendo la ecuación de continuidad y la Ec. (3.41) en (3.40) se recupera la ecuación de balance de la función Г de una sola fase:

ρ

n dΓ dΓ r   = ∑ ε i ρi i i − ∇ ⋅ ( ε i ρi Γ i vi ,rel ) + Γ i mi'  dt dt  i =1 

(3.42)

3.6 Ecuación de Balance de Momentum para la Mezcla La sumatoria de la Ec. (3.18) para n fases da como resultado la ecuación de balance de momento para la mezcla:

r n n n r dv i t ρ ε = ∇ ⋅ τ + ρ ε f + pi ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i dt i i =1 i =1 i =1 i =1 n

(3.43)

La relación del movimiento a través de las fases con el movimiento de la mezcla, se r obtiene sustituyendo Γ por v en la Ec. (3.42) y se aplica la Ec. (3.31)

33


r r n dv i r r r  dv  ρ = ∑ ε i ρ i i − ∇ε i ρ i v i , rel ⊗ v i .rel + v i mi'  dt i =1  dt 

(3.44)

Para obtener el balance de momento en su forma convectiva se emplea las Ecs. (3.44) y (3.43) así el balance queda de la siguiente forma:

ρ

r n r r r t dv + ∑ ∇ε i ρ i v i , rel ⊗ v i.rel = ∇ ⋅ τ + ρf dt i =1

(3.45)

donde f está definido como: r

r

n

ρf = ∑ ε i ρ i f i

(3.46)

i =1

t El tensor de esfuerzos en la mezcla τ corresponde a la parte interna del tensor en un sistema de multicomponentes, definido por: n

t

t

τ = ∑τ i

(3.47)

i =1

en la Ec. (3.48) se ve que las interacciones entre las fases desaparecen n

∑p

i

r + mi' v i = 0

(3.48)

i =1

La Ec. (3.45) es el balance de momento de la mezcla que contiene contribuciones debido a la velocidad relativa de las fases que están dadas por el segundo término del lado izquierdo de la ecuación. Hidrostáticamente es importante definir la presión de la mezcla P por:

t

t

τ = − PI

(3.49)

así se obtiene la formula manométrica de la mezcla a partir de la Ec. (3.45) r n ∇P = g ∑ ε i ρ i

(3.50)

i

donde la fuerza del cuerpo f i ha sido remplazada por la aceleración de la gravedad. Durante todo este capitulo se estudiaron las ecuaciones generales para sistemas multifásicos. Se obtuvieron ecuaciones de balance de masa y momentum para éstos, en el siguiente capitulo se verá la aplicación de algunas de estas ecuaciones en un reactor de lecho fluidizado.

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Distribución de tamaño de partícula

Capítulo 4 Distribución de tamaños de partículas Durante el presente capitulo se estudiará una ecuación de balance de probabilidad de tamaños de cúmulos, P(R,t) en donde R es el radio del cúmulo. En un reactor de lecho fluidizado se tiene una distribución de tamaños de cúmulos que están sujetos a procesos de rompimiento y agregación. En este capitulo se discutirán estos procesos y se deducirá la ecuación de balance de probabilidad que obedece la distribución P(R.t)

4.1 Distribución de tamaños de cúmulos Ya que se tiene un gran número de cúmulos de diferentes tamaños dentro del reactor no es posible dar una descripción determinista del sistema, sólo se puede decir que se tienen tamaños de cúmulos en un cierto rango, por lo tanto es necesario introducir una descripción probabilística del sistema. Cualquier evento que tenga como consecuencia la creación o aniquilación de cúmulos es un evento probabilístico (Salinas, 1995). Así para hacer una descripción del sistema es necesario hacerlo en términos de una función de distribución de probabilidad. En la Fig. 4.1 se muestra como estarían distribuidos los diferentes tamaños de cúmulos en el reactor de lecho fluidizado y que no hay un tamaño establecido para ellos, i.e., no hay un tamaño determinado. Se tienen rangos de tamaños, uno de estos rangos va de R hasta R + dR , así el siguiente rango comienza en R + dR y termina en R + 2dR y así sucesivamente. Es decir, se tiene que estos cúmulos pueden agruparse en intervalos de tamaños [R + ndR, R + ( n + 1) dR ) con n = 0,1,2,3... Es necesario clasificar a los cúmulos en el sistema en clases o tipos, en este trabajo lo haremos por su radio.

Figura 4.1. Distribución de tamaños en un reactor de lecho fluidizado.

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Ya que se tiene un gran número de diferentes tamaños de cúmulos en el reactor es necesario introducir R como una variable estocástica. Se utiliza una variable estocástica ya que se tienen variaciones importantes en el número de cúmulos. Estos cambios de tamaño son debidos a las colisiones que se tienen entre los cúmulos ya que con ella hay rompimientos y agregaciones.

Figura 4.2. Diferentes tamaños de cúmulos En la Fig. 4.2 se muestran algunos de los diferentes tamaños de cúmulos que se tienen en un reactor de lecho fluidizado, donde R1 está dado desde Ri1 hasta Ri1 + dR , de forma similar R 2 va desde Ri 2 hasta Ri 2 + dR , …, RN de RiN hasta RiN + dR .

4.2 Procesos de agregación y rompimiento En un reactor de lecho fluidizado pueden tener lugar procesos de agregación y rompimiento de cúmulos. Estos procesos pueden visualizarse a través de la Fig. 4.3; en esta figura se tiene un sistema abierto donde se tiene una probabilidad de entrada de cúmulos P0(R,t) y una de salida P1(R,t). Debe de entenderse como P(R,t)dR la probabilidad de tener cúmulos de tamaños entre R y R+dR a un tiempo t o bien, P(R,t)dR es la fracción de cúmulos de un rango de tamaños. En la Fig. 4.3 se muestra un reactor de lecho fluidizado en el cual entran cúmulos con una probabilidad P0 y salen con P1 que dependen tanto del tamaño del cúmulo así como del tiempo. Dentro del reactor se formaran nuevos cúmulos ya sea por rompimiento o por agregación. Por rompimiento se toma un ejemplo en el cual a un tiempo t0 se tienen dos cúmulos uno de tamaño 9 y otro de tamaño 3 los cuales colisionan a un tiempo t0 + ∆t y se forman tres nuevos cúmulos uno de tamaño 5, otro de tamaño 4 y uno de tamaño 3. Para la agregación se tienen inicialmente t0 dos cúmulos uno de tamaño 7 y otro de tamaño 2 los cuales colisionan en t0 + ∆t y se forma un cúmulo de tamaño 9. Las partículas que forman los cúmulos no están pegadas ya que existen fuerzas electrostáticas de repulsión entre ellas.

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Figura 4.3. Rompimiento y agregación en el tamaño de cúmulo de de lecho fluidizado.

4.3 Fundamentos de procesos estocásticos Ya se mencionó porque no se puede hacer una descripción determinista del sistema por que no hay cúmulos de tamaños definidos, por lo tanto, se necesita una descripción estadística. También se menciono que R tenía que ser una variable estocástica, ahora veremos que es esto.

Variable estocástica y momentos de la distribución Una variable estocástica es un objeto X que se define a través de un conjunto de estados, X = { x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )} , y una densidad de probabilidad asociada a éste. La variable puede ser discreta o continua en un rango de valores. Si se considera un conjunto de estados multidimensional se tendría un vector X (van Kampen, 2003). Las propiedades de la densidad de probabilidad en un rango unidimensional continuo, P(x), son: i) P(x ) ≥ 0 ∞

ii)

∫ P(x )dx = 1

(4.1)

−∞

iii) P(x )dx es la probabilidad de que la variable X se encuentre entre el valor x y x + dx . Cuando P ( x ) se normaliza respecto a una unidad de volumen la densidad de probabilidad es una densidad numérica.

