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EL SECRETO DE LA  CUADRATURA DEL CÍRCULO  Pedro Tomás Vela                             

  Índice      Introducción   .....................................................................    7 

  PRIMERA PARTE     1. El referente histórico  ..................................................  11  2. Leonardo cuadró el círculo  .......................................  19  3. El Hombre de Vitruvio  ................................................  23  4. Las claves en el Hombre de Vitruvio  ....................   29  5. El “secreto”  .......................................................................  41  6. El triángulo rectángulo  ...............................................  47  7. La solución lógica  ..........................................................  53  8. El cuadrado del dibujo de Leonardo  .....................  63  9.  La solución de Leonardo da Vinci   ........................  71  10. ¿Una solución manual?   ............................................  89  11. La búsqueda de la solución  ....................................... 97  12. La solución digital    ..................................................  115  13. La solución matemática  .........................................  121  

14. Otras claves del dibujo de Leonardo  ..........  127  15. La trisección de un segmento   ......................   133  16. La circunferencia trazada a partir       del cuadrado   ........................................................   139  17. El significado de las dos circunferencias      de trazado   .............................................................   147   

SEGUNDA PARTE    18. Un mito del antiguo Egipto  .............................  157     19. El diseño de las pirámides   .............................  169  20. Los planos de las pirámides   ..........................  179  21. La Pirámide de Kefrén   .....................................  187  22. La Gran Pirámide de Keops  ............................  191     23. El enigma de las dos pirámides  ....................  201  24. El Secreto de la Cuadratura del Círculo  ....  209  25. Una reflexión final  .............................................   213      Bibliografía   ..........................................................   217 

 

En  este  mundo  hay  problemas  que  parecen  imposibles de resolver. No por falta de solución,  sino por falta de voluntad para encontrarla.    Con  voluntad  y  acciones  solidarias  en  favor  de las personas que en muchos países del mundo  padecen  enfermedades,  hambre,  pobreza  o  injusticias,  estas  circunstancias  deberían  dejar  de ser un problema.                      

                                         

 

 

Introducción    Los  secretos  mejor  guardados  son  aquellos  cuyo  contenido  y  solución,  están  expuestos  a  la  vista  o  al  alcance  de  cualquier  persona  y  es  precisamente  por  ello,  por  lo  que  pasan  desapercibidos,  porque  nadie  repara  en  ellos,  o  porque  nadie  los  identifica  como  tales  y  aunque  se  intuya  la  presencia  de  lo  oculto,  únicamente  los  iniciados,  aquellos  a  los  que  les  son  trasmitidas  las  claves  o  tienen    a  la  explicación,  pueden lograr su comprensión.   El  problema  de  la  “cuadratura  del  círculo”  es  un  reto  de  la  geometría  y  del  dibujo  lineal,  del  que  es  probable que pudo haber sido planteado en una época  muy  remota,  por  personas  que  pertenecían  a  grupos  cerrados  que  poseían  gran  “autoridad”  y  “jerarquía”,  los  cuales  alcanzaron  “conocimientos  avanzados”  para  su  época  y  que  fueron  considerados  como  “secretos  sagrados” a los cuales solamente podrían tener   las  personas  “elegidas”,  pertenecientes  a  “grupos  de  escogidos”  o  de  aquellas  personas  que  recibieran  una  “educación  y  preparación  adecuadas”,  necesarias  para  comprenderlos, guardarlos y transmitirlos.   Tratándose  de  un  problema  de  dibujo  lineal,  es  preciso tener en cuenta que en épocas pasadas, o más  bien,  hasta  fechas  recientes,  únicamente  se  disponían  de herramientas muy elementales, como son la regla y  el  compás,  tanto  para  hacer  los  dibujos  como  para  7

tomar las medidas y realizar los cálculos, por cuanto la  verificación de los resultados que así fueran obtenidos,  difícilmente habrían alcanzado nunca, la precisión con  la que se pueden obtener en la actualidad.   La  utilización  de  herramientas  informáticas  y  de  programas  de  dibujo  a  los  que  se  tiene    en  la  actualidad,  ofrecen  la  posibilidad  de  tratar  esa  misma  información con gran precisión y fiabilidad, tanto en la  realización  de  los  dibujos,  como  en  la  obtención  de  medidas a partir de ellos que hacen incuestionables los  cálculos y  la valoración de los resultados.   Es  comúnmente  aceptado  que  es  un  problema  imposible de resolver, conclusión a la que se llegó por  la  vía  de  la  demostración  matemática;  sin  embargo,  utilizando las mencionadas herramientas informáticas,  la lógica nos hará ver que sí tiene solución, aunque a la  vez quedará evidenciada la dificultad para encontrarla.   De cualquier forma, para comprender esa solución  lógica,  es  preciso  conocer  el  “secreto  de  la  cuadratura  del círculo”, el cual consiste sencillamente, en conocer  cómo  se  trazan  un  número  ilimitado  de  cuadrados  de  medidas  diferentes,  a  partir  de  una  circunferencia.  Como consecuencia y por lógica, uno y solo uno de esos  cuadrados,  tendrá  una  superficie  igual  a  la  del  círculo  dado.  En este trabajo únicamente se pretende mostrar lo  que  parece  haberse  ocultado  tras  un  “enigma”,  aparentemente  sencillo  pero  a  la  vez  fascinante,  porque  ha  permanecido  muy  bien  guardado,  aunque  haya estado a la vista de todo el mundo durante varios  siglos,  como  un  “secreto”,  en  uno  de  los  dibujos  más  famosos de la Historia.     8 

  Leonardo  Da  Vinci  realizó  en  el  año  1492,  un  dibujo  enigmático  conocido  como  El  Hombre  de  Vitruvio, en el que se relaciona la figura de un hombre  con  las  figuras  de  una  circunferencia  y  un  cuadrado,  perfectamente encajado entre ellas y que tiene además,  unas  anotaciones  con  las  proporciones  anatómicas  ideales de aquél.   Desde  un  punto  de  vista  lógico  y  de  una  forma  elemental,  al  verificar  la  existencia  de  una  relación  de  proporciones  muy  definidas  y  especiales,  entre  la  circunferencia  y  el  cuadrado,  el  dibujo  de  Leonardo  cobrará  la  auténtica  dimensión  en  todos  sus  detalles,  mostrando  cómo  se  realizó  el  trazado  completo  del  mismo, lo cual posibilitará la comprensión del objetivo  real del citado dibujo.   Sin duda, habrán sido numerosas las personas que  hayan  expresado  opiniones  referidas  al  citado  dibujo,  en el sentido de afirmar que en él se oculta la solución  del “imposible problema”.  Hasta  nuestros  días  ha  llegado  este  milenario  problema, como si de un mito se tratara. Un mito cuyo  origen  se  remonta  hasta  la  época  en  que  fueron  construidas  las  pirámides  de  Egipto.  Es  muy  probable  que  aquellos  que  las  diseñaron  y  las  construyeron,  llegaran  a  conocer  el  problema  y  su  solución,  la  cual  podría  encontrarse  en  las  medidas  de  las  dos  pirámides  más  esbeltas  y  de  mayor  perfección  como  las  que  fueron  construidas  en  la  meseta  de  Gizeh,  durante  el  período  que  duró  la  extraordinaria  cultura  egipcia.     9

Se trataría pues de un Secreto que ha permanecido  muy  bien  guardado  durante  varios  milenios,  en  un  lugar  y  de  una  forma  inimaginables,  al  que  se  accede  mediante  el  dibujo  geométrico,  de  la  circunferencia  y  del  cuadrado....,    y  con  la  ventaja  de  poder  utilizar  las  nuevas tecnologías informáticas.    Considerado como el paradigma de los problemas,  se dice de todo aquello que representa algo muy difícil  o imposible de resolver, la búsqueda de la solución de  la  cuadratura  del  círculo,  ha  sido  abordada  desde  la  más  remota  antigüedad  hasta  nuestros  días.  Sin  duda  seguirá  siendo  un  problema  de  actualidad,  quizás  también,  porque  en  el  fondo  se  intuye  que  la  solución  existe  y  de  hecho,  muchas  personas  la  seguirán  buscando.                                       10 

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El referente histórico.    El  mítico  problema  de  la  cuadratura  del  círculo  pudo  haber  tenido  sus  orígenes  en  el  antiguo  Egipto.  Las numerosas pirámides existentes en aquel país, son  unas construcciones extraordinarias, cuyas estructuras  geométricas destacan por su grandeza y su perfección;  además,  muchas  de  esas  pirámides  parecen  guardar  algún tipo de semejanza entre ellas, como si sus formas  o  proporciones  respondieran  a  unos  patrones  de  diseño  muy  semejantes,  aún  cuando  por  sus  tamaños  difieran  considerablemente.  A  lo  largo  de  la  historia  han  causado  verdadera  fascinación  entre  aquellos  viajeros  que  las  visitaron,  especialmente  por  las  inevitables  dudas  que  suscitan  acerca  de  su  finalidad,  pero sobre todo, en lo referido a los medios o técnicas  que habrían sido utilizados para su construcción.  Con  estos  antecedentes,  se  puede  formular  al  menos  una  interrogante,  referida  al  hecho  de  si  tan  antiguo  problema,  pudo  haber  sido  enunciado  por  los  constructores de las pirámides de Egipto.      “Existe  constancia  de  que  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo  ya  era  conocido  entre  las  diferentes  civilizaciones  de  la  antigüedad.  Para  los  babilonios y los egipcios, el problema consistía en “hallar  una razón expresable entre el área de un círculo y la de  un  cuadrado  inscrito  o  circunscrito”.  Como  ejemplo,  es  11

muy  conocido  el  llamado  Papiro  de  Rhind,  en  el  cual  aparece reflejado el enunciado de este problema. Según  reconoce  su  propio  autor,  un  escriba  llamado  Ahmés,  dicho  papiro  fue  copiado  aproximadamente  en  el  año  1650  a.  de  C.,  de  otro  papiro  al  que  atribuía  al  menos  unos  300  años  más  antiguo.  El  papiro  Rhind  es  semejante a un manual que recoge de forma elemental,  los  enunciados  y  las  soluciones  de  algunos  problemas  básicos, sobre conocimientos elementales de aritmética y  geometría,  o  por  ejemplo,  sobre  cómo  realizar  cálculos  para  obtener  el  grado  de    inclinación  de  las  pendientes  de las pirámides”.     Parece oportuno reflejar algunas de las referencias  históricas  relacionadas  con  este  problema,  pues  de  forma generalizada, aparecen en muchas de las páginas  web que tratan sobre este problema, en las que además  de  reflejar  opiniones  muy  interesantes,  establecen  diferentes puntos de vista y planteamientos, o incluso,  llegan  a  representar  la  solución  al  mismo.  Las  referencias  que  sobresalen  de  forma  especial,  son  las  que hacen mención a nombres de la antigua Grecia.     “Durante  la  época  de  la  Grecia  antigua,  este  problema  fue  mencionado  de  forma  muy  común  entre  destacados  filósofos  y  maestros  que  se  dedicaron  al  estudio  de  las  ciencias  y  de  forma  especial  a  la  Geometría. No resultaría arriesgado pensar que algunos  de  los  conocimientos  científicos  que  experimentaron  grandes  avances  en  dicha  época,  fueron  “heredados”  de  civilizaciones  más  antiguas.  Según  recogen  diferentes  escritos, es un hecho que muchos y conocidos hombres de  ciencia  griegos,  viajaron  a  Egipto  interesándose  por  las  12 

grandiosas construcciones y por la cultura de esa tierra  y  donde  probablemente,  algunos  llegaran  a  recibir  enseñanzas de los propios sacerdotes egipcios.   La geometría griega presentaba planteamientos de  problemas  que  fueron  clásicos  durante  esa  época.  La  trisección del ángulo, que planteaba el poder “dividir un  ángulo cualquiera en tres partes iguales”. La cuadratura  del  círculo,  cuyo  enunciado  consistía  en  “encontrar  el  lado  de  un  cuadrado  de  igual  área  que  la  de  un  círculo  de  radio  conocido”.  La  duplicación  del  cubo,  cuyo  enunciado  era  el  de  “hallar  el  lado  de  un  cubo  de  volumen  doble  que  el  de  otro  cubo  de  lado  conocido”  y  del  que,  según  relató  Plutarco,  “dándole  vueltas  a  este  problema,  llegaban  hasta  construir  modelos  de  cubos  físicos”.   De  estos  tres  problemas,  el  problema  de  la  cuadratura del círculo fue sin duda el más famoso entre  los  grandes  escritores  y  filósofos  griegos.  El  postulado  común a todos estos problemas, era la imposibilidad de  ser  resueltos  con  los  recursos  comunes  de  la  geometría  de  la  época,  mediante  líneas  y  círculos,  o  lo  que  es  lo  mismo,  con  la  única  utilización  de  una  regla  y  un  compás.   Ha de destacarse los nombres de algunos de los más  importantes  filósofos  y  matemáticos  de  la  cultura  griega, de los que existen referencias que los relacionan  con  este  problema,  y  de  los  que  posteriormente,  sus  obras  tendrían  una  gran  influencia  entre  destacados  personajes  de  las  Artes  y  las  Ciencias  durante  el  Renacimiento.      13

Anaxágoras (siglo V a. de C.) fue uno de los primeros  griegos en plantear el problema de conseguir, con el sólo  uso  de  la  regla  y  el  compás,  un  cuadrado  de  igual  área  del círculo dado.     Brisón de Heraclea (siglo V a. de C.) intentó realizar  la  cuadratura  mediante  la  inscripción  de  polígonos  regulares  en  el  círculo,  con  duplicación  indefinida  del  número  de  sus  lados,  dio  un  paso  más  al  considerar  de  forma  simultánea  los  polígonos  inscritos  y  los  circunscritos.     Hipócrates  de  Quíos  (siglo  V  a.  de  C.)  del  que  se  cuenta  que  era  un  comerciante  de  Atenas  que  se  convirtió en un hábil geómetra. Investigó la cuadratura  del  círculo,  y  aunque  no  encontró  la  solución,  consiguió  la  cuadratura  de  una  clase  particular  de  algunas  lúnulas,  especie  de  figuras  planas  limitadas  por  dos  arcos  de  círculo  de  radio  diferente,  con  la  convexidad  hacia el mismo lado.     Euclides  (330­275  a.C.)  fue  autor  de  los  Elementos,  un  conjunto  de  trece  libros  que  continúan  siendo  considerados como un libro de Geometría por excelencia.  Las  formulaciones  de  Euclides  sobre  la  concepción  de  una  geometría,  en  la  que  los  problemas  se  resuelven  a  través  del  trazado  de  las  figuras  con  la  regla  y  el  compás.  Trazar  una  línea  recta  desde  un  punto  a  otro  cualquiera,  tiene  el  significado  de  que  existe  una  única  recta  que  pasa  por  esos  dos  puntos,  cualesquiera  que  sean.  Consideraba  que  tratar  de  hallar  un  cuadrado  de  área  igual  a  la  del  círculo  dado,  era  imposible  de  resolver con el método de la regla y el compás.   14 

Arquímedes (287­212 a.C.) inventó un método para  obtener el número PI,  relación entre la longitud de una  circunferencia y su diámetro, con una aproximación que  utilizó para la medición de polígonos regulares, inscritos  y  circunscritos  a  un  mismo  círculo.  Algunas  de  sus  contribuciones  más  importantes  en  geometría,  fueron  las cuadraturas de superficies planas y curvas, tratando  de  buscar  soluciones  a  problemas  como  el  de  la  cuadratura del círculo y otras figuras curvilíneas”.    

Durante la época medieval, destaca la figura de un  humanista y escritor: Ramón Llull (Palma de Mallorca,  1235‐1315)  que  trató  el  problema  en  algunas  de  sus  obras,  de  una  forma  expresa  y  con  afirmaciones  que  parecen  sugerir  que  conocía  de  alguna  forma  la  solución.  Llull  fue  un  gran  erudito  en  muchos  campos  del  conocimiento  de  su  época,  además  de  persona  religiosa  y  viajera,  fue  considerado  también  como  conocedor  o  estudioso  de  los  secretos  de  la  alquimia.  Es  muy  probable  que  tuviera    a  documentos  o  enseñanzas  de  la  antigüedad,  donde  además  de  otros,  trataban sobre este problema ya clásico en su época.     “Llegó  a  proponer  en  sus  escritos  lo  que  consideró  como una solución propia, aunque más bien parece que  se  trataría  únicamente  de  formular  los  planteamientos  del problema, ocultando la forma de obtener la solución,  suponiendo que la hubiera llegado a conocer. Inspirado  precisamente  en  las  obras  de  Euclides,  Los  Elementos,  escribió dos monografías geométricas: “De Quadratura e  Triangulatura de Cercle” y “Liber de Geometría Nova et  Compendiosa”.     15

En  esta  última  obra,  aparecen  varias  series  de  extraordinarios  dibujos,  en  los  que  se  representan  diferentes figuras geométricas.   De  entre  todas  las  figuras,  destacan  dos  por  ser  especialmente significativas: La primera es la que Llull  denomina “figura plena”, constituida por un círculo, un  cuadrado  y  un  triángulo  que  comparten  el  mismo  centro  y  que,  según  el  propio  autor,  tienen  la  misma  área.    

 

Figura Plena de Llull. 

     

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La  segunda  de  las  figuras  está  compuesta  por  las  figuras  de  un  círculo  y  un  cuadrado  que  comparten  el  mismo  centro  y  con  la  expresión  “quadratura  cercle”  escrita en su interior. Aparece representado en otro de  los  capítulos,  en  el  que  Llull  hace  una  referencia  expresa a la solución del problema de la cuadratura del  círculo.  

  Figura de la cuadratura del círculo de Llull. 

  Como  se  ha  comentado,  estas  dos  figuras  forman  parte de unas series de dibujos que hacen referencia a  este  problema,  los  cuales  están  contenidos  en  el  manuscrito  1036,  de  los  fondos  de  Llull,  en  la  Biblioteca  Pública  de  Palma.  Dicha  obra  contiene  una  referencia  muy  específica  que  muestra  como  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo,  seguía  vigente 

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durante  la  época  medieval  y  fue  objeto  de  atención  y  estudio dentro de la disciplina de la Geometría.  La obra que se cita, junto con muchas otras obras  de  Ramón  Llull,  pueden  verse  en  la  página  web  de  la  Biblioteca  Virtual  del  Patrimonio  Bibliográfico  del  Ministerio de Cultura:   http://bvpb.mcu.es/ca/catalogo_imagenes/grupo.cmd?p osicion=1&path=11000998&forma=&presentacion=pagina.  

 

En  una  época  más  reciente  destaca  la  figura  de  Ferdinand  Lindeman  (1852­1939),  matemático  alemán  que demostró que era imposible la solución del problema  con regla sin graduar y compás,  ya que el número Pi no  es construible, por ser un número trascendente y con ello  llegó  a demostrar  dicha  imposibilidad  de  la  cuadratura  del círculo, aún cuando no fue absoluto en su afirmación,  y  lo  condicionó  expresamente  postulando  "mediante  el  álgebra o con la sola utilización de la regla y el compás”.     Con certeza queda evidenciado que fueron muchas  y  destacadas  las  personalidades  que  a  lo  largo  de  la  historia, mostraron su interés acerca de este problema,  en la creencia de poder encontrar la solución, o porque  llegaron a conocerla.   De  entre  todas  ellas,  destaca  una  por  ser  todo  un  símbolo de la genialidad: Leonardo da Vinci.            

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Leonardo cuadró el círculo.     

  Leonardo da Vinci 

 

 

De  entre  las  grandes  personalidades  que  han  destacado a lo  largo  de la Historia, en el campo de las  Artes y de las Ciencias, sobresale con fuerza la figura de  un genio.  Leonardo  da  Vinci.  (1452‐1519).  Nació  en  Vinci,  pequeño  pueblecito  entre  Florencia  y  Pisa.  Su  vida  transcurrió  entre  diversas  ciudades  y  estados  en  los  que  residió,  como  Florencia,  Milán,  Venecia,  Roma  y  Francia.   19

Su  formación  artística  abarca  numerosos  campos:  la  pintura,  la  escultura,  la  arquitectura,  la  óptica,  la  geometría,  las  ciencias  naturales,  la  anatomía  y  la  música.  Una  gran  parte  de  sus  obras  se  recogen  en  diversos  documentos  llamados  Códices,  así  como  en  numerosos  apuntes  realizados  en  libretas  y  hojas  sueltas, en los efectuaba las anotaciones y realizaba los  dibujos, siempre de forma manuscrita.  De entre los estudios dedicados a la arquitectura y  la  geometría,  existen  referencias  acerca  de  que  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo  ocupó  y  preocupó  a  Leonardo,  “quién  no  solo  estudió  formas  mecánicas  de  resolver  el  problema,  sino  que  llenó  numerosas libretas con anotaciones sobre cuadraturas".  De existir la solución de este problema, sin duda que él  fue capaz de resolverlo.   Como  referente  claro  y  preciso  de  la  mencionada  dedicación, destaca esta cita de Augusto Marinoni:     “El problema de geometría que absorbió a Leonardo  interminablemente  fue  la  cuadratura  del  círculo.  A  partir de 1504 en adelante, dedicó cientos de páginas de  sus  cuadernos  a  esta  cuestión  que  fascinó  a  su  mentor  Pacioli.  Mientras  que  estas  investigaciones  no  produjeron  apreciables  progresos  en  matemáticas,  Leonardo  creó  una  multiplicidad  de  complejos  y  preciosos diseños"     En  algún  momento,  Leonardo  llegó  a  declarar  haber  encontrado  la  solución  al  viejo  problema  de  la  cuadratura:    20 

 “La  noche  de  San  Andrés  encontré  la  solución  a  la  cuadratura  del  círculo,  cuando  se  acababa  el  candil,  la  noche y el papel en el que estaba escribiendo; lo concluí  al alba”    Leonardo  realizó  innumerables  bocetos  y  dibujos  recogidos  en  sus  famosos  Códices,  fruto  de  estudios  y  de investigaciones, sobre todas las disciplinas a las que  dedicó  su  interés  y  atención,  desde  la  naturaleza  y  la  anatomía  humana,  hasta  la  mecánica  y  la  ingeniería  militar. De entre todos sus dibujos, destaca uno porque  resulta  difícil  de  encuadrar  en  alguna  de  dichas  disciplinas.  Un  dibujo  que  generalmente  ha  sido  relacionado  con  la  arquitectura,  pues  refleja  una  parte  de  las  enseñanzas  que  aparecen  en  la  obra  del  arquitecto  romano  Vitruvio  (siglo  I  a.C.);  sin  embargo,  también  aparenta  ser  un  dibujo  sobre  anatomía  humana,  pero  también  pudo  haber  sido  realizado  por  Leonardo  con  otro objetivo más especifico, como sería el representar  en forma de enigma algún otro conocimiento de mayor  trascendencia.   Es el dibujo conocido como El Hombre de Vitruvio.                      21

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El Hombre de Vitruvio.   

