05cap4-diseño De Elementos Sometidos A Compresión 496p14

ESTRUCTURAS DE MADERA

CAPÍTULO IV

CAPITULO 4 DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN 4.1 INTRODUCCION.Se entiende como a compresión a aquellos elementos que se encuentran principalmente solicitados por cargas de compresión, como columnas y entramados; pero en general un elemento estructural es solicitado por mas de un tipo de esfuerzo, por lo que en la realidad casi todas las columnas estructurales trabajan a compresión y flexión combinadas (flexo-compresión). Las columnas son elementos donde las cargas principales actúan paralelas al eje del elemento, y por lo tanto trabaja principalmente a compresión; cuya longitud es varias veces mayor que su dimensión lateral más pequeña. El esfuerzo de compresión es muy peligroso en este tipo de elemento estructural, por la presencia de pandeo, que es una falla por inestabilidad. El tipo de columna que se usa con mayor frecuencia es la columna sólida sencilla, que consiste en una sola pieza de madera, cuya sección transversal es cuadrada u oblonga. Las columnas sólidas de sección transversal circular son usadas con menos frecuencia. Una columna formada por varios es un ensamble de dos o más cuyos ejes longitudinales son paralelos; se impide que se toquen los elementos mediante unos bloques separadores colocados en los extremos y punto medio de su longitud. Otros tipos de columnas son las llamadas columnas compuestas, que están conectadas mediante sujetadores mecánicos. Los pie-derechos en marcos ligeros de madera y en entramados también son columnas. En el procedimiento de diseño del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” de deben de seguir los siguientes pasos:  Para COMPRESIÓN AXIAL: 1. Definir las bases de cálculo. a) Grupo estructural de la madera a utilizarse

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

64

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA


CAPÍTULO IV

b) Cargas a considerarse en el diseño c) Condiciones de apoyo, y factor de longitud efectiva. 2. Determinar efectos máximos. 3. Establecer los esfuerzos isibles, modulo de elasticidad, así como el valor de Ck. 4. Asumir una escuadría, y extraer sus propiedades geométricas. 5. Calcular la esbeltez para cada dirección. 6. Calcular la carga isible, y compararla con la carga solicitante.  Para FLEXOCOMPRESIÓN: 1. al 6. Se determina de la misma manera que para Compresión Axial. 7. Determinar la carga crítica de Euler. 8. Calcular el factor de amplificación de momentos km. 9. Verificar que la ecuación general de elementos a flexocompresión sea satisfecha (que de un valor < a 1).

El diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión debe realizarse tomando en cuenta su longitud efectiva, que será denotada por L ef .La longitud efectiva es “la longitud teórica de una columna equivalente con articulaciones en sus extremos”.Esta longitud efectiva se obtiene multiplicando la longitud no arriostrada “L” por un factor de longitud efectiva “k”, que considera las restricciones o grado de empotramiento que sus apoyos extremos le proporcionan. El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino recomienda que en ningún caso se tome una longitud efectiva menor que la longitud real no arriostrada, o sea por mas de que el factor k sea menor que 1 de acuerdo con las condiciones extremas, se recomienda tomar mínimamente k =1, debido al grado de incertidumbre de restricción al giro que las uniones puedan proporcionar. En la siguiente tabla se presentan algunos casos para la evaluación de la longitud efectiva en función de sus restricciones.


65



CAPÍTULO IV

TABLA 4.1: LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNAS A V I T C E F E

A M E U Q S E

A V I T C E F E D U T I G N O L

D U T I G N O L E D R O T C A F

O Y O P A E D N O I C I D N O C

:'K'

Lef

1

L

2. Empotrado en un extremo y el otro impedido de rotar pero libre de desplazarse

1.2

1.2 L

3. Empotrado en un extremo y el otro parcialmente impedido de rotar pero libre de desplazarse

1.5

1.5 L

2

2L

2 L

2

2L

2L

-----



1. Articulado en ambos extremos

4. Empotrado en un extremo pero libre en el otro

5. Articulado en un extremo y el otro impedido de rotar, pero libre de desplazarse.

6. Articulado en un extremo y libre en el otro.

L

1.2 L

1.5 L



Ref.: TABLA 9.1 DE Pág. 9-4 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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CAPÍTULO IV