37


En base a la definición de variable estocástica se define el promedio de una función f ( X ) en el mismo espacio de estados, f ( X ) = ∫ f ( x)P ( x) dx

(4.2)

Generalizando, el momento n-ésimo de X se escribe como, X n = ∫ X n P ( x) dx

(4.3)

El valor medio o primer momento está dado por X = ∫ X P( x) dx

(4.4)

La varianza o dispersión se expresa a través del primer y segundo momentos como

σ 2 = (X − X

)

2

= X2 − X

2

(4.5)

y la desviación estándar como 2 σ = X2 − X 



1/ 2

(4.6)



Un caso particular pero muy importante de distribución es la distribución Gaussiana, la cual está dada por  x − x (t ) 2  1  (4.7) P ( x, t ) = exp  2 2   2 t σ ( ) 2πσ ( t )  

(

)

Esta distribución queda completamente determinada por sus dos primeros momentos. Los de orden superior están dados en función de estos dos primeros.

Es importante conocer las funciones de distribución que se emplean con mayor frecuencia para representar la distribución de dispersión de tamaño de partículas que se tiene dentro del reactor de lecho fluidizado en el Apéndice C se describen algunas de ellas. • • • • • • • •

Distribución Normal o Gaussiana Distribución Log-Normal Distribución Normal de la raíz cuadrada Distribución Chi-cuadrada Distribución Gamma Distribución Weibull Distribución de valor extremo Distribución Nukiyama-Tanasawa

38


4.4 Ecuación de balance de población Ya que se tiene un gran número de cúmulos en el reactor de lecho fluidizado hay colisiones entre ellos que provocan que cambien de tamaño ya sea por agregación o rompimiento como se vio en la sección 4.2. En la Fig. 4.4a se muestra como es que cambian de tamaño los cúmulos al chocar unos con otros, en este caso hay rompimiento ya que en un principio se tienen dos cúmulos formados uno de ellos por cinco partículas mientas que al otro lo componen trece partículas, chocan y se forman tres cúmulos con cinco, seis y siete partículas. En la Fig. 4.4b se observa lo contrario, es decir, después del choque se los cúmulos de tamaño cinco y ocho chocan y se forma uno nuevo de tamaño trece este es el caso de la agregación. Tomando una descripción macroscópica del sistema donde sólo se considera el valor promedio del número de cúmulos se formula una ecuación de balance para el número promedio de cúmulos de cada tamaño (Salinas, 1995). Así como se tiene un número grande de tamaños de cúmulos se tendrá un número grande de ecuaciones, esto dependerá del tamaño máximo de cúmulos que se encuentre experimentalmente. Como se mencionó anteriormente clasificaremos a los cúmulos según su radio, esto con el fin de poder plantear la ecuación de balance de probabilidad. Se supondrá un sistema en estado de flujo continuo y bien agitado. Otras suposiciones serán que no hay transferencia de masa y no hay reacciones químicas. Sólo se tomará en cuenta el tamaño del cúmulo denotado por k (k = 1,2,3...) . Así la población esta caracterizada por una función de distribución de tamaños de cúmulos, que será denotada por Ck (t ) que es el número medio de cúmulos de tamaño k a un tiempo t , este número depende del radio, de la posición y del tiempo. Así el número total de cúmulos N (t ) en el sistema es: ∞

N (t ) = ∑ Ck (t )

(4.8)

k =1

Así Smulochowski describe los procesos de agregación irreversible en términos de ecuaciones cinéticas no lineales de primer orden para Ck (t ) de la siguiente manera: d t Ck (t ) =

1 ∑ KijCiC j − Ck ∑j K kjC j 2 k =i + j

k = 1,2,3...

(4.9)

en donde d t ≡ d / dt . K ij ≡ K (i, j ) Que es el coeficiente o tasa de agregación de cúmulos de tamaño i y j que chocan formando un cúmulo de tamaño i + j . La Ec. (4.9) es llama ecuación de coagulación de Smulochowski y describe las posibles reacciones de coalescencia entre cúmulos de tamaño finito. Esta ecuación puede generalizarse para incluir la fragmentación.

d t Ck (t ) =

∞ 1 k −1 (K j , k − jC jCk − j − Fj ,k − jCk ) − ∑ (K kjCk C j − FkjCk + j ) k = 2,3,4... (4.10) ∑ 2 j =1 j =1

39


donde Fij ≡ F (i, j ) y es el coeficiente o tasa de rompimiento con que un cúmulo de tamaño i + j se rompe en cúmulos de tamaños i y j . Aplicando la definición de la derivada Lagrangiana al lado izquierdo de la Ec. (4.11) se tiene:

r r r & ( R, xr, t ) ) (4.11) dt Ck ( R, x , t ) = ∂ t Ck ( R, x , t ) + ∇ ( vk Ck ( R, x , t ) ) + ∂ R ( RC k El miembro izquierdo de la Ec. (4.11) es el cambio que sufre en el tiempo el número medio de cúmulos de tamaño k ; en el lado derecho de la ecuación, el primer término representa en cambio temporal que se tiene del número de cúmulos de tamaño k en el tiempo, el segundo término representa el flujo de Ck que se tiene en el reactor, mientras que el último término representa el cambio que se tiene en el tamaño de los cúmulos por factores internos como puede ser el desgaste por fricción de las partículas.

Figura 4.4. Rompimiento y Agregación en los cúmulos. Así sustituyendo la Ec. (4.11) en (4.10) se puede escribir la ecuación de Smulochowski de la siguiente manera:

& (t ) ) ∂ t Ck (t ) + ∇ ( vk Ck (t ) ) + ∂ R ( RC k =

∞ 1 k −1 K j ,k − j C j Ck − j − Fj , k − j Ck ) − ∑ ( K kj Ck C j − Fkj Ck + j ) ( ∑ 2 j =1 j =1

(4.12)

Por otro lado si el sistema no es cerrado, existen fuentes y sumideros en el sistema, como puede verse en la Fig. 4.1. Si se incorporan estos dos términos en la ecuación de balance, sin incorporar ningún modelo específico para ellos en este momento, la ecuación generalizada de Smoluchowski está dada por

40


& (t ) ) = ∂ t Ck (t ) + ∇ ( vk Ck (t ) ) + ∂ R ( RC k ∞ 1 k −1 K C C − F C − ( KkjCk C j − FkjCk + j ) + Ek ( Ci ) −Sk (Ci ) ∑ ( j ,k − j j k − j j ,k − j k ) ∑ 2 j =1 j =1

(4.13)

Donde Ek y Sk son el número medio de cúmulos de tamaño k que entran y salen respectivamente al reactor.

41


4.5 Distribución de tamaños de partícula sin considerar procesos de fragmentación ni agregación Durante la presente sección se resolverá un problema de un reactor de lecho fluidizado con un flujo de entrada y uno de salida, sistema abierto, en el cual se tienen partículas de diferentes tamaños, monómeros, como no hay procesos de agregación o rompimiento entonces la Ec. (4.13) representa la evolución del número de partículas de tamaño R en el tiempo.

Equilibrio de población en un lecho fluidizado En la Fig. 4.5 se muestra un reactor de lecho fluidizado bien mezclado [Gidaspow, 1994]. En donde Fi es la rapidez del flujo másico (1/s) a la entrada y salida del reactor y Pi son las distribuciones de tamaño de partículas que hay en la corriente (cm-1). El balance de población para la densidad de probabilidad de distribución de tamaño P para este sistema puede escribirse de la siguiente manera:

W

d PdR = dt ∫

Flujo de partículas de tamaño R que entran

Flujo de partículas __ de tamaño R que salen

±

Tasa de cambio en el tamaño de las partículas (4.14)

donde W es la fracción masa del sólido, Wi = (ε i ρ i ) / ρ , el tiempo es t y R es el tamaño de partícula.