   

 

El dibujo de El Hombre de Vitruvio, parece realizado  como  si  fuera  la  representación  de  un  enigma,  ya  que  contiene a la vez el problema y su solución.   23

 El  Hombre  de  Vitruvio  es  uno  de  los  dibujos  más  famosos  de  la  Historia.  Fue  realizado  en  1492,  sobre  una  hoja    de  papel  utilizando  una  pluma  y  tinta;  tiene  unas medidas de 34,3 x 24,5 centímetros y se conserva  en la Galería de la Academia de Venecia.   El  dibujo  representa  la  figura  de  un  hombre  desnudo,  con  los    superiores  e  inferiores  dibujados en dos posiciones diferentes, inscrito dentro  de  un  círculo  y  de  un  cuadrado,  trazados  de  tal  forma  que las tres figuras aparecen perfectamente encajadas  entre sí.   Las  figuras  geométricas  aparentan  haber  sido  trazadas  con  el  único  propósito  de  enmarcar  la  figura  del  hombre  y  se  representan  dibujadas  con  unas  medidas  adecuadas  para  dicha  finalidad,  sin  que  se  presuma  la  existencia  de  cualquier  otra  relación  aparentemente  distinta  entre  ellas.  Sin  embargo,  esa  relación  existe  y  como  se  verá,  está  perfectamente  definida, aunque muy bien disimulada.   Sobre  las  partes  superior  e  inferior  del  dibujo,  figuran  unas  anotaciones  que  describen  el  canon  de  proporciones  anatómicas  ideales  para  la  figura  de  un  hombre, según las definía Marco Vitruvio Polión (siglo  I  a.  de  Cristo),  arquitecto  e  ingeniero  militar  romano,  cuyos  escritos  fueron  recogidos  en  su  tratado  De  Architectura,  una  obra  que  está  compuesta  por  10  tomos,  referidos  a  conocimientos  sobre  la  teoría  y  la  práctica  de la arquitectura en la antigüedad clásica, en  los que destacan de forma primordial, la armonía en las  proporciones  y  las  medidas  que  debían  guardar  todas  las construcciones arquitectónicas.  

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Como se ha mencionado, dichas anotaciones  están  distribuidas  entre  las  partes  superior  e  inferior  del  dibujo y la descripción de su texto es la siguiente:   

  Texto en la parte superior.     

 

 “Vitruvio,  el  arquitecto,  explica  en  su  obra  sobre  Arquitectura  que  la  naturaleza  dispone  las  medidas  del  cuerpo humano de la siguiente manera: Una palma es la  anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro  palmas,  un  antebrazo  es  la  anchura  de  seis  palmas,  la  altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son  cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre.  Estas eran las medidas que usaba en sus edificios. Si abre  tanto  las  piernas  de  forma  que  su  altura  disminuya  en  1/14  y  extiende  los  brazos,  levantándolos  hasta  que  los  dedos medios estén a la altura de la parte superior de su  cabeza, el centro de los  extendidos estará en el  ombligo  y  el  espacio  que  comprenden  las  piernas  formará un triángulo equilátero.”      25

 

 

  Texto en la parte inferior. 

 

De  forma  centrada  y  bajo  la  línea  inferior  que  aparece  dibujada  de  forma  paralela  bajo  la  figura  del  cuadrado aparece la frase:    “La longitud de los brazos extendidos de un hombre  es igual a su altura”.     Y a continuación el resto del texto:    “La  distancia  entre  el  nacimiento  del  pelo  y  la  barbilla  es  un  décimo  de  la  altura  de  un  hombre,  la  altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la  altura de un hombre, la distancia entre el nacimiento del  pelo  a  la  parte  superior  del  pecho  es  un  séptimo  de  la  altura de un hombre, y entre la parte superior del pecho  y  la  parte  superior  de  la  cabeza,  una  sexta  parte,  la  altura  de  la  cabeza  hasta  el  final  de  las  costillas  es  un  cuarto de la altura de un hombre, la anchura máxima de  26 

los  hombros  es un  cuarto  de  la  altura de  un  hombre,  la  distancia  entre  el  codo  al  extremo  de  la  mano  es  un  quinto de un hombre, y entre el codo y la axila, la octava  parte,  la  longitud  de  la  mano  es  un  décimo  de  su  estatura;  el  inicio  de  los  genitales  marca  el  centro  del  hombre, la distancia entre la planta del pie y la base de  las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre  y  entre  la  base  de  la  rodilla  y  el  inicio  de  los  genitales  también la cuarta parte, la distancia entre la barbilla a  la  nariz  es  un  tercio  de  la  longitud  de  la  cara,  la  distancia  entre  el  nacimiento  del  pelo  y  las  cejas  es  un  tercio  de  la  longitud  de  la  cara,  la  distancia  entre  el  nacimiento del pelo y la oreja es un tercio de la longitud  de la cara.”   

A primera vista, se puede deducir que el propósito  de las citadas anotaciones, es el de expresar la relación  de proporciones que deben guardar las medidas de una  figura humana masculina, con el propósito de dibujarla  o de esculpirla. No obstante, también están expresando  una relación de proporciones que se pueden trasladar  a  las  figuras  geométricas  del  círculo  y  el  cuadrado,  ya  que algunas de ellas relacionan a ambas.     Conviene  señalar  que  en  el  texto  original  de  la  obra  de  Vitruvio,  hay  algunas  otras  frases  que  relacionan  claramente  la  figura  de  un  hombre  con  el  círculo o con el cuadrado y sin embargo, no figuran en  las anotaciones citadas, aunque son esas las relaciones  que precisamente utilizó Leonardo, reflejándolas en el  dibujo de una forma indudable.        27

Vitruvio cita lo siguiente:    “El  ombligo  es  el  punto  central  natural  del  cuerpo  humano.  En  efecto,  si  se  coloca  un  hombre  boca  arriba,  con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del  compás  en  su  ombligo  y  trazando  una  circunferencia,  esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los  pies.  La figura circular trazada sobre el cuerpo humano  nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide  desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida  resultante  será  la  misma  que  se  da  entre  las  puntas  de  los  dedos  con  los  brazos  extendidos;  exactamente  su  anchura  mide  lo  mismo  que  su  altura,  como  los  cuadrados que trazamos con la escuadra.”    También  destaca  de  una  forma  muy  evidente,  el  hecho  de  que  las  proporciones  que  figuran  en  dichas  anotaciones,  aparecen  señaladas  sobre  el  dibujo  mediante  unas  líneas  o  marcas  que  están  trazadas  sobre  la  figura  del  hombre.  Son  aquellas  marcas  o  líneas  que  aparecen  bajo  el  cuello,  sobre  los  hombros,  los codos, las muñecas, a la altura del pecho, en el pubis  y en las rodillas.  Existen  numerosas  citas  según  las  cuales,  Leonardo  declaró  haber  resuelto  el  problema  de  “la  cuadratura del círculo”. También es muy probable que  tuviera  a conocimientos mucho más antiguos a  su  época,  por  lo  que  no  resultaría  aventurado  pensar  que  la  solución  de  dicho  problema,  se  encuentra  de  alguna forma “oculto” en este dibujo.        28 

 

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   Las claves del Hombre de Vitruvio. 

  Hay problemas en los que para hallar la solución, es  preciso salirse de los límites que marca el enunciado del  propio problema.     En este caso, los límites aparentan estar marcados  por  el  propio  dibujo.  Las  dos  figuras  geométricas,  el  círculo  y  el  cuadrado,  no  están  trazadas  al  azar  para  enmarcar  en  ellas  la  figura  de  un  hombre  desnudo,  como  a  primera  vista  puede  aparentar,  sino  que  guardan  entre  sí  una  cuidadosa  relación  en  sus  proporciones  y  son  el  resultado  de  un  trazado  muy  definido  que  se  desarrolla  en  varias  fases.  Sobre  la  figura  masculina,  aparecen  señaladas  algunas  de  las  proporciones mediante las marcas o líneas que ya han  sido  mencionadas,  algunas  de  las  cuales  pueden  ser  interpretadas también a modo de claves.  La  figura  de  la  circunferencia  parece  enmarcar  a  todo  el  dibujo,  y  está  perfectamente  encajada  con  la  figura  del  cuadrado;  ambas  se  cortan  entre  sí  en  seis  puntos  diferentes  y  son  tangentes  en  un  punto  que  se  sitúa en la parte inferior de lo que sería el eje vertical  imaginario  que  divide  exactamente  por  la  mitad  a  las  citadas  figuras.  Son  estos  unos  puntos  de  intersección  que resultan cruciales para comprender la finalidad del  dibujo.  29

 

Cada  una  de  las  dos  figuras  geométricas  tiene  un  punto  como  centro  y  cada  uno  de  los  cuales  coincide  con puntos perfectamente señalados sobre la figura del  hombre. El centro de la circunferencia (a), coincide con  el  punto  dibujado  como  el  ombligo  y  el  centro  del  cuadrado  (b),  está  señalado  con  unas  marcas  sobre  la  pelvis.   Ambos centros están marcados sobre el mismo eje  vertical imaginario que ya se ha citado. Dichos centros  no  están  trazados  al  azar,  sino  que  guardan  entre  sí  una  distancia  que,  como  se  verá  más  adelante,  está  perfectamente  definida,  como  una  consecuencia  que  resulta  del  desarrollo  propio  del  dibujo,  en  las  diferentes  secuencias  que  han  de  ejecutarse  para  su  localización.  Un poco más abajo hay un tercer punto (c), situado  sobre el mismo eje vertical ya citado, exactamente en el  centro de la línea paralela dibujada bajo el lado inferior  del cuadrado. Este punto es una referencia que resulta  imprescindible  para  obtener  la  relación  que  guardan  entre sí las dos figuras geométricas.  Los  dos  puntos  (a  y  b)  tienen  una  transcendencia  muy especial, pues se corresponden con los centros de  lo que podrían definirse como dos circunferencias de  trazado.  Son  dos  circunferencias  que  no  aparecen  visibles en el dibujo, pero que resultan imprescindibles  para  el  trazado  completo  del  cuadrado  y  de  la  circunferencia,  tal  como  los  vemos  en  el  dibujo  de  Leonardo.   Los  tres  puntos  citados,  aparecen  señalados  en  la  imagen siguiente.    30 

 

 

    Los centros del dibujo a, b, y el punto c. 

 

  En  la  práctica,  ha  de  considerarse  que  no  son  circunferencias  en  el  sentido  específico,  sino  que  su  objetivo  sería  el  de  obtener  y  marcar  las  mediciones  que  se  hacen  con  un  compás,  para  ir  localizando  y  marcando  sucesivamente  otros  puntos  de  referencia,  precisos  en  el  desarrollo  completo  de  las  dos  figuras  geométricas,  y  cuyo  trazado  se  realiza  utilizando  exclusivamente “un compás y una regla sin graduar”.      31

Los  radios  de  las  dos  circunferencias  de  trazado,  son  (ac)  y  (bc)  respectivamente,  cuyas  medidas  se  relacionan  entre  sí  por  el  punto  (c)  para  obtener  el  radio de la circunferencia que se ve en el dibujo.     

 

 

  Las dos circunferencias de trazado y sus respectivos radios. 

La  distancia  desde  el  centro  (a)  hasta  el  punto  medio  (c)  de  la  línea  inferior,  corresponde  al  radio  de  la  primera  circunferencia  de  trazado,  y  su  finalidad  es  obtener  la  medida  del  lado  del  cuadrado,  mediante  unas  proporciones  específicas  en  relación  con  la  medida  del  radio  de  dicha  circunferencia  y  que  se  obtienen con la sola utilización de un compás.   32 

La  proporción  que  guarda  la  medida  del  radio  de  esta  circunferencia  respecto  a  la  medida  del  lado  del  cuadrado es de 6 ‐ 4, es decir, el radio (ac) multiplicado  por 6 y dividido por 4, da como resultado la medida del  lado del cuadrado.   Es  lo  mismo  que  decir  que  un  lado  del  cuadrado  tiene  la  misma  medida  que  1,5  radios  de  la  referida  circunferencia.   En  la  siguiente  imagen  se  muestra  la  primera  circunferencia  de  trazado  y  la  proporción  que  guarda  respecto al lado del cuadrado.      

 

  El lado del cuadrado es igual a 1,5 radios. 

 

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La  medida  desde  el  centro  (b)  hasta  el  punto  inferior  (c),  corresponde  al  radio  de  una  segunda  circunferencia  de  trazado,  cuyo  propósito,  como  se  verá  más  adelante,  es  precisamente  la  de  obtener  o  marcar  el  punto  (c).  Un  punto  que  será  la  referencia  que  servirá  para  obtener  el  radio  de  la  circunferencia  final tal como la vemos en el dibujo.    

 

    La medida que divide el cuerpo en 4 partes iguales.   

 

“La altura de la cabeza hasta el final de las costillas  es  un  cuarto  de  la  altura  de  un  hombre.  La  anchura  máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un  hombre. La distancia entre la planta del pie y la base de  34 

las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre  y  entre  la  base  de  la  rodilla  y  el  inicio  de  los  genitales  también la cuarta parte.”     Hay  que  resaltar  de  esta  imagen  que  la  segunda  circunferencia  de  trazado,  de  radio  (b‐c),  pasa  exactamente  por  8  puntos  intermedios,  coincidentes  con las 4 partes iguales en que se dividen cada uno de  los lados del cuadrado.    Entre  las  posibles  claves  que  se  ocultan  en  las  anotaciones  o  en  las  marcas  del  dibujo,  están  las  posiciones diferentes en que aparecen los brazos y las  piernas.  Unas  posiciones  que  representarían  a  unos  ejes imaginarios: La posición en cruz representaría los  ejes  horizontal  y  vertical,  perpendiculares  entre  sí.  La  posición en aspa, representaría los ejes transversales.   Unos  ejes  dibujados  sobre  la  circunferencia,  a  la  que  dividen  en  ocho  partes  iguales  y  podrían  estar  sugiriendo la figura geométrica de un octógono.  Otras  claves  son  aquellas  marcas  sobre  la  figura  del hombre que la dividen en ocho, seis y cuatro partes  iguales, respectivamente.   Unas  divisiones  que  pueden  tener  relación  con  la  medida del lado del cuadrado.             

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La  línea  que  aparece  marcada  a  la  altura  de  la  barbilla,  señalaría  una  división  del  cuerpo  en  ocho  partes iguales.   

  La medida que divide el cuerpo en 8 partes iguales.   

 

“La  altura  de  la  cabeza  hasta  la  barbilla  es  un  octavo de la altura de un hombre.”                

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Bajo  la  garganta  aparece  dibujada  otra  línea  horizontal  que  señala  una  división  del  cuerpo  en  seis  partes iguales.    

  La medida que divide el cuerpo en 6 partes iguales.   

 

“La distancia entre la parte superior del pecho y la  parte superior de la cabeza, es una sexta parte.”   

Sobre  el  tórax  y  las  rodillas,  y  en  sentido  vertical  en ambos antebrazos, figuran las marcas que dividen el  cuadrado  en  cuatro  partes  iguales,  tanto  en  sentido  horizontal y como vertical. 

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Con  las  citadas  referencias,  se  trazan  todas  las  líneas y cada uno de los lados del cuadrado, quedarían  divididos  en  cuatro  partes  iguales.  El  resultado  serían  los  16  pequeños  cuadrados  iguales  en  su  interior,  tal  como ya se ha mostrado en una imagen anterior.   Probablemente  una  de  las  principales  claves  que  contiene  el  dibujo,  sea  la  línea  dibujada  bajo  el  lado  inferior del cuadrado, de forma paralela al mismo y con  la misma medida. Presenta unas marcas o divisiones en  sus dos extremos que podrían indicar “medidas”.   El  centro  de  dicha  línea  (c),  es  el  punto  de  referencia  que,  como  se  ha  indicado,  relaciona  los  radios  de  las  dos  circunferencias  de  trazado,  imprescindibles  para  señalar  el  centro  y  obtener  el  radio de la circunferencia tal como la dibujó Leonardo.   

 

  La línea inferior del cuadrado y el punto medio (c). 

 

La  citada  línea  inferior,  presenta  además  otros  detalles. Está dividida en 4 partes iguales, de las que las  de los dos extremos están subdivididas a su vez con 6  marcas  cada  una,  lo  que  trasladado  a  toda  la  línea,  indicaría una subdivisión total de 24 marcas.     38 

 “Un  antebrazo  es  la  anchura  de  seis  palmas.  La  altura de un hombre son cuatro antebrazos. Un paso son  cuatro  antebrazos  y  veinticuatro  palmas  son  un  hombre”.     Las  citadas  marcas  no  parecen  corresponder  a  medidas  convencionales,  tales  como  centímetros  o  milímetros,  por  lo  que  sugieren  que  podría  ser  algún  tipo de escala, o una simple referencia.   Las anotaciones que realizó Leonardo en el dibujo,  no  transcriben  de  forma  textual  las  proporciones  humanas  tal  como  las  describió  el  arquitecto  Vitruvio,  sino  que  algunos  datos  fueron  añadidos  por  el  propio  Leonardo, como los resaltados en negrita:     “Si abre tanto las piernas de forma que su altura  disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos  hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte  superior  de  su  cabeza,  el  centro  de  los    extendidos  estará  en  el  ombligo  y  el  espacio  que  comprenden  las  piernas  formará  un  triángulo  equilátero”.   

Detalles como estos, hacen pensar que el propósito  del  dibujo  y  de  sus  anotaciones,  tienen  objetivos  distintos al simple hecho de reflejar unas proporciones  del  cuerpo  humano,  por  otra  parte  ya  conocidas  y  atribuidas a Vitruvio, para ser transmitidas a modo de  una simple ilustración, sino que sugieren ser algo más.    Leonardo  parece  transmitir  en  su  dibujo  la  existencia  de  unas  claves  que  han  de  interpretarse  convenientemente,  para  poder  llegar  a  conocer  el  “secreto”  que  parece  que  se  oculta  tras  el  mismo.  Un  39

“secreto” que puede tener relación con el problema de  la cuadratura del círculo y que al ser obra de un genio,  aparece  representado  en  forma  de  enigma,  pues  contiene  a  la  vez  el  problema  y  las  claves  para  comprender la solución.    “Leonardo  declaró  haber  alcanzado  la  cuadratura  del  círculo  y  es  muy  común  pensar  que  la  solución  de  Leonardo  a  este  enigma  geométrico,  se  encuentra  en  el  dibujo del Hombre de Vitruvio.”    La principal conclusión que se puede extraer de las  anotaciones que Leonardo hizo en el dibujo, es que las  proporciones anatómicas que señala para la figura del  hombre,  han  de  trasladarse  a  las  figuras  geométricas,  para establecer la relación de proporciones que ambas  han  de  guardar  y  poder  llegar  a  comprender  la  verdadera intención que tras ellas se oculta.  De  entre  todas  las  posibles  claves  que  se  han  reflejado en este capítulo, algunas resultan tan simples  que  no  deberían  considerarse  como  claves  por  sí  mismas. Probablemente algunos detalles o claves no se  hayan interpretado  adecuadamente, o incluso otras  se  habrán  pasado  por  alto.  Por  ello,  únicamente  se  han  a  tener en cuenta, aquellas cuya explicación entra dentro  de los objetivos que se persiguen en este trabajo.   Para  dicho  objetivo,  las  claves  que  se  destacan  como  primordiales  son:  las  dos  circunferencias  de  trazado y las proporciones de las medidas 4 ‐ 6 – 24.   Unas  proporciones  con  las  que  resultará  posible  desentrañar  el  dibujo  de  Leonardo  y  descubrir  el  “secreto” de la cuadratura del círculo.    40 

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El “secreto”.   

El  dibujo  de  El  Hombre  de  Vitruvio,  oculta  el  significado  de  algunas  claves  que  Leonardo  anotó  sobre  el  mismo  que,  convenientemente  interpretadas,  nos  muestran  como  Leonardo  se  las  ingenió  para  transmitir  de  una  forma  enigmática,  un  conocimiento,  “un  secreto”  que  significa  la  posibilidad  de  resolver  el  problema de la cuadratura del círculo. El dibujo oculta  ese  “secreto”  y  para  llegar  a  “descubrirlo”  basta  con  trazar  sobre  el  mismo,  algunas  de  las  líneas  sugeridas  entre  las  claves  que  se  han  descrito  en  el  capítulo  anterior.   Sobre  el  propio  dibujo  y  con  una  regla,  se  trazan  dos  líneas  horizontales,  en  las  dos  marcas  señaladas  sobre  la  figura  humana,  a  la  altura  del  pecho  y  a  la  altura  de  las  rodillas,  hasta  cortar  ambos  lados  del  cuadrado.   Dichas  líneas  se  unen  entre  sí  y  se  forma  un  rectángulo  sobre  la  parte  central  del  cuadrado  que  tiene una medida igual a la mitad del cuadrado.                 41

Sobre dicho rectángulo se traza una diagonal (d‐e)  formándose un triángulo rectángulo (tal como aparece  sombreado sobre la imagen).   Ambas figuras quedan sobre el dibujo tal como se  muestra a continuación:     

  El triángulo rectángulo sombreado es la clave. 

 

  Seguidamente con un compás, desde el centro del  cuadrado  (b)  y  con  un  radio  igual  a  la  mitad  de  la  hipotenusa (b‐d) del triángulo rectángulo, se traza una  circunferencia. Hay que resaltar un importante detalle,  y  es  que  la  circunferencia  pasa  por  los  cuatro  vértices  del rectángulo o los tres del triángulo.  42 

Y pasa también por el punto medio (c) situado en  la línea inferior bajo el lado del cuadrado.  Se traza una nueva línea (f‐g), entre los dos puntos  opuestos  donde  la  circunferencia  se  corta  con  los  dos  lados horizontales del cuadrado. Dicha línea es un eje o  diámetro,  perpendicular  a  la  hipotenusa  (d‐e),  con  el  que  los  dos  lados  del  rectángulo  se  cortan  en  los  puntos  (h)‐(i),  de  forma  que  dividen  dicho  eje  en  cuatro partes iguales.    El triángulo rectángulo sombreado sobre el dibujo  es  la  clave  que  muestra  el  “secreto”  que  permitirá  comprender  buscar  la  forma  de  resolver  el  problema  de la cuadratura del círculo.  El significado de esa clave, es mostrar la forma en  que  se  puede  realizar  el  trazado  de  un  número  indefinido de cuadrados a partir de una circunferencia,  y  cuyo  enunciado  se  podría  definir  como  sigue:  Si  desde  el  vértice  de  un  eje  de  una  circunferencia,  se  traza una línea recta hasta cortar el perímetro circular  en  un  punto  opuesto  cualquiera  y  desde  dicho  punto,  se traza otra línea que pasa por el vértice opuesto del  mismo  eje,  el  resultado  es  que  dichas  líneas  forman  siempre un ángulo de 90 grados.   Con  el  trazado  de  las  tres  líneas  indicadas,  se  forma  siempre  un  triángulo  rectángulo,  del  que  el  eje  de la circunferencia será la hipotenusa, la línea trazada  hasta cortar el perímetro circular será el cateto mayor,  y  la  línea  trazada  desde  ese  punto  hasta  el  vértice  opuesto del eje, será el cateto menor.  Si  se  considera  el  cateto  mayor  como  lado  de  un  hipotético  cuadrado  y  con  un  compás  se  mide  y  se  traslada  la  misma  medida  sobre  la  prolongación  del  cateto menor, se obtiene el segundo lado del cuadrado.   43

 Con  estos  dos  lados  como  referencias,  resultará  muy  sencillo  completar  dicho  cuadrado.  Siguiendo  siempre  los  pasos  tal  como  han  sido  detallados,  se  podrán  trazar,  a  partir  de  una  sola  circunferencia,  un  número  indefinido  de  cuadrados,  uno  de  los  cuales  deberá  tener  necesariamente  y  por  lógica,  la  misma  superficie que el círculo a partir del cual se traza.  Hay que resaltar que el trazado de todas las líneas  y  marcas,  tal  como  se  han  señalado,  se  realizan  con  la  sola utilización de un compás y una regla sin graduar.   Con  el  compás  se  realizan  las  mediciones  que  se  trasladan  para  señalar  los  puntos  necesarios,  y  con  la  regla  se  trazan  líneas  rectas  a  partir  de  los  puntos  previamente marcados.   Observando las mismas pautas, se pueden ejecutar  los  dibujos  utilizando  una  herramienta  informática  de  dibujo, sin necesidad de realizar ninguna medición.  Ante  esta  interpretación,  cabría  expresar  muchas  interrogantes, acerca de si Leonardo pudo haber tenido   a conocimientos, respecto a la forma de resolver  este  problema,  o  si  realmente  logró  resolverlo  por  sí  mismo y encontró la solución.   Lo  que  sí  es  seguro  es  que  conoció  la  forma  de  resolver  el  problema,  aunque  por  los  motivos  que  tuviera  la  mantuvo  oculta,  reflejando  tan  solo  y  de  un  modo  enigmático,  un  dibujo  en  el  que  únicamente  representó las claves para comprenderlo.  ¿Qué  razones  movieron  a  Leonardo  da  Vinci  para  no revelar un conocimiento como este, aparentemente  tan elemental y para mantenerlo en secreto?   ¿Quizás  porque  no  encontró  una  solución  con  la  exactitud precisa para considerarla como tal?  44 

Por  alguna  razón  reflejó  ese  conocimiento  en  forma  de  enigma,  realizando  un  dibujo  que  muestra  unas claves que hacen posible descubrir ese “secreto”,  quizás  con  el  aparente  propósito  de  que  cualquier  persona pudiera desentrañarlo y comprender cómo se  realiza su trazado, ya que en realidad, el famoso dibujo  puede  ser  considerado  también  como  la  solución  que  Leonardo dio al problema.  ¿Qué razones o circunstancias pudieron existir en  el  pasado,  para  que  un  conocimiento  como  este  permaneciera oculto con el paso de los siglos, como si  de un secreto sagrado se tratara?   