A continuación se presenta una recomendación para la determinación del factor k que se usará para el diseño. Los valores teóricos para el factor k que esta en función del grado de restricción de los extremos de la columna, deben ser aumentados por el valor mostrado en la tabla 4.2, donde puede apreciarse que la mayoración se realiza cuando existe un extremo empotrado, ya que no existe un “empotramiento perfecto”en las estructuras de que se construyen en la actualidad; esta recomendación es realizada por la norma americana LRFD 1996, y conviene tenerla en cuenta al momento del diseño. TABLA 4.2 :FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA “K” PARA DISEÑO DE COLUMNAS

MODOS DE PANDEO

Valor Teorico de K Valor de K recomendado para Diseño cuando condiones son aproximadas a las ideales

0.5

0.7

1.0

1.0

2.0

2.0

0.65

0.80

1.2

1.0

2.10

2.4

ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION RESTRINGIDA

Condiciones de Borde

ROTACION LIBRE, TRASLACION RESTRINGIDA

Comdiciones de Borde ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION LIBRE ROTACION LIBRE, TRASLACION LIBRE

Ref.: FIGURA C4.2-1 de Pág. 197 del Norma Americana para Diseño en Maderas LRFD 1996

Cabe remarcar lo siguiente: El valor del factor k se debe determinar correctamente, ya que un error en su determinación (por pequeño que fuese) trae consigo en el diseño un error grande en el cálculo de la esbeltez y de la capacidad de carga de la columna; y por consiguiente una posible falla de la columna que trae consigo un colapso de la totalidad de la estructura. Es por eso que si se tiene dudas en las condiciones de restricción en los


67



CAPÍTULO IV

extremos de las columnas se debe tomar valores de k que sean conservadores; por ejemplo si no se esta seguro que el extremo de una columna que forma parte de un pórtico restringe totalmente los desplazamientos laterales (esto mediante la utilización de muros de corte o diafragmas verticales suficientemente rígidos), entonces se debe asumir que la unión no restringe los desplazamientos laterales y por tanto le corresponde a la columna un valor de k mayor que 1.

4.2 ESBELTEZ.En estructuras de madera la esbeltez de una columna maciza simple aislada es la relación entre la longitud efectiva y la dimensión del lado menor de su sección transversal (para columnas rectangulares; tomar el diámetro si fuese columna redonda), expresada en ecuación sería:



L ef d

Donde: Lef : longitud efectiva de la columna d : Lado menor de la columna

Cuando se tenga una columna rectangular donde la longitud efectiva varié en sus dos direcciones (de su sección transversal), se debe calcular la esbeltez para ambas direcciones, y se debe usar para el diseño la esbeltez que sea mayor. La esbeltez para columnas macizas simples está limitada a λ = 50; para columnas formadas por varios la esbeltez está limitada a λ = 80.


68



CAPÍTULO IV

Clasificación de las columnas según su esbeltez.- Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” (Pág. 9-5) se clasifica a las columnas macizas simples en función a su esbeltez en: TABLA 4.3: CLASIFICACION DE LAS COLUMNAS ESBELTEZ

CLASIFICACION

  10

 Columnas Cortas :  Columnas Intermedias :

10    C k C k  0.7025

Donde :

E fc

C k    50

 Columnas Largas :

¡NO DEBEN UTILIZARSE COMO COLUMNAS MACIZAS SIMPLES, ELEMENTOS CUYA ESBELTEZ SEA MAYOR QUE 50! Ref.: PAG 9-5 del Manual Para Diseño para Maderas Del Grupo Andino

De la anterior tabla Ck es la relación de esbeltez para la cual la columna, considerada como columna larga, tiene una carga isible igual a dos tercios de la carga de aplastamiento: 2/3Afc , donde A es la sección transversal y fc es el esfuerzo isible máximo a compresión paralela a las fibras. Los valores de Ck para cada uno de los tres grupos estructurales se presentan a continuación:

TABLA 4.4: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRE COLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS GRUPO

Ck COLUMNAS

ENTRAMADOS

A

17.98

20.06

B

18.34

20.20

C

18.42

22.47

Ref.: TABLA 9.4 DE Pág. 9-11 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino


69



CAPÍTULO IV

4.3 ESFUERZOS MÁXIMOS ISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD.El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino indica los esfuerzos máximos isibles que deben utilizarse para el diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión, según el grupo estructural al que pertenece la madera, y estos son:

TABLA 4.5: ESFUERZOS MAXIMOS ISIBLES (kg/cm2) COMPRESION PARALELA

GRUPO

TRACCION PARALELA FLEXION

fc

ft

fm

A

145

145

210

B

110

105

150

C

80

75

100


Para el diseño de columnas se debe usar los valores de módulo de elasticidad E 0.05 que es el modulo mínimo, que según el manual de diseño en maderas del grupo andino, corresponde a una probabilidad de hasta 5% que el módulo de elasticidad este por debajo del valor considerado; esto para el grupo estructural de madera elegido para conformar el elemento. Para el diseño de pie-derechos para entramados, se debe usar el valor de Epromedio, el cual es mayor que E0.05, debido a que en un entramado los elementos actúan de una manera más solidaria, garantizando así la seguridad. A continuación se muestran los valores de modulo de elasticidad según su grupo estructural:

TABLA 4.6: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2)

GRUPO

E0.05

Epromedio

A

95 000

130 000

B

75 000

100 000

C

55 000

90 000



70


ESTRUCTURAS DE MADERA 4.4 CAPACIDAD

DE

CAPÍTULO IV

CARGA

PARA

COLUMNAS

SOMETIDAS

A

COMPRESIÓN (CARGA ISIBLE A COMPRESIÓN).Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” la capacidad de carga varía de acuerdo a la clasificación realizada en función de su esbeltez (Tabla 4.3), de aquí tenemos:  Para Columnas Cortas la carga isible a compresión se calcula como :

N  f c  A Donde: A: área de la sección transversal fc: esfuerzo máximo isible de compresión paralela a la fibra. N: carga axial máxima isible.  Para Columnas Intermedias la carga isible a compresión se calcula como :

N

 1   4     f c  A 1     3  C k  

Donde: A: área de la sección transversal fc: esfuerzo máximo isible de compresión paralela a la fibra. esbeltez del elemento (considerar solo la mayor). Ck: obtenido de la tabla 4.4 N: carga axial máxima isible.  Para Columnas Largas la carga isible a compresión se calcula como :

N  0.329

EA 2

donde : A: área de la sección transversal esbeltez del elemento (considerar solo la mayor). E: módulo de elasticidad, obtenido de la tabla 4.6 N: carga axial máxima isible. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

71



DE

CAPÍTULO IV

CARGA

PARA

COLUMNAS

SOMETIDAS

A

FLEXOCOMPRESIÓN.Los elementos sometidos a flexocompresión deben diseñarse para cumplir la siguiente relación:

k M N  m 1 N Z  fm Donde: N : es la carga axial solicitante N: es la carga axial isible km: es un factor de magnificacion de momentos debido a la presencia de carga axial

IMI:

momento flector maximo en el elemento(en valor absoluto)

Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del cual se produce la flexión

fm: esfuerzo isible en flexión sacado de tabla 4.5

Los valores de N y M son conocidos (hallados del análisis de esfuerzos). El valor de

N se halla de la misma manera que para columnas sometidas a compresión. El valor del factor de amplificación de momentos k m se halla con la ecuación:

km 

1 1  1 .5 

N N cr

Donde: N cr es la carga crítica de Euler en la dirección en que se aplican los momentos de flexión. La carga crítica de Euler se halla con la ecuación:

2  E  I N cr  L ef 2


72



CAPÍTULO IV

Donde: L ef es la longitud efectiva de la columna; I es la inercia de la sección transversal. El valor del módulo de la sección Z depende del tipo de sección transversal y de sus dimensiones; a continuación se muestran las propiedades geométricas de las secciones transversales más comunes: FIGURA 4.1: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES MAS COMUNES

A  bh

ZI 

b  h2 6

rI 

h 12

c h

I

II 

b  h3 12 c

b

h 2

  d2 A 4

c d

II 

I

  d3 ZI  32

  d4 64

rI  c

A

h

c

d 2

bh 2

b  h3 II  36

I

b

c

d 4

ZI 

b  h2 24

rI 

h 18

2h 3

A = área ; I =momento de inercia ; Z = módulo de la sección = I ; r = radio de giro = c

Ref.: Elaboración Propia


73

I A



DE

CAPÍTULO IV

CARGA

PARA

COLUMNAS

SOMETIDAS

A

FLEXOTRACCIÓN.Los elementos sometidos a flexotracción deben diseñarse para cumplir la siguiente relación:

M N  1 A  ft Z  fm Donde: N : es la carga axial solicitante A es el área de la sección transversal del elemento ft: esfuerzo isible a tracción, sacado de tabla 4.5

IMI:

momento flector máximo en el elemento(en valor absoluto)

Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del cual se produce la flexión

fm: esfuerzo isible en flexión sacado de tabla 4.5

4.7 COLUMNAS DE SECCIÓN CIRCULAR Y POSTES.Las columnas de madera maciza de sección transversal circular no se usan de manera extensa en nuestro medio. En cuanto a la capacidad de carga, se puede decir que las columnas redondas soportan las mismas cargas axiales que las columnas cuadradas, cuando estos tengan la misma área. Esto quiere decir que si una columna cuadrada se diseña para resistir una carga axial externa, la columna redonda de misma área transversal que la cuadrada resistirá la misma carga sin problemas. Al diseñar una columna de madera de sección transversal circular, un procedimiento sencillo es diseñar primero una columna cuadrada, y luego elegir una columna redonda con un área de sección transversal equivalente. Para encontrar el diámetro de la columna redonda equivalente, el lado de la sección cuadrada “d” debe multiplicarse por:

A rect  d 2 A circ 

  D2 4

  D2 d   D  1.128d 4 2

IGUALANDO


74



CAPÍTULO IV

Por lo tanto se debe multiplicar por el factor 1.128 el lado de la columna cuadrada para obtener el diámetro de la columna circular equivalente. Los postes son piezas redondas de madera que constan de troncos descortezados de árboles maderables. En longitudes cortas tienen un diámetro constante, pero cuando son largos tienen forma cónica, que es la forma natural del tronco de árbol. Para una columna cónica, una suposición conservadora para el diseño es que el diámetro crítico de la columna el diámetro menor en el extremo de sección menor. Si la columna es muy corta, esto es razonable. Sin embargo, para una columna esbelta, donde el pandeo se presenta a la mitad de su altura, esto es muy conservador. Sin embargo, debido a la ausencia común de la rectitud inicial, y a la presencia de numerosos defectos (como nudos, rajaduras y depósitos de resina), se recomienda usar el diámetro del extremo de menor sección para los cálculos de diseño. El uso de los postes esta

en puentes provisionales o en edificaciones, conformando

columnas o cimientos. Como cimientos, se usan como pilotes de madera, donde los postes son encajados en el suelo mediante un martinete. Sin embargo otra forma de utilizar los postes para cimentación consiste solo en excavar un hoyo, insertar parcialmente el poste, y luego rellenar el hoyo alrededor del poste, con suelo o concreto, como se hace con los postes para cercas, apoyo para anuncios y postes de uso general.

4.8 COLUMNAS FORMADAS POR VARIOS .Un tipo de elemento estructural que algunas veces se usa en las estructuras de madera es la columna formada por varios . Este es un elemento en el cual dos o mas elementos de madera se sujetan juntos (mediante pernos preferentemente) para compartir la carga como una sola unidad de compresión. El diseño de estos elementos es muy complejo. A continuación para explicar como se realiza el diseño, se desarrollará un ejemplo. Ejemplo: Una columna formada por varios mostrada en la siguiente figura, consta de tres piezas de almendrillo de 10×30 cm. de sección. La dimensión L1 es de 4 metros y X es de 15 centímetros. Calcular la capacidad de compresión axial.


75



CAPÍTULO IV

FIGURA 4.2: COLUMNA FORMADA POR VARIOS X

Y

Y

X

Perno

Bloques separadores

L1

y

L2

d2

Bloques extremos L3 d1

X

Solución: Hay dos condiciones separadas que se deben analizar con respecto a la columna formada por varios . Se relacionan con los efectos de la esbeltez relativa en las dos direcciones que se representan con los ejes x y y en la figura anterior. En la dirección y la columna se comporta simplemente como un conjunto de columnas macizas. Así, el esfuerzo está limitado por las dimensiones d2 y L2 y su cociente. Para esta condición, se determina lo siguiente para el ejemplo.

L 2 (400)   13.33 d2 30 Al usar este valor como relación de esbeltez, se determina la capacidad de una columna maciza, cuya sección transversal tenga un área igual a tres veces la de una columna de 10×30 cm. (no debe tomarse el área de los bloques separadores).


76



CAPÍTULO IV

Entonces: 

Almendrillo(Grupo A)

f c  145 k/cm2 E  95000 k/cm2

Como  = 13.33 es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como  es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna intermedia es :  1   4  N  f c  A 1       3  Ck   N1

 1  13.33  4   145  3  (10  30) 1       117358.31 k  3  17.98  

El segundo caso que se debe considerar en el ejemplo es el comportamiento con respecto al pandeo en la dirección x, que se revisa con respecto a dos limitaciones: 1.

L3  40 d1

2.

L1  80 d1

Entonces usando los datos del ejemplo se tiene:

 400   15   L3  2   18.5  40  d1 10

L1 400   40  80 d1 10

CUMPLE!

CUMPLE!