Figura 4.5 Reactor de lecho fluidizado bien mezclado

42


Considerando que la probabilidad se conserva la Ec. (4.14) puede escribirse de la siguiente manera:

W

d PdR =0 dt ∫

(4.15)

aplicando el Teorema de Transporte de Reynolds a la Ec. (4.15) se tiene: W

r  ∂P d dR   dx  r ⋅P  dR = 0 PdR = W + ∇  + ∇R P x ∫ ∫  dt dt   dt   ∂t

(4.16)

donde

∂ ∂ ∂ ∇ xr ⋅ =  , ,   ∂x ∂y ∂z 

(4.17)

∂ ∂R

(4.18)

dR & =R dt

(4.19)

∇R =

es conocida como ley de crecimiento y puede tomar en cuenta efectos como la atrición. r dx r =v (4.20) dt así sustituyendo las Ecs. (4.18), (4.19) y (4.20) en la Ec. (4.16) se tiene: ∂ r  ∂P  W ∫ + ∇ xr ⋅ (Pv ) + PR& dR = 0 ∂R  ∂t 

( )

(4.21)

pero se puede reescribir como r ∂  ∂P  W + ∇ xr ⋅ (Pv ) + ( PR& ) = 0 ∂R   ∂t

(4.22)

haciendo un análisis dimensional se tiene:  1   1 L 1 1 L  1   Lt  +  LL t  +  L L t  =  Lt          La Ec. (4.22) es la ecuación diferencial parcial para P , que está en función del tiempo y del tamaño de partícula. Esta ecuación es valida solamente para un sistema en el cual existe conservación de la probabilidad.

43


Para un sistema en el cual no hay conservación de la probabilidad como el que se muestra en la Fig. 4.5 la ecuación que se utiliza para halla P se deduce partiendo de la Ec. (4.21) r ∂  ∂P  W ∫ + ∇ xr ⋅ (Pv ) + PR&  dR = F0 ∫ P0 dR − F1 ∫ P1dR + F2 ∫ P2 dR ∂R  ∂t 

(

( )

)

(4.23)

El lado derecho de la Ec. (4.23) representa la entrada F0∫P0dR, y la salida F1∫P1dR+ F2∫P2dR, de un flujo en el sistema. Rescribiendo la ecuación anterior se tiene: r ∂  ∂P  W ∫ + ∇ xr ⋅ (Pv ) + PR& dR − F0 ∫ P0 dR + F1 ∫ P1dR + F2 ∫ P2 dR = 0 ∂R  ∂t 

(

)

(4.24)

 r ∂  + ∇ xr ⋅ (Pv ) + PR&  − F0 P0 + (F1P1 + F2 P2 )dR = 0 ∂R  

(4.25)

( )

rescribiendo la Ec. (4.24)   ∂P

∫ W  ∂t

( )

de la Ec. (4.25) se sabe que si la integral es igual a cero el integrando es igual a cero por lo tanto

W

∂P ∂ ∂ + W (Pvz ) + W (PR& ) = F0 P0 − (F1P1 + F2 P2 ) ∂t ∂z ∂R

(4.26)

la ecuación diferencial parcial para P es la (4.26) y es función del tiempo y del tamaño de partícula, esta ecuación es valida para un sistema en el cual no hay conservación de la probabilidad, porque el sistema es abierto. El valor medio de esta distribución, es precisamente la concentración de partículas de un tamaño dado, la cual está expresada por la Ec. (4.13) de Smoluchowski.

4.6 Distribución de tamaños de partícula considerando procesos de fragmentación y agregación Si se considera en la Ec. de Smoluchowski que no hay fenómenos de agregación ni de rompimiento y que no se forman cúmulos, la Ec. resultante es

& * (t ) ) = E (C * ) − S (C * ) ∂ t Ck* (t ) + ∇ ( vk Ck* (t ) ) + ∂ R ( RC k k i k i

(4.27)

en donde se están considerando sólo monómeros de diferente tamaño y eso denota con Ck* . Comparando con la Ec. (4.26), encontramos que: Ck* ≡ W Rk

44


r Ek ≡ F0 C k* (r = 0) r r r r S k ≡ F1 Ck* ( r = r1 ) + F2 Ck* ( r = r2 )

Se recuperó la ecuación de distribución de tamaños cuando no existen fenómenos internos al considerar las definiciones anteriores. Si se considerarán los efectos internos de agregación y fragmentación la ecuación sería para cúmulos no para monómeros y estaría dada por la Ec. (4.13) . Ahora bien el sistema de Ecs. de n cúmulos se tendría que resolver considerando una distribución inicial polidispersa utilizando las distribuciones del Apéndice C. Una forma más clara pero mucho más compleja sería resolver la Ec. (4.26) para tener una idea de esa distribución o bien considerarla al tiempo inicial. Sin embargo, es importante hacer notar que se tendría un sistema de n ecuaciones acoplado con otro sistema de n ecuaciones y con condiciones de frontera y de crecimiento. Esto no se considerará en este trabajo.

45

Conclusiones

Conclusiones Durante este trabajo se estudiaron ecuaciones para la distribución de tamaños de cúmulos considerando procesos de agregación y fragmentación dentro de un reactor de lecho fluidizado a partir de la ecuación de Smoluchowski también se considero que en el sistema existía un flujo de entrada y de salida. También se estudiaron ecuaciones para la distribución de tamaño de partículas sin considerar procesos de agregación ni de fragmentación, se tomo en cuenta el cambio de tamaño de las partículas por el desgaste debido a la fricción, se vieron dos ecuaciones una para un sistema en el cual existe conservación de la probabilidad y otra para un sistema en el cual no hay conservación de la probabilidad. Estas ecuaciones se resolverían considerando distribuciones iníciales polidispersas utilizando las distribuciones del Apéndice C. Pero al final se tendrían dos sistemas de ecuaciones acoplados con n ecuaciones cada uno con sus condiciones de frontera y de crecimiento, pero esto no fue considerado en este trabajo. Se resolvió un problema en el cual se tenia un reactor de lecho fluidizado bien mezclado y se deseaba encontrar una expresión para obtener la distribución de tamaño de partículas, se supuso que no había fenómenos de fragmentación o agregación sólo se tomaron en cuenta las fuentes y sumideros del sistema así como la ley de crecimiento en la cual interfieren fenómenos como la atrición y también se considero que únicamente había monómeros en el reactor. Se estudiaron ecuaciones generales para sistemas multifarios, se anlizaron las ecuaciones de balance tanto de materia como de momentum tanto para una fase del sistema como para la mezcla. Se vieron los principales componentes de un reactor de lecho fluidizado así como los parámetros asociados con el sólido y con el fluido. Se explico el principio que hace que las partículas sólidas fluyan y una vez que lo hacen los regímenes de fluidización así como el régimen de flujo que se pueden tener. Es importante hoy en día producir energía de forma limpia y eficiente los lechos fluidizados ofrecen esta posibilidad por sus características así es de gran importancia su estudio, además son empleados en muchos otros procesos diferentes a la combustión y a la refinación de petróleo, teniendo una gran gama de utilidades.

46

Ecuaciones hidrodinámicas

Apéndice A Ecuaciones hidrodinámicas A.1 Ecuación de continuidad Esta ecuación se deduce aplicando un balance de materia a un elemento de volumen en estado estacionario ∆x∆y∆z, a través del que está circulando el fluido.

