Integral Polinomio De Lagrange n6g1a
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- Words: 1,034
- Pages: 10
Métodos Numéricos Grupo 3 Integración Henry Zárate
RESUMEN Clase Virtual sobre integrales compuestas, ejemplo y ejercicios propuestos
2 -‐ Integrales
1. Definición de Integral.
!
!
𝐴=
𝐴! = 𝐼 = !!!
𝐼=
𝐼! !!!
! 𝑓(𝑥) 𝑠í 𝑏 !
− 𝑎 = 𝐻
Usando el polinomio de Lagrange !
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!!
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
!!!
𝑏−𝑎 = ℎ 𝑛 Donde n es el grado del polinomio y el número de intervalos. !
𝐼=
!
𝑓(𝑥) = !
!
𝑃 𝑥 + 𝑒 = 𝐼! + 𝑒
Universidad Nacional de Colombia 3 Métodos Numéricos Grupo 3
1.1 Regla del Trapecio
! !
𝑃 𝑥 = !!!;!!! !!!
! !
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
𝑃 𝑥 = 𝐼!
ℎ (𝑦 + 𝑦!!! ) 2 ! 𝑏−𝑎 = ℎ = 𝑏 − 𝑎 1 𝐼! =
1.2 Regla Simpson
!
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!! !!!
! !
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
𝑃 𝑥 = 𝐼!
ℎ 𝐼! = (𝑦! + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 𝑏−𝑎 = ℎ 2
4 -‐ Integrales
1.3 Regla Simpson 3/8
!
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!! !!!
!
𝑃 𝑥 = 𝐼!
!
𝐼! =
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
3ℎ (𝑦 + 3𝑦!!! + 3𝑦!!! + 𝑦!!! ) 8 !
𝑏−𝑎 = ℎ 3
1.4 Regla de Boole
!
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!!
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
!!!
!
!
𝐼! =
𝑃 𝑥 = 𝐼!
2ℎ (7𝑦! + 32𝑦!!! + 12𝑦!!! + 32𝑦!!! + 7𝑦!!! ) 45
𝑏−𝑎 = ℎ 4
Universidad Nacional de Colombia 5 Métodos Numéricos Grupo 3
Métodos de cuadraturas de newton-‐ Cotes ℎ 𝐼! = (𝑦! + 𝑦!!! ) 2 ℎ 𝐼! = (𝑦! + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3
Intervalos x0=a x1=b x0=a x1=a+h x2=b 3ℎ x0=a 𝐼! = (𝑦 + 3𝑦!!! + 3𝑦!!! + 𝑦!!! ) x1=a+h 8 ! x2=a+2h x3=b 2ℎ x0=a 𝐼! = (7𝑦! + 32𝑦!!! + 12𝑦!!! + 32𝑦!!! + 7𝑦!!! ) x1=a+h 45 x2=a+2h x3=a+3h x4=b
Nombre Regla del Trapecio Regla de Simpson
Regla de Simpson 3/8
Regla de Boole
6 -‐ Integrales
2. Reglas Compuestas Los métodos anteriores debido al número de puntos y el polinomio generado producen un grado de erro, pero si segmentamos aun más el intervalo a, b tomando n puntos podemos obtener un mejor resultado de cualquier método. 1. Regla Compuesta del trapecio Si definimos una integral como una sumatoria de integrales en intervalos separados equidistantes podemos afirmar que:
𝐼=
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!!!!
Ahora, haciendo la analogía con el método del trapecio:
𝐼! = 𝐼! = ℎ
! !
𝑦! + 𝑦!!! Fórmula Generalizada
𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) + +⋯ 2 2 𝑓(𝑦!!! ) + 𝑓(𝑦! ) + 2
Resumiendo
ℎ 𝐼! = 𝑓(𝑦!) + 2 2
!!!
𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! ) !!!
Universidad Nacional de Colombia 7 Métodos Numéricos Grupo 3
Si dividimos por 2n no afectamos la situación y podemos tener una formula más general, la cual es la siguiente.
𝐼! = (𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑦!) + 2
!!! !!! 𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! )
2𝑛
Conocida como la regla compuesta del trapecio para n intervalos 2. Regla Compuesta de Simpson De forma análoga podemos decir
𝐼=
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!!!!
