Arquímedes (la Cuadratura Del Segmento Parabólico En El Método De Arquímedes) 4z322q

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Arquímedes (La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes)

Arquímedes (La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes) Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja    La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes «Es imposible encontrar en toda la Geometría cuestiones más difíciles y más importantes explicadas con términos más sencillos ni más comprensibles que los teoremas de la inteligencia  sobrehumana de Arquímedes». Plutarco. Vidas paralelas. Marcelo,XVII.5‐8.

Busto de Arquímedes. Museo Nacional de Nápoles. Es uno de los iconos más conocidos del genio de Siracusa. Con una inefable capacidad para conjugar a la perfección la intuición del descubrimiento con el virtuosismo de la demostración, Arquímedes es considerado como uno de los matemáticos más fecundos de todos los tiempos. Cuando en el Renacimiento y siglos posteriores tiene lugar la recuperación, reconstrucción y divulgación del legado clásico griego, todos los matemáticos se formulan la pregunta: ¿Cómo había alcanzado Arquímedes sus impresionantes resultados sobre cuadraturas y cubaturas, que luego demostraba rigurosamente mediante el método de exhaución? Ante los sorprendentes descubrimientos arquimedianos, muchos matemáticos albergaron la sospecha de que el sabio disponía de un método milagroso que aplicaba en sus investigaciones y que habría ocultado de forma deliberada. Por ejemplo, Wallis que realizó una edición de las Obras de Arquímedes, publicada en Oxford en 1676, escribía: «Al parecer Arquímedes ocultó adrede las huellas de su investigación, como si hubiera sepultado para la posteridad el secreto de su método de investigación»; y Barrow, que se encargó también de una edición en latín de las Obras de Arquímedes, que se publicó en Londres en 1675, escribía: «Al no poder imaginar qué ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud del razonamiento, estoy seguro que Arquímedes se vio ayudado por el Álgebra, a la que conocía en secreto y que ocultaba de forma estudiada». Efectivamente, Arquímedes poseía un método de investigación, basado en la aplicación de la ley que rige la más sencilla de sus máquinas «La Ley de la Palanca», que plasmó en su obra El Método relativo a los teoremas mecánicos dirigido a Eratóstenes (EL MÉTODO), y en la que mediante procedimientos reconocidos por él mismo como no del todo rigurosos, descubría sus famosos teoremas matemáticos sobre cuadraturas y cubaturas, pero fueron los avatares históricos y no su voluntad, quien lo dejó oculto para la posteridad, ya que la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, desapareció de la circulación en tiempos desconocidos y no fue recuperada hasta 1906, gracias a la sagacidad del eximio helenista y erudito J.L.Heiberg.

1. Imagen venerable de J.L.Heiberg (1854‐1928). El gran helenista e historiador de la Matemática exhumó la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, en circunstancias casi novelescas, en 1906, de un palimpsesto medieval de la biblioteca del Priorato del Phanar del Patriarcado griego del Santo Sepulcro de Jerusalén, en Constantinopla. Tras una titánica labor de arqueología matemática, J.L.Heiberg consiguió transcribir, letra a letra, el contenido del texto arquimediano, reconstruir figuras semiborradas y

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Arquímedes (La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes) restablecer el orden secuencial de las hojas que había sido muy alterado. El contenido del palimpsesto que fue utilizado por J.L.Heiberg para  la edición de sus Archimedis Opera Omnia. 2. Portada de la definitiva y canónica edición de Heiberg de las Obras de Arquímedes, Archimedes Opera Omnia (Leipzig, 1910‐1913), que incluye El Método sobre los teoremas mecánicos dirigido a Eratóstenes, donde Arquímedes plasma la vía mecánica de sus brillantes descubrimientos, que había omitido en sus restantes escritos científicos.

La Cuadratura de un segmento parabólico en Archimedis Opera Omnia de J.L. Heiberg. Es el primer ejemplo y el más sencillo e ilustrativo de la aplicación del método mecánico de Arquímedes al cálculo de cuadraturas.

EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES DIRIGIDO A ERATÓSTENES PROPOSICIÓN I: Cuadratura del segmento parabólico. Sea ABC un segmento parabólico comprendido entre la recta AC y la sección ABC de un cono rectángulo (parábola); divídase AC por la mitad en D y trácese la recta DBE paralela al diámetro de la parábola, y uniendo B con A y B con C, trácense las rectas AB y BC. El segmento parabólico ABC es cuatro tercios del triángulo ABC. Trácense por los puntos A y C la recta AZ paralela a DBE y la CZ tangente al segmento parabólico en C; prolónguese CB hasta T y sea KT igual a CK. Considérese CT como una palanca, siendo K su punto medio, y sea MQ una recta paralela a ED. Puesto que CBA es una parábola  y que CZ es tangente a ella «la subtangente relativa a un punto de la parábola es doble de la abcisa de este punto», es decir: EB es igual a BD. De la semejanza de los triángulos ZKC, MNC y EBC, así como KAC, NQC Y BDC se deduce [Euclides VI.4] las igualdades de segmentos: MN = NQ y ZK = KA al ser EB=BD. Aplicando una relación conocida que Arquímedes había demostrado en la Proposición V de Sobre la Cuadratura de la Parábola resulta que CA/AQ =MQ/QO, y siendo semejantes los triángulos ACK y QCN se tiene: CA/AQ = CK/KN, pero al ser iguales los segmentos CK y TK, resulta la igualdad de razones TK/KN = MQ/QO, relación geométrica básica para aplicar el método mecánico de la palanca. En efecto, puesto que el punto N es el centro de gravedad de la recta MQ, por ser MN igual que NQ, si tomamos la recta VH igual a QO de manera que su centro de gravedad sea el punto T, es decir, de modo que sea  VT igual que TH, la recta VTH estará en equilibrio con la recta MQ «que permanece en su lugar», por estar TN dividida por el punto K en partes que están en razón inversa a los pesos VH y MQ [Sobre el Equilibrio de los Planos I.6], y por lo tanto K es el centro de gravedad del conjunto de ambos pesos. Análogamente si en el triángulo AZC se trazan tantas paralelas como se quiera a ED, éstas, «permaneciendo en su lugar», estarán en equilibrio con los segmentos determinados sobre ellas por el segmento parabólico y trasladados al punto T, de manera que el centro de gravedad de unas y otros será K. Ahora bien, las rectas trazadas en el triángulo AZC «componen» el propio triángulo y los segmentos rectilíneos obtenidos en segmento parabólico del mismo modo que OQ «componen» el segmento parabólico ABC; por lo tanto el triángulo AZC, «permaneciendo en su lugar», estará en equilibrio, respecto del punto K, con el segmento parabólico trasladado hasta tener su centro de gravedad en T, de manera que el centro de gravedad del conjunto de ambos será el punto K. Divídase ahora CK por el punto G de manera que sea  CK sea el triple de KG, el punto G será entonces el centro de gravedad del triángulo AZC [Sobre el Equilibrio de los Planos  I.14], y puesto que el triángulo AZC, «permaneciendo en su lugar» está en equilibrio, respecto del punto K, con el segmento parabólico ABC, trasladado con centro de gravedad en T, y que G es el centro de gravedad del triángulo AZC, se verifica, por consiguiente, que la razón del triángulo AZC al segmento parabólico ABC colocado alrededor del centro T es igual a la razón de TK a KG.  Ahora bien, siendo TK triple de KG, el triángulo AZC será triple del segmento parabólico ABC. Además, el triángulo AZC es cuádruple del triángulo ABC, ya que ZK es igual que KA y KA es doble de BD al ser AD igual que DC, luego el 

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segmento parabólico ABC equivale a cuatro tercios del triángulo ABC.

Resumen del desarrollo de Arquímedes: El segmento parabólico p(ABC) es cuatro tercios del triángulo t(ABC): En efecto: De la geometría de la figura resulta: TK/KN = MQ/QO, es decir: QO · TK = MQ · KN. Se toma: VH=QO [VT=TH], luego: VH · TK = MQ · KN Según Equilibrio de los  Planos I.6, resulta: «VTH [= QO]  está en equilibrio con MQ en la palanca TN con fulcro en K». Los segmentos MQ «componen» el triángulo t(AZC) y los segmentos QO «componen» el segmento parabólico p(ABC), por tanto: «t(AZC) en su lugar equilibra respecto de K a p(ABC) trasladado con su centro de gravedad (c.d.g.) a T», luego: t(AZC) · KG = p(ABC) · TK, siendo G el c.d.g. del triángulo t(ABC), que según Equilibrio de los  Planos I.14, se obtiene tomando G tal que TK=KC=3KG, por tanto : t(AZC) = 3 p(ABC). Ahora de ZK=KA =2BD, resulta: t(AZC) = 4 t(ABC) Luego definitivamente se tiene: p(ABC) = (4/3) t(ABC). cqd.

En su tratado Sobre la Cuadratura de la Parábola, Arquímedes había dado ya una primera demostración mecánica de la cuadratura de la parábola (proposiciones 1‐17)  –más larga que la presente de EL MÉTODO–, basada en los postulados de la Estática –extraídos del tratado Sobre el Equilibrio de los Planos– y previa a la geométrica por exhaución (proposiciones 18‐24), que desarrolla posteriormente en el mismo tratado y en la que el sabio utiliza la suma de los términos de una progresión geométrica indefinida de razón ¼ al demostrar un resultado geométrico equivalente a la fórmula