Rapidez  Rapidez  Rapidez  de  de  de        = entrada − salida acumulació n       de  de  de        materia  materia  materia 

(A.1)

A.1 Región de volumen ∆x∆y∆z fija en el espacio, a través de la cual está circulando un fluido. Comenzamos considerando el par de caras perpendiculares al eje x, la rapidez de r entrada de materia a través de la cara x es (ρv x ) x ∆y∆z , y la rapidez de salida de r materia a través de la cara x+∆x es (ρv x ) x + ∆x ∆y∆z . Para los otros dos pares de caras pueden escribirse expresiones análogas. La rapidez de acumulación de materia en el elemento de volumen es (∆x∆y∆z)(δρ/δt). El balance de materia queda por lo tanto:

47


∆x∆y∆z

δρ r r r r = ∆y∆z ( ρ v x ) x − ( ρ v x ) x +∆x  + ∆x∆z ( ρ v y ) y − ( ρ v y ) δt r r + ∆x∆y ( ρ v z ) z − ( ρ v z ) x +∆z 

y +∆y

  (A.2)

Dividiendo toda la ecuación entre (∆x∆y∆z), y tomando el límite cuando estas dimensiones tienden a cero, se tiene: δ r δρ δ r δ r  = − ρv x + ρv y + ρv z  δt δy δz  δx 

(A.3)

Ésta es la ecuación de continuidad, que describe la variación de la densidad para un punto fijo, como consecuencias de las variaciones del vector de velocidad r másica ρv . Otra forma de escribir la ecuación de continuidad es la siguiente:

r δρ = −(∇ ⋅ ρv ) δt

(A.4)

El término (∇ ⋅ ρv ) representa la rapidez neta con que disminuye la densidad de flujo de materia por unidad de volumen. Por lo tanto establece que la rapidez con que aumenta la densidad en el interior de un pequeño elemento de volumen fijo en el espacio, es igual a la densidad neta de entrada de densidad de flujo de materia en el espacio dividida entre su volumen. Generalmente es preferible modificar la ecuación, efectuando la diferenciación que está indicada y reuniendo todas las derivadas de ρ en el primer miembro:

r

r r  δv x δv y δv z  δρ r δρ r δρ r δρ  + vx + vy + vz = − ρ  + + δy δz  δt δx δy δz  δx

(A.5)

En el presente trabajo se emplea la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas, ya que nuestro reactor de lecho fluidizado tiene esta geometría, por lo tanto la ecuación de continuidad que emplearemos es:

δρ 1 δ + (ρrvrr ) + 1 δ (ρvrθ ) + δ (ρvrz ) = 0 δt r δr r δθ δz

(A.6)

A.2 La ecuación de movimiento Para un elemento de volumen ∆x∆y∆z, se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento:

48


suma    Rapidez  Rapidez  Rapidez  de  de  de  de  las          acumilación  entrada  salidad   fuerzas          de  = de  − de  + que  cantidad  cantidad  cantidad  actúan          de  de  de  sobre  movimiento  movimiento movimiento  el          sistema 

(A.6)

Figura A.2 Elemento de volumen ∆x∆y∆z, en el que se señala con flechas la dirección en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies. Comenzaremos considerando el componente x de cada uno de los términos de la Ec. (A.6); los componentes y y z se pueden obtener de forma análoga. Vamos a considerar en primer lugar la rapidez de flujo de cantidad de movimiento de la componente x que entra y sale del elemento de volumen. La cantidad de movimiento entra y sale del elemento en virtud de dos mecanismos: por convección, es decir, debido al flujo global del fluido y por transporte molecular, es decir, a causa de los gradientes de velocidad. La velocidad con la que entra por convección el componente x de la cantidad de r movimiento por la cara situada en x es ρv x x ∆y∆z y la velocidad con la que sale por r r r x+∆x es ρv x x + ∆x ∆y∆z . La velocidad a la que entra por y es ρv x v x y ∆x∆z . Para las

49


demás caras se pueden escribir expresiones similares. Vemos por lo tanto, que es preciso considerar el flujo convectivo de la cantidad de movimiento x a través de las seis caras y que el flujo convectivo neto, de la cantidad de movimiento x, en el elemento de volumen es:

r r r r ∆y∆z (ρv x v x x − ρv x v x

x + ∆x

) + ∆x∆z (ρvr vr y

x y

r r − ρv y v x

y + ∆y

) + ∆x∆y(ρvr vr z

x z

r r − ρv z v x

z + ∆z

)

(A.7) De igual forma, la velocidad con la que el componente x de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es τ xx x ∆y∆z y con la que sale por x+∆x es τ xx

x + ∆x

∆y∆z . La velocidad con la que entra por y τ xy y ∆x∆z ;

para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares. Se debe de tener en cuenta que τ xy es la densidad de flujo de cantidad de movimiento x a través de una cara perpendicular al eje y. Sumando estas seis contribuciones se tiene:

∆y∆z (τ xx

x

− τ xx

x + ∆x

) + ∆x∆z (τ

yx y

− τ yx

y + ∆y

) + ∆x∆y(τ

zx z

− τ zx

z + ∆z

)

(A.8)

Estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como esfuerzos. Por lo tanto, τ xx es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara x, y τ yx es el esfuerzo normal tangencial que actúa sobre la cara y en la dirección x, y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas. En la mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes serán las precedentes de la presión del flujo p y la fuerza gravitacional por unidad de masa g. la resultante de esta fuerza en la dirección x será:

∆y∆z ( p x − p

x + ∆x

) + ρgr ∆x∆y∆z

(A.9)

x

La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuación de estado p=p(ρ,T), y es una magnitud escalar. Finalmente la rapidez de acumulación de cantidad de movimiento x en el elemento es ∆x∆y∆z(δρvx/δt). Sustituimos ahora las anteriores expresiones en la Ec. (A.6) dividiendo toda la ecuación que resulta entre ∆x∆y∆z y tomando el límite cuando ∆x, ∆y y ∆z, tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento: δ r r  δp r δ r δ r r δ r r  δ δ δ ρv x = − ρv x v x + ρv y v x + ρv z v x  −  τ xx + τ yx + τ zx  − + ρg x δt δy δz δy δz  δx  δx   δx

(A.10) Los componentes y y z, se obtienen de forma análoga: δ r r  δp r δ r δ r r δ r r  δ δ δ ρv y = − ρv x v y + ρv y v y + ρv z v y  −  τ xy + τ yy + τ zy  − + ρg y δt δy δz δy δz  δy  δx   δx

(A.11)

50


δ r r  δp r δ r δ r r δ r r  δ δ δ ρv z = − ρv x v z + ρv y v z + ρv z v z  −  τ xz + τ yz + τ zz  − + ρg z δt δy δz δy δz  δz  δx   δx

(A.12) Combinando las Ecs. (A.10), (A.11) y (A.12) se obtiene la ecuación vectorial:

rr r δ r ρv = −[∇ ⋅ ρv v ] − ∇p − [∇ ⋅ τ ] + ρg δt

(A.13)

en donde: δ r ρv es la rapidez de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen. δt

rr − [∇ ⋅ ρv v ] es la rapidez de ganancia de cantidad de movimiento por convección, por unidad de volumen. − ∇p es la fuerza de la presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen.

[∇ ⋅τ ] es la rapidez de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso, por unidad de volumen.

r + ρg es la fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento por unidad de volumen. El reactor de lecho fluidizado tiene una geometría cilíndrica por lo tanto la ecuación de movimiento que se empleará tiene que escribirse en coordenadas cilíndricas:

En función de τ Componente r:

r r r r r r  δv r r δv r vθ δv r vθ2 r δv r  δp  1 δ  = − −  (rτ rr ) + 1 δτ rθ − τ θθ + δτ rz  + ρgr r + vr + − + vz δz  r δθ r r δθ r δr δz  δr  r δr  δt (A.14)

ρ 

Componente en θ: r r r r r r r r 1 δp  1 δ 2 1 δτ θθ δτ θz   δvθ r δvθ vθ δvθ v r vθ r δvθ  ρ + vr + − + vz − 2 r τ rθ + + =−  + ρg θ δr δz  δz  r δθ r r δθ  r δr r δθ  δt (A.15)

(

)

Componente en z: r r r r r δτ δp  1 δ  δv z r δv z vθ δv z r δv z  + vr + + vz (rτ rz ) + 1 θz + δτ zz  + ρgr z  = − − δz  r δθ r δθ δr δz  δz  r δr  δt