La capacidad de carga para esta condición depende del valor de L 1 , y se determina de d1

manera similar, a la de la columna maciza, pero se permite mayorar la capacidad de carga


77



CAPÍTULO IV

para columnas intermedias y largas con un factor Kx, en relación al valor de X con respecto a la longitud total de la columna, con los siguientes valores:  Kx = 1.5 cuando X es menor o igual a L1/20  Kx = 2.0 cuando X se encuentra entre L1/20 y L1/10 Entonces: Como  

L1  40 es mayor que 10 la columna no es corta. d1

De la tabla 4.4. se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como  es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna larga es:

N  0.329  N 2  0.329 

EA 2

95000  3  10  30 40 2

 17580.94 k

Pero como X vale 15 cm, y L1/20 = 400/20 = 20, entonces se permite mayorar la carga isible por el factor Kx =1.5. Entonces:

N 2  17580.94  1.5  26371.41 k La capacidad de la columna será la menor entre N1 y N2, entonces como el menor es N2 :

N  26371.41 k

4.9 COLUMNAS COMPUESTAS.Son columnas individuales formadas por varios elementos de secciones macizas. Por lo general, las columnas compuestas tienen los elementos unidos entre sí mediante dispositivos mecánicos, como clavos o pernos torneados.


78



CAPÍTULO IV

El diseño de este tipo de columnas se lo realiza en base a la capacidad del elemento individual. Es decir la menor capacidad de carga de la sección compuesta es la suma de las capacidades de las partes consideradas individuales. Las columnas compuestas más comunes son ensambles de pies derechos que se presentan en la esquina de los muros, intersecciones de muros y los cantos de los vanos de puertas y ventanas. Cuando las columnas compuestas se presentan como columnas aisladas, se hace difícil la determinación real de sus capacidades, a menos que los elementos individuales tengan una esbeltez suficientemente baja como para considerar que tienen capacidades significativas. Dos tipos de ensambles que tienen capacidades comprobadas como columnas compuestas son los mostrados a continuación. FIGURA 4.3: COLUMNAS COMPUESTAS

(a)

(b)

Ref.: Diseño simplificado de Estructuras de Madera, Parker-Ambrose; Pág. 143

En la figura (a) se muestra una columna de núcleo macizo esta envuelta por todos lados con elementos mas delgados. La suposición común para analizar esta columna es que la esbeltez se basa únicamente en el núcleo, pero la capacidad de compresión axial se basa en la sección completa. En la figura (b) se muestra una serie de elementos delgados se mantiene unida mediante dos placas de cubierta que tienden a restringir el pandeo de los elementos del núcleo alrededor de sus ejes poco resistentes. Para esta columna, se considera que la esbeltez se basa en el eje más fuerte de los internos. La compresión axial se basa en la suma de los elementos internos para obtener un diseño conservador, pero es razonable incluir las placas si están unidas mediante tornillos o pernos.


79



CAPÍTULO IV

Ejemplo: En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna compuesta, cuyo núcleo es de 20×20 cm.,y las placas exteriores tienen un espesor de 5 cm.. Se pide encontrar la altura máxima que puede tener dicha columna, para resistir una carga de 55 toneladas. Las restricciones de sus extremos se pueden asimilar en la parte inferior empotrada, y en la parte superior la unión restringe los giros pero permite desplazamientos. Trabajar con madera del grupo B.

20 cm

20 cm

30 cm

30 cm

Solución: Como datos del problema se tiene: 

Madera del Grupo B

f c  110 k/cm2 E  75000 k/cm2

Lo primero que se debe hacer es encontrar la longitud efectiva que es igual a:

Le  k  L De la tabla 4.2 para el modo de pandeo de la columna se recomienda para el diseño el factor K =1.2. Entonces:

L e  1 .2  L Para la esbeltez solo se debe considerar el núcleo, entonces la esbeltez igual a:




L e 1 .2 L   0.06L d 20

80



CAPÍTULO IV

Obviamente la mayor longitud de la columna se dará cuando esta se analiza como columna larga. Entonces la carga isible que puede resistir será:

N  0.329  N  0.329 

75000  30 2 (0.06L)

2

EA 2 

6168750000 L2

k

Para que la columna resista la carga de 55000 k., la carga isible debe ser por lo menos igual a ésta, por lo tanto igualamos:

N 

6168750000 L2

 55000

L  334.90 cm  3.35 m

Con esta longitud se verifica la esbeltez: λ

L e 1.2L 1.2  3.35    20.1 m d 20 20

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34. Como  es mayor que 18.34 pero menor a 50, entonces se verifica lo asumido: la columna es Larga. Por lo tanto la longitud máxima de la columna deberá ser 3.35 metros.