“Leonardo  tuvo    a  escritos  que  guardaban  secretos  y  conocimientos  de  la  antigüedad,  y  conocía  el  peligro que tenía revelar alguno de los secretos a los que  él  tuvo  ,  por  ello,  muchas  de  sus  anotaciones  particulares  y  algunas  de  sus  obras  públicas,  están  realizadas en una clave secreta que permite ocultar a la  vista general, la información que el artista plasma para  un  futuro  lector,  y  que  con  la  clave  indicada,  podrá  descifrar en su momento.”                         45

                                                                46 

6  

 

El triángulo rectángulo.    En  este  capítulo  se  presenta  una  serie  de  dibujos  elementales  que  muestran  algunas  relaciones  que  hay   entre  la  circunferencia,  el  triángulo  rectángulo,  el  rectángulo  y  el  cuadrado,  con  el  único  objetivo  de  verificar  como  a  partir  de  la  circunferencia  se  puede  obtener  un  número  indefinido  de  cuadrados,  con  la  sola  utilización  de  un  compás,  una  regla  y  sin  realizar  ninguna medición.  Se dibuja un triángulo rectángulo (a‐b‐c) y sobre la  hipotenusa  (a‐c),  se  marca  el  punto  medio  con  el  compás.    a

c

b

 

 

47

Tomando dicho punto como centro y con un radio  igual a la distancia hasta uno cualquiera de los vértices  del  triángulo,  se  traza  la  circunferencia  que  pasa  por  los tres vértices.      

a

c

b    

 

De  la  figura  así  obtenida,  se  resalta  el  detalle  de  que  la  hipotenusa  de  un  triángulo  rectángulo,  será  siempre  el  eje  de  una  circunferencia  (a‐c),  cualquiera  que  sea  la  medida  de  sus  catetos  (a‐b)  ó  (b‐c).    Este  detalle singular, aparentemente muy simple, verifica el  enunciado expuesto en el capítulo anterior.   Cualquier línea trazada desde el vértice de uno de  sus ejes o diámetros, hasta cortar el perímetro circular  en un punto y desde dicho punto se traza otra línea que  pase por el vértice opuesto del mismo eje, ambas líneas  forman siempre un ángulo de 90 grados.       48 

El rectángulo. 

  Continuando  con  el  dibujo  anterior,  desde  el  vértice (b) formado por los dos catetos, se traza la línea  que  pasa  por  el  centro  de  la  circunferencia,  hasta  cortarla  en  un  punto  opuesto  (d),  el  cual  marca  el  vértice  por  el  que  se  trazan  los  otros  dos  catetos  opuestos, con el resultado de un rectángulo.      

a

d

b

c

    Como  se  puede  deducir  de  este  dibujo,  en  un  rectángulo,  cualesquiera  que  sean  las  medidas  de  sus  lados,  se  trazan  las  dos  diagonales,  se  toma  como  centro  el  punto  donde  se  cortan  y  con  un  radio  igual  hasta  uno  cualquiera  de  los  vértices,  se  traza  una  circunferencia  que  pasa  por  los  cuatro  vértices  del  rectángulo.  Esta  es  una  característica  que  se  da  igualmente en el cuadrado.   49

El cuadrado. 

  Continuando con la figura del rectángulo anterior,  con el compás se toma la medida del lado mayor (b‐a),  y se traslada a la línea prolongada del lado menor (b‐c)  con lo  que se obtiene el segundo lado de un cuadrado  (b‐a’).  De la misma forma y sobre la línea prolongada del  lado  opuesto  (a‐d),  se  realiza  el  mismo  trazado  y  se  obtiene  el  tercer  lado  (a‐b’),  completándose  el  cuadrado con la línea que une los puntos (b’‐a’).     

a

d

b'

b

c

a'

        50 

 

Del resultado final cabe resaltar un detalle sobre la  importancia que tiene la línea o eje (b‐d) que se traza  desde  el  vértice  formado  por  el  triángulo  rectángulo,  pasa por el centro y marca un punto opuesto (d) en la  circunferencia.   Dicho  punto  (d)  es  una  referencia  que  resulta  imprescindible  para  completar  los  lados  de  cualquier  cuadrado,  cuando  se  utiliza  únicamente  un  compás  y  una regla sin graduar.   De esta forma tan elemental se puede comprender  como  se  ha  de  trazar  cualquier  cuadrado  a  partir  de  una  circunferencia  y  uno  cualquiera  de  sus  ejes  o  diámetros.  Como  conclusión,  es  importante  comentar  la  relación  que  existe  entre  todas  estas  figuras  geométricas. Las figuras del círculo, del cuadrado y del  triángulo, en este caso un triángulo rectángulo, son las  figuras  que  fueron  mencionadas  por  personajes  que  destacaron  en  el  estudio  de  la  Geometría  en  otras  épocas y que, como en el caso de Ramón Llull, dejaron  constancia  en  alguna  forma  sobre  los  conocimientos  que  tenían  acerca  del  problema  de  la  cuadratura  del  círculo.                      51

                                                                52 

7  

 

La solución lógica.    Aquellos  que  postularon  este  milenario  problema,  sin  duda  conocieron  la  forma  de  resolverlo.  De  su  enunciado  debería  deducirse  que  se  trata  de  un  problema esencialmente de dibujo geométrico.    En  el  capítulo  anterior  hemos  visto  como  resulta  muy sencillo obtener cualquier cuadrado partiendo de  una  circunferencia.  Basta  con  trazar  una  línea  recta  desde  el  extremo  de  un  eje  o  diámetro  cualquiera,  hasta  cortar  la  circunferencia  en  un  punto  y  desde  dicho  punto,  se  traza  otra  línea  que  pase  por  el  punto  opuesto del mismo eje. Ambas líneas forman, junto con  el citado eje, un triángulo rectángulo a partir del cual se  construye un rectángulo o un cuadrado.   Con  este  conocimiento  tan  elemental,  el  siguiente  objetivo  consistiría  en  conocer  las  diferentes  formas  con  las  que  se  puede  trazar  un  número  indefinido  de  cuadrados, para encontrar aquél cuya superficie ha de  ser igual a la del círculo, tratando con ello de resolver  el  histórico  problema,  cuya  solución  debería  ser  posible  encontrar,  cuando  menos  desde  una  hipótesis  teórica.   Para  demostrarlo  de  una  forma  lógica,  basta  con  dibujar  a  partir  de  una  circunferencia  los  dos  cuadrados  muy  específicos:  El  cuadrado  inscrito  y  el  circunscrito.   53

Para  ello,  se  trazan  dos  ejes  o  diámetros  de  la  circunferencia,  uno  vertical  y  otro  horizontal,  ambos  perpendiculares  entre  sí.  Uniendo  los  cuatro  vértices  de  ambos  ejes,  se  obtiene  un  cuadrado  inscrito.  A  continuación,  con  la  misma  medida  de  lado  que  la  de  los ejes o diámetros, se traza el cuadrado circunscrito.   El  razonamiento  resulta  ser  muy  simple:  El  cuadrado inscrito tiene una  superficie inferior a  la del  círculo, mientras que la del circunscrito es mayor.   En  consecuencia  y  como  se  muestra  en  este  capítulo, desde el vértice superior del eje vertical hasta  cualquier  punto  situado  sobre  el  perímetro  circular  comprendido entre las medidas de los lados de ambos  cuadrados,  se  pueden  trazar  un  número  ilimitado  de  líneas,  cuyas  medidas  irán  aumentando  de  forma  progresiva  desde  la  medida  del  lado  del  cuadrado  menor,  hasta  la  del  mayor.  De  dicha  progresión,  con  toda lógica, al menos una de las líneas deberá tener la  medida  que  el  lado  de  un  cuadrado,  cuya  superficie  será igual a la del círculo dado.   En los siguientes dibujos se muestra con detalle el  trazado de lo expuesto.                        54 

1.  Se  traza  una  circunferencia  y  se  marcan  los  puntos  por  los  que  se  trazan  los  ejes  horizontal  y  vertical,  perpendiculares  entre  sí.  Se  trazan  las  líneas  que unen los cuatro vértices de los ejes y se obtiene el  cuadrado  inscrito  cuyo  lado  tiene  la  medida  (a–b)  y  cuya  superficie  es,  con  toda  evidencia,  inferior  a  la  superficie del círculo.            

a

b

 

 

La superficie del cuadrado inscrito es menor que la superficie del círculo. 

   

 

    55

2. Con la misma medida que el diámetro (a‐c) como  lado,  se  traza  el  cuadrado  circunscrito,  cuya  superficie  es mayor que la superficie del círculo.     

a

b

c  

 

La superficie del cuadrado circunscrito es mayor que la del círculo.   

     

      56 

3. Sobre el perímetro circular situado entre los dos  puntos  señalados  como  b  y  c,  correspondientes  a  los  extremos  de  lados  del  cuadrado  inscrito  (a‐b)  y  los  del  cuadrado  circunscrito  (a‐c),  existe  una  hipotética  línea  (a‐x)  que  trazada  desde  el  punto  superior  del  eje  vertical  (a),  hasta  un  punto  (x),  situado  en  el  citado  perímetro  circular  (b‐c),  tendrá  por  lógica,  la  misma  medida que el lado de un cuadrado cuya superficie será  igual a la del círculo dado.      

a

b

x c    

 

La superficie de un cuadrado con lado (a­x) es igual a la del círculo. 

57

4. Una vez trazada esa primera línea (a‐x), que sería  el  primer  lado  de  un  cuadrado,  el  resto  se  completaría  como sigue:   Se  traza  otra  línea  desde  el  punto  (x)  pasando  por  el  punto  (c)  prolongándola.  Con  el  compás,  se  toma  la  medida  del  primer  lado  (x‐a)  y  se  traslada  sobre  la  prolongación  de  la  línea  (x‐c),  con  lo  que  se  obtiene  el  segundo lado del cuadrado.   Desde  el  vértice  inferior  (x)  se  traza  la  línea  que  pasa por el centro de la circunferencia, hasta marcar un  nuevo punto (d) sobre la misma.   

 

a d

b

90

x c

  58 

 

5.  Desde  el  vértice  superior  (a)  y  pasando  por  el  punto  (d),  se  traza  la  línea  a  la  cual  se  traslada  con  el  compás,  la  misma  medida  del  lado  inicial  (a‐x),  formando el tercer lado del cuadrado.   Finalmente, se unen los dos puntos extremos de los  lados  anteriores,  trazando  el  cuarto  lado,  con  el  que  queda completado el cuadrado.     

a d

b

x

90º c

 

  El cuadrado trazado a partir del círculo. 

 

 

           

59

 Con un razonamiento tan elemental como este, se  ha mostrado una hipótesis con la cual el problema de la  cuadratura  del  círculo,  si  bien  fue  demostrado  matemáticamente  que  resulta  imposible  de  resolver,  aparentemente si puede tener una solución geométrica  que, al menos por lógica, resultaría en teoría posible.   Quedaría finalmente por determinar cómo o de qué  forma, se podrá trazar esa primera línea del lado de un  cuadrado,  cuya  superficie  habrá  de  ser  igual  a  la  del  círculo  y  en  consecuencia,  debería  ser  la  solución  que  resuelva el problema. Esto es lo que se planteará en los  próximos capítulos.   Planteado  de  una  forma  muy  elemental,  si  por  un  punto  pasan  un  número  infinito  de  líneas  rectas,  por  dos puntos únicamente pasa una línea.  En  base  a  ello  y  partiendo  siempre  de  un  punto  conocido (a), situado en el vértice de un eje cualquiera  de  una  circunferencia,  es  necesario  encontrar  un  segundo punto por el que trazar la línea buscada. Un  punto  que  deberá  estar  situado  a  lo  largo  de  la  hipotética  línea  (a‐x),  o  en  su  prolongación.  Dentro  o  fuera del círculo.  Lógicamente, para encontrar dicho segundo punto,  habrá  que  localizar  el  trazado  de  otras  dos  líneas,  rectas  o  curvas,  a  partir  de  otros  puntos  previamente  señalados en el círculo, de forma que se corten entre sí  exactamente  en  el  punto  buscado.  El  número  de  posibilidades  que  existen  para  el  trazado  de  esas  dos  líneas o para encontrar dicho punto, son prácticamente  infinitas.   Evidentemente, para afirmar que se ha resuelto el  problema,  es  necesario  conocer  de  forma  previa,  el  trazado  de  las  líneas  que  se  cortan  en  ese  segundo  60 

punto,  por  donde  se  debe  trazar  el  primer  lado  del  cuadrado,  es  decir,  que  una  vez  se  encuentre  la  solución,  se  podrá  realizar  el  dibujo  cuantas  veces  se  desee,  con  regla  y  compás,  sin  necesidad  de  realizar  ninguna medición.   Algo semejante a un problema de adivinanza.    

 

 

 

Imagen de la solución lógica al problema de la cuadratura del círculo.                   

        61

  62 

                                                               

8  

 

El cuadrado del dibujo de Leonardo.    Conforme  la  tradición  señala  desde  Arquímedes,  para  encontrar  los  vértices  del  cuadrado  a  lo  largo  del  perímetro  circular,  las  operaciones  de  diseño  o  trazo,  nunca habrían de ser más de tres.     Tal  como  ha  quedado  reflejado  en  el  capítulo  anterior,  es  preciso  buscar  un  segundo  punto  para,  trazar la primera línea del lado de un cuadrado; es esta  una  operación  que  ha  de  hacerse  a  partir  de  otros  puntos  que  son  marcados  en  la  circunferencia,  de  una  forma  lógica  o  natural,  como  por  ejemplo,  a  partir  de  los ejes o de otras semicircunferencias.   Como ya se ha hecho constar, son casi infinitas las  formas  posibles  de  realizar  un  dibujo  con  estas  características,  pero  en  este  primer  ejemplo,  se  va  a  trazar  un  cuadrado  que  guarda  una  relación  especial  de  proporciones,  con  respecto  a  la  circunferencia  a  partir de la cual se va a trazar.   Son las mismas proporciones que se reflejan en el  resultado  final  del  trazado  de  las  figuras  geométricas  del famoso dibujo de Leonardo.         

63

1. Con el compás se traza una circunferencia y con  la  regla  se  traza  una  línea  que  pasa  por  el  centro,  un  diámetro o eje; en este supuesto es el eje vertical.   Con el compás algo más abierto que la medida del  radio  y  desde  los  puntos  superior  e  inferior  de  dicho  eje,  se  marca  el  punto  medio  a  un  lado  de  la  circunferencia,  desde  el  cual  y  pasando  por  el  centro,  con la regla se traza la línea del eje horizontal.  Con  la  abertura  del  compás  igual  a  la  medida  del  radio  y  desde  los  dos  puntos  exteriores  del  eje  horizontal,  se  marcan  sobre  la  circunferencia  dos  puntos  en  la  parte  superior  e  inferior.  Se  trazan  las  líneas  que  unen  dichos  puntos  entre  sí  y  que  marcan  los puntos medios (d1) y (d2), en cada una de las dos  mitades del eje horizontal.      

d1

d2

  El eje horizontal queda dividido en cuatro partes iguales.       

64 

 

2.  Desde  el  punto  superior  del  eje  vertical  (a),  y  pasando  por  el  punto  medio  (d1)  del  eje  horizontal  izquierdo, con la regla se traza una línea hasta cortar la  circunferencia en un punto (x).   Dicha línea es el primer lado (a‐x) de un cuadrado.  Desde  el  nuevo  punto  marcado  (x)  y  pasando  por  el punto inferior del eje vertical (c), se traza otra línea  prolongándola más allá de dicho punto.   Desde el vértice (x) que forman ambas líneas, con  el compás se toma la medida del primer lado (x‐a) y se  traslada a la nueva línea, formando el segundo lado del  cuadrado.     

a

d1

d2

x c

  Primer y segundo lados del cuadrado   

 

65

3.  Desde  el  punto  inferior  del  eje  vertical  (c)  y  pasando por el punto medio (d2) marcado sobre el eje  horizontal  derecho,  se  traza  una  línea  hasta  marcar  el  punto donde se corta con la circunferencia (y).   El  mismo  punto  (y)  se  puede  marcar  igualmente  trazando la línea desde el vértice (x) y que pasa por el  centro de la circunferencia.       

a y d1 d2 x c  

  La línea desde (x) pasa por el centro marcando el punto (y). 

 

   

4.  Desde  el  punto  superior  del  eje  vertical  (a)  y  pasando por el punto (y) se traza otra línea prolongada  66 

más  allá  de  dicho  punto,  a  la  cual  se  traslada  con  el  compás  la  misma  medida  del  lado  inicial  (a‐x),  obteniendo así el tercer lado del cuadrado.   Finalmente, se traza la línea que une los extremos  de los lados segundo y tercero, con la cual se completa  el cuadrado.     

a y d1 d2 x c

         

  El cuadrado queda completado. 

 

  67

Las dos líneas que pasan por los puntos medios del  eje  horizontal  (d1  y  d2)  del  dibujo  anterior,  son  parte  de  un  rectángulo  que  se  forma  y  que  tiene  la  misma  proporción, respecto a la circunferencia, al que aparece  en la siguiente imagen del dibujo de Leonardo.     

 

El cuadrado del dibujo de Leonardo.               

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Partiendo del dibujo tal como quedó en el punto 4,  se traslada la circunferencia hasta hacerla coincidir con  el  mismo  centro  que  el  del  cuadrado  y  el  resultado  es  que  ésta  se  corta  con  los  lados  del  cuadrado  en  8  puntos,  exactamente  aquellos  que  marcan  la  cuarta  parte de cada uno de los lados.   Trazando  las  líneas  que  unen  cada  uno  de  esos  ocho  puntos,  con  los  puntos  de  sus  lados  opuestos,  el  cuadrado  quedará  subdividido  en  16  pequeños  cuadrados iguales.       

  d2

  d1

 

 

La circunferencia y el cuadrado trazados desde el mismo centro.         

69

La relación de proporciones existente entre ambas  figuras, es que el radio de la circunferencia, es igual a la  distancia  desde  el  centro  del  cuadrado,  hasta  uno  cualquiera  de  los  ocho  puntos  que  marcan  una  cuarta  parte de sus lados.   El  dibujo  final  resulta  tener  la  misma  proporción  que  se  da  entre  el  cuadrado  del  dibujo  de  Leonardo  y  una  de  las  circunferencias  de  trazado,  cuyo  propósito  se mostrará en el siguiente capítulo.                                                   70 

9  

 

La solución de Leonardo da Vinci.    “Y  yo  cuadro  el  círculo,  excepto  una  porción  tan  minúscula  como  el  intelecto  sea  capaz  de  imaginar,  es  decir, como el punto visible”.     Leonardo da Vinci resolvió el antiguo problema de  la cuadratura del círculo, según el postulado original:     “A  partir  de  un  círculo  construir  un  cuadrado  que  tenga  la  misma  superficie,  sólo  con  el  empleo  de  un  compás y una regla sin graduar”.    El dibujo de El Hombre de Vitruvio aparenta estar  hecho  con  un  propósito  enigmático,  como  si  de  una  adivinanza se tratara, o cuyo objetivo fuera ocultar algo  que  únicamente  aquellos  que  sepan  interpretarlo  puedan llegar a comprenderlo.   Sin  embargo,  dicho  dibujo  representa  mucho  más  que  un  enigma  que  espera  ser  desvelado:  Es  una  solución  que  el  genio  dio  al  problema,  puesto  que  continuando  el  dibujo  que  vemos  de  las  dos  figuras  geométricas,  únicamente  falta  por  trazar  el  cuadrado  objeto  de  la  solución,  para  lo  cual,  los  puntos  necesarios  por  los  que  se  trazarán  las  líneas  de  sus  cuatro  lados,  están  claramente  marcados,  ya  que  son  algunos de los puntos en los que la circunferencia y el  cuadrado se cortan entre sí.      71

En  este  capítulo  se  desarrollan  a  lo  largo  de  tres  fases  consecutivas,  varias  series  de  dibujos  que  muestran  paso  a  paso,  la  forma  en  que  Leonardo  da  Vinci realizó el trazado de las dos figuras geométricas,  la  del  cuadrado  primero  y  la  circunferencia  después,  perfectamente  encajadas  entre  sí,  de  tal  forma  que  se  marcan  sobre  la  última,  los  puntos  por  los  que  se  trazarán  las  líneas  del  cuadrado  que  constituye  la  solución buscada.  Las  series  de  dibujos  que  se  representan  a  continuación,  han  sido  realizados  con  un  programa  informático de dibujo y cada una de las citadas fases, se  realiza  mediante  la  sucesión  de  circunferencias  o  líneas,  sin  ninguna  medición,  ya  que  todos  los  dibujos  se obtienen de la misma forma que si el desarrollo del  dibujo  se  realizaría  manualmente,  utilizando  solo  un  compás y una regla.                                72 

Primera fase.    En  la  primera  fase  desarrolla  el  trazado  del  cuadrado  que  podemos  ver  en  el  dibujo  de  Leonardo,  que se obtiene a partir de una primera “circunferencia  de  trazado”  que  es  la  utilizada  como  punto  de  partida  para  obtenerlo  de  acuerdo  con  una  especial  relación   de las proporciones de ambas figuras.  Unas  proporciones  que  están  basadas  en  el  texto  escrito  en  la  parte  superior  del  citado  dibujo,  donde  aparecen claramente señaladas. Es el párrafo que hace  referencia a la proporción 4 ‐ 6 ‐ 24.     “Vitruvio,  el  arquitecto,  explica  en  su  obra  sobre  arquitectura  que  la  naturaleza  dispone  las  medidas  del  cuerpo humano de la siguiente manera: 4 dedos forman  1  palma,  4  palmas  son  1  pie,  6  palmas  son  un  codo  y  4  codos son la altura de un hombre. Y 4 codos forman un  paso, y 24 palmas son un hombre.”     El significado es la proporción en las medidas que  deben  guardar  los  lados  del  cuadrado,  respecto  del  radio  de  esa  primera  circunferencia  de  trazado.  La  medida  de  la  suma  de  los  4  lados  del  cuadrado  tiene  que ser igual a la medida de la suma de 6 radios de la  circunferencia.   Con  la  referida  proporción,  la  medida  de  un  lado  del cuadrado debe ser igual a la medida de un radio y  medio, o igual a la medida de las tres cuartas partes del  diámetro.       73

1.  A  partir  de  un  punto  (x)  como  centro,  con  el  compás  se  traza  una  circunferencia  y  sobre  ella  un  diámetro o eje vertical.   Para  obtener  el  lado  del  cuadrado  con  la  proporción  anteriormente  referida,  se  marca  el  punto  medio (h1) del radio, en la parte superior del diámetro,  de forma que la distancia (h1‐h2) es igual a un radio y  medio.   Esa  es  la  distancia  igual  a  la  medida  del  lado  del  cuadrado que se va a trazar.     

h1

x

h2      

74 

 

2.  Sobre  el  eje  vertical  y  desde  cada  uno  de  los  puntos  (h1)  y  (h2),  con  el  compás  se  marca  el  punto  medio (b) que será el centro del cuadrado.   Desde  dicho  punto  (b),  con  el  compás,  se  toma  la  medida  igual  a  la  mitad  del  lado  (b‐h1),  con  la  cual  y  desde  los  puntos  externos  de  ambos  ejes,  se  van  marcando sucesivamente los cuatro vértices, desde los  cuales se trazan las líneas que unen sus extremos hasta  completar el cuadrado.     

h1 x b

h2   El punto (b) es el centro del cuadrado.   