ρ

(A.16)

51


En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes: Componente en r: r  δv r

r r r r r v δv v 2 r δv  r δv + v r r + θ r − θ + v z r  = δr r δθ r δz   δt r r r δ 1 δ r δ 2v δv δ 2 v δp − + µ   (rvr ) + 12 2r − 22 θ + 2r δr δz r δθ r δθ  δr  r δr

ρ 

 r  + ρg r 

(A.17)

Componente en θ: r r r r r r r  δvθ r δvθ vθ δvθ v r vθ r δvθ  + vr + − + vz ρ = δr r δθ r δz   δt r r r δ 1 δ r 1 δp 1 δ 2 vθ 2 δv r δ 2 vθ − + µ   + (rvθ ) + 2 2 − 2 r δθ δz 2 r δθ r δθ  δr  r δr

 r  + ρg θ  

(A.18)

Componente en z: r r r r r  δv z r δv z vθ δv z r δv z  + vr + + vz = r δθ δr δz   δt r r r  1 δ  δv z  1 δ 2 v z δ 2 v z  r δp − + µ + + ρg z r + 2 2 2  δz δz   r δr  δr  r δθ

ρ

(A.19)

A.3 La ecuación de energía mecánica La ecuación de movimiento se puede emplear para obtener una descripción de las conversiones internas de energía mecánica que tienen lugar en un fluido en movimiento. Comenzamos por formar el producto escalar de la velocidad v con la Ec. (A.13) de movimiento.

ρ

r r r r D  1 r2   v  = −(v ⋅ ∇p ) − (v ⋅ [∇ ⋅ τ ]) + ρ (v ⋅ g ) Dt  2 

(A.20)

Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la energía cinética 1r por unidad de masa v 2 para un elemento de fluido que se mueve con la corriente. 2 Se escribirá la ecuación en función de ∂ / ∂t , utilizando la ecuación de continuidad; separemos también en dos términos cada una de las contribuciones viscosa y de presión. Los términos de la ecuación que resulta pueden interpretarse en función de un elemento estacionario de volumen a través del que circula el fluido. r r r r r ∂  1 r2   1 r2r  ρv  = − ∇ ⋅ ρv v  − (∇ ⋅ ρv ) − p(− ∇ ⋅ v ) − (∇ ⋅ [τ ⋅ v ]) − (− τ : ∇v ) + ρ (v ⋅ g ) ∂t  2   2  (A.21)

52


∂  1 r2   ρv  : Rapidez de incremento de energía cinética por unidad de volumen ∂t  2   1 r r −  ∇ ⋅ ρv 2 v  : Rapidez neta de entrada de energía cinética debida al flujo global.  2 

r − (∇ ⋅ ρv ) : Rapidez de trabajo producido por la presión de los alrededores sobre el elemento de volumen. r − p (− ∇ ⋅ v ) : Rapidez de conversión reversible en energía interna

r − (∇ ⋅ [τ ⋅ v ]) : Rapidez de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen. r − (− τ : ∇v ) : Rapidez de conversión irreversible en energía interna. r r

ρ (v ⋅ g ) : Rapidez de trabajo producido por la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento de volumen.

r Es importante señalar que para fluidos newtonianos (− τ : ∇v ) es siempre positivo, ya que puede expresarse como una suma de términos elevada al cuadrado.

(− τ : ∇vr ) = µΦ v = 1 µ ∑ i ∑ 2

2 r  ∂vri ∂v j  2  r   − (∇ ⋅ v )δ ij  + j   3 ∂ x ∂ x  j  i 

(A.22)

En los que i y j afectan a los valores x, y, z, siendo δ ij = 1 para i = j , y δ ij = 0 para i ≠ j . Esto indica que en todos los sistemas de flujo existe una degradación de energía mecánica a energía calorífica, y que, por lo tanto, los procesos reales no son reversibles.

A.4 Ejemplo para un fluido simple En la Fig. A.3 se muestra el problema a resolver, se tiene un fluido que entra por la base de cilindro y posteriormente sale por la parte superior de éste. Para resolver este problema se utilizan coordenadas cilíndricas ya que esta es la geometría del sistema. Considerando las siguientes hipótesis 1) Estado estacionario 2) Fluido newtoniano e incompresible 3) Sistema de coordenadascilíndrico con (vr,vθ,vz), en donde vr=vθ=0 y v z ≠ 0 r r r r 4) Fuerza de gravedad = ρ ( g r , g θ , g z ) , Fr = ρ (0,0,− g )

53


Figura A.3 Fluido incompresible y newtoniano fluyendo a través de un cilindró

De la ecuación de continuidad Ec. (A.6), se tiene: δρ 1 δ + (ρrvrr ) + 1 δ (ρvrθ ) + δ (ρvrz ) = 0 δt r δr r δθ δz

δρ = 0 Por la hipótesis 1, es decir, el sistema está en estado estacionario. δt 1δ (ρrvrr ) = 0 Por la hipótesis 3, la velocidad radial es cero. r δr

1 δ (ρvrθ ) = 0 Por la hipótesis 3, la velocidad angular es cero. r δθ

δ r (ρv z ) = ρ δ (vrz ) = 0 Ya que el fluido es incompresible. δz δz

δ r (v z ) = 0 δz

(A.23)

La Ec. (A.23) nos dice que la velocidad no es función de z. De las Ecs. (A.16), (A.17) y (A.18) de movimiento se tiene: Componente en r: r r r r r r  δv r r δv r vθ δv r vθ2 r δv r  = ρ  + vr + − + vz δr r δθ r δz   δt r r r δ 1 δ r δp 1 δ 2 vr 2 δvθ δ 2 v r − + µ   (rvr ) + 2 2 − 2 + δr δz 2 r δθ r δθ  δr  r δr

 r  + ρg r 

(A.16)

54


r  δv r    = 0 Ya que la velocidad radial es igual a cero por la hipótesis 3.  δt  r  r δv r   vr  = 0 Por la hipótesis 3.  δr  r r  vθ δv r    = 0 Ya que la velocidad angular y la velocidad radial son igual a cero por la  r δθ  hipótesis 3. r  vθ2   r 

  = 0 ya que no hay velocidad angular.  

r  r δv r   vz  = 0 Ya que no hay velocidad radial.  δz 

r r r δ 1 δ r 1 δ 2 vr 2 δvθ δ 2 v r (rvr ) + 2 2 − 2 +   r δθ r δθ δz 2  δr  r δr

   = 0 Por la hipótesis 3 ya que no hay   velocidad radial ni angular.

r

ρg r = 0 por la hipótesis 4 Así para la componente r tenemos:

δp =0 δr

(A.24)

La Ec. (A.14) nos indica que la presión no es función de r.

Componente en θ: r r r r r r r  δvθ r δvθ vθ δvθ v r vθ r δvθ  ρ + vr + − + vz = δr r δθ r δz   δt r r r δ 1 δ r 1 δp 1 δ 2 vθ 2 δv r δ 2 vθ (rvθ ) + 2 2 − 2 − + µ   + r δθ δz 2 r δθ r δθ  δr  r δr

 r  + ρg θ  

(A.17)

r r r r r r r  δvθ r δvθ vθ δvθ v r vθ r δvθ  + vr + − + vz   = 0 Ya que no hay velocidad angular ni radial δr r δθ r δz   δt por la hipótesis 3.

55


r r r δ 1 δ r 1 δ 2 vθ 2 δv r δ 2 vθ  (rvθ ) + 2 2 − 2 +   r δθ r δθ δz 2  δr  r δr

   = 0 Por la hipótesis 3.   

r

ρg θ = 0 por la hipótesis 4 Así para la componente θ tenemos la siguiente ecuación: 1 δp = 0 multiplicando la ecuación por r se tiene: r δθ δp =0

δθ Esta ecuación nos indica que la presión no es función de θ.