81



CAPÍTULO IV

4.10 EJEMPLOS DEL CAPÍTULO

Ejemplo 1: Un miembro de madera sometido a compresión tiene una sección transversal de 15cm15cm, y es de almendrillo. Encontrar la capacidad de carga a compresión axial (carga isible) para longitudes efectivas de: a) 2 metros b) 6 metros c) 10 metros Solución: Como datos del problema se tiene: Base (b) = 15 cm 

Dimensiones: Altura (h) = 15 cm



Almendrillo(Grupo A)

f c  145 k/cm2 E  95000 k/cm2

a) Se tiene una esbeltez igual a :  

L 200   13.33 d 15

Como  es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como  es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna intermedia es: N

N

 1   4   f c  A 1       3  Ck  

 1  13.33  4   145  (15  15) 1       29339.58 k  3  17.98  


82



CAPÍTULO IV

b) Se tiene una esbeltez igual a :  

L 600   40.0 d 15

Como  es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como  es mayor que 10 y mayor a 17.98, pero menor que 50, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna larga es :

N  0.329  N  0.329 

EA 2

95000  15 2 40 2

c) Se tiene una esbeltez igual a :  

 4395.23 k

L 1000   66.67 d 15

Como  es mayor que 50, entonces NO DEBE UTILIZARSE ESTA COLUMNA; para usarse se debe aumentar su sección transversal. Por lo tanto para que esta columna tenga 10 metros de largo se debe aumentar su sección a por lo menos 2020 ó 22.522.5 cm.


83



CAPÍTULO IV

Ejemplo 2: En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Quebracho, de 2035 cm de sección, que soporta una carga distribuida de 1 tonelada por metro. Esta viga esta soportada por 2 columnas de madera, que transmiten la carga hacia el suelo a través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide diseñar las columnas de madera para que resistan las cargas a las que se ven sometidas. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para el diseño madera del Grupo A.

5m

35 20

VIGA

4m COLUMNAS

1m

ZAPATAS


84



CAPÍTULO IV

Esquema Estructural: q = 1 t/m

5m

PESO PROPIO

5m

El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto la viga como las columnas son del mismo grupo estructural.



f c  145 k/cm2

Grupo A

E  95000 k/cm2   800 k/m3

El peso propio de la viga, que es igual a :

Pp    b  h Pp = 800 k/m3 . 0.20 m . 0.35 m = 56 k/m La carga total es igual a:

C T  q  Pp CT = 1000+56 = 1056 k/m Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a: Según fórmula de Anexo de capítulo 2:

R

C T  L 1056  5   2640 k 2 2


85



CAPÍTULO IV

Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se podía suponer como articulado dicha unión. La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas: q = 1 t/m

5m

Pp = 56 k/m

2640 k

2640 k

5m

5m

2640 k

2640 k

Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna, ya que la otra deberá ser exactamente igual. Para el diseño de la columna se debe tantear una sección, y hallar su carga isible, que deberá ser mayor a la carga externa actuante. Para tantear con una sección que sea muy próxima a la necesaria se recurre a las tablas o ábacos para el diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4).


86



CAPÍTULO IV

Para tantear con la Tabla A4-1(Tabla de anexos de capítulo IV), se entra con : 

Longitud efectiva, que como las condiciones de borde en los apoyos de la columna, se obtiene de la tabla 4.1 un valor de k = 1, por lo tanto la longitud efectiva es igual a la longitud real no arriostrada = a 5 metros.



La carga a resistir, que para este caso será 2640 kilogramos.

Entonces: TABLA A4.1 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SUJETAS A COMPRESIÓN (kilogramos) PARA MADERAS DEL GRUPO A

Longitud efectiva (metros)

Sección de columna Dimensiones 10 15 20 15 20 25 20 25 30 25 30

b  h(cm)           

Area (cm 2)