 

         

 

75

Segunda fase.    Esta  fase  consiste  en  localizar  el  centro  de  la  circunferencia que aparece en el dibujo de Leonardo.    3.  Una  vez  se  ha  trazado  el  cuadrado,  utilizando  siempre  el  compás,  se  marcan  los  puntos  medios  de  cada  uno  de  sus  lados  y  a  continuación  se  marcan  los  puntos  intermedios,  de  forma  que  cada  uno  de  los  lados queden divididos en cuatro partes.   Se trazan las líneas que unen dichos puntos con los  opuestos  entre  sí,  de  forma  que  el  cuadrado  quedará  subdividido  en  16  pequeños  cuadrados  iguales,  tal  como se muestra en la siguiente figura.   

h1

x b

h2  

76 

4.  Con  el  compás  y  desde  el  centro  del  cuadrado  (b), se toma como radio la medida hasta uno cualquiera  de los ocho puntos marcados en los lados del cuadrado.   Desde el centro (b) se traza una circunferencia, la  cual marca un punto (c) sobre la parte inferior del eje  vertical  prolongado.  Es  la  “segunda  circunferencia  de  trazado”.  Este nuevo punto (c) marca la distancia hasta una  línea  que  si  se  traza  paralela  bajo  el  lado  inferior  del  cuadrado, resulta idéntica a la que aparece en el dibujo  de Leonardo.     

h1 x b

h2 c  

 

 

La segunda circunferencia de trazado marca el punto (c). 

77

5. Con el compás, se toma la medida del radio de la  primera “circunferencia de trazado” (x–h2).  Desde  el  punto  (c)  como  centro,  se  traslada  la  medida  del  radio  sobre  el  eje  vertical,  marcando  un  nuevo  punto  (a),  situado  entre  el  centro  de  la  circunferencia inicial (x) y el centro del cuadrado (b).   Este punto (a) es el centro de la circunferencia que  culmina el dibujo de Leonardo, en lo referido a las dos  figuras geométricas.    

 

h1 x a b

h2 c

 

78 

 

  El punto (a) es el centro de la circunferencia final. 

 

6.  El  radio  se  obtiene  tomando  con  el  compás  la  distancia  desde  (a)  hasta  el  punto  (h2)  donde  el  eje  vertical se corta con el lado inferior del cuadrado.  Con dicha medida (a‐h2) se traza la circunferencia  que es tangente al cuadrado en el punto inferior del eje  vertical  y  que  completa  el  trazado  de  las  dos  figuras  geométricas del dibujo de Leonardo.   

h1 x a b

h2 c   La circunferencia con radio (a­h2) es la del dibujo de Leonardo.   

 

La  imagen  final  muestra  la  circunferencia  y  el  cuadrado,  las  dos  circunferencias  de  trazado  y  sus  respectivos radios.  79

Tercera fase.    En esta fase culmina el trazado del cuadrado cuya  superficie es igual a la del círculo del dibujo.   Es  la  parte  que  falta  para  descubrir  la  que  podría  ser la “pista” que dejó Leonardo Da Vinci, ocultando un  “secreto”  que  significa  comprender  como  se  puede  buscar  la  solución  al  problema  de  la  cuadratura  del  círculo.  El  objetivo  del  dibujo,  una  vez  eliminadas  las  dos  circunferencias de trazado, es marcar los cuatro puntos  de  intersección  entre  la  circunferencia  y  el  cuadrado,  situados de forma opuesta entre sí, en cada una de las  dos mitades en que las divide el eje vertical.   Son los puntos (d1 ‐ d2) y (d3 ‐ d4)).    d d2

d3 x a b d1

d4 h2 c

 

  Las dos figuras geométricas del dibujo de Leonardo. 

80 

7.  El  trazado  del  cuadrado  final  objeto  del  problema, puede ser realizado indistintamente sobre la  mitad izquierda o sobre la derecha, ya que únicamente  son necesarios dos de los puntos opuestos.   Continuando  con  el  trazado,  se  utilizarán  los  dos  puntos  opuestos  (d1  ‐  d2),  por  los  que  se  trazan  las  líneas que han de formar el cuadrado final.  Para  ello,  desde  el  punto  superior  del  eje  vertical  (d)  de  la  circunferencia,  con  la  regla  se  traza  la  línea  hasta el punto de intersección (d1).   Es el primer lado del cuadrado.   

d d2 x a b d1 h2 c   La línea (d­d1) es el primer lado del cuadrado. 

 

81

8.  Desde  este  punto  (d1)  y  pasando  por  el  punto  inferior  del  eje  (h2),  se  traza  una  línea  prolongándola  más allá de dicho punto.  Tomando con el compás la medida del primer lado  (d1‐d), se traslada a esta segunda línea.   Es el segundo lado del cuadrado.     

d d2 x a b d1 h2 c

  82 

       

 

9. Desde el punto (d1) y pasando por el centro de  la circunferencia (a), se traza una línea para marcar el  punto  opuesto  que  coincide  con  el  otro  punto  de  intersección (d2) entre la circunferencia y el cuadrado.  Desde  el  punto  superior  del  eje  vertical  (d)  y  pasando por el punto marcado (d2), se traza una línea  prolongada,  a  la  que  con  el  compás  se  traslada  la  misma medida del primer lado (d‐d1). Es el tercer lado  del cuadrado.   Finalmente, se traza la línea que une los extremos  de  estos  dos  últimos  lados,  con  lo  que  se  completa  el  cuadrado que tiene la misma superficie que el círculo.     

d d x a b d h c   El cuadrado trazado a partir del dibujo de Leonardo 

 

83

El dibujo de Leonardo Da Vinci representa la clave  que  posibilita  encontrar  la  solución  que  resuelve  el  problema de la cuadratura del círculo.   Con  el  trazado  del  dibujo  quedan  marcados  sobre  el  círculo  los  puntos  de  intersección  con  el  cuadrado,  necesarios  para  obtener  el  cuadrado  objeto  de  la  solución. Es el resultado del ensamblaje perfecto entre  un  cuadrado  y  un  círculo  que  han  sido  trazados  con  una proporcionalidad perfectamente calculada.  Un  trazado  que  se  puede  realizar  en  su  conjunto  de forma manual, utilizando un compás y una regla sin  graduar.     

 

84 

  Fotografía del dibujo realizado manualmente.     

 

Medidas del dibujo y cálculos.    El  dibujo  ha  sido  realizado  con  un  programa  informático,  del  cual  se  obtienen  unas  medidas  con  gran precisión.   El  siguiente  cuadro  refleja  dichas  medidas  y  los  cálculos realizados.     

   

 

La  circunferencia  del  ejemplo,  tiene  un  radio  de  unos 6,8 centímetros, una medida aproximada a la del  dibujo  real.  Entre  los  datos  figura  la  medida  calculada  del  lado  del  cuadrado  exacto  (121,3808310),  cuya  superficie sería igual a la del círculo del ejemplo.   La medida del lado que se obtiene con el dibujo de  Leonardo,  difiere  tan  solo  en  0,0976  milímetros  respecto  a  la  medida  que  resultaría  ser  esa  solución  matemática exacta.   El  porcentaje  de  error  calculado  sobre  la  medida  exacta del lado, es de un 0,08% por defecto.    

85

La  diferencia  de  las  superficies  calculadas,  da  un  resultado  muy  apreciable,  de  unos  24  milímetros  cuadrados,  demasiado  grande  como  para  considerar  que fuera la solución del problema, de la que no cabría  ninguna discusión.   Sin embargo, y aunque “los números no cuadren”,  se puede valorar que la solución de Leonardo da Vinci,  además de ser genial e imaginativa, da un resultado de  gran aproximación, tanto como para considerar que el  mismo  dibujo  realizado  de  forma  manual,    fuera  una  solución válida.   Es una diferencia ínfima si se considera que, tanto  el trazado como las mediciones, resultan imposibles de  realizar con la misma precisión, en un dibujo realizado  manualmente sobre una hoja de papel, con un lápiz, un  compás y una regla sin graduar.   De cualquier forma, la afirmación de que esta no es  la  solución  exacta,  básicamente  se  puede  argumentar  en  razón  a  que  el  dibujo  haya  sido  también  realizado  con un programa informático.                                   

  86 

El “secreto” de El Hombre de Vitruvio.   

 

 

 

El cuadrado completa la solución del “enigma”. 

Es  un  “secreto”  muy  bien  guardado  en  un  dibujo  genial,  en  el  que  únicamente  faltan  por  trazar  las  cuatro  líneas  de  un  cuadrado  que  significa  la  solución  del “enigma” y permite comprender la intencionalidad  real del dibujo.   Con seguridad se podría afirmar que Leonardo da  Vinci conoció la solución, o que resolvió el problema de  la cuadratura del círculo.   Sin  embargo,  únicamente  legó  para  la  posteridad  un dibujo en forma de “enigma”, ya que representa a la  vez el problema y las claves precisas para comprender  la solución.  87

Hay  un  último  aspecto  sobre  el  que  habría  que  reflexionar:  El  trazado  de  las  figuras  geométricas,  con  los  pasos  que  se  han  desarrollado  en  este  capítulo,  resulta  demasiado  complejo  como  para  considerarlo  una solución propiamente dicha.   De esto se podría deducir que, si Leonardo realizó  numerosos  dibujos  tal  como  afirman  algunas  fuentes,  pudo  haber  encontrado  la  solución  exacta,  la  cual  no  reveló, transmitiendo en su lugar ese conocimiento en  un  dibujo  en  forma  de  enigma,  con  la  intención  de  no  revelar  públicamente  ese  secreto,  por  las  razones  que  tuviera.   De  la  misma  forma,  también  se  puede  considerar  la  circunstancia  opuesta  como  razón,  es  decir,  que  no  encontrara  una  solución  verdaderamente  satisfactoria  y cuyos resultados hubieran sido incuestionables.  En  cualquier  caso,  una  vez  se  conoce  la  forma  de  resolver el problema y con la posibilidad de utilizar las  nuevas tecnologías en el campo del dibujo informático,  se  puede  establecer  que  encontrar  la  solución  es  algo  puramente  secundario,  ya  que  queda  reducido  a  encontrar esa primera línea exacta que sin duda alguna  existe.   Hacer  público  un  “secreto”  que  ha  permanecido  muy  bien  guardado  en  el  maravilloso  dibujo  de  El  Hombre  de  Vitruvio  es  mostrar  un  reconocimiento,  más  grande  si  cabe,  de  la  figura  de  un  genio  que  fue  Leonardo da Vinci.   

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10   

 

¿Una solución manual?    Sin  duda  que  Leonardo  Da  Vinci  conoció  y  transmitió  el  “secreto”  del  problema  de  la  cuadratura  del círculo. Algunos testimonios que hacen referencia a  sus  numerosas  obras,  manifiestan  que  dedicó  mucho  tiempo  a  este  problema  y  realizó  numerosos  dibujos  buscando la solución. Como se mostrará más adelante,  pueden ser infinitas las formas de trazar un cuadrado a  partir  de  una  circunferencia,  aunque  por  lógica,  sólo  una puede ser la solución “exacta”.   La  representación  que  muestra  el  dibujo  de  Leonardo  da  Vinci,  no  ha  de  considerarse  como  una  solución  en  sí,  ya  que  podría  tratarse  de  una  solución  “encriptada”. Algo así  como que el objetivo  del  dibujo,  hubiera  sido  exclusivamente  el  de  transmitir  ese  conocimiento de una forma esotérica, hermética, oculta  para  los  profanos,  mediante  la  elaboración  de  un  dibujo  con  la  clara  y  única  intención  de  seguir  manteniendo  oculto  un  secreto,  dejando  a  la  vez  una  constancia evidente de que conocía la forma de buscar  la solución.   Algunas  de  las  claves  que  reflejó  en  el  dibujo,  pueden  interpretarse  en  el  sentido  de  que  Leonardo  conoció  la  solución  que  él  interpretó  como  correcta,  o  incluso  otras  muchas  con  unos  resultados  que  nunca  consideró que fueran exactos, aunque lo fueran de una  gran aproximación.   89 

Por  otra  parte,  no  ha  de  descartarse  que  hubiera  tenido    a  documentos  de  la  antigüedad,  en  los  que  de  forma  secreta,  recogieran  las  claves  para  resolver el problema o incluso la solución exacta.   De  cualquier  forma,  para  la  valoración  de  los  resultados  que  hubiera  obtenido  de  los  numerosos  dibujos  que  realizó,  habría  que  tener  en  cuenta  el  posible valor de la constante PI, utilizado en su época.  Como  se  mostrará  más  adelante,  a  lo  largo  de  siglos  fueron  conocidos  o  utilizados,  diversos  valores  para  dicha constante.  Se  ha  de  tener  en  cuenta  también    los  múltiples  trazados  que  pueden  ejecutarse  para  buscar  la  solución.  Así,  en  muchos  de  los  dibujos  ejecutados  manualmente,  con  lápiz  y  sobre  papel,  tomando  las  mediciones  de  forma  manual,  los  resultados  que  se  pueden  obtener,  resultan  en  muchos  casos  casi  imposibles de distinguir unos de otros, puesto que las  líneas trazadas para los lados del cuadrado, son de tal  aproximación  que  resultan,  al  menos  de  forma  visual,  coincidentes en la práctica.   La  posibilidad  de  utilizar  programas  informáticos  de  dibujo,  aportan  una  gran  precisión  en  las  medidas,  por  lo  que  bajo  esa  nueva  circunstancia,  es  preciso  ratificar que, por lógica, la solución exacta únicamente  ha de poder verificarse utilizando un ordenador.   Como ya se ha reflejado, de los dibujos realizados  por  ordenador,  se  obtienen  unos  resultados  tan  precisos que encontrar la solución exacta, se convierte  en  una  tarea  todavía  más  compleja,  debido  a  que  el  número  de  opciones  diferentes,  es  prácticamente  infinito.  90

Por  ello  y  por  tratarse  de  un  problema  planteado  en la antigüedad, probablemente hace milenios, parece  lógico  partir  de  la  premisa  de  que  para  aceptar  como  válida  una  solución,  el  dibujo  objeto  del  problema  ha  de ser realizado de forma manual.   El  dibujo  cuyo  trazado  se  representa  a  continuación,  pudo  haber  sido  uno  de  los  muchos  realizados  por  Leonardo  de  Vinci.  Es  un  dibujo  que  al  ser  realizado  de  forma  manual,  tras  la  conclusión  del  mismo,  y  tomando  las  mediciones  también  de  forma  manual,  los  resultados  que  se  obtienen  son  de  tal  aproximación que muy bien podría considerarse como  una “solución manual”.     1.  Utilizando  un  compás  y  una  regla,  se  parte  de  una  circunferencia  en  la  que  se  trazan  los  dos  ejes  perpendiculares entre sí, el vertical, el horizontal, y los  dos  ejes  transversales,  de  forma  que  la  circunferencia  queda dividida en ocho partes iguales.      

 

  91 

2.  Se  trazan  las  cuatro  líneas  que  formarían  un  cuadrado  inscrito,  uniendo  los  vértices  de  los  ejes  transversales,  Sobre la mitad inferior del lado izquierdo de dicho  cuadrado,  con  el  compás  se  marcan  los  puntos  equidistantes para señalar un punto intermedio (d).  Desde el punto superior del eje vertical, y pasando  por el punto señalado (d), se traza la línea hasta cortar  la circunferencia en el punto (x).   Dicha línea es el primer lado del cuadrado.     

d x

            92

 

3.  El  trazado  de  los  otros  tres  lados  se  ejecuta  siguiendo los mismos pasos que ya han sido detallados  en  capítulos  anteriores.  Se  traza  una  línea  desde  el  punto (x), pasando por el punto inferior del eje vertical,  a la que se traslada con el compás la misma medida del  primer lado.   Se  traza  una  línea  desde  el  vértice  (x),  que  pasa  por  el  centro  hasta  marcar  en  la  circunferencia  el  punto opuesto (y).   Desde  el  punto  superior  del  eje  vertical,  se  traza  una  línea  pasando  por  (y),  con  la  misma  medida  del  lado inicial.   Finalmente,  se  traza  la  línea  que  une  los  dos  extremos  de  los  lados  anteriores,  completando  el  cuadrado.     

y

d x

  Figura de una ¿solución? manual. 

  93 

Se  trata  de  un  dibujo  sencillo  y  fácil  de  ejecutar,  tanto de forma manual como utilizando un ordenador.  Con  el  propósito  de  hacer  una  valoración  de  los  resultados  comparando  los  datos  tomados  de  ambos  dibujo,  se  reflejan  en  primer  lugar  las  medidas  y  los  cálculos  correspondientes  al  dibujo  realizado  por  ordenador y que figuran en el cuadro siguiente.   

    La medida del lado del cuadrado utilizado en este  dibujo  es  de  534,6590000  milímetros.  La  medida  calculada  del  lado  del  cuadrado  cuya  superficie  resultaría  igual  a  la  del  círculo,  es  de  534,5898099  milímetros.  La  diferencia  de  las  medidas  entre  estos  dos lados, es de tan sólo 0,0692 milímetros.   Es  esta  una  diferencia  que  resultaría  imposible  distinguir visualmente sobre el mismo dibujo realizado  de  forma  manual,  aunque  tuviera  las  mismas  medidas  (la medida del radio de la circunferencia es de unos 30  centímetros).   El  margen  de  error  del  lado  sobre  la  medida  del  lado exacto es del 0,013%. La diferencia de superficies  sí  que  es  muy  significativa,  de  unos  74  milímetros  cuadrados.   94

Valorando  estos  resultados  se  puede  deducir  que  las  medidas  de  los  lados  del  cuadrado  obtenido,  resultarían  imposibles  de  distinguir  de  las  medidas  exactas,  sobre  el  mismo  dibujo  realizado  de  forma  manual. Esto supone afirmar que, en otras épocas, este  dibujo podría haber sido considerado como la solución  manual del problema o que este mismo ejemplo habría  suscitado sin duda debates acerca de la exactitud o no  de  sus  resultados,  basándose  en  las  mediciones  poco  precisas hechas de forma manual.   Esto mismo sucedería hoy, si se prescindiera de la  utilización de herramientas de dibujo informático para  verificar los resultados.   

 

 

  Fotografía del dibujo realizado manualmente. 

 

 

95 

Por  ampliar  el  razonamiento  de  este  ejemplo,  valorando  las  medidas  tomadas  sobre  el  dibujo  manual,  dejando  constancia  de  que  es  evidente  que  carecen de la precisión necesaria, se desprende que los  resultados  de  los  cálculos  son  muy  relativos,  ya  que  “ajustando necesariamente” las cifras decimales, por la  dificultad  de  precisar  más  allá  de  las  fracciones  de  milímetros,  éstas  representarían  la  “solución”  del  problema, como refleja el cuadro siguiente.   

    Se plantea pues, una nueva dinámica para verificar  la solución del problema de la cuadratura del círculo.   Por una parte debe cuestionarse buscar la solución  de  forma  manual,  ya  que  como  se  deduce  del  ejemplo  presentado,  resulta  imposible  precisar  las  mediciones  con la exactitud necesaria.  En consecuencia, es una circunstancia que sitúa el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo  en  una  dimensión  virtual,  ya  que  los  resultados  dependen  de  unas  cifras  decimales  tan  mínimas  que  la  solución  exacta, ya únicamente será posible verificar utilizando  un ordenador.    96

11   

 

La búsqueda de la solución.    En este capítulo se representan algunos ejemplos,  tratando  de  mostrar  las  innumerables  y  diferentes  formas posibles de ejecutar los dibujos, para buscar la  solución  del  problema  de  la  cuadratura  del  círculo.  El  objetivo  será  localizar  un  segundo  punto  por  el  que  trazar  la  primera  línea  del  lado  de  un  cuadrado,  cuya  superficie habrá de ser igual a la del círculo.   En general y respetando lo que señala la tradición,  para encontrar el primer punto o vértice del cuadrado  a  lo  largo  del  perímetro  circular,  las  operaciones  de  trazado habrían de ser pocas y elementales.   Para  ello,  los  dibujos  que  se  representan  a  continuación,  aunque  hayan  sido  realizados  por  ordenador,  se  ha  observado  siempre  las  siguientes   condiciones:  No se realiza ninguna medición previa.   Las  medidas  se  toman  y  trasladan  mediante  compás,  utilizando  para  esta  finalidad  el  trazado  de  circunferencias,  cuyos  radios  se  obtienen  tomando  la  distancia  desde  un  punto  hasta  otro,  previamente  marcados.   Los  puntos  se  marcan  por  la  intersección  de  dos  líneas, rectas o curvas, o bien trasladando una medida  tomada entre dos puntos, desde un punto ya conocido  a otro.   97 

Las  líneas  rectas  se  trazan  entre  dos  puntos  que  también  hayan  sido  previamente  marcados,  igual  que  si se utilizara una regla.  Para  la  comprobación  de  los  resultados,  las  mediciones del radio de la circunferencia y del lado del  cuadrado, se realizan tras la finalización de los dibujos.  Todos  los  dibujos  se  presentan  de  forma  muy  esquematizada  y  con  unas  explicaciones  muy  simples,  tratando  que  sean  fácilmente  comprensibles,  con  el  único  objetivo  de  mostrar  que  existen  infinidad  de  posibilidades distintas.  En  la  práctica,  todas  estas  condiciones  significan  que  la  ejecución  de  cada  uno  de  los  dibujos,  ha  de  poder  ser  realizado  de  forma  manual,  utilizando  un  compás y una regla sin graduar.     Las  medidas  de  cada  uno  de  los  dibujos,  con  valores  representados  en  milímetros,  se  muestran  en  cuadros,  en  los  que  se  pueden  verificar  los  cálculos  y  los resultados correspondientes.      Dibujo 1    A  partir  de  una  circunferencia,  se  trazan  los  ejes  vertical  y  horizontal.  Desde  los  dos  extremos  del  eje  horizontal y con la misma medida del radio, se marcan  con  el  compás  los  puntos  por  los  que  se  traza  un  hexágono.   Sobre un lado del hexágono, opuesto al eje vertical,  se marca el punto medio (x).  