Luego si hacemos el mismo proceso sobre la formula generalizada de Simpson tenemos:
𝐼! = 2ℎ
𝑓(𝑦! ) + 4𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! ) + 4𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) + 2ℎ +⋯ 6 6 𝑓(𝑦!!! ) + 4𝑓(𝑦!!! ) + 𝑓(𝑦! ) + 2ℎ 6
Generalizando la ecuación tendriamos que: 𝐼! = (𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑦! ) + 4
!!! !!!,!,! 𝑓(𝑦! )
3𝑛
+
2
!!! !!!,!,! 𝑓(𝑦! )
3𝑛
+
𝑓(𝑦! ) 3𝑛
8 -‐ Integrales
Ejemplo Se tiene la siguiente tabla
x y
0 0
3 6.2
6 18.5
9 25
12 18.5
15 6.2
18 0
Si lo resolvemos por el método de Simpson se deben garantizar los tres puntos para generar un intervalo, según la formula básica. Por lo cual existen tres intervalos de 0 a 6, de 6 a 12 y de 12 a 18. En cada uno de ellos tenemos 3 puntos. Como la regla de Simpson necesita 2 subintervalos de h, el numero de integrales es 6/2=3 De forma muy sencilla tenemos , una vez organizados los intervalos: 𝐼! = 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 6 𝐼! = Reemplazando 𝐼! =
ℎ (𝑦 + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 !
3 0 + 4 ∗ 6,2 + 18.5 = 43.3 3
𝐼! = 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 6 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 12 𝐼! =
ℎ (𝑦 + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 !
Universidad Nacional de Colombia 9 Métodos Numéricos Grupo 3
Reemplazando 𝐼! =
3 18,5 + 4 ∗ 25 + 18.5 = 137 3
𝐼! = 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 12 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 18,5 𝐼! = Reemplazando 𝐼! = !
𝐼=
3 18,5 + 4 ∗ 6,2 + 0 = 43,3 3
!
𝐼! = !!!
ℎ (𝑦 + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 !
𝐼! = 𝐼! + 𝐼! + 𝐼! = 43.3 + 137 + 43,3 = 223.6 !!!
Ejercicio Los siguientes ejercicios se deben subir al drive antes de acabar la clase es decir 1:00 pm. 1. Para estimar el ara superficial y el volumen de una botella de vino, el radio de la botella es medido en diferentes alturas. El área superficial S y el volumen V, puede ser determinados por: !
𝑆 = 2𝜋
!
𝑟𝑑𝑧 𝑦 𝑉 = 𝜋 !
𝑟 ! 𝑑𝑧
!
Use la siguiente tabla para determinar el volumen y el área superficial de la botella.
10 -‐ Integrales
Use el método compuesto del trapecio y de Simpson 2. Hallé las expresión compuesta para el método de Simpson 3/8. 3. Evalué la integral, por el método de Simpson y Simpson 3/8, dividiendo en seis sub intervalos. Realícela también de forma analítica. !
𝐼= !
𝑠𝑖𝑛! 𝑥𝑑𝑥
RESUMEN Clase Virtual sobre integrales compuestas, ejemplo y ejercicios propuestos
2 -‐ Integrales
1. Definición de Integral.
!
!
𝐴=
𝐴! = 𝐼 = !!!
𝐼=
𝐼! !!!
! 𝑓(𝑥) 𝑠í 𝑏 !
− 𝑎 = 𝐻
Usando el polinomio de Lagrange !
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!!
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
!!!
𝑏−𝑎 = ℎ 𝑛 Donde n es el grado del polinomio y el número de intervalos. !
𝐼=
!
𝑓(𝑥) = !
!
𝑃 𝑥 + 𝑒 = 𝐼! + 𝑒
Universidad Nacional de Colombia 3 Métodos Numéricos Grupo 3
1.1 Regla del Trapecio
! !
𝑃 𝑥 = !!!;!!! !!!
! !
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
𝑃 𝑥 = 𝐼!
ℎ (𝑦 + 𝑦!!! ) 2 ! 𝑏−𝑎 = ℎ = 𝑏 − 𝑎 1 𝐼! =
1.2 Regla Simpson
!
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!! !!!
! !
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
𝑃 𝑥 = 𝐼!
ℎ 𝐼! = (𝑦! + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 𝑏−𝑎 = ℎ 2
4 -‐ Integrales
1.3 Regla Simpson 3/8
!
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!! !!!
!
𝑃 𝑥 = 𝐼!
!
𝐼! =
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
3ℎ (𝑦 + 3𝑦!!! + 3𝑦!!! + 𝑦!!! ) 8 !
𝑏−𝑎 = ℎ 3
1.4 Regla de Boole
!
!
𝑃 𝑥 = !!!;!!!
𝑥 − 𝑥! 𝑦 𝑥! − 𝑥! !
!!!
!
!
𝐼! =
𝑃 𝑥 = 𝐼!