100 150 200 225 300 375 400 500 600 625 750

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

7813.75 11720.63 15627.50 29337.33 39116.45 48895.56 56150.69 70188.36 84226.03

5000.80 7501.20 10001.60 24598.47 32797.96 40997.45 53485.08 66856.35 80227.62

3472.78 5209.17 6945.56 17580.94 23441.25 29301.56 48637.86 60797.32 72956.79

2551.43 3827.14 5102.86 12916.61 17222.14 21527.68 40655.47 50819.34 60983.21

1953.44 2930.16 3906.88 9889.28 13185.70 16482.13 31255.00 39068.75 46882.50

1543.46 2315.19 3086.91 7813.75 10418.33 13022.92 24695.31 30869.14 37042.96

1250.20 1875.30 2500.40 6329.14 8438.85 10548.56 20003.20 25004.00 30004.80

De la tabla se observa que la sección mas pequeña cuya longitud efectiva es 5 metros y cuya carga isible es mayor a 2640 kilogramos es la sección 1515 cm. Pero porque la carga isible de la sección de 1515 cm es mucho mayor a 2640 kilogramos, nos vemos obligados por razones económicas a buscar una sección que sea más pequeña. Por lo tanto como el tanteo de las secciones se realiza pulgada por pulgada (debido a que en el comercio se vende así), probar con la sección: Base (b) = 12.5 cm  Altura (h) = 12.5 cm Entones: Se tiene una esbeltez igual a :  

L ef 500   40.0 d 12.5

Como  es mayor que 10 la columna no es corta.


87


5.5

5230.6 6974.2 8717.8 16531. 20664. 24797.


CAPÍTULO IV

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como  es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna larga es :

N  0.329  N  0.329 

EA 2

95000  12.5 2 40 2

 3052.25 k

Como N es mayor que 2640 kilogramos, entonces SECCIÓN RESISTE. Ejemplo 3: En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Almendrillo, de 3050 cm de sección, que soporta un muro de ladrillo gambote de 18 cm de espesor y de 3 metros de altura (cuya longitud es igual a la longitud total de la viga). La viga esta soportada por 2 columnas de madera de 15×15 cm de sección y, que transmiten la carga hacia el suelo a través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide encontrar la máxima distancia “L” que puede tener la combinación viga-muro, para que las columnas del pórtico resistan las solicitaciones actuantes. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para las columnas madera del Grupo B.

3m

50 30

VIGA

5m COLUMNAS

1m ZAPATAS


88



CAPÍTULO IV

Esquema Estructural: qLad

L

PESO PROPIO

6m

El Almendrillo corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto para la viga:



  800 k/m3

Grupo A

El peso propio de la viga, que es igual a :

Pp    b  h Pp = 800 k/m3 . 0.30 m . 0.50 m = 120 k/m La carga qLad , que se debe al peso del muro de ladrillo es igual a : 

Ladrillo Gambote

  1800 k/m3

q Lad    espesor  altura q Lad  1800  0.18  3  972

k m

La carga total es igual a:

C T  q  Pp CT = 972+120 = 1092 k/m


89



CAPÍTULO IV

Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a: Según formula de Anexo de cap2:

R

C T  L 1092  L   546L k 2 2

El peso propio de cada columna, que es igual a :

Pp    b  h 

  750 k/m3

Columnas(Grupo B)

Pp = 750 k/m3 . 0.15 m . 0.15 m . 6 m = 101.25 k  102 k Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se podía suponer como articulado dicha unión. La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas: q = 0.97 t/m

L

PESO PROPIO

546L k

546L k

6m

6m

(546L+102) k


(546L+102) k

90



CAPÍTULO IV

Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna, ya que la otra deberá ser exactamente igual. Ahora el siguiente paso es establecer la carga isible de la columna dato: 1515 cm y 6 metros de longitud efectiva (igual a la longitud real debido a que k es igual a 1), y perteneciente al Grupo B. Para el valor de la carga isible de una manera rápida se puede usar las tablas o graficas de diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4). Usando la grafica de diseño correspondiente al Grupo B y a la escuadría: 1515 cm:

PARADE DISEÑO DE COLUMNAS GRAFICAGRAFICA PARA DISEÑO COLUMNAS - GRUPO B- GRUPO B 40 000.00

40 000.00 GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B

35 000.00

CAPACIDAD DE CARGA (kilogramos)

CAPACIDAD DE CARGA (kilogramos)

35 000.00

30 000.00

25 000.00

20 000.00

15 000.00

10 000.00

30 000.00

ESCUADRIAS 10*10 10*15

25 000.00

10*20 15*15

ESCUADRIAS

15*20 15*25

20 000.00

10*10 10*15 10*20

15 000.00

15*15 15*20 15*25

10 000.00

5 000.00

5 000.00

3450 0.00 2

3

0.00 2

3

4

3

5

6

4

5

LONGITUD EFECTIVA (metros) LONGITUD EFECTIVA (metros)

4 5 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

LONGITUD EFECTIVA (metros)

91

6

7

6

7 FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

7


CAPÍTULO IV

Entonces: N = 3450 = 546L+102 L = 6.13 metros Aproximadamente: la longitud de la viga no debe exceder de 6 metros para que las columnas RESISTAN.