98

Desde el punto superior del eje vertical y pasando  por  dicho  punto  (x),  se  traza  la  línea  del  primer  lado  del cuadrado.   El  resto  de  los  lados  se  trazan  igual  a  como  ha  quedado  reflejado  en  los  ejemplos  de  capítulos  anteriores.   

x

  Los resultados obtenidos son:   

 

 

  99 

De  los  datos  y  cálculos  realizados  se  hace  una  breve  valoración  explicativa,  como  referencia  general  que  será  idéntica  para  el  resto  de  los  ejemplos  que  siguen  a  continuación  y  en  cuyos  cuadros  respectivos,  deben valorarse los datos de la misma forma.  Los  datos  se  toman  a  escala  de  milímetros.  Con  esto,  el  radio  de  la  circunferencia  utilizada  sería  de  unos 30 centímetros.   Las superficies dan como resultado una diferencia  de algo más de 152 milímetros cuadrados.   Sin  embargo,  la  diferencia  en  la  medida  sobre  la  longitud exacta del lado que daría la solución correcta,  es de tan solo 0,14 milímetros.   El  porcentaje  de  error,  sobre  la  medida  del  lado  obtenido en este ejemplo, es del 0,0267%.      Dibujo 2    A  partir  de  una  circunferencia,  se  trazan  sus  dos  ejes y como en el dibujo anterior, se traza un hexágono.   Desde  el  punto  inferior  del  eje  vertical  se  traza  una  semicircunferencia,  con  el  mismo  radio  que  la  circunferencia inicial.    Desde el punto medio donde el lado izquierdo del  hexágono  se  corta  con  el  eje  horizontal,  se  traza  una  línea hasta el punto inferior del eje vertical.   Dicha  línea  se  corta  con  la  semicircunferencia  en  un punto (x).  Desde el punto superior del eje vertical y pasando  por  dicho  punto  (x),  se  traza  la  línea  que  es  el  primer  lado del cuadrado.  100

 Finalmente  se  completan  los  otros  tres  lados  del  cuadrado, de la misma forma ya indicada   

x

 

  Los resultados son:   

 

  101 

  Dibujo 3   

Se  traza  una  circunferencia  y  los  ejes  vertical,  horizontal  y  los  transversales,  quedando  dividida  en  ocho partes iguales.   Tomando  como  centro  el  punto  inferior  del  eje  vertical,  se  traza  una  semicircunferencia  con  radio  igual al de la circunferencia inicial.   Se marca el punto medio del arco formado por una  de  las  ocho  partes,  sobre  la  parte  inferior  derecha  contigua a la semicircunferencia dibujada.  Se traza una línea desde el punto izquierdo del eje  horizontal, hasta el punto medio del arco señalado.   Dicha  línea  se  corta  con  la  semicircunferencia  en  un punto (x).   Desde el vértice superior del eje vertical y pasando  por el punto (x), se traza la línea  que forma el primer  lado del cuadrado.  Finalmente  se  completan  los  otros  tres  lados  del  cuadrado, de la misma forma ya indicada.                          102

   

 x

 

 

  Los resultados son: 

 

 

  103 

  Dibujo 4    Se  traza  la  circunferencia  y  los  ejes  vertical,  horizontal y los transversales. La circunferencia queda  dividida en ocho partes iguales.  Se  traza  uno  de  los  lados  del  octógono,  en  el  cuadrante inferior izquierda, desde el eje horizontal.   Sobre  este  lado  se  traza  la  línea  que  marca  su  punto medio. Desde el mismo vértice del eje horizontal  y con la misma medida del radio inicial, se marca y se  traza la línea que sería el lado del hexágono.   Se  traza  una  semicircunferencia  con  centro  en  el  punto  inferior  del  eje  vertical  y  con  la  misma  medida  del radio, hasta el punto donde se cortan las dos líneas  anteriores.   Desde el mismo punto inferior del eje vertical, se  traza una línea prolongada y paralela al eje horizontal.  Dicha  línea  inferior  y  la  semicircunferencia  se  cortan  en  un  punto  (y),  exterior  a  la  circunferencia  inicial.   Desde el punto superior del eje vertical, se traza la  línea  recta  hasta  dicho  punto  (y),  que  se  corta  con  la  circunferencia en un nuevo punto (x).   La línea trazada hasta dicho punto (x) es la medida  del primer lado del cuadrado.  Con  dicha  medida  se  completan  los  otros  tres  lados del cuadrado, de la forma ya indicada.            104

 

x y

  Los resultados son: 

 

 

     

 

 

  105 

    Dibujo 5    Se  traza  la  circunferencia  y  los  ejes  vertical,  horizontal  y  los  transversales,  de  forma  que  queda  dividida en ocho partes iguales.   Se  divide  la  mitad  inferior  del  eje  vertical  en  tres  partes iguales.  Desde  el  punto  inferior  del  eje  vertical,  se  traza  una  semicircunferencia  con  el  mismo  radio  que  la  circunferencia inicial.   Desde  el  punto  izquierdo  del  eje  horizontal,  se  traza  una  línea  hasta  el  punto  que  marca  el  tercio  inferior de la división del eje vertical.   Dicha  línea  se  corta  con  la  semicircunferencia  en  un punto (x), por el cual y desde el punto superior del  eje  vertical,  se  traza  la  línea  del  primer  lado  del  cuadrado.  Finalmente  se  completan  los  otros  tres  lados  del  cuadrado, de la misma forma ya indicada.                          106

 

 x

 

  Los resultados son:   

   

 

  107 

  Dibujo 6     Se  traza  la  circunferencia  y  los  ejes  vertical,  horizontal.  Con  el  mismo  radio,  desde  el  punto  izquierdo  del  eje  horizontal  como  centro,  se  marcan  dos  puntos  sobre  la  circunferencia,  en  la  parte  superior  e  inferior  de la misma y se traza la línea vertical que los une, para  marcar  el  punto  medio  sobre  el  radio  que  forma  la  mitad del eje horizontal.  Desde dicho punto se traza una circunferencia con  radio  igual  a  la  mitad  del  radio  inicial.  Con  ese  mismo  radio  y  desde  el  punto  izquierdo  del  eje  ya  citado,  se  traza otra circunferencia igual a la anterior.  Ambas  circunferencias  se  cortan  en  un  punto  (x)  por el cual y desde el punto superior del eje vertical, se  traza la línea del primer lado del cuadrado.                                108

 

X

 

    Los resultados son:   

       

 

109 

 

Dibujo 7 

Se  traza  una  circunferencia  y  los  ejes  vertical,  horizontal  y  los  transversales,  quedando  dividida  en  ocho partes iguales.   Se  trazan  las  líneas  que  unen  cada  uno  de  dichas  partes formando un octógono.  Se  toma  la  medida  del  lado  del  octógono  como  radio  y  desde  el  punto  derecho  del  eje  horizontal,  se  traza  una  circunferencia  que  corta  dicho  eje  en  un  punto.  Desde  dicho  punto  y  con  el  mismo  radio  igual  al  lado  del  octógono,  se  traza  una  nueva  circunferencia  que corta el citado eje en un punto (x).   Desde el punto superior del eje vertical y pasando  por  el  punto  (x),  se  traza  la  línea  hasta  cortar  la  circunferencia.   Dicha línea es el primer lado del cuadrado.                                110

 

x

 

  Los resultados son: 

 

       

 

111 

Como  se  puede  apreciar  en  estos  siete  ejemplos,  los  valores  que  resultan  de  las  superficies  de  ambas  figuras,  verifican  unas  diferencias  muy  significativas,  demasiado  grandes  como  para  ser  consideradas  unas  simples aproximaciones.  De  entre  los  dibujos  de  los  ejemplos,  en  unos  casos,  las  líneas  de  los  lados  de  los  cuadrados  son  ligeramente inferiores a la medida de la línea que sería  el lado exacto y en otros, dichas líneas son ligeramente  superiores.   En  consecuencia,  el  punto  que  señalaría  la  línea  buscada,  se  encuentra  situado  en  un  espacio  del  perímetro  circular  extremadamente  reducido,  aún  cuando el número de puntos situados dentro de dicho  espacio, es en teoría indefinido.  De  la  misma  forma,  el  punto  donde  la  línea  buscada corta el eje horizontal, se encuentra situado en  un espacio igualmente muy reducido, marcado por las  líneas de los ejemplos. Por señalar una referencia, en el  dibujo  5,  la  línea  del  primer  lado  del  cuadrado,  pasa  por un punto a una distancia de ‐0,1651 milímetros del  punto por el que pasaría la línea exacta. En el dibujo 6,  esa distancia es de +0,4104 milímetros.   Sobre el radio de las circunferencias utilizadas que  en  todos  los  ejemplos  es  de  301,610  milímetros,  la  distancia  entre  los  puntos  donde  las  líneas  del  primer  lado, correspondientes a los dibujos 5 y 6 se cortan con  dicho  radio,  es  de  0,5755  milímetros.  En  esa  mínima  distancia se encuentra el punto por donde ha de pasar  esa  primera  línea  que  representaría  la  solución  que  resuelva este problema. Un punto que, como se verá en  el  capítulo  siguiente,  puede  localizarse  con  un  dibujo  realizado por ordenador.  112

Si lo que se comparan son las medidas de los lados  de los diferentes cuadrados, con la medida que sería la  exacta,  las  diferencias  son  tan  ínfimas  que  resultan  imperceptibles  al  ojo  humano.  En  el  dibujo  cuyo  resultado  es  el  de  mayor  aproximación  al  que  sería  el  correcto,  dicha  diferencia  es  de  tan  solo  0,08  milímetros, imperceptible si se compara con la medida  del  lado  del  cuadrado  que  es  algo  más  de  53  centímetros.   Finalmente,  la  principal  conclusión  que  se  puede  deducir de los dibujos que se han mostrado, es que las  posibilidades o alternativas que existen para buscar la  solución son ilimitadas, pero igualmente y en la misma  proporción,  son  ilimitadas  las  dificultades  para  encontrarla.                                      113 

                                                                  114

12   

 

La solución digital.  El problema de la Cuadratura del Círculo ha de ser  planteado como un problema geométrico, de dibujo, y no  como  un  problema  matemático.  La  utilización  de  cálculos aritméticos como la vía para hallar la solución,  es  la  razón  por  lo  que  está  considerado  como  un  problema imposible de resolver, siendo que el cálculo se  basa en algo relativo, mientras que del propio enunciado  del  problema,  hay  que  deducir  que  se  trata  de  obtener  algo absoluto, es decir, un cuadrado.     Los  cálculos  de  las  medidas  de  los  dibujos  representados  en  el  capítulo  anterior,  muestran  que  ninguno  de  ellos  es  la  solución  del  problema.  Sin  embargo,  dichos  cálculos  no  demuestran  que  la  solución buscada no exista.   Para  justificar  esta  afirmación,  basta  con  ejecutar  un  dibujo  con  un  programa  informático,  cuyo  único  objetivo sea mostrar que existe la línea, con la medida  de  los  lados  de  un  cuadrado  cuya  superficie  sería  exactamente igual a la superficie del círculo.   El  dibujo  consiste  en  ir  realizando  subdivisiones  de  forma  sucesiva  sobre  la  mitad  izquierda  del  eje  horizontal, hasta marcar el punto exacto por el que se  traza  la  primera  línea  del  lado  del  cuadrado  buscado,  mediante  el  trazado  de  sucesivas  circunferencias  que  marcan  el  punto  medio  entre  otros  dos  puntos  de  referencia, de forma que la distancia entre esos puntos,  115 

se  va  reduciendo  progresivamente  a  la  mitad  hasta  marcar el punto deseado.   Para  ello,  se  parte  de  una  circunferencia  como  la  del  siguiente  dibujo,  en  la  que  se  han  trazado  un  octógono  y  un  hexágono.  Se  trazan  las  dos  líneas  verticales  que  unen  los  dos  vértices  respectivos  de  ambas  figuras,  situados  en  la  parte  izquierda,  para  marcar  dos  puntos  sobre  el  eje  horizontal.  La  línea  vertical que une los vértices del hexágono, divide dicho  eje exactamente por la mitad.      

 

 

    116

El punto buscado ha de localizarse sobre el eje horizontal.   

Se  marca  el  punto  medio  entre  las  dos  líneas  verticales  y  después,  de  forma  sucesiva,  se  van  realizando  nuevas  subdivisiones,  entre  los  puntos  medios resultantes, cuya distancia se va acortando a la  mitad en cada operación.   

 

  Detalle del eje horizontal donde se van marcando los puntos medios. 

  El  dibujo  ampliado  con  zoom,  muestra  el  trazado  de  las  sucesivas  circunferencias,  con  las  que  se  van  obteniendo  los  puntos  intermedios,  y  cuyos  radios  disminuyen a la mitad progresivamente.  El  número  de  subdivisiones  y  el  sentido  con  respecto  al  centro  de  la  circunferencia  que  es  preciso  trazar, son los siguientes:   4 subdivisiones hacia el centro.   3 hacia la izquierda (dirección opuesta al centro).   5 hacia la derecha.   1 hacia la izquierda.   1 hacia la derecha.   2 hacia la izquierda.   1 hacia la derecha.  117 

   

  Las últimas subdivisiones hasta marcar el punto buscado. 

 

  En  total  se  han  realizado  17  subdivisiones,  la  última de las cuales marca el punto por el que se traza  la  línea  del  primer  lado  del  cuadrado  (línea  inclinada  transversal de la imagen anterior).  El  radio  de  las  dos  últimas  circunferencias  que  se  han  trazado  para  marcar  el  último  punto  intermedio,  es de 0,0010 milímetros.   La  distancia  desde  el  centro  de  la  circunferencia,  hasta el punto señalado es de 157,6586 milímetros y la  distancia desde dicho centro hasta la mitad del radio es  de 150,8050 milímetros.   Una  vez  obtenido  el  punto  por  donde  trazar  la  línea  del  primer  lado,  el  resto  del  cuadrado  se  ejecuta  igual a como se ha mostrado en capítulos anteriores.          118

 

 

   

La solución digital. 

Concluido el dibujo, con las medidas del radio de la  circunferencia y del lado del cuadrado, se obtienen los  resultados que se muestran en el cuadro siguiente.   

 

  119 

Los  resultados  muestran  que  las  superficies  de  ambas  figuras  son  iguales.  Dado  el  número  de  decimales de la constante PI, para ajustar todavía más  el resultado obtenido de la superficie del cuadrado, de  forma  que  la  diferencia  fuera  de  cero  sin  ningún  decimal,  sería  preciso  que  el  programa  informático  de  dibujo facilitara las medidas con más de 4 decimales.   Como  se  ha  dicho,  esta  “solución”  únicamente  puede  ejecutarse  utilizando  un  ordenador,  por  lo  que  no  cumple  con  el  enunciado  del  problema,  ya  que  a  partir de un determinado número de subdivisiones, es  preciso  efectuar  mediciones  para  ir  descartando  los  puntos hasta encontrar el que da la medida exacta.  Como  es  evidente,  es  imposible  ejecutar  este  mismo dibujo de forma manual, utilizando un compás,  por  lo  que  el  único  propósito  del  ejemplo,  es  mostrar  que  la  línea  buscada  existe,  por  lo  que  encontrar  la  forma  de  resolver  el  problema,  se  reduce  a  encontrar  ese  segundo  punto  preciso  y  que  pueda  realizarse  de  una  forma  manual,  aunque  el  resultado  habrá  de  verificarse utilizando un ordenador.                     

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La solución matemática.    Del propio enunciado del problema, se deduce que  es un problema de dibujo, ya que consiste en el trazado  de dos figuras geométricas, una círculo y a partir de él,  dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, es  decir,  se  trata  de  dibujar  dos  figuras  “analógicas”  o  “absolutas”.  Por  el  contrario  para  verificar  la  solución,  es  necesario recurrir a la demostración matemática, cuyo  método  consiste  en  la  utilización  de  números  y  fórmulas,  o  lo  que  es  lo  mismo,  hay  que  utilizar   “valores  relativos”,  es  decir,  obtenidos  a  partir  de  determinadas  referencias,  de  medidas  o  de  cálculos,  realizados  sobre  formas  geométricas,  líneas  o  curvas,  lados o radios.   La  validez  del  resultado  se  reduce  pues,  a  la  comprobación de valores numéricos, es decir, serán los  números  los  que  determinen  el  resultado  correcto  o  no, de este problema. El radio de una circunferencia, ha  de  ser  medido  con  una  regla  milimetrada,  para  ser  transformado  en  un  valor  numérico,  lo  que  significa  aplicar  una  “referencia  relativa”,  a  partir  de  la  cual,  junto con otro valor también numérico de la constante  PI,  se  relacionan  entre  sí  mediante  fórmulas,  con  las  cuales  se  obtienen  los  “valores  numéricos”  de  dicha  circunferencia,  como  por  ejemplo  su  longitud  o  su  superficie.   121 

Las medidas tomadas con un compás, son medidas  absolutas,  analógicas,  es  decir,  tienen  la  precisión  de  que pueden ser trasladadas desde unos puntos a otros,  para  marcar  distancias  equidistantes,  o  medir  unos  segmentos  para  obtener  otros  iguales.  Las  medidas  tomadas  con  una  regla  milimetrada,  adolecen  de  esa  precisión, ya que se ajustan a marcas predeterminadas,  de  cuyos  intervalos  es  difícil  determinar  más  valores  decimales.   Con  el  compás  se  puede  tomar  la  medida  de  un  segmento,  cuyo  valor  numérico  sería  por  ejemplo  de  10,3764  y  trasladar  ese  mismo  valor,  con  total  exactitud  a  otro  segmento,  por  hacerse  de  una  forma  analógica.  Por  el  contrario,  con  la  regla  milimetrada  resulta  imposible  realizar  la  misma  operación  con  la  misma  precisión  de  las  diezmilésimas,  por  hacerse  de  una forma digital.  Como se mostrará en un capítulo más adelante, los  cálculos  efectuados  con  valores  numéricos,  pueden  determinar  la  conclusión  de  que  resulta  imposible  realizar  el  dibujo  de  una  circunferencia,  a  partir  de  la  medida  del  lado  de  un  cuadrado.  Sin  embargo,  la  ejecución  realizada  de  forma  analógica  o  geométrica,  demostrará que dicho dibujo sí es posible.   En  el  problema  que  nos  ocupa,  tratamos  de  obtener  una  solución  geométrica  y  lógica,  pero  la  verificación  que  se  realiza,  queda  condicionada  al  resultado  matemático,  es  decir,  deben  “cuadrar”  los  números.  Esta  es  una  reflexión  que  puede  carecer  de  fundamento,  si  consideramos  que,  en  la  actualidad,  la  ejecución  de  dibujos  puede  hacerse  con  herramientas  informáticas; sin embargo, ha de tenerse en cuenta que  122

en otras épocas, no disponían de dichas herramientas,  y  por  tanto,  la  verificación  y  validez  de  los  resultados,  habría de considerarse principalmente para los dibujos  realizados manualmente.      Valores de PI conocidos de distintas épocas.    Existe constancia de que desde épocas remotas de  la antigüedad, se han utilizado distintos valores para la  constante PI. Algunos  de esos valores se reflejan en la  tabla  siguiente,  de  los  cuales  el  valor  actual  es  el  que  tiene  la  mayor  precisión,  aunque  tiene  un  número  mucho mayor de cifras decimales que el que figura.   

    La diversidad de valores atribuidos a la constante  PI, condicionarían la solución del problema en caso de  que pudiera haber sido conocida o aceptada en épocas  pasadas,  como  pudo  ocurrir  en  la  solución  que  reflejó  Leonardo da Vinci en su genial dibujo.  Puede  parecer  este  un  argumento  irrelevante,  si  no  fuera  porque  con  valores  de  PI  igual  a  3,142406  ó  3,139914 ó 3,136540, si existen soluciones, ya que con  123 

dichos  valores,  se  obtienen  resultados  en  los  que  las  superficies  del  círculo  y  del  cuadrado,  coinciden  con  total  exactitud.  Y  si  existen  para  esos  valores,  indudablemente ha de existir también la solución para  el valor de PI.  En  consecuencia,  cabe  preguntarse  si  en  la  antigüedad,  aquellos  que  formularon  el  problema,  lo  hicieron en forma de reto o  desafío  para  los profanos,  bien  porque  conocieron  “el  secreto”  pero  no  la  solución,  o  bien  porque  también  conocieron  una  solución  que  por  ellos  mismos  fue  aceptada  como  válida.   En  otras  épocas,  la  discusión  sobre  una  posible  solución que pudiera haber sido aceptada como tal, de  algunos  de  los  dibujos  que  se  han  mostrado  en  capítulos  anteriores,  resultaría  infructuosa  ya  que,  los  mismos  dibujos  ejecutados  manualmente  sobre  una  misma  circunferencia,  las  líneas  de  los  cuadrados,  resultarían  imposibles  de  distinguir  visualmente  unos  de otros en la práctica.   La  utilización  de  programas  de  dibujo  por  ordenador,  aporta  una  extraordinaria  precisión  en  las  mediciones y en los cálculos, imposibles de obtener por  métodos  tradicionales,  pero  a  la  vez  se  amplía  casi  hasta el infinito, la dificultad para encontrar ese punto  exacto, por el que se ha de trazar esa primera línea que  resolvería el problema.   Esta  circunstancia  transforma  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo,  en  un  problema  de  realidad  virtual, ya que la solución, si se encuentra, únicamente  se podrá verificar dentro de un ordenador.      124

Habrá  que  dar  por  supuesto  también  que  los  programas  de  dibujo  informático  no  contengan  algún  margen  de  error,  lo  que  contribuiría  a  hacer  más  compleja la búsqueda de la solución.   Como  curiosidad,  en  el  programa  de  dibujo  utilizado,  el  trazado  de  circunferencias  con  un  radio  muy  pequeño,  como  las  que  se  han  mostrados  en  alguno de los dibujos del capítulo anterior, se produce  la paradoja de que, al ser editados de nuevo los citados  dibujos,  las  circunferencias  se  han  transformado  en...   octógonos.      

 

 

               

 

Las circunferencias se transforman en octógonos. 

