La Legge Di Darcy (geotecnica) 491k6e

LA LEGGE DI DARCY Darcy cercò di determinare le resistenze al moto in un campione di terreno realizzando un permeametro:

Darcy verificò che la portata (Q) risultava direttamente proporzionale alla differenza di quote piezometriche (h1-h2) e alla sezione trasversale del filtro (A) ed inversamente proporzionale alla lunghezza del filtro stesso (L), ottenendo:

𝑄=

𝑘 ∗ 𝐴 ∗ (ℎ1 − ℎ2 ) 𝐿

dove k (conducibilità idraulica) varia a seconda del tipo di terreno considerato. Darcy ha provato questo esperimento con diversi terreni e diversi cilindri provando a modificare le altezze e arrivò alla conclusione che la legge delle portate è sempre la stessa. Ora, indicando con 𝑞 =

𝑄 𝐴

la portata specifica (o velocità di filtrazione) e

prendendo in considerazione una sezione di terreno attraversata da un flusso, possiamo arrivare a definire la reale velocità media di infiltrazione del flusso data da: 𝑣∗ =

dove: 𝑞=

𝑄 = 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝐴

𝑛 = 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑧𝑧𝑜

𝑄 𝑞 = 𝑛∗𝐴 𝑛

Inoltre possiamo definire la legge di Darcy in una forma più semplice, considerando un gradiente 𝐽 = (ℎ1 − ℎ2 )/𝐿 chiamato GRADIENTE IDRAULICO 𝑞⃗ = 𝑘 ∗ 𝐽⃗ Scrivendo le componenti della portata specifica lungo gli assi x, y e z avremo:

𝑞𝑥 = 𝑘𝑥𝑥 ∗ 𝐽𝑥 + 𝑘𝑦𝑥 ∗ 𝐽𝑦 + 𝑘𝑧𝑥 ∗ 𝐽𝑧 𝑞𝑦 = 𝑘𝑥𝑦 ∗ 𝐽𝑥 + 𝑘𝑦𝑦 ∗ 𝐽𝑦 + 𝑘𝑧𝑦 ∗ 𝐽𝑧 𝑞𝑧 = 𝑘𝑥𝑧 ∗ 𝐽𝑥 + 𝑘𝑦𝑧 ∗ 𝐽𝑦 + 𝑘𝑧𝑧 ∗ 𝐽𝑧

dove 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 , 𝐽𝑧 sono le componenti lungo gli assi x, y, z del vettore velocità di filtrazione definiti come: 𝐽𝑥 = −

𝜕ℎ 𝜕𝑥

𝐽𝑦 = −

𝜕ℎ 𝜕𝑦

𝐽𝑧 = −

𝜕ℎ 𝜕𝑧

Quindi: 𝑞𝑥 = [ 𝑘𝑥𝑥 ∗

𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝜕ℎ + 𝑘𝑦𝑥 ∗ + 𝑘𝑧𝑥 ∗ ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑞𝑦 = [𝑘𝑥𝑦 ∗

𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝜕ℎ + 𝑘𝑦𝑦 ∗ + 𝑘𝑧𝑦 ∗ ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑞𝑧 = [𝑘𝑥𝑧 ∗

𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝜕ℎ + 𝑘𝑦𝑧 ∗ + 𝑘𝑧𝑧 ∗ ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Arrivando ad ottenere le direzioni principali: 𝑞𝑥 = 𝑘𝑥𝑥 ∗

𝜕ℎ 𝜕𝑥

𝑞𝑦 = 𝑘𝑦𝑦 ∗

𝜕ℎ 𝜕𝑦

𝑞𝑧 = 𝑘𝑧𝑧 ∗

𝜕ℎ 𝜕𝑧

Con le direzioni principali si possono trovare le permeabilità minime e massime. Nell’ipotesi di mezzo omogeneo ed isotropo:

𝑞𝑥 = 𝑘𝑥 ∗ 𝐽𝑥 𝑞𝑦 = 𝑘𝑦 ∗ 𝐽𝑦 𝑞𝑧 = 𝑘𝑧 ∗ 𝐽𝑧

La legge di Darcy può non valere per le argille all’interno delle quali la portata specifica è bassissima o addirittura trascurabile. Per questo motivo, bisogna definire un gradiente idraulico 𝐽0 chiamato GRADIENTE STERILE che descrive che in quel terreno non c’è flusso. Nelle sabbie 𝐽0 ≅ 0, mentre nelle argille 𝐽0 può addirittura arrivare a 100. Quindi:

𝑝𝑒𝑟 𝐽 ≤ 𝐽0 → 𝑞 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝐽 ≥ 𝐽0 → 𝑞 = 𝑘 ∗ (𝐽 − 𝐽0 )

C’è da dire che la legge di Darcy vale solo nell’ipotesi di moto laminare dell’acqua nei pori. Dunque più il terreno sarà a grana fine e più ci sarà un moto lento e laminare dell’acqua che avrà difficoltà a penetrare. Più aumentano i grani e più grandi saranno i pori e quindi l’acqua tenderà ad avere un moto turbolento dove la legge di Darcy non sarà valida. In poche parole la legge di Darcy è valida quando il numero di Reynolds, riferito al diametro medio non superi valori di 1-10. (𝑅𝑒 =

𝜌∗𝑣∗𝐷 𝜇

)