Ejemplo 4: Para la columna mostrada en la siguiente figura se pide determinar la escuadría para que resista la solicitación actuante. Considerar para el diseño que la longitud efectiva es igual a la longitud no arriostrada. Diseñar el miembro para la especie verdolago. 20 ton

10 cm 4m

DE la grafica se aprecia que la carga axial es de 20 toneladas, y debido a la excentricidad de 10 cm, genera un momento igual a 2000 kg.m., por lo tanto diseñar a flexocompresión. El Verdolago corresponde a una madera del Grupo B; por lo tanto:



f c  110 k/cm2 f m  150 k/cm2

Grupo B

E  75000 k/cm2 Asumir una sección: Predimensionando solo con la carga axial (con ábacos o tablas), una sección de 20×20 cumple, entonces: Base (b) = 20 cm  Altura (h) = 20 cm


92



Se tiene una esbeltez igual a:  

CAPÍTULO IV

L 400   20 d 20

Como  es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34. Como  es mayor que 10 y mayor a 18.34, pero menor que 50, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna larga es:

N  0.329  N  0.329 

EA 2

75000  20 2 20 2

 24675 k

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:

km 

1 1  1 .5 

N N cr

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

N cr 

N cr 

2  E  I L ef 2  2  75000  20 4 12  400 2

km 

 61685 .03 k

1  1.947 20000 1  1 .5  61685.03

El modulo resistente de la sección es:

Z


b  h 2 20 3   1333.33 cm 3 6 6

93



CAPÍTULO IV

Verificando a la flexocompresión:

k M N  m 1 N Z  fm

20000 1.947  200000   2.76  1 24675 1333.33 150

 FALLA

Entonces aumentamos la sección: Base (b) = 25 cm 

Se tiene una esbeltez igual a:  

Altura (h) = 25 cm

L 400   16 d 25

Como  es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34. Como  es mayor que 10 y menor a 18.34, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga isible para una columna intermedia es:  1   4  N  f c  A 1       3  Ck   N

 1  16  4   110  (25  25) 1       55484.95 k  3  18.34  

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km:

km 

1 1  1 .5 

N N cr

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

N cr 


2  E  I L ef 2 94



CAPÍTULO IV

N cr 

 2  75000  25 4 12  400 2

km 

 150598 ..21 k

1  1.249 20000 1  1 .5  150598.21

El modulo resistente de la sección es:

b  h 2 25 3 Z   2604.17 cm 3 6 6 Verificando a la flexocompresión:

k M N  m 1 N Z  fm

20000 1.249  200000   0.999  1 55484.95 2604.17 150

 CUMPLE

Por lo tanto la sección de 25×25 resiste las solicitaciones externas.

Ejemplo 5: En la siguiente figura se ilustra una condición de carga para un miembro de la cuerda inferior de una armadura. La sección de el miembro es de 7.5×15 cm, y la madera utilizada es para su construcción es Quebracho. Se pide analizar el miembro y determinar si es adecuado para las condiciones de carga mostradas. 1t

1t

10 t

10 t

1m

1m 4m


95



CAPÍTULO IV

Solución: El elemento esta sometido a flexotracción, para lo cual se debe verificar que:

M N  1 A  ft Z  fm El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto:

f t  145 k/cm2 

E  95000 k/cm2   800 k/m3 f m  210 k/cm2

Grupo A

Base (b) = 7.5 cm 

Sección

Altura (h) = 15 cm

La tracción actuante es:

N  10000 k El momento actuante máximo en el miembro es:

M max  P  a  1000  1  1000 k  m  100000 kcm El modulo resistente de la sección es :

b  h 2 7.5  15 2 Z   281.25 cm 3 6 6 Verificando la relación del elemento a flexotracción:

M N  1 A  ft Z  fm 10000 100000   0.68  1  CUMPLE! 7.5  15  145 281.25  210 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

96



CAPÍTULO IV

EJERCICIO PROPUESTO. En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:  Compresión Axial  Flexocompresión  Flexotracción  Longitud efectiva - Esbeltez  Postes

PROBLEMAS PROPUESTOS. Diseñar una columna circular que soportará un tanque de agua de hormigón armado de 5 metros cúbicos de capacidad. Considerar el espesor de las paredes del tanque como constante y de 7.5 centímetros. La altura a la que se encontrará el tanque será de 5 metros.  Realizar una planilla electrónica (tipo Excel) de diseño para los diferentes grupos de maderas utilizando secciones circulares.


97


05cap4-diseño De Elementos Sometidos A Compresión 496p14

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