2ℎ (7𝑦! + 32𝑦!!! + 12𝑦!!! + 32𝑦!!! + 7𝑦!!! ) 45
𝑏−𝑎 = ℎ 4
Universidad Nacional de Colombia 5 Métodos Numéricos Grupo 3
Métodos de cuadraturas de newton-‐ Cotes ℎ 𝐼! = (𝑦! + 𝑦!!! ) 2 ℎ 𝐼! = (𝑦! + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3
Intervalos x0=a x1=b x0=a x1=a+h x2=b 3ℎ x0=a 𝐼! = (𝑦 + 3𝑦!!! + 3𝑦!!! + 𝑦!!! ) x1=a+h 8 ! x2=a+2h x3=b 2ℎ x0=a 𝐼! = (7𝑦! + 32𝑦!!! + 12𝑦!!! + 32𝑦!!! + 7𝑦!!! ) x1=a+h 45 x2=a+2h x3=a+3h x4=b
Nombre Regla del Trapecio Regla de Simpson
Regla de Simpson 3/8
Regla de Boole
6 -‐ Integrales
2. Reglas Compuestas Los métodos anteriores debido al número de puntos y el polinomio generado producen un grado de erro, pero si segmentamos aun más el intervalo a, b tomando n puntos podemos obtener un mejor resultado de cualquier método. 1. Regla Compuesta del trapecio Si definimos una integral como una sumatoria de integrales en intervalos separados equidistantes podemos afirmar que:
𝐼=
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!!!!
Ahora, haciendo la analogía con el método del trapecio:
𝐼! = 𝐼! = ℎ
! !
𝑦! + 𝑦!!! Fórmula Generalizada
𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) + +⋯ 2 2 𝑓(𝑦!!! ) + 𝑓(𝑦! ) + 2
Resumiendo
ℎ 𝐼! = 𝑓(𝑦!) + 2 2
!!!
𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! ) !!!
Universidad Nacional de Colombia 7 Métodos Numéricos Grupo 3
Si dividimos por 2n no afectamos la situación y podemos tener una formula más general, la cual es la siguiente.
𝐼! = (𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑦!) + 2
!!! !!! 𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! )
2𝑛
Conocida como la regla compuesta del trapecio para n intervalos 2. Regla Compuesta de Simpson De forma análoga podemos decir
𝐼=
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ +
!!
!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!!!!
Luego si hacemos el mismo proceso sobre la formula generalizada de Simpson tenemos:
𝐼! = 2ℎ
𝑓(𝑦! ) + 4𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) 𝑓(𝑦! ) + 4𝑓(𝑦! ) + 𝑓(𝑦! ) + 2ℎ +⋯ 6 6 𝑓(𝑦!!! ) + 4𝑓(𝑦!!! ) + 𝑓(𝑦! ) + 2ℎ 6
Generalizando la ecuación tendriamos que: 𝐼! = (𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑦! ) + 4
!!! !!!,!,! 𝑓(𝑦! )
3𝑛
+
2
!!! !!!,!,! 𝑓(𝑦! )
3𝑛
+
𝑓(𝑦! ) 3𝑛
8 -‐ Integrales
Ejemplo Se tiene la siguiente tabla
x y
0 0
3 6.2
6 18.5
9 25
12 18.5
15 6.2
18 0
Si lo resolvemos por el método de Simpson se deben garantizar los tres puntos para generar un intervalo, según la formula básica. Por lo cual existen tres intervalos de 0 a 6, de 6 a 12 y de 12 a 18. En cada uno de ellos tenemos 3 puntos. Como la regla de Simpson necesita 2 subintervalos de h, el numero de integrales es 6/2=3 De forma muy sencilla tenemos , una vez organizados los intervalos: 𝐼! = 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 6 𝐼! = Reemplazando 𝐼! =
ℎ (𝑦 + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 !
3 0 + 4 ∗ 6,2 + 18.5 = 43.3 3
𝐼! = 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 6 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 12 𝐼! =
ℎ (𝑦 + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 !
Universidad Nacional de Colombia 9 Métodos Numéricos Grupo 3
Reemplazando 𝐼! =
3 18,5 + 4 ∗ 25 + 18.5 = 137 3
𝐼! = 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 12 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 18,5 𝐼! = Reemplazando 𝐼! = !
𝐼=
3 18,5 + 4 ∗ 6,2 + 0 = 43,3 3
!
𝐼! = !!!
ℎ (𝑦 + 4𝑦!!! + 𝑦!!! ) 3 !
𝐼! = 𝐼! + 𝐼! + 𝐼! = 43.3 + 137 + 43,3 = 223.6 !!!
Ejercicio Los siguientes ejercicios se deben subir al drive antes de acabar la clase es decir 1:00 pm. 1. Para estimar el ara superficial y el volumen de una botella de vino, el radio de la botella es medido en diferentes alturas. El área superficial S y el volumen V, puede ser determinados por: !
𝑆 = 2𝜋
!
𝑟𝑑𝑧 𝑦 𝑉 = 𝜋 !
𝑟 ! 𝑑𝑧
!
Use la siguiente tabla para determinar el volumen y el área superficial de la botella.
10 -‐ Integrales
Use el método compuesto del trapecio y de Simpson 2. Hallé las expresión compuesta para el método de Simpson 3/8. 3. Evalué la integral, por el método de Simpson y Simpson 3/8, dividiendo en seis sub intervalos. Realícela también de forma analítica. !
𝐼= !
𝑠𝑖𝑛! 𝑥𝑑𝑥
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