(A.25)

Componente en z: r r r r r  δv z r δv z vθ δv z r δv z  + vr + + vz = r δθ δr δz   δt r r r  1 δ  δv z  1 δ 2 v z δ 2 v z  r δp − + µ + + ρg z r + 2 2 2  δz δz   r δr  δr  r δθ

ρ

(A.18)

r  δv z    = 0 Ya que el sistema se encuentra en estado estacionario, hipótesis 1.  δt  r r r  r δv z vθ δv z  +  vr  = 0 Ya que la velocidad radial y angular es cero, hipótesis 3. r δθ   δr r  r δv z   vz  = 0 Por la ecuación de continuidad 3.23, la velocidad no es función de z.  δz 

r δ 2 v z   2  = 0 Ya que la velocidad no es función de z.  δz 

r

ρg z = − ρg por la hipótesis 4 Así para la componente z se tiene:

r

 1 δ  δv z  δp − + µ r  − ρg = 0 δz  r δr  δr 

r  1 δ  δv z µ r  r δr  δr

δp   − ρg = δz 

(A.26)

(A.26a)

56


Para resolver la Ec. (A.26a) se tienen las siguientes condiciones de frontera: I. II.

En r=R por la condición de no deslizamiento se tiene que vz=0. En r=0 el flux tiene que ser una número finito.

Así resolviendo la ecuación (3.26a) se llega a los siguientes resultados: vz =

(P0 − PL ) 4 µH

  r 2  R 1 −      R   2

(A.27)

Para calcular el flux se tiene:

τ rz = − µ

dv z dr

(A.28)

Así sustituyendo (A.28) en (A.26a) se tiene: 1 δ (rτ rz ) − ρg = δp − δz  r δr 

(A.29)

Resolviendo Ec. (A.29) se llega a:  P0 − PH  r  2H 

τ rz = 

(A.31)

Se puede definir P en forma general como P ≡ p+ρ gh .

57

Teorema de Transporte de Reynolds

Apéndice B Teorema de Transporte de Reynolds B.1 Método estático y del continuo Existen básicamente dos maneras de obtener las ecuaciones que rigen el movimiento de un fluido. Uno de estos métodos trata al fluido como un conjunto de moléculas en movimiento que es regido por la leyes de la dinámica. Se asume como un fenómeno microscópico para tratar el movimiento molecular de las moléculas, y la teoría interna predice la conducta microscópica del fluido con las leyes de la mecánica y la probabilidad. Para un fluido que se encuentra cerca del estado de equilibrio la aproximación da como resultado las ecuaciones de la masa, momentum y conservación de la energía. De la aproximación molecular es posible obtener las expresiones de los coeficientes de transporte, como el coeficiente de viscosidad y de conductividad térmica, en términos de las cantidades moleculares como las fuerzas que actúan entre moléculas. Esta teoría está bien desarrollada para gases ligeros, pero es incompleta para gases con moléculas poliatómicas y para líquidos. El método alternativo que se usa para encontrar las ecuaciones que rigen el movimiento de un fluido emplea el concepto del continuo. En la aproximación al continuo las moléculas individuales son ignoradas y se asume que el fluido es una masa continua. En cada punto de un fluido continuo se considera que existe un único valor de presión, densidad, velocidad y de las llamadas “variables de campo”. La materia continua es requerida para obtener las leyes de conservación de la masa, momentum y energía; que dan lugar a las ecuaciones diferenciales que rigen a las variables de campo. La solución de estas ecuaciones define entonces el cambio de cada variable de campo para una posición y un tiempo dados. El método estadístico puede ser usado para tratar a gases en situaciones en las cuales no se puede aplicar el concepto del continuo. Sin embargo la teoría es incompleta para gases densos y líquidos. El acercamiento del continuo requiere que el promedio libre de cambio en las moléculas sea muy pequeño comparado con la menor escala física de longitud. Sólo en esta forma los promedios significativos sobre las moléculas en un punto pueden ser hechos y la estructura molecular del fluido puede ser ignorada. Sin embargo, si esta consideración es satisfecha no existe distinción entra grases ligeros y pesados, o incluso líquidos; el resultado aplica para todos. Las variables de campo r tales como la densidad ρ y el vector de velocidad v serán, en general, funciones de r coordenadas espaciales y de tiempo. En forma simbólica se escribe ρ = ρ ( x , t ) y r r r r v = v ( x , t ) donde x es el vector de posición cuyas coordenadas cartesianas son ( x, y, z ) . En cualquier punto particular en el espacio estas variables continuas son definidas en términos de la variación de las propiedades de las moléculas que ocupan un pequeño volumen en la vecindad de ese punto.

58


Figura B.1 Molécula individual en un pequeño volumen ∆V con masa r ∆m y una velocidad v

Considerando un pequeño elemento de volumen ∆V que contiene una gran r cantidad de moléculas. Con ∆m y v que son la masa y la velocidad de cualquier molécula individual contenida en el elemento de volumen ∆V . La densidad y la velocidad en el continuo están definidas por:

∑  ρ = lím   ∆V → β  ∆V 

(B.1)

r  ∑ v ∆m  r  v = lím   ∆V → β  ∆ m  

(B.2)



∆m 

donde β es un volumen lo suficientemente pequeño tal que β 1 / 3 es pequeño comparado con la escala de longitud significativa mas pequeña en el campo de fluido pero es lo suficientemente grande para contener un gran número de moléculas. La sumatoria en las expresiones anteriores es tomada sobre todas las moléculas contenidas en el elemento de volumen ∆V . De manera análoga se pueden obtener las demás variables de campo definidas en términos de las propiedades moleculares. Una condición suficiente, pero no necesaria, para que la aproximación del continuo sea valida es: 1 << β << L3 n donde n es el número de moléculas por unidad de volumen y L es la escala de longitud significativa mas pequeña en el campo del fluido, usualmente se le llama escala macroscópica de longitud. La característica de la escala microscópica de longitud es la trayectoria libre de las moléculas antes de una colisión.

59


B.2 Coordenadas Eulerianas y Lagrangianas Existen dos sistemas de coordenadas básicos que pueden ser empleados para la formulación de las leyes de conservación, estos sistemas de coordenadas son el euleriano y el lagrangiano. En el marco de referencia euleriano las variables independientes espaciales son las coordenadas ( x, y, z ) y el tiempo t . Con la finalidad de derivar las ecuaciones básicas de conservación en este marco, la atención es enfocada en el fluido que pasa a través de un volumen de control fijado en el espacio. El fluido dentro del volumen de control en cualquier instante en el tiempo esta formado de diferentes partículas que estuvieron ahí en un instante previo. Si los principios de conservación de la masa, el momentum y energía son aplicados al fluido que pasa a través del volumen de control, las ecuaciones básicas de conservación serán obtenidas en coordenadas eulerianas. En el marco lagrangiano, la atención es fijada en una masa particular de fluido cuando está fluyendo. Supongamos que se puede colorear una pequeña porción de fluido sin cambiar su densidad. Posteriormente se sigue esta porción coloreada en el marco lagrangiano y se ve como fluye y cambia su forma, sin dejar de considerar siempre las mismas partículas de fluido. Si son aplicados los principios de conservación de la masa, momentum y energía a estos elementos particulares de fluido cuando están fluyendo, el resultado es un conjunto de ecuaciones de conservación en coordenadas lagrangianas. En este marco de referencia las coordenadas ( x, y, z , t ) no son variables independientes, desde que se sabe que nuestra porción coloreada de fluido pasó a través de las coordenadas ( x0 , y 0 , z 0 ) en algún tiempo t 0 , posteriormente se calculará la r velocidad v de la porción de fluido conociendo sus componentes u y w . Es decir, tan pronto con se especifica un intervalo de tiempo (t − t 0 ) , los componentes de la velocidad determinan únicamente los cambios en las coordenadas (x − x0 ) , ( y − y 0 ) y

(z − z 0 )

tal que x, y, z y t no son independientes. Las variables independientes en el

sistema lagrangiano son x0 , y 0 , z 0 y t, donde x0 , y 0 y z 0 son las coordenadas por donde pasa un elemento especifico de volumen en el tiempo t 0 . Es decir, las coordenadas x0 , y 0 y z 0 identifican al elemento de fluido que está siendo considerado y t identifica su colocación instantánea en el tiempo.