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                                                                  126

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Otras claves del dibujo de Leonardo.    De  entre  las  claves  contenidas  en  el  dibujo  de  Leonardo,  sólo  unas  pocas  han  sido  utilizadas  para  llegar  a  las  conclusiones  que  ya  se  han  mostrado  en  capítulos  anteriores.  Sin  embargo,  seguramente  quedarán  otras  cuyo  significado  o  interpretación  pueden  suscitar  dudas,  o  también  que  no  hayan  sido  correctamente interpretadas, incluso las habrá que han  pasado desapercibidas.   Una de las anotaciones en el dibujo dice:    “Si  abre  tanto  las  piernas  de  forma  que  su  altura  disminuya  en  1/14  y  extiende  los  brazos,  levantándolos  hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte  superior  de  su  cabeza,  el  centro  de  los    extendidos  estará  en  el  ombligo  y  el  espacio  que  comprenden  las  piernas  formará  un  triángulo  equilátero.”    ¿Cuál puede ser su significado real?     Se retoma el dibujo de las figuras geométricas, una  vez  concluida  la  primera  fase  de  la  solución  de  Leonardo,  vista  en  un  capítulo  anterior,  en  la  que  se  muestran  el  cuadrado  y  la  círculo  del  dibujo,  más  las  dos  circunferencias  de  trazado,  con  sus  respectivos  radios.   127 

Con  el  compás  se  marca  el  punto  medio  (c)  de  la  mitad  inferior  del  lado  del  cuadrado  que  coincide  con  la marca de la figura humana situada a la altura de las  rodillas.  Desde  este  punto  hasta  la  base,  se  marca  el  punto  medio,  trazando  la  línea  equidistante  de  los  puntos  (c)  y  (d),  de  forma  que  el  lado  del  cuadrado  queda marcado en su cuarta parte   Desde  el  centro  del  cuadrado  (b)  y  pasando  por  cada  uno  de  los  dos  extremos  de  la  citada  línea  equidistante,  se  trazan  las  dos  líneas  hasta  cortar  la  circunferencia,  se  unen  sus  extremos  con  una  tercera  línea, formando así los lados y la base de un triángulo  equilátero.   El dibujo queda como sigue:   

 

x  a b c d

  128

 

Retomando  el  dibujo  de  la  figura  humana,  en  el  que  el  centro  de  la  circunferencia  (a)  coincide  con  el  ombligo,  el  centro  del  cuadrado  (b)  con  el  pubis,  la  posición  de  las  piernas  abiertas,  coincidiría  con  las  líneas del triángulo dibujado.   Interpretando  esta  clave  desde  la  óptica  del  trazado completo del dibujo, se podría resumir de una  forma  esquemática,  como  que  podría  ser  la  indicación  de la clave para el trazado completo que hay que seguir  en la realización del mismo, ya que la diferencia de las  medidas de los radios de la circunferencia intermedia,  con centro en (a) y la menor con centro en (b), es igual  a  1/14  de  la  medida  del  radio  de  la  circunferencia  inicial, con centro en (x).  La  citada  clave,  señalaría  pues  la  relación  de  proporciones  que  se  precisa  buscar:  Partiendo  de  una  circunferencia inicial, trazar un cuadrado y a partir de  él,  se  ha  de  trazar  una  segunda  circunferencia  menor  que determina la relación de medidas entre los radios  de ambas circunferencias y el lado del cuadrado.   Con  la  relación  de  los  radios  de  estas  dos  circunferencias,  se  logra  el  objetivo  que  consistiría  en  localizar el centro y la medida del radio de una tercera  circunferencia, en este caso con una medida intermedia  entre ambas.                 129 

El octógono    El trazado del octógono, sería la interpretación de  una  clave  aparentemente  simple,  sugerida  por  las  dos  posiciones  diferentes  de  los    superiores  e  inferiores de la figura humana: La posición horizontal‐ vertical  y  la  posición  transversal,  cuyo  significado  podría estar referido a los ejes perpendiculares entre sí  que dividen la circunferencia en ocho partes iguales.   Uniendo  los  vértices  de  dichos  ejes  se  forma  un  octógono.  Desde  cualquiera  de  sus  vértices,  se  traza  una  línea  hasta  el  vértice  de  un  lado  opuesto,  dicha  línea forma con ese lado un ángulo de 90º.     

90º

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Dicha  línea,  junto  con  el  lado  del  octógono  y  uno  de  los  ejes,  forman  un  triángulo  rectángulo,  cuyo  significado se ha mostrado en otro capítulo anterior.  La figura del octógono sería pues, una de las claves  que  indicaría  cómo  se  pueden  trazar  múltiples  cuadrados, a partir de una circunferencia.   

El hexágono    De  la  misma  forma,  la  figura  de  un  hexágono  presenta  la  misma  singularidad,  es  decir,  desde  el  vértice  de  cualquier  lado  se  traza  una  línea  hasta  el  vértice de un lado opuesto, se forma un ángulo de 90º.     

90º

  131 

La figura humana del dibujo de Leonardo expresa  una doble posición. La sugerencia de un octógono, o la  división  de  la  circunferencia  en  ocho  partes  iguales,  parece  resultar  elemental.  En  anteriores  capítulos  hemos  visto  cómo  en  determinados  dibujos,  se  puede  utilizar  dicha  figura  para  iniciar  las  líneas  de  trazado  de  diferentes  cuadrados.  Sin  embargo  esta  figura  no  resulta imprescindible para ello, puesto que esas líneas  de trazado, también pueden ser realizadas desde otras  figuras  diferentes,  como  por  ejemplo  desde  un  hexágono,  o incluso utilizando solo dos ejes.  ¿Acaso  puede  tener  algún  otro  significado  más  trascendente la figura de un octógono?                                      

132

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La trisección de un segmento.    Otra  de  las  claves  que  puede  valorarse  como  interesante  para  interpretar  el  dibujo  de  Leonardo,  es  la  línea  que  aparece  dibujada  bajo  el  lado  inferior  del  cuadrado,  de  forma  paralela  al  mismo  y  que  tiene  su  misma longitud, sobre la que hay una serie de marcas  que  parecen  sugerir  medidas,  porque  presentan  unas  divisiones iguales.   El  punto  medio  de  dicha  línea,  marcado  de  una  forma casi imperceptible, sobre la prolongación del eje  vertical imaginario, ya se ha explicado su propósito, el  cual sería el señalar el punto desde el que se relacionan  las  medidas  de  los  radios  de  dos  circunferencias  de  trazado,  para  obtener  el  centro  y  el  radio  de  una  tercera circunferencia, que es la que aparece visible en  el dibujo.   Pero  surge  la  interrogante  sobre  el  significado  o  propósito que pueden tener las mencionadas marcas o  divisiones.         La línea está dividida en cuatro segmentos iguales.  Los dos segmentos centrales no tienen ninguna marca  y  los  otros  dos  situados  en  los  extremos,  tienen  a  su  133 

vez unas marcas que los dividen en seis partes iguales  cada uno. Las dos marcas exteriores  en los segmentos  de los extremos, presentan a su vez 4 pequeñas marcas  iguales.  Trasladando  las  mismas  marcas  a  los  dos  segmentos  centrales,  la  línea  daría  un  total  de  24  marcas. Si se tienen en cuenta las subdivisiones de las  marcas  de  los  extremos,  cada  segmento  estaría  subdividido a su vez en 24 marcas.   Recordemos  que  esas  cifras  representan  unas  proporciones  que  han  tenido  una  significativa  trascendencia  para  el  trazado  del  dibujo:  4‐6‐24.  El  producto de los 4 lados del cuadrado, por 6 radios de la  circunferencia,  da  el  producto  de  24,  lo  que  indica  la  proporción  que  han  de  guardar  las  medidas  entre  1  lado y 1 radio.  Como  se  ha  señalado,  la  línea  inferior  tiene  la  misma medía que el lado del cuadrado. Si se traslada el  total de divisiones (24) de la línea inferior, al lado del  cuadrado,  ¿qué  significado  podría  tener  el  dividir  el  lado del cuadrado en 24 partes iguales?   Resulta  elemental  dividir  cualquier  segmento  en  cuatro  partes  iguales,  o  en  ocho,  pero  resulta  más  complejo realizar una división en seis partes iguales, o  en tres.  Con  el  propósito  de  mostrar  en  un  capítulo  posterior,  un  posible  significado  de  la  citada  clave,  se  desarrollan  a  continuación  los  pasos  que  hay  que  seguir  para  realizar  la  división  de  un  segmento  cualquiera en tres partes iguales, utilizando un compás  y una regla sin graduar.  La división de un segmento en tres partes iguales,  mediante  la  realización  de  mediciones  o  cálculos  matemáticos, únicamente podría hacerse para aquellos  134

segmentos  cuyas  medidas  fueran  divisibles  por  3,  resultando  imposible  para  el  resto  de  medidas.  Sin  embargo y como se muestra a continuación, ejecutando  un  sencillo  dibujo  geométrico,  dicha  operación  puede  realizarse para cualquier segmento, cualquiera que sea  la medida que tenga.     Para ello, se han de ejecutar los pasos siguientes:  1. A  partir  de  un  segmento  (a‐b),  se  traza  una  línea perpendicular sobre uno de sus dos extremos y se  construye un triángulo rectángulo, de forma que dicho  segmento sea uno de sus catetos.   Son las líneas (b‐c), perpendicular al segmento y la  hipotenusa (a‐c).   

 

c

a  

b   135 

2. Con el compás se marca el punto medio (d) de  la hipotenusa (a‐c).  Desde  este  punto  (d)  se  traza  la  línea  hasta  el  vértice (b), para formar un triángulo (a‐d‐b).  Sobre  esta  línea  (d‐b),  con  el  compás,  se  vuelve  a  marcar el punto medio (e).     

c d e a

           

136

b  

3. Desde  el  vértice  superior  del  triángulo  rectángulo  (c)  y  pasando  por  el  punto  (e),  se  traza  la  línea hasta cortar el segmento en el punto (f).   Dicho punto (f) marca exactamente un tercio de la  longitud del segmento (a‐b).  Desde  este  nuevo  punto  (f)  como  centro  y  con  el  compás, se toma la medida (f‐b) y se traslada sobre el  segmento marcando un nuevo punto (g).   Desde este nuevo punto (g) y con la misma medida  (f‐b), se verifica que es igual a la medida (a‐g) y (g‐f).     

c d e a

 

g

b

f  

 

El  segmento  inicial  (a‐b)  ha  quedado  dividido  en  tres partes iguales: (a‐g) = (g‐f) = (f‐b).  137 

El segmento del ejemplo trazado al azar, tiene una  medida de 152,3929 milímetros y cada una de sus tres  partes en que ha sido dividido mide, según el programa  informático 50,7976 milímetros.  Efectuar  la  trisección  de  un  segmento,  es  una  característica  o  propiedad  específica  que  tienen  los  triángulos rectángulos, a partir de los cuales, marcando  el punto medio de la hipotenusa y repitiendo la misma  operación  sobre  el  lado  del  triángulo  que  se  forma  uniendo con una línea dicho punto medio con el vértice   del  lado  opuesto,  es  posible  dividir  cualquiera  de  los  dos catetos en tres partes iguales.                                          

138

16   

 

Trazado de una circunferencia a  partir de un cuadrado.    De  la  misma  forma  que  en  un  capítulo  anterior,  hemos visto como se traza un cuadrado a partir de una  circunferencia, con la proporción de las medidas de un  lado  igual  a  1,5  radios,  resulta  también  posible  trazar  una  circunferencia  en  la  forma  inversa,  es  decir,  partiendo  de  un  cuadrado  y  guardando  esa  misma  proporción.  Recordemos  que  la  relación  de  proporciones  se  establece a partir de que la medida o suma de 6 radios  de la circunferencia, sea igual a la medida o suma de 4  lados del cuadrado.   Dividiendo 6 entre 4, el resultado es 1,5 que es la  proporción que se ha utilizado para trazar un cuadrado  a partir de una circunferencia.   Si  se  hace  el  mismo  cálculo  a  la  inversa,  es  decir,   dividiendo  4  entre  6,  se  obtiene  un  valor  numérico  indefinido de 0,66666666…, lo que significa que, desde  la  óptica  aritmética,  resultaría  imposible  precisar  con  exactitud el radio para ejecutar el dibujo propuesto.   Al menos para todos aquellos supuestos en que la  medida del lado no sea múltiplo de 6.   La solución, cualquiera que sea la medida del lado  utilizada,  únicamente  puede  realizarse  obteniendo  las  proporciones  señaladas  de  una  forma  analógica,  es  decir, utilizando un compás.   139 

Recordemos que la línea situada paralela a la parte  inferior  del  cuadrado,  en  el  dibujo  de  Vitruvio,  está  dividida  en  cuatro  partes  iguales  y  a  su  vez,  cada  una  de  esas  partes  está  subdividida  en  otras  6  partes  iguales. El total de marcas sería igual el producto de 4  por 6, en total 24 partes.   Con estas 24 partes, es posible calcular la relación  de proporciones para obtener el centro y el radio de la  circunferencia  que  se  ha  de  trazar.  Dicha  relación  se  calcula  dividiendo  24  entre  1,5    con  lo  que  se  obtiene  un resultado de 16 partes. El radio de la circunferencia  será la 16/24 parte del lado del cuadrado.  Por  tanto,  para  obtener  la  medida  del  radio  a  partir  del  lado  del  cuadrado,  es  preciso  efectuar  una  división del mismo en 24 partes iguales, ejecutando los  pasos siguientes:                                  140

1.  Se  divide  el  lado  del  cuadrado  en  8  partes  iguales,  marcándolas  sucesivamente  sobre  un  eje  vertical central, trazado sobre la mitad del cuadrado.      8 7 6 5 4 3 2 1

 

   

 

Para  obtener  las  24  partes,  habría  que  dividir  en  tres  partes  iguales  cada  una  de  las  8  subdivisiones,  utilizando  el  método  de  trisección  de  un  segmento,  presentado en un capítulo anterior.             

141 

2.  Con  objeto  de  abreviar  el  trazado,  ya  que  únicamente es preciso localizar la marca número 16, la  trisección  se  ha  de  realizar  sobre  el  segmento  de  la  subdivisión número 6, que es donde se halla situado el  punto  correspondiente  a  la  16/24  parte  de  la  medida  del  lado.   Para  ello  se  ejecutan  los  pasos  ya  mencionados:  Con  la  línea  perpendicular  al  segmento  se  forma  un  triángulo  rectángulo,  se  marca  el  punto  medio  de  la  hipotenusa,  se  forma  un  nuevo  triángulo  y  sobre  esa  línea  se  vuelve  a  marcar  el  punto  medio.  Por  dicho  punto  se  traza  la  línea  desde  el  vértice  que  marca  un  tercio sobre el segmento.     

6  

 

Una  vez  realizada  la  trisección,  la  medida  resultante  se  trasladaría  al  resto  de  las  subdivisiones,  verificando  que  el  lado  ha  quedado  dividido  en  24  partes iguales.   

142

 

3. Como se ha señalado, de las 24 partes iguales, el  centro de la circunferencia que buscamos se localiza en  la marca número 16.   Tomando  con  el  compás  la  medida  del  radio,  desde  dicha  marca  16  hasta  el  punto  medio  del  lado  inferior  del  cuadrado,  se  traza  la  circunferencia  que  guarda exactamente la proporción buscada:      

6   1 marca  3 marcas

 12 marcas

   

  El lado del cuadrado es igual a 1,5 radios.     

 

  143 

En el dibujo de este ejemplo, el lado del cuadrado  tiene  una  medida  de  452,4150  centímetros,  y  el  radio  de  la  circunferencia  mide  301,6100  centímetros.  Si  se  multiplica la medida del lado por 4, ó la del radio por 6,  el  resultado  es  el  mismo  en  ambos  casos:  1.809,6600  centímetros.   Este  ejemplo  resultaría  imposible  de  realizar  manualmente,  tratando  de  hacer  el  dibujo  a  partir  de  mediciones hechas con una regla milimetrada.   Por  otra  parte,  el  dibujo  trazado  resulta  bastante  complejo  de  realizar.  Por  ello,  es  oportuno  ver  que  el  mismo  resultado  se  puede  obtener  de  una  forma  más  sencilla  y  rápida,  realizando  la  división  en  tres  partes  iguales,  directamente  sobre  el  lado  del  cuadrado,  ya  que  el  radio  de  la  circunferencia  objeto  del  dibujo,  es  igual a las dos terceras partes de dicho lado.     Las  fases  para  obtener  el  mismo  resultado,  se  realizan como sigue:     1.  Se  traza  un  eje  vertical  (c‐x)  por  el  centro  del  cuadrado. Desde el punto superior  de dicho eje (c), se  traza  la  línea  hasta  el  vértice  inferior  derecho  (e),  formando la hipotenusa de un triángulo rectángulo (c‐ x‐e).   2.  Sobre  la  hipotenusa  (c‐e)  se  marca  el  punto  medio (1). Desde dicho punto se traza la línea hasta el  punto inferior del eje central (x) formando un triángulo  (1‐x‐e). Sobre esa línea (1‐x) se marca el punto medio  (2).         144

3.  Desde  el  vértice  inferior  izquierdo  (e),  se  traza  la  línea  que  pasa  por  el  punto  (2)  hasta  cortar  el  eje  vertical en un punto (a). Dicho punto marca la tercera  parte  de  dicho  eje  que  es  la  tercera  parte  del  lado  del  cuadrado.   4.  Con  la  medida  de  esa  tercera  parte  (a‐x)  como  radio,  con  el  compás,  desde  (a)  se  marca  el  punto  (b)  que  es  el  centro  de  la  circunferencia  buscada.  Desde  dicho  punto  (b),  se  traza  la  circunferencia  con  radio  igual  a  la  distancia  (b‐x),  hasta  el  punto  inferior  del  lado del cuadrado.  El resultado es la siguiente figura:     

d c

b a

x

1 2 e

  Trisección del lado de un cuadrado.   

 

Las  medidas  correspondientes  a  las  cuatro  divisiones son iguales: (x‐a) = (a‐b) = (b‐c) = (c‐d).   145 

Con  este  ejemplo  elemental,  se  muestra  cómo  es  posible  trazar  cualquier  circunferencia  a  partir  de  un  cuadrado,  con  la  relación  de  proporciones  señalada,  realizando el mismo dibujo que al trazar el cuadrado a  partir de la circunferencia, pero en forma inversa.  Es  posible  que  fuera  este  un  significado  que  Leonardo quiso transmitir en su dibujo. Un significado  cuya  explicación  pone  de  relieve  la  relación  de  proporciones  que  existe  entre  dos  circunferencias  de  trazado y un cuadrado. De una forma simple, lo que se  pretende  mostrar  es  que  resulta  posible  realizar  el  trazado  de  las  figuras  geométricas  del  dibujo  de  Leonardo  en  los  dos  sentidos,  es  decir,  partiendo  de  una primera circunferencia de trazado para obtener el  cuadrado  y  de  éste,  la  segunda  circunferencia  de  trazado  y  la  circunferencia  final,  o  de  forma  inversa,  partiendo  de  la  segunda  circunferencia  de  trazado,  se  obtiene  el  cuadrado  de  Leonardo  y  de  éste  la  primera  circunferencia de trazado y la circunferencia final.   En  cualquier  caso,  lo  interesante  es  plantear  si  la  interpretación  de  esta  clave,  como  la  forma  de  establecer que esta relación de proporciones entre tres  circunferencias y un cuadrado, pudo haber tenido una  trascendencia  muy  especial  en  épocas  remotas  de  la  antigüedad.                   146

17   

 

El significado de las dos  circunferencias de trazado.    En  un  capítulo  anterior,  referido  a  las  fases  que  han de ser ejecutadas en el desarrollo del dibujo de El  Hombre  de  Vitruvio,  se  mostraba  porque  es  preciso  utilizar dos circunferencias de trazado, cuyas medidas,  proporciones  y  referencias,  aparecen  señaladas  entre  las claves del propio dibujo  El  significado  de  esas  dos  circunferencias  de  trazado,  parece  ser  la  posibilidad  de  establecer  la  relación de proporciones que guardan la circunferencia  y el cuadrado, tal como los vemos en dicho dibujo.   Sin embargo, faltaría por comprender que razones  o  motivos,  pudo  haber  tenido  Leonardo  para  utilizar  dichas  relaciones,  o  dicho  de  otra  manera,  con  el  propósito  de  cuestionar  sobre  si  la  utilización  que  de  ellas  hizo  Leonardo,  fueron  fruto  de  sus  propias  reflexiones y trabajos, o si lo fueron como consecuencia  de haber tenido  a determinados conocimientos  mucho más antiguos.    Recordaremos a continuación como es su trazado.          147 

La  primera  circunferencia  de  trazado,  es  la  representada en la siguiente imagen con centro en (a)  y radio (a‐c).    

 

  Primera circunferencia de trazado. 

 

Es la circunferencia que se traza inicialmente y su  objetivo  es  el  de  obtener  la  medida  del  lado  de  un  cuadrado  que,  como  ya  se  señaló  en  un  capítulo  anterior, guarde la proporción de que su lado sea igual  a la medida de 1,5 radios de dicha circunferencia.    148

La  referida  proporción  puede  verificarse  en  esta  otra  imagen,  en  la  que  se  ha  trazado  la  circunferencia  haciéndola coincidir con la base del cuadrado, de forma  que puede comprobarse que las medidas coinciden: el  lado es igual a 1,5 radios.     

 

  El lado del cuadrado es igual a 1,5 radios. 

 

      149 

La  segunda  circunferencia  de  trazado,  se  obtiene  una vez trazado el cuadrado, dividiendo los lados en 4  partes  iguales  cada  uno,  lo  que  uniendo  con  líneas  dichos  puntos  con  sus  opuestos,  determina  formar  16  pequeños cuadrados interiores.   El centro de dicha circunferencia es el mismo que  el  del  cuadrado  (b)  y  el  radio  es  la  distancia  hasta  cualquiera de esos 8 puntos intermedios.     

 

 

      150

Segunda circunferencia de trazado. 

La  referencia  a  los  ejes  horizontal,  vertical  y  los  transversales,  que  son  perpendiculares  entre  sí,  todos  ellos  son  coincidentes  tanto  para  la  circunferencia  como para el cuadrado.   Dichos  ejes  dividen  a  la  circunferencia  en  ocho  partes  iguales,  formando  un  octógono,  una  figura  que  también  podría  guardar  algún  tipo  de  relación  muy  significativa con el resto de las figuras.      

 

  Circunferencias de trazado, el cuadrado y el octógono. 

 

  151 

Una  observación  detallada  sobre  la  relación  de   proporciones utilizadas por Leonardo, pone de relieve  un dato aparentemente extraño:   La  longitud  de  una  circunferencia  es  el  producto  de  2PI  por  el  radio.  Expresando  esto  de  una  forma  desglosada,  es  como  decir  que  la  longitud  de  una  circunferencia es igual al producto de 6 radios, más el  factor proporcional de PI.   Dicho  factor  correspondería  al  producto  de  2  por  los  valores  decimales  de  dicha  constante,  o  lo  que,  expresado de una forma más simple, es el producto de  0,2832... por 1 radio.    En  la  relación  de  proporciones  que  se  están  resaltando, resulta evidente que las medidas utilizadas  son  siempre  el  valor  entero  de  “6  radios”,  o  su  valor  absoluto, lo que significa “no tener en cuenta” el valor  decimal  de  dicho  factor  de  PI,  lo  que  en  la  práctica  significa  “despreciar”  los  valores  decimales  de  la  constante PI.   Sobre  las  posibles  interpretaciones  de  la  relación  de  proporciones  que  se  han  comentado  en  este  capítulo, surgen múltiples interrogantes, sobre porqué  las utilizó Leonardo da Vinci en el dibujo.  ¿Descubrió  Leonardo  estas  relaciones  como  consecuencia de los numerosos trabajos y dibujos que  al parecer realizó, buscando la solución al problema de  la cuadratura del círculo?  ¿Acaso llegó a tener conocimiento de ellas a través  de documentos o informaciones a los que tuvo ?  ¿Podrían tener algún otro significado la relación de  proporciones entre ambas figuras geométricas? 