de donde obtiene finalmente el resultado principal:  «la equivalencia entre el segmento de parábola y los cuatro tercios del triángulo inscrito –con el mismo vértice y altura que la parábola–». Se trata del primer ejemplo en la Historia de la Matemática de la cuadratura de una figura mixtilínea. Arquímedes distingue según que el diámetro sea perpendicular o no a la base del segmento (proposiciones 14 y 15), pero en ambos casos la solución es la misma. Ya que el método mecánico de investigación de EL MÉTODO de Arquímedes apunta históricamente hacia los indivisibles e infinitesimales de las técnicas de cuadratura del siglo XVII que condujeron al descubrimiento del Cálculo Infinitesimal por Newton y Leibniz, mientras que el método demostrativo de exhaución apunta hacia las técnicas aritméticas de los límites que fundamentan el Análisis moderno en el siglo XIX, la conjunción de ambos métodos, uno heurístico y empírico y otro riguroso y apodíctico, sitúan a Arquímedes en las raíces históricas del Cálculo Integral. Por eso, como afirma E.Rufini (Il Metodo d'Archimede e le origine dell'analisi infinitesimale nell'antichità, p.187): «Arquímedes anticipa nuestro Cálculo Integral, tanto en el tiempo como en  los procedimientos y en la genialidad de los artificios no superados por los precursores del siglo XVII.» Pero más allá de la Matemática, la obra arquimediana, pródiga en asombrosos resultados y modelo de exposición rigurosa, al aplicar –como hemos visto en la cuadratura del segmento de parábola– la Mecánica a la investigación de los teoremas, desarrolla una concepción matemático‐experimental que está en la raíz de una tradición científica –llamada después Filosofía Natural y mucho más tarde Física Matemática–, que retomada por Leonardo, Galileo y Newton, establece las bases de la Revolución Científica del siglo XVII, y en particular constituye un sólido punto de partida tanto para la configuración de la nueva Física como para la invención del Cálculo Infinitesimal. Muy acertado es, pues, lo que escribe en el siglo XVII Montucla en su famosa Historia de las Matemáticas: «Arquímedes abrió nuevas vías en la Geometría e hizo tan gran número de descubrimientos, que la antigüedad le ha concedido de común acuerdo el primer lugar entre los geómetras».

Bibliografía [A]  Fuentes originales y textos sobre Arquímedes y El Método: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12.

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Arquímedes (La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes)  ArquímedesGacetaRSME93.pdf 13. GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Arquímedes. Obras escogidas (ICM06). Revista SUMA (FESPM), núm.54, pp.118–122, 02/07. 14. GONZALEZ URBANEJA, P.M.: (coautor): El método relativo a los teoremas mecánicos de Arquímedes (en Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia. Edición de Stephen Hawking, págs. 163–202). Editorial Crítica. Barcelona, 2006. 15. GONZALEZ URBANEJA, P.M.: El método mecánico de Arquímedes y las raíces históricas del Cálculo Integral (en La Historia de la Matemática en Ciencia en Acción). La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Vol. 10.1, 215–220, 2007. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_docman&task=doc_details&gid=660&Itemid=75  16. GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Arquimedes en el Congrés Internacional de matemàtics de Madrid (ICM2006). Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques. Volum: 22: núm. 1 (juliol 2007). En prensa. 17. GOULD,S,H.: The Method of Archimedes. American Mathematical Mon​ thly, LXII, 473‐476, 1955. 18. HEATH,T.: The Method of Archimedes recently discovered by Heiberg (A supplement to the works of Archimedes, 1897). Cambridge University Press, 1912. 19. HEIBERG,J.L: Eine neue Archimedeshandschrift. Hermes, vol.XLII, págs.234‐303, Berlín, 1907. 20. HEIBERG,J.L.: ZEUTHEN,H.G.: Eine neue Schrift des Archimedes. Bibliotheca Mathematica de Teubner, págs. 321‐363, Vol. VII3, Leipzig, juny, 1907. 21. HEATH, T.L.:The Works of Archimedes. Dover, New York, 2002. 22. MUGLER,C.: Archimède : 4 volúmenes. Les Belles Lettres, París, 1970‐1972. 23. NETZ;R. , Noel,W.: El código de Arquímedes. Temas de hoy, Madrid, 2007. 24. RAEDER,H.: Johan Ludving Heiberg. Isis, Vol. 11, 367‐74, 1928. 25. REINACH,T.: Un traité de Géométrie inédit d'Archimède. Restitution d'après un manuscrit récemment découvert. Revue général des Sciences pures et appliquées, nos de 30/11/1907, 15/12/1907, XVIII, París, 1907. 26. RUFINI,E. : Il Metodo d'Archimede e le origine dell'analisi infinitesimale nell'antichità. Casa Editrice Alberto Stock, Roma, 1926. Nueva edición de Feltrinelli, Milán, 1961. 27. WILSON, N.: The Archimedes Palimpsest, A Progress Report. Lincoln College Oxford. http://www.archimedespalimpsest.org/index.htm [B]  Obras generales sobre Historia de la Matemática y del Cálculo Infinitesimal: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

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