60


B.3 Derivada material Consideremos que α es cualquier variable de campo como la densidad o la temperatura de un fluido. Desde el punto de vista euleriano α puede ser considerada para ser función de variables independientes x, y, z y t . Pero si un elemento de fluido especifico es observado por un corto periodo de tiempo δt cuando está fluyendo, esta posición cambiará por cantidades δx , δy y δz mientras el valor de alfa cambia por δα . Esto es, si el elemento de fluido es observado en el marco lagrangiano, las variables independientes son x0 , y 0 , z 0 y t , donde x0 , y 0 y z 0 son las coordenadas iniciales del elemento de fluido. De esta manera, x0 , y 0 y z 0 no son variables independiente pero si son función de t definidas por la trayectoria del elemento de fluido. Durante el tiempo δt el cálculo de α puede obtenerse por las siguientes ecuaciones diferenciales:

∂α ∂α ∂α ∂α δt + δx + δy + δz ∂t ∂x ∂y ∂z

(B.3)

En la ecuación mostrada el cambio en α es observado por el cambio δα en el marco lagrangiano y dividido todo entre δt

δα ∂α ∂x ∂α ∂y ∂α ∂z ∂α = + + + δt ∂x ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z

(B.4)

El lado izquierdo de la Ec. (B.4) representa el cambio total en α como es observado en el marco lagrangiano durante un tiempo δt y en el límite esto representa la derivada de tiempo de α en el sistema lagrangiano, que es denotado por Dα / Dt . Es posible denotar que también el limite de δt → 0 la porción δx / δt se convierte en la componente de velocidad en la dirección x , llamada v , de forma similar δy / δt → u y δz / δt → w como δt → 0 . Esto es, como δt → 0 , la expresión para el cambio de α se convierte en Dα ∂α r ∂α ∂α ∂α = +v +u +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

(B.5)

En forma vectorial esta ecuación puede escribirse:

r Dα ∂α = + (v ⋅ ∇)α Dt ∂t

(B.6)

Usando la sumatoria de conversión de Einstein donde los subíndices repetidos son sumados, el tensor puede ser escrito como Dα ∂α r ∂α = + vk Dt ∂t ∂x k

(B.7)

El termino Dα / Dt en la Ec. (B.7) es llamado “derivada material” y representa el cambio total en la cantidad de α como es visto por un observador que está siguiendo

61


al fluido y está viendo una masa particular del fluido. El lado derecho de la Ec. (B.7) representa el cambio total de α expresado en coordenadas eulerianas. El término u k (∂α / ∂x k ) expresa que en un tiempo independiente de flujo en donde las propiedades del fluido dependerán de las coordenadas espaciales únicamente, existe un cambio en α debido al hecho de cambiar de posición un elemento de fluido en un tiempo.

B.4 Volumen de control El concepto de volumen de control es requerido para deducir las ecuaciones básicas de conservación, es utilizado en los marcos de referencia euleriano y lagrangiano. Independientemente del sistema de coordenadas que esté siendo empleado existen dos principales tipos de volumen de control. Uno de estos es un paralelepípedo de lados δx , δy , y δz . Cada propiedad del fluido, como la velocidad o la presión, es expandida utilizando las series de Taylor sobre el centro del volumen de control como resultado se obtienen las expresiones para las propiedades de cada cara del volumen de control. El principio de conservación es empleado, obteniéndose la ecuación diferencial para el principio de conservación. En el segundo tipo de volumen de control su forma es arbitraria y cada principio de conservación es aplicado en una integral sobre el volumen de control. Por ejemplo, la masa dentro del volumen de control es ∫ ρdV , donde ρ es la densidad del fluido y la V

integración es hecha sobre todo el volumen de control. El resultado de aplicar cada principio de conservación es la ecuación integro-diferencial del tipo

∫ LαdV = 0 V

(B.8)

donde L es algún operador diferencial y α es alguna propiedad del fluido. Pero desde que se escogió de manera arbitraria el volumen de control la única forma en que la ecuación puede ser satisfecha es Lα = 0 , que nos da la ecuación diferencial de la ley de conservación.

B.5 Teorema de Transporte de Reynolds Para encontrar las ecuaciones básicas de las leyes de conservación se utilizará el concepto del continuo y se toma un volumen de control arbitrario en el marco lagangiano. La combinación del volumen de control arbitrario y un sistema de coordenadas lagrangianas significa que se tendrá que encontrar la integral de la derivada material. Es necesario transformar cada término en expresiones equivalentes involucrando integrales de volumen de las derivadas eulerianas. El teorema que permite tal transformación es el Teorema Transporte de Reynolds. Se considera una masa específica de un fluido y se sigue por un corto periodo de tiempo δt mientras está fluyendo, α representa cualquier propiedad del fluido como su masa, momentum o su energía. Desde que se considera una masa específica de fluido con x, y, z y t variables independientes en el marco lagrangiano, la cantidad α será

62


función de t sólo mientras se mueva el volumen de control con el fluido. Es decir, α = α (t ) y la rapidez de cambio de la integral de α es definida por el siguiente límite D 1  α (t ) dV = lím   ∫ α (t + δt )dV − ∫ α (t )dV   ∫ V ( t ) V ( t + δ t ) V ( t ) δt → 0  δt   Dt

(B.9)

donde V (t ) es el volumen de control que contiene la masa específica de fluido y tal vez cambiará su forma mientras fluye. La cantidad α (t + δt ) integrada sobre V (t ) será sustraída y posteriormente se suma nuevamente al límite mostrado. D 1 α (t )dV = lím   ∫ α (t + δ t )dV − ∫ α (t )dV  ∫ V(t ) δ t → 0 δ t  V ( t +δ t )  Dt V ( t )  (B.10) 1    + α (t + δ t )dV − ∫ α (t )dV   V (t)  δ t  ∫V ( t ) Las primeras dos integrales dentro del límite permiten mantener la integral fija y permiten que el volumen de control V cambie mientras que las segundas integrales mantienen fijo V y permiten a la integral de α cambiar. El último componente del cambio es, por definición, la integral euleriana derivada con respecto al tiempo. La expresión para la derivada lagrangiana de la integral de α se escribe de la siguiente manera: D Dt

∫

V (t )

∂α 1   dV  α (t + δt )dV  + ∫ ∫  V ( t +δt ) −V ( t ) V ( t ) ∂t   δ t  

α (t )dV = lím  δt → 0

(B.11)

El límite restante, correspondiente al volumen V , cambia mientras α permanece constante, puede ser evaluado con consideraciones geométricas. En la Fig. B.2 se muestra el volumen de control V (t ) que encierra la masa de fluido considerando los tiempos t y t + δt . Durante este intervalo de tiempo el volumen de control se mueve y cambia su tamaño y su forma. La superficie que encierra V (t ) se r denota por S (t ) y en cualquier punto en la superficie la velocidad es denotada por v y el r vector unitario normal por n .

Figura B.3. Volumen de control formado en un tiempo t y t + δt

63


En la Fig. B.3 se muestra un volumen de control V (t + δt ) sobrepuesto sobre otro V (t ) la diferencia en los volúmenes es detallada. La distancia perpendicular de cualquier r r punto en el interior de la superficie hacia el exterior de la superficie es v ⋅ n δt por lo tanto el área superficial del elemento de volumen δS corresponderá a un elemento de r r volumen que está cambiando δV en el cual δV = v ⋅ n δtδS . Entonces la integral de volumen dentro del límite en la siguiente ecuación puede transformarse en una integral r r de superficie cuya dV es remplazada por δV = v ⋅ n δtδS .