152

¿Tuvieron  alguna  transcendencia  o  fueron  utilizadas  las  proporciones  indicadas,  en  otras  épocas  remotas de la antigüedad?    Son  interrogantes  de  difícil  respuesta,  pues  no  parece  que  existan  documentos  o  testimonios  en  que  apoyar  este  razonamiento.  Sin  embargo,  la  última  interrogante  si  permite,  de  alguna  forma,  plantear  algunas hipótesis, en busca de posibles respuestas.    “Leonardo  muestra  a  través  de  sus  dibujos  su  maestría  en  la  composición,  claridad  de  expresión  y  fundamentalmente  un  profundo  conocimiento  de  la  antigüedad romana, sus investigaciones sobre los textos  de  Vitruvio  y  la  geometría,  permite  asegurar  que  tenía  un  intenso  conocimiento  sobre  la  ciencia  antigua  y  sus  enseñanzas”.    Es preciso recordar finalmente, de que aunque las  dos  circunferencias  de  trazado,  se  representen  de  forma  completa  en  todos  los  dibujos  que  se  han  utilizado,  en  realidad  se  corresponden  a  marcas  o  medidas  que  se  toman  con  el  compás  y  que,  una  vez  trasladadas  sobre  el  eje  vertical,  sirven  para  obtener  un único círculo y un único cuadrado.   La  relación  de  las  medidas  entre  los  radios  de  estas  dos  circunferencias  de  trazado  y  la  medida  del  lado  del  cuadrado,  son  las  relaciones  utilizadas  por  Leonardo para calcular el centro y la medida del radio  de una tercera circunferencia final, propósito de dicho  dibujo.    153 

También  y  tal  como  se  ha  visto  en  un  capítulo  anterior, la secuencia completa  del trazado del dibujo  de  Vitruvio  puede  realizarse  en  los  dos  sentidos,  es  decir,  partiendo  de  la  circunferencia  inicial  mayor,  obtener el cuadrado y a partir de éste la circunferencia  menor y a la inversa.  La  circunferencia  y  el  cuadrado,  trazados  con  un  método semejante, podrían haber sido utilizados en la  antigüedad,  más  concretamente  en  Egipto,  para  el  diseño  de  los  esquemas  utilizados  en  la  construcción  de  un  significativo  número  de  pirámides  que  reflejan  en  sus  medidas,  una  relación  de  proporciones  semejantes  a  las  que  hasta  aquí  se  han  puesto  de  relieve.     

 

     

154

 

       

                     

SEGUNDA PARTE                         

155

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Un mito del antiguo Egipto.   

  Diferentes inclinaciones de las pirámides.  

 

  Todo  este  trabajo  comenzó  con  motivo  de  un  artículo  publicado  en  una  revista,  sobre  las  pirámides  de la meseta de Gizeh, en el que aparecía una fotografía  que mostraba las cinco pirámides, con una perspectiva  en  la  que  destacaba  con  cierta  evidencia  que  las  dos  pirámides  mayores  y  más  famosas  de  Egipto,  tenían  unas inclinaciones distintas de sus caras, siendo que las  medidas y el tamaño de ambas, son muy similares.   Se trata de las pirámides de los faraones Kefrén y  Keops.  Comparando  los  ángulos  de  inclinación  de  dichas pirámides, se puede verificar que la pirámide de  Kefrén tiene un ángulo de 53º 07' 48'', mientras que el  de la pirámide de Keops es de 51º 50' 32''. Apenas algo  más de un grado de diferencia, no es sino un pequeño  detalle  que  suele  pasar  fácilmente  desapercibido,  o  al  que  apenas  se  da  importancia,  cuando  se  leen  textos  donde figuran este tipo de datos.   157

 

      Este  detalle  tan  simple,  fue  el  origen  de  una  inquietud que me llevó a tratar de averiguar si podría  haber  alguna  causa  que  motivara  esta  diferencia,  a  la  que  habitualmente  en  los  libros  que  tratan  temas  de  egiptología,  no  se  le  da  ningún  significado,  ni  mayor  importancia que no sea la de simple información sobre  dichos datos.   La  realización  de  diversos  dibujos  para  el  análisis  y  la  comparación  de  las  medidas  de  ambas  pirámides,  determinó  el  profundizar  en  una  hipótesis  sobre  si  habrían  sido  construidas  utilizando  de  alguna  forma,  una posible relación con la circunferencia.  En  muchos  de  los  libros  que  tratan  sobre  la  Gran  Pirámide  de  Keops,  se  cita  frecuentemente  que  la  constante  PI  está  contenida  en  las  medidas  de  dicha  pirámide,  por  lo  que  se  le  atribuye  esa  relación  con  la  circunferencia.    158 

La  circunstancia  de  constatar  que,  de  alguna  forma,  parecía  existir  algún  tipo  de  relación  entre  la  circunferencia  y  las  proporciones  de  algunas  de  las  pirámides,  fue  lo  que  motivó  mi  curiosidad  para  relacionar  los  datos  obtenidos  con  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo,  ya  que  históricamente,  el  conocimiento  de  dicho  problema  se  remonta  hasta  la  época de los antiguos egipcios.   Como  consecuencia  de  haber  encontrado  posibles  relaciones  entre  la  circunferencia  y  el  trazado  de  las  pirámides,  y  de  forma  especial  con  el  cuadrado  que  forma  la  base  de  las  mismas,  finalmente  determinó  el  dirigir la atención sobre el dibujo de Leonardo da Vinci,  el  Hombre  de  Vitruvio,  ya  que  en  el  mismo,  destacan  espacialmente  ambas  figuras  geométricas  y  en  el  que,  según  opiniones  diversas  a  las  que  puede  accederse  a  través de páginas web en Internet, podría  ocultarse la  solución del problema.  La  sorpresa  se  produjo  al  comprobar  que,  al  realizar algunas mediciones de las figuras geométricas,  sobre  una  imagen  impresa  por  ordenador  del  citado  dibujo, puso de manifiesto la relación de proporciones  semejantes a las que se daban en algunas pirámides de  Egipto.  Unas  proporciones  que  fueron  la  llave  para  interpretar  algunas  de  las  claves  que  permiten  desentrañar  y  comprender  el  trazado y el objetivo del  dibujo de Da Vinci.              159

Resultaría  muy  ilusionante  poder  completar  este  trabajo,  aportando  algún  indicio  o  prueba  que  vinculara el problema de la cuadratura del círculo con  los  antiguos  egipcios.  Poder  aportar  algo  más  que  la  simple  ilusión  de  creer  que  el  enunciado  de  dicho  problema  fue  realmente  obra  de  los  constructores  de  las  pirámides  de  Egipto,  y  más  aún,  que  aquellos  hubieran conocido la solución.   Realmente,  no  resulta  posible  encontrar  entre  las  innumerables  y  grandiosas  obras  que  legaron  los  antiguos egipcios, ninguna alusión, ni en relieves ni en  papiros, o tablas, o textos, sobre la forma en que fueron  diseñadas  las  pirámides,  o  a  la  existencia  de  planos  o  datos sobre la realización de dichas construcciones. No  se  conoce  pues,  la  existencia  de  alguna  información  que permitiera establecer una hipótesis que fuera algo  más que una suposición o creencia, de que el problema  de la cuadratura del círculo tuviera alguna relación con  dichas construcciones.   Durante  los  últimos  siglos  se  vienen  realizado  numerosas  excavaciones  arqueológicas,  así  como  estudios muy exhaustivos sobre la cultura egipcia y en  la  actualidad  se  siguen  publicando  numerosas  obras  con  informaciones  y  datos  que  van  revelando  los  nuevos descubrimientos que se siguen llevando a cabo.  Resulta  difícil  encontrar  dibujos,  grabados  o  pinturas  que  sirvan  como  referencia  para  algo  más  que  no  sea  destacar simples detalles, ya que son escasos los restos  que muestran en alguna forma que la circunferencia y  el  cuadrado,  eran  habitualmente  utilizados  por  los  egipcios.     160 

A  pesar  de  ello  se  pueden  mencionar  algunos  hallazgos  en  los  que  destacan  aquellos  detalles  que,  a  modo de simple curiosidad, pueden ser tomados como  ejemplo.   En  Internet,  se  pueden  visitar  numerosas  páginas  web dedicadas a Egipto y la egiptología, algunas de las  cuales están extraordinariamente documentadas y que  ofrecen  gran  cantidad  de  informaciones  de  todo  tipo,  fotografías  y  estudios  sobre  el  maravilloso  mundo  de  los  egipcios  que,  después  de  miles  de  años,  siguen  causando una gran iración.  Como  se  ha  dicho,  por  simple  curiosidad,  se  reflejan  a  continuación  dos  ejemplos,  en  los  que  se  pueden  observar  algunos  detalles  sobre  el  círculo  o  el  cuadrado,  utilizados  para  la  realización  de  dibujos  o  decorados  en  templos  o  tumbas  egipcias.  El  propósito  de  estos  ejemplos,  es  mostrar  que  los  egipcios  utilizaban  de  alguna  forma,  diseños  o  planos  para  la  realización de la mayoría de sus obras arquitectónicas  y decorativas. Por desgracia no existe constancia sobre  la  supuesta  existencia  de  planos  de  los  templos  y  especialmente  de  las  pirámides,  aunque  es  posible  encontrar  algunas  alusiones  sobre  los  mismos,  en  obras o comentarios de algunos egiptólogos.  Los antiguos egipcios solían utilizar habitualmente  el procedimiento de cuadricular todos sus trabajos, de  forma  que  los  dibujos  a  pequeña  escala,  podían  ser  reproducidos  al  tamaño  que  desearan.  Los  decorados  de las paredes en las tumbas, los relieves o las pinturas,  eran  copiados  de  esa  forma,  a  escala  de  los  dibujos  cuadriculados  que  previamente  se  habrían  realizado    sobre papiros o tablas.   161

Entre  los  hallazgos  encontrados  en  la  tumba  de  Djehuty,  un  destacado  dignatario  de  la  reina‐faraón  Hatshepsut,  esposa  del  faraón  Tutmosis  II,  se  encuentran  unos  fragmentos  de  la  que  se  ha  llamado  “tabla del aprendiz”, en la que aparecen representados  dos  dibujos  o  retratos  de  un  faraón  egipcio.  Uno  de  ellos  está  dibujado  con  trazos  firmes  y  perfectos,  mientras  que  el  otro  presenta  trazos  dubitativos  o  toscos.    

 

“Tabla del aprendiz” 

 

  Ambos dibujos o retratos están divididos por unas  cuadrículas,  lo  que  significa  que  se  trataba  de  un  ejercicio  para  un  discípulo  que  copiaba  el  trabajo  dibujado por su maestro.   La mencionada tabla se halla en el Museo de Luxor  y puede verse a través de Internet en la página web de  Amigos de la Egiptología, en la siguiente dirección:   http://www.egiptologia.com/content/view/600/101/  162 

Otro  ejemplo  corresponde  a  una  decoración  encontrada  en  la  tumba  de  Senenmut,  un  destacado  personaje  al  que  se  atribuye  que  tuvo  un  gran  poder,  considerado  como  un  arquitecto  real  y  canciller,  también relacionado con la reina ya citada Hatshepsut.  Se  trata  de  un  plano  astronómico  que  decora  el  techo  de  su  cámara  funeraria.  Es  una  reproducción  de  las  constelaciones  del  hemisferio  norte  y  una  tabla  astral  para  medir  los  movimientos  celestes  de  algunos  planetas del sistema solar.    

 

  Esquema de las 12 circunferencias del techo de la tumba de Senenmut. 

  De  la  decoración  destaca  lo  que  es  considerado  como  un  calendario  lunar,  compuesto  por  doce  circunferencias  distribuidas  sobre  el  techo,  tal  como  figuran  representadas  de  forma  esquemática  en  la  imagen anterior.  Destaca  el  detalle  de  que  algunas  de  dichas  circunferencias  están  claramente  enmarcadas  o  circunscritas  por  cuadrados  dibujados  en  color  rojo.  Con  toda  probabilidad,  este  detalle  indica  que  el  decorado  fue  copiado  a  partir  de  algún  dibujo  o  esquema  realizado  a  modo  de  plano  que  sirvió  de  163

referencia  para  trasladar  las  mismas  medidas  y  proporciones.   Destaca de forma especial el detalle, de que todas  las circunferencias están divididas en 24 partes iguales,  por 12 diámetros perfectamente trazados.   La  información  referida  a  este  descubrimiento  puede  verse  a  través  de  diversas  páginas  web,  de  las  que se destaca la siguiente:   http://www.geocities.com/antologia_hermes/018egip cio.htm    Existen  algunos  papiros  en  los  que  se  recogen  datos referidos a matemáticas y geometría, además de  otras  diversas  narraciones.  De  entre  ellos,  destaca  el  Papiro de Rhind que se conserva en el Museo Británico  de Londres. Su autor fue el escriba Ahmés, hacia el año  1650  a.  de  C.  copiado  de  otros  escritos  de  unos  300  años más antiguos, como el propio autor reconoce.     El papiro de Rhind comienza con la frase:     "Cálculo  exacto  para  entrar  en  el  conocimiento  de  todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos  y misterios”.     Dicho papiro constituye una de las mayores fuentes  de información sobre matemáticas que se conoce de los  antiguos  egipcios.  Está  escrito  en  hierático  y  está  compuesto  por  el  planteamiento  de  ochenta  y  siete  problemas  con  sus  respectivas  soluciones.  Recoge  información  referida  a  cuestiones  aritméticas  básicas,  fracciones,  cálculo  de  áreas,  volúmenes,  progresiones,  164 

reglas  de  tres,  repartos  proporcionales,  ecuaciones  lineales y  trigonometría básica”.     De  entre  los  problemas  que  recoge,  se  destacan  algunos por considerar que tienen alguna relación con  el propósito perseguido en este capítulo.     “El  problema  número  48,  cuyo  enunciado  es:  Comparar  el  área  de  un  círculo  con  la  del  cuadrado  circunscrito.  La  resolución  es  como  sigue:  El  escriba  considera  un  círculo  de  diámetro  igual  a  9  y  calcula  su  área  como  la  de  un  cuadrado  de  lado  8.  Obtiene  así  un  valor de 64. Según se ve en la figura del problema, en un  cuadrado  de  lado  9,  se  dividen  los  lados  en  tres  partes  iguales formando luego un octógono. Ahmés elimina los  triángulos formados en los vértices del cuadrado. El área  del octógono es igual a 63.”    “El problema número 50 plantea el cálculo del área  de  un  círculo.  El  enunciado  es:  Calcular  el  área  de  un  campo  circular  cuyo  diámetro  es  9.  En  la  resolución  de  este  problema,  Ahmés  se  limita  a  calcular  el  área  del  círculo considerándolo igual a la de un cuadrado de lado  9.  Dice:  Resta  al  diámetro  1/9  del  mismo,  que  es  1.  La  diferencia  es  8.  Ahora  multiplica  8  veces  8,  que  da  64.  Este es el área del círculo".     “El  problema  número  56,  plantea  el  cálculo  de  la  pendiente  de  una  pirámide,  mediante  la  relación  de  las  medidas verticales y horizontales.   El  enunciado  de  este  problema  es:  ¿Cuál  es  la  inclinación de la cara de una pirámide de 250 codos de  altura y 360 codos de lado en la base?   165

La  resolución  consiste  en  que  la  pendiente  es  obtenida  al  poner  verticalmente  en  codos  y  medir  horizontalmente en palmos y dedos”.     “En el problema número 57, se plantea al cálculo de  la  altura  de  una  pirámide,  conocidos  la  inclinación  y  la  medida de la base”.   

Con  el  detalle  de  estos  breves  ejemplos,  se  pretende dejar una pequeña constancia reflejando que  desde  hace  más  de  4000  años,  los  egipcios  tenían  conocimientos  de  ciencias  entre  las  que  destacan  la  Astronomía,  las  Matemáticas  o  la  Geometría,  y  que  realizaban  cálculos  relacionados  con  el  cuadrado,  con  el círculo y con las pirámides.   También  existe  la  probabilidad  de  que  dichos  conocimientos fueran recogidos en papiros o tablas, de  los que la mayoría se perdieron en la antigüedad, o que  muchos  fueran  considerados  como  “conocimientos  sagrados”  y  por  ello,  mantenidos  cuidadosamente  ocultos.  En  aquella  época,  eran  precisamente  los  arquitectos, los ingenieros, en suma los sacerdotes, los  que detentaban el poder y el saber y los que conocían  todos los métodos y “secretos tecnológicos” que debían  mantenerse alejados del conocimiento de los profanos.  Alguna  teoría  extendida  entre  determinados  historiadores  y  esotéricos,  defienden  la  existencia  de  una “leyenda” sobre un posible “archivo central de los  egipcios”,  en  el  que  se  encontrarían  numerosos  e  importantes  papiros  y  escritos  que  explicarían  los  muchos misterios que permanecen sin desvelar.     166 

“Edgar  Cayce,  notable  psíquico  y  vidente  norteamericano,  fallecido  en  1945,  llegó  a  precisar  la  ubicación  exacta  de  dicho  archivo,  en  algún  pasadizo  secreto  situado  entre  la  Esfinge  y  la  Gran  Pirámide,  así  como  también  pronosticó  la  fecha  en  que  serían  encontrados: 1998.   Según  Cayce,  en  dicho  año  se  descubriría  bajo  la  pata  derecha  de  la  Esfinge  la  entrada  a  una  sala  en  la  que  se  encontrarían  objetos  y  documentos  procedentes  de  una  civilización  anterior  que  transmitió  a  la  civilización egipcia su sabiduría.   Por supuesto que la “profecía” no se cumplió y hasta  la  fecha  no  se  ha  encontrado  ningún  pasadizo  y  mucho  menos unos archivos o documentos, aunque ciertamente  varios  equipos  de  arqueólogos  buscaron  esa  presunta  sala bajo la Esfinge”.    Hace  algunos  años,  Zahi  Hawass,  la  más  alta  autoridad  en  arqueología  egipcia  auguraba,  en  una  entrevista  que  se  le  hacía  en  una  publicación,  sobre  posibles  nuevos  descubrimientos  por  realizar  en  la  pirámide de Keops.   Concretamente,  se  habría  descubierto  en  dicha  pirámide  una  cámara  vacía,  a  la  que  se  accedería  a  través  de  un  estrecho  canal  de  ventilación  de  unos  65  metros  que  partiendo  de  la  Cámara  de  la  Reina,  finalizaba  en  lo  que  parece  ser  una  puerta  con  dos  pequeños picaportes de bronce.   En este sentido, manifestaba:   “Tras  esa  puerta  podríamos  hallar  una  habitación  vacía  que,  dadas  las  numerosas  modificaciones  que  sufrió el proyecto de la pirámide, quedó inacabada. Con  suerte, descubriríamos papiros, tal vez justo aquellos que  167

relatan  las  vicisitudes  para  la  construcción  de  la  pirámide.  Para  la  Ciencia,  la  Historia  y,  sobre  todo,  la  Arqueología, sería un tesoro verdaderamente precioso”.    La  falta  de  documentos  o  planos,  sobre  cómo  fueron  diseñadas  las  pirámides,  no  debería  significar  ningún  obstáculo  para  suponer  su  existencia.  Para  la  obtención  de  las  distintas  medidas,  líneas,  aristas,  pendientes,  así  como  para  la  ubicación  espacial  de  los  pasadizos  y  de  las  cámaras  interiores,  etc.,  resultaría  imprescindible  realizar  unos  diseños,  o  dibujos,  o  bocetos a modo de planos, a partir de los cuales hacer  los  cálculos,  verificar  las  proporciones  y  las  medidas  necesarias  para  la  supervisión  de  las  obras,  conforme  se ejecutaran las construcciones.   Aunque  no  se  hayan  encontrado  las  citadas  referencias,  lo  que  sí  es  evidente,  es  que  la  mejor  información de que se dispone se halla escrita sobre las  piedras,  en  la  gran  cantidad  de  obras  artísticas  y  arquitectónicas,  en  forma  de  relieves,  pinturas  y  jeroglíficos  que  en  esta  forma,  se  recogen  una  gran  parte  de  la  historia  y  de  los  conocimientos  de  los  antiguos egipcios.  Y  de  una  forma  muy  especial,  precisamente  las  piedras  constituyen  el  mayor  y  más  valioso  legado  de  aquella civilización. Y si algo destaca por la utilización  más  grandiosa  que  hicieron  de  las  piedras,  son  las  pirámides.  Acaso  sería  una  casualidad  demasiado  grande,  el  que  en  dichas  construcciones  estuviera  reflejada una posible relación con el mítico problema.        168 

 

19   

 

El diseño de las pirámides.    ¿Utilizaron  los  egipcios  la  circunferencia  en  la  construcción de las pirámides?   ¿Existe alguna relación entre la circunferencia y la  pirámide que los constructores egipcios podrían haber  utilizado para el diseño de algunas pirámides?   No resulta aventurado responder afirmativamente  a estas interrogantes, ya que todas las medidas de una  pirámide  regular  perfecta,  se  pueden  obtener  a  escala  utilizando  una  circunferencia,  a  partir  de  la  cual  se  realiza el diseño de un plano o esquema, de lo que sería  la  apariencia  extendida  de  la  pirámide,  del  cual  se  pueden  obtener  las  medidas  de  sus  líneas,  como  los  lados de la base, las aristas, la altura, los ángulos de las  pendientes, etc.  Resultaría  ser  una  sorprendente  coincidencia,  y  debería  ser  algo  más  que  una  simple  casualidad,  pero  es un hecho que dicha relación existe y viene a resultar  que  está  determinada  por  las  mismas  secuencias  y  proporciones  que  utilizó  Leonardo  da  Vinci,  en  el  trazado  de  las  figuras  geométricas  del  dibujo  de  El  Hombre de Vitruvio.  Para dibujar el esquema de un plano, con la base y  las  caras  extendidas  de  una  pirámide,  los  pasos  necesarios serían como siguen:      169

1.  Se  traza  una  circunferencia  y  los  dos  ejes,  el  horizontal  y  el  vertical.  A  continuación  se  dibuja  un  cuadrado,  con  la  misma  relación  de  proporciones  que  ya  conocemos,  es  decir,  la  suma  de  los  4  lados  del  cuadrado, ha de ser igual a la suma de 6 radios, por lo  que el lado del cuadrado es igual a 1,5 radios.   Se  marca  el  punto  medio  del  radio  (b)  sobre  la  parte superior del eje vertical.   El lado del cuadrado tiene la medida de un radio y  medio (b–c).      

b

a

c       170 

 

2.  Para  realizar  el  trazado  que  se  persigue,  es  preciso dibujar el cuadrado con el mismo centro que la  circunferencia, para lo cual se vuelve a marcar el punto  medio (b1) que es la cuarta parte del radio.   Con  la  medida  de  la  mitad  del  lado  (a–b1)  se  marcan  los  puntos  y  vértices  por  los  que  se  traza  el  cuadrado.   

 

d b1 b

a

c    

 

      171

3. Se  dividen  los  lados  del  cuadrado  en  cuatro  partes  iguales  cada  uno.  Se  trazan  las  líneas  entre  los  puntos  opuestos  de  dichas  divisiones,  formando  16  cuadrados  interiores.  Los  cuatro  cuadrados  centrales,  forman a su vez un cuadrado, cuyo lado mide la mitad  que  el  cuadrado  inicial.  Dicho  cuadrado  central  es  la  base de una pirámide.     b1

 b

 a

c   Los cuatro cuadrados centrales son la base de una pirámide.           

172 

 

4.  Desde  cada  uno  de  los  vértices  del  cuadrado  central  o  base,  se  trazan  las  líneas  hasta  los  puntos  donde  los  ejes  horizontal  y  vertical  se  cortan  con  la  circunferencia, formando cuatro triángulos iguales que  son las caras de una pirámide.     

 b1 b  a

c  

 

Esquema del plano de una pirámide a partir de la circunferencia.  

   

     

173

5. El dibujo resultante es el esquema del plano de  una pirámide extendida, de sus caras y su base, a partir  del cual se pueden obtener a escala, todas sus medidas.  Los  lados  de  la  base,  las  aristas,  las  diagonales  y  la  altura, así como los ángulos de las pendientes.      

arista

h radio

1/2 lado

apotema

lado

  Esquema del plano de una pirámide y detalle de la altura. 