Figura B.3 Superposición del volumen de control a un tiempo t sobre otro volumen de control cambiando δV . D r r ∂α r r ∂α α (t )dV = lím  ∫ α (t + δt )v ⋅ n dS   + ∫ dV = ∫ α (t )v ⋅ n dS + ∫ dV ∫ V ( t ) S ( t ) V ( t ) S ( t ) V ( t ) δ t → 0   ∂t Dt ∂t

(B.12) Completando el proceso de los límites, la derivada lagrangiana de la integral de volumen ha sido convertida en una integral de superficie y una integral de volumen en una integral que contiene únicamente derivadas eulerianas. La forma actual del Teorema de Transporte de Reynolds puede cambiarse convirtiendo por medio del teorema de Gauss las integrales de superficie a integrales de volumen, de está manera la integral de superficie se convierte en

∫

S (t )

r r

α (t )v ⋅ n dS = ∫

V (t )

r ∇ ⋅ (αv )dV

(B.13)

sustituyendo este resultado en la expresión anterior y combinando las dos integrales de volumen se obtiene la forma mas común del Teorema de Transporte de Reynolds.

r  D  ∂α αdV = ∫  + ∇ ⋅ (αv )  dV ∫ V V Dt  ∂t 

(B.14)

 ∂α r  D ∂ αdV = ∫  + (αv k ) dV ∫ V V Dt  ∂t ∂x k 

(B.15)

en notación tensorial

64


la Ec. (B.15) representa la derivada lagrangiana de la integral de volumen con una masa de fluido dada a una integral de volumen en donde las integrales son únicamente derivadas eulerianas.

65

Distribuciones de probabilidad

Apéndice C Distribuciones de probabilidad

C.1 Distribución Normal o Gaussiana La distribución normal de la probabilidad es una de las más importantes en el capo de la estadística. Su gráfica es una campana simétrica, describe de forma aproximada una amplia gama de fenómenos de las ciencias, se aplica de manera frecuente en la industria y en la investigación. Algunos errores en mediciones científicas son bastante pequeños gracias a la distribución normal. La ecuación matemática que describe a la distribución normal es función de σ y µ, que son la desviación estándar y la media respectivamente. Por tanto se representan los con distribución normal mediante valores de densidad de una variable aleatoria , (Velasco, 2001) La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media µ y desviación estándar σ, está dada por la expresión: ;

(C.1)

para nuestros fines tomaremos a = diámetro de de la partícula sólida, es decir, 2r. = valor medio del diámetro del cúmulo.

(C.2) = desviación estándar de r, que esta dada por: (C.3)

66


0.4

0.3

0.2

0.1

-1 1 2 3 4 5 Gráfica C.1. Función de distribución de probabilidad normal con media 2 y desviación estándar 1. C.2 Distribución log-normal Esta distribución es empleada con mayor frecuencia para describir la formación de gotas en procesos de secado y dispersión. En esta distribución se tienen desviaciones estándar grandes debido a que existen gotas mucho más grandes que el promedio.

(C.4) En donde:

(C.5) la varianza esta dada por: (C.6) los momentos de de la función están dados por: (C.7)

67


0.2 0.15 0.1 0.05

2 4 6 8 10 Gráfica C.2. Distribución log-normal con media 1 y varianza 1.

C.3 Distribución gamma La distribución gamma toma su nombre de la función gamma que es empleada en las matemáticas para el cálculo de integrales definidas en diferentes aplicaciones. Algunas variables aleatorias son siempre no negativas y por algunas razones dan origen a distribuciones de datos sesgadas a la derecha, es decir, asimétricas. La mayor parte del área bajo la función de densidad esta cerca del origen y la función de densidad disminuye gradualmente a medida que aumenta y (Obagi, 2003). Para definir la familia de distribuciones gamma, primero es necesario definir una función que desempeña un papel importante en muchas ramas de las matemáticas. Para α>0, la función gamma Г(α) se define mediante. ∞

Γ(α ) = ∫ xα −1e − x dx 0

(C.8)

Algunas de las propiedades más importantes de la función gamma son las siguientes: 1. Para cualquier α > 1 , Γ(α ) = (α − 1) • Γ(α − 1) vía integración por partes. 2. para cualquier entero positivo, n , Γ(n) = (n − 1)! 1 3. Γ  = π 2 Una variable aleatoria X , que toma valores no negativos, se dice que tiene una distribución gamma si su función de densidad de probabilidad esta dada por:

68


 xα −1e − ( x / λ )  α  λ Γ(α ) f ( x) =  0  

x≥0

En caso contrario

la distribución depende de los parámetros α y λ con α > 0 y λ > 0 .

Propiedades de la distribución gamma: −α

1. Si α = 1 , la función de densidad se convierte en: f ( x ) =

eλ

λ

2. Si α es un entero positivo se tiene:

f (x ) =

x

e

α −1

α  −  λ

λ (α − 1)! α

(C.9)

la función de distribución acumulativa será:

f ( x ) = P( X ≤ x ) = 1 − P( X > x )

α

f (x ) = 1 − ∫ x

x

α −1

e

α  −  λ

λ (α − 1)! α

(C.10)

,x > 0 (C.11)

la función anterior es igual a: e − βx (β x ) 1 con β = λ k! k =0

α −1

f (x ) = 1 − ∑

2

(C.12)

Así obtenemos una expresión para la distribución acumulativa gamma, en términos de la distribución Poisson, cuando α es un entero positivo. Si se desea calcular una probabilidad acumulativa f ( x ) para una variable aleatoria X con distribución gamma y conociendo que α es un entero positivo (Angel,2007), se utiliza la formula siguiente:

P( X ≤ x ) = 1 − P(Y ≤ α − 1)

(C.13)

69


donde Y ≈ Poisson ( β x) y satisface todas las hipótesis de un proceso de Poisson con un parámetro βx Por definición el momento generado por la función gamma esta dado por (Wiebe,1998):

(C.14) reacomodando

(C.15) Sustituyendo

se tiene:

(C.16) Sustituyendo

en la integral

(C.17)

Graficando la función para α = 2 y λ = 1

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2

4

6

8

10

Gráfica C.3. Función de distribución de probabilidad de gamma para α = 2 y λ = 1 .

70


La media y la varianza de la distribución gamma son: (C.18) (C.19) Hay dos casos especiales de variables aleatorias gamma, uno de ellos es el de la variable alectoria chi-cuadrada mientras que el otro es la función de densidad exponencial.

C.4 Distribución exponencial

La distribución gamma en la cual se tiene que exponencial.

se denomina función

Una variable aleatoria tiene distribución exponencial con parámetro λ si su función de densidad se define de la siguiente manera:

Donde La función de distribución exponencial se emplea en la estadística, particularmente en la teoría de confiabilidad y los tiempos de espera.

C.5 Distribución chi-cuadrada Un segundo caso especial de la distribución gamma se da cuando y , donde es un número entero positivo. En este caso se tiene una función de distribución de densidad llamada chi-cuadrada con grados de libertad. La función de distribución chi-cuadrada en estadística es una distribución de probabilidad continua que no es simétrica, esta función sólo depende del grado de libertad , su expresión matemática es la siguiente (Walpole, 1987):

(C.20) El la media y la varianza de la distribución chi-cuadrada están dados por: (C.21) (C.22)

71


C.6 Distribución de Weibull La variable aleatoria tiene distribución de Weibull con parámetros α y λ si su función de densidad es (Walpole, 1987):

donde Si se toma la distribución de Weibull tma la forma de la distribución exponencial. Para valores de las cuervas de la distribución toman forma de campana y son muy parecidas a las curvas de la distribución normal pero no son simétricas completamente. Su media y varianza están dadas por:

(C.23)

(C.24)

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Bibliografía

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