 

  Con  este  sencillo  diseño,  la  altura  de  la  pirámide  resulta  ser  igual  a  la  mitad  de  un  radio  de  la  circunferencia  utilizada.  Además,  guarda  la  misma  proporción  que  ya  conocemos,  respecto  del  lado  del  cuadrado  de  la  base,  es  decir,  la  altura  es  igual  a  un  lado multiplicado por 4 y dividido por 6.  174 

La  altura  se  obtiene  mediante  un  sencillo  trazado  con  un  compás,  trasladando  la  medida  de  la  apotema,  sobre  una  línea  vertical  al  centro  del  cuadrado,  como  puede verse en estos dibujos.   

b

a

 

   

  a   l   t   u   r   a

1/2 lado

apotema

  Detalles del cálculo de la altura de una pirámide. 

 

175

El  dibujo  desarrollado,  se  corresponde  con  el  de  un  esquema  o  plano  que  guarda  una  relación  muy  especial de proporciones, ya que las medidas de todas  sus  líneas  a  escala,  coinciden  exactamente  con  las  medidas  reales  de  la  pirámide  de  Kefrén,  además  de  otras diversas pirámides en Egipto.    Relación de proporciones en las medidas.     La  relación  en  las  proporciones  utilizadas  para  el  trazado  de  este  diseño  o  plano,  es  el  mismo  que  el  utilizado  por  Leonardo  da  Vinci  en  el  trazado  de  su  dibujo.  Las  citadas  proporciones  que  se  determinan  entre  la  circunferencia  y  el  cuadrado,  son  las  mismas  que  las  utilizadas  en  el  diseño  y  construcción  de  algunas pirámides de Egipto.     Radio:  La  suma  de  la  medida  de  la  mitad  del  lado  de la base más la apotema de una de las caras, es igual  a  la  medida  del  radio  de  la  circunferencia  inicial  utilizada para su trazado. El radio es también igual a la  medida  del  lado  del  cuadrado,  multiplicado  por  4  y  dividido por 6.    Altura: Es igual a la medida del lado del cuadrado  de  la  base,  multiplicado  por  4  y  dividido  por  6.  También es igual a la medida del Radio dividido por 2.              176 

 

Pirámides que tienen la misma relación de  proporciones expresadas.    Con  la  misma  relación  de  las  proporciones  expresadas,  entre  el  radio  de  una  circunferencia  y  la  altura de una pirámide, pudieron haber sido diseñadas  y  construidas  un  determinado  número  de  pirámides,  como las que se relacionan en el cuadro siguiente, con  excepción  de  la  de  Keops,  cuyas  medidas  se  detallan,  responden  al  mismo  diseño,  de  una  forma  exacta  en  varias de ellas, o muy aproximada en otras.    

  Pirámides diseñadas a partir de la circunferencia. 

 

     

177

En  el  cuadro  se  recogen  las  medidas  reales  de  las  pirámides  relacionadas,  en  las  cuatro  columnas  de  la  izquierda. Las medidas o valores que figuran en las tres  columnas de la derecha, “Suma”, “Radio” y “Altura” son  el resultado de unos cálculos.   La  columna  “Suma”  refleja  la  suma  de  la  apotema  más la mitad del lado de cada pirámide.   La  columna  “Radio”  refleja  la  medida  del  lado  del  cuadrado  inicial  que  es  exactamente  el  doble  que  la  medida  del  cuadrado  de  la  base,  multiplicado  por  4  y  dividido  por  6.  Los  datos  de  las  citadas  columnas  han  de ser prácticamente coincidentes entre sí.  La  columna  “Altura”  refleja  la  medida  calculada,  del  lado  del  cuadrado  de  la  base  multiplicado  por  4  y  dividido  por  6.  Dicha  medida  es  también  igual  a  la  mitad del radio.   Estas  medidas  son  coincidentes  o  muy  aproximadas  respecto  de  las  medidas  reales  que  figuran en la tercera columna.   Los  resultados  reflejados  sugieren  la  posibilidad  de plantear una hipótesis, referida a que un importante  número  de  pirámides  en  Egipto,  pudieron  haber  sido  diseñadas  utilizando  un  mismo  sistema  o  modelo  de  planos,  basado  en  la  relación  de  proporciones    que  se  dan entre el radio de una circunferencia, el lado de un  cuadrado y las medidas de una pirámide .                178 

20   

 

Los planos de las pirámides.     Las  pirámides  de  Egipto  han  causado  fascinación  durante muchos siglos a todos aquellos viajeros que las  han  contemplado.  Impresionan  por  su  grandeza  y  también por la perfección de sus líneas, cualquiera que  sea  la  perspectiva  con  la  que  son  observadas.  Es  evidente  que  tanto  las  pirámides  como  cualquier  otra  forma de construcción, han de tener su origen a partir  de unos planos, en los cuales se recogen las formas, los  volúmenes, los espacios interiores y las dimensiones.     Las proporciones con las que los antiguos egipcios  realizaron sus construcciones, parecen estar reflejadas  en los textos del arquitecto romano Vitruvio, cuya obra  fue  escrita  en  el  siglo  I  a.  de  C.,  recoge  importantes  conocimientos de la arquitectura antigua, de los cuales  algunas de las referencias sin duda que se remontaban  a varios siglos o milenios anteriores a su época.  La  siguiente  cita  se  destaca  por  la  referencia  que  Vitrubio  hace  de  la  simetría  que  han  de  guardar  los  templos,  porque  si  existen  unos  monumentos  que  guardan una simetría perfecta, esos son las pirámides.  Vitruvio en su Libro Tercero de Arquitectura, en el  que  trata  del  origen  de  las  medidas  de  los  templos,  describe lo siguiente:     “La  composición  de  los  Templos  depende  de  la  simetría, cuyas reglas deben tener siempre presentes los  Arquitectos.  Ésta  nace  de  la  proporción  que  los  Griegos  179

llaman analogía. La proporción es la conmensuración de  las partes y  de un edificio con todo el edificio  mismo, de la cual procede la razón de simetría. Ni puede  ningún edificio estar bien compuesto sin la simetría y la  proporción, como lo es un cuerpo humano bien formado.  Compuso la naturaleza el cuerpo humano de suerte, que  su rostro desde la barba hasta lo alto de la frente y raíz  del pelo es la décima parte de su altura. Otro tanto es la  palma  de  la  mano  desde  el  nudo  de  la  muñeca  hasta  el  extremo  del  dedo  largo.  Toda  la  cabeza  desde  la  barba  hasta lo alto del vértice ó coronilla es la octava parte del  hombre. Lo mismo es por detrás, desde la nuca hasta lo  alto. De lo alto del pecho hasta la raíz del pelo es la sexta  parte;  hasta  la  coronilla  la  cuarta.  Desde  lo  bajo  de  la  barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro;  toda la nariz hasta el entrecejo otro tercio; y otro desde  allí  hasta  la  raíz  del  pelo  y  fin  de  la  frente.  El  pie  es  la  sexta parte de la altura del cuerpo; el codo la cuarta; el  pecho  también  la  cuarta.  Todos  los  otros    tienen  también  su  conmensuración  proporcionada;  siguiendo  la  cual  los  célebres  Pintores  y  Estatutarios  antiguos  se  granjearon  eternas  debidas  alabanzas.  Del  modo  mismo,  pues,  los    de  los  Templos  sagrados  deben  tener  exactísima  correspondencia  de  dimensiones de cada uno de ellos a todo el edificio.  Así mismo el centro natural del cuerpo humano es el  ombligo;  pues  tendido  el  hombre  supinamente,  y  abiertos  brazos  y  piernas,  si  se  pone  un  pie  del  compás  en  el  ombligo,  y  se  forma  un  círculo  con  el  otro,  tocará  los  extremos  de  pies  y  manos.  Lo  mismo  que  en  un  círculo  sucederá  en  un  cuadrado;  porque  si  se  mide  desde  las  plantas  a  la  coronilla,  y  se  pasa  la  medida  transversalmente a los brazos tendidos, se hallará ser la  180 

altura  igual  a  la  anchura,  resultando  un  cuadrado  perfecto.  Luego  si  la  naturaleza  compuso  el  cuerpo  del  hombre de manera que sus  tengan proporción  y correspondencia con todo él, no sin causa los antiguos  establecieron también en la construcción de los edificios  una  exacta  conmensuración  de  cada  una  de  sus  partes  con  el  todo.  Establecido  este  buen  orden  en  todas  las  obras,  le  observaron  principalmente  en  los  Templos  de  los  Dioses,  donde  suelen  permanecer  eternamente  los  aciertos y errores de los artífices.  Tomaron  así  mismo  de  los    del  cuerpo  humano  la  variedad  de  medidas,  tan  necesarias  en  las  obras,  como  el  dedo,  palmo,  pie  y  codo,  y  las  distribuyeron  en  número  perfecto,  que  los  Griegos  llaman teleion. ......  También hicieron perfecto al número seis, por haber  advertido que el pie del hombre era la sexta parte de su  altura; y que el codo constaba de seis palmos, a saber, 24  dedos”    Architectura  de M. Vitruvio. Libro III ­ Capítulo I.   De la composición y simetría de los Templos.    El texto completo al que pertenece esta referencia  puede verse en la dirección de la página web:   http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveO bras/56812842103436117565679/index.htm            181

Vitruvio  fue  arquitecto,  ingeniero,  escritor  y  tratadista  romano,  pero  primordialmente  fue  un  militar,  lo  que  pudo  significar  que  por  causa  de  su  participación en expediciones militares, o bien a por su  relación  con  otros  militares  romanos,  pudo  haber  tenido    a  documentos,  textos,  planos,  etc.  Que  recogieran  información  sobre  muchas  construcciones  arquitectónicas de la antigüedad.   Es habitual que los pueblos guerreros e invasores  se  apropiaran  de  todo  aquello  que  consideraban  valioso  en  los  saqueos  que  seguían  a  sus  conquistas.  Los  documentos,  textos,  papiros,  tablas,  etc.,  eran  objetos que no solían estar considerados de valor y por  lo general terminaban quemados o destruidos. Excepto  para  aquellas  personas  amantes  de  la  cultura  y  de  los  conocimientos  que,  como  Vitruvio,  sí  que  mostrarían  un  especial  interés  hacia  este  tipo  de  objetos  y  de  información. De lo que no habría de caber duda, es que  una gran parte de los conocimientos que recogió en sus  obras,  los  obtuvo  de  otros  documentos  mucho  más  antiguos a su época.  Resulta  llamativo  que  la  expresividad  y  el  detalle  con  los  que  reflejó  las  proporciones  de  un  cuerpo  humano,  utilizadas  como  argumento  para  resaltar  la  importancia  de  unas  proporciones  que,  según  él,  guardaban  las  construcciones  antiguas  y  de  forma  especial, las referidas a construcciones sagradas, como  eran los templos de los dioses.  También resulta significativo que las medidas que  señala  para  las  partes  del  cuerpo  humano,  reflejan  la  similitud  evidente  con  las  medidas  utilizadas  por  los  antiguos egipcios en sus construcciones.    182 

En  el  Antiguo  Egipto  utilizaban  como  unidad  de  medida  el  codo.  Había  dos  codos  básicos,  el  codo  real  que estaba dividido en 7 palmos, y el codo corto que de  forma más común era el más utilizado, estaba dividido  en  6  palmos,  y  cada  palmo  estaba  compuesto  por  4  dedos.   Curiosamente,  las  anotaciones  del  dibujo  de  Leonardo,  contienen  los  mismos  detalles:  “4  dedos  forman  1  palma,  4  palmas  son  1  pie,  6  palmas  son  un  codo y 4 codos son la altura de un hombre.”    Cabe  resaltar  pues,  que  son  tres  los  detalles  reflejados por Leonardo que aparecen en este texto de  Vitruvio: Las referencias que hace a los antiguos, a las  proporciones del cuerpo humano, y a las medidas “seis,  cuatro, veinticuatro”.   Quizás  sería  demasiada  casualidad,  pero  las  citadas  proporciones  y  medidas  resultan  ser  las  mismas  que,  como  se  ha  visto  en  el  capítulo  anterior,  coinciden con las del diseño de los esquemas o planos  de un importante número de pirámides en Egipto.                           183

Acaso  resulte  demasiado  evidente  como  para  ser  esa  casualidad,  si  se  considera  que  el  dibujo  de  las  figuras  geométricas  de  Leonardo,  tiene  el  mismo  trazado que el señalado para el diseño del esquema de  las pirámides.   Retomando  el  dibujo  correspondiente  al  esquema  de  la  pirámide  de  Kefrén,  sobre  él  se  trazan  una  circunferencia  con  el  mismo  centro  que  el  cuadrado,  pasando por los 8 puntos intermedios de sus lados, y la  línea inferior bajo el mismo, y el resultado final son las  mismas  figuras  geométricas  de  las  fases  del  dibujo  de  Leonardo, a falta del trazado de la circunferencia final.     

 

 

  El esquema de la pirámide de Kefrén coincide con el dibujo de Leonardo. 

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Aún  cuando  únicamente  fuera  una  simple  ilusión,  no  resultaría  muy  aventurado  expresar  que  estos  conocimientos, recogidos por Vitruvio y utilizados por  Leonardo,  tuvieran  algún  tipo  de  relación  con  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo,  cuyo  origen  se  remonta  hasta  el  antiguo  Egipto.  Cabe  la  probabilidad  de  que  los  constructores  de  las  pirámides  pudieron  haber conocido la solución de este problema. De hecho,  algunos  historiadores  de  la  antigüedad,  hicieron  referencia a esa posibilidad.   De  aquellas  épocas  históricas,  muchos  fueron  los  documentos o textos que se perdieron para siempre y  muy  pocos  los  que  se  han  conservado  hasta  nuestros  días,  gracias  precisamente  a  aquellas  personas  que  transcribieron  los  conocimientos  que  contenían.  Es  posible que existieran planos con los que se diseñaron  y  construyeron  las  pirámides  de  Egipto,  aunque  no  exista ninguna referencia o constancia de ellos.   De  cualquier  forma,  esta  circunstancia  puede  resultar secundaria, ya que los planos de las pirámides,  están  reflejados  en  las  medidas  de  las  propias  pirámides.                        185

                                                             

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La Pirámide de Kefrén.     

  Pirámide de Kefrén 

 

   Esta  pirámide  fue  erigida  por  Kefrén,  cuarto  faraón  de  la  IV  Dinastía  y  su  finalización  está  datada  hacia el año 2520 a. de C. Las medidas de los lados de  su base son de 215,25 metros y su altura es de 143,50  metros.   Conocidas esas medidas reales, obtener un plano o  esquema similar al que pudo haber sido utilizado para  el  diseño  de  esta  pirámide,  es  relativamente  sencillo.  Para  ello,  basta  con  tomar  la  medida  de  la  mitad  del  lado  de  su  base  y  sumarla  a  la  medida  de  la  apotema  del  triángulo  de  una  de  sus  caras,  para  obtener  la  187

medida  del  radio  de  una  circunferencia,  a  partir  de  la  cual se ha de desarrollar un plano a escala.  La  medida  de  la  mitad  del  lado  es  107,625  y  la  medida de la apotema es de  179,375 metros. La suma  de  ambas  medidas  es  igual  a  287,00  metros.  Con  esa  medida de radio a escala, se traza una circunferencia y  se ejecutan los mismos pasos que fueron detallados en  un  capítulo  anterior,  con  las  proporciones  que  se  señalan.  Los recordamos brevemente:   Se  trazan  los  cuatro  ejes  de  la  circunferencia  y  sobre el eje vertical se marca con el compás la medida  de  1,5  radios.  Con  dicha  medida  se  traza  un  cuadrado  haciendo  que  el  centro  de  éste  coincida  con  el  de  la  circunferencia.   Se dividen los lados del cuadrado en cuatro partes  iguales  cada  uno  y  se  unen  los  puntos  opuestos  entre  sí,  formando  16  pequeños  cuadrados  interiores.  Los  cuatro  cuadrados  del  centro  forman  la  base  de  la  pirámide.   Desde  cada  uno  de  los  cuatro  vértices  hasta  los  puntos  donde  los  ejes  vertical  y  horizontal  cortan  a  la  circunferencia,  se  trazan  las  líneas  de  los  cuatro  triángulos que forman las caras de la pirámide.   La medida de la altura se obtiene trasladando con  el  compás  la  medida  de  una  apotema,  desde  la  base  hasta la línea vertical sobre el centro del cuadrado.  El resultado es el siguiente dibujo:   

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  Esquema del plano de la Pirámide de Kefrén.   

 

Se  toman  las  medidas  de  este  dibujo,  para  cada  una de las líneas señaladas y se verifica que coinciden  con  las  medidas  reales  de  la  Pirámide  de  Kefrén,  tal  como figuran en el siguiente cuadro.   

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Si se comparan las relaciones entre algunas de las  medidas de las líneas del dibujo, las características que  hay  que  destacar,  en  el  diseño  de  un  plano  de  esta  pirámide,  son  las  recogidas  en  los  tres  apartados  inferiores del cuadro anterior.   (1)  La  relación  entre  el  lado  del  cuadrado  de  la  base  y  la  altura,  es  que  la  medida  de  ésta  es  igual  a  la  medida del lado, multiplicado por 4 y dividido por 6.  (2)  La  altura  es  igual  a  la  mitad  de  la  medida  del  radio de la circunferencia utilizada.  (3)  El  radio  de  esa  circunferencia  es  igual  a  la  medida del lado del cuadrado base, multiplicado por 8  y dividido por 6.  Además,  como  ya  se  ha  indicado,  la  medida  del  radio  de  la  circunferencia  utilizado  en  el  dibujo,  es  igual a la suma de las medidas de la mitad del lado de la  base, más la apotema de una de las caras.  La  medida  de  los  lados  del  cuadrado  base,  es  exactamente la mitad que la de los lados del cuadrado  obtenido  a  partir  de  la  medida  del  radio  de  la  circunferencia, con la proporción ya indicada   La  conclusión  que  se  puede  extraer  sobre  lo  expuesto,  es  que  la  pirámide  de  Kefrén  fue  diseñada  con un plano o esquema semejante, trazado a partir de  una  circunferencia  y  guardando  unas  proporciones  muy definidas.               190 

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La Gran Pirámide de Keops.   

  Pirámide de Keops 

 

  La  Gran  Pirámide  de  Keops,  es  una  de  las  siete  maravillas  del  mundo  antiguo,  que  destaca  por  su  perfección  arquitectónica  y  por  sus  dimensiones  excepcionales.  Es  la  pirámide  por  excelencia,  una  pirámide  perfecta.  Ha  sido  objeto  de  intensos  y  numerosos  estudios,  a  pesar  de  lo  cual,  se  sigue  manteniendo  rodeada  de  misterios  e  incógnitas,  así  como  de  numerosas  teorías  que  pretenden  explicar  191

todo aquello que sigue resultando inexplicable para los  conocimientos  y  avances  tecnológicos  de  nuestra  época,  ya  que,  en  el  fondo  o  en  el  subconsciente,  nos  resulta  imposible  aceptar  que  nuestros  antepasados  tuvieran unos conocimientos o utilizaran unas técnicas  que  aún  hoy  día,  siguen  siendo  desconocidas,  o  sin  haber  encontrado  una  explicación  lógica  que  los  haga  comprensibles.  La  Gran  Pirámide  fue  construida  en  la  meseta  de  Gizeh,  en  una  época  que  no  se  ha  concretado,  por  ser  esta  una  circunstancia  que  sigue  causando  una  gran  discrepancia entre muchos de los expertos egiptólogos  que sustentan teorías muy diversas, acerca de un dato  tan  significativo  como  sería  el  datar  la  antigüedad  de  esta gran obra. El faraón Keops, a quien se atribuye su  construcción,  reinó  entre  los  años  2551‐2528  a  de  C.  Sin  embargo,  algunos  de  los  expertos  mencionados  datan  su  construcción  hasta  en  3000  años  antes,  es  decir, hace unos 7500 años.   Muchos son los misterios que rodean el mundo de  los  antiguos  egipcios,  que  sigue  fascinando  a  un  número cada vez mayor de personas en todo el mundo.   Y  si  de  misterios  se  trata,  los  que  mayores  controversias  han  venido  causando  a  lo  largo  de  muchas décadas, están relacionados precisamente con  la  Gran  Pirámide,  especialmente  en  lo  referido  a  la  forma  en  que  fue  construida  y  también  a  su  finalidad,  ya que es considerada una tumba funeraria por unos, o  como  un  templo  sagrado  por  otros;  también  hay  quienes afirman que era un observatorio astronómico,  o  incluso  que  sería  una  máquina  para  generar  algún  tipo de energía.    192 

Heródoto,  historiador  griego,  considerado  Padre  de la Historia, preguntó a los habitantes egipcios sobre  la  construcción  de  esta  pirámide,  en  un  viaje  que  realizó  a  Egipto  en  el  siglo  V  a.  de  C.,  y  esto  es  lo  que  transmitió:     “Esta  pirámide  fue  construida  así:  con  forma  escalonada  que  algunos  llamaban  “zócalos”  y  otros  “terrazas”.  Cuando  la  construyeron  así,  en  un  primer  momento  elevaron  las  piedras  con  máquinas  formadas  de  pequeñas  piezas  de  madera.  Las  alzaban  desde  el  suelo  hasta  la  primera  hilera  de  escalones;  cuando  la  piedra  llegaba,  era  colocada  sobre  otra  máquina  que  estaba preparada en la primera grada, y desde ella eran  arrastradas hasta la segunda hilera por otra máquina; o  había tantas máquinas como número de los escalones, o  retiraban  la  máquina  porque  era  solo  una  y  transportable,  la  irían  llevando  hasta  cada  fila  sucesivamente, cada vez que descargaban la piedra más  arriba.  Lo  cuento  de  las  dos  maneras  tal  y  como  se  me  relató.  La  parte  más  alta  de  la  pirámide  fue  terminada  primero  y  después  completaron  las  partes  siguientes,  pero al final de todo terminaron la partes del suelo, que  eran las más bajas de todas.”    De la construcción de esta obra tan grandiosa, tan  sólo  algunos  pequeños  relatos  como  el  que  antecede,  escritos  miles  de  años  después,  han  llegado  hasta  nuestros días. Un relato escueto y simple que no ofrece  una  explicación  suficiente  que  permita  comprender  la  técnica utilizada, o cómo se construyó realmente dicha  pirámide.    193

 Con  relación  a  esta  circunstancia  hay  numerosas  teorías,  sobre  la  necesidad  de  que  habrían  de  existir  rampas  externas  o  internas,  imprescindibles  para  la  elevación de los pesados bloques de piedras.    Lo  que  resulta  una  evidencia  innegable,  es  que  la  Gran Pirámide es una excepcional obra arquitectónica,  por la perfecta orientación que guarda respecto de los  cuatro  puntos  cardinales,  por  la  perfección  de  sus  proporciones,  del  cuadrado  de  su  base,  del  ángulo  de  inclinación  de  sus  caras  y  especialmente  por  la  precisión  en  la  estructura  de  las  galerías  y  de  las  cámaras  construidas  en  su  interior.  Sin  duda,  en  un  hecho  incuestionable  que  aquellos  que  la  diseñaron  y  la  construyeron,  tenían  grandes  conocimientos  sobre  Astronomía,  Geodesia,  Ingeniería  y  sobre  todo  de  Geometría.         ________________________________                            194 

Aunque  sólo  sea  una  hipótesis,  pero  es  probable  que  el  diseño  de  esta  pirámide,  pudo  haber  tenido  igualmente algún tipo de relación con la circunferencia,  ya que según se afirma, el valor de PI está contenido de  alguna forma en sus medidas y proporciones.   De  hecho,  lo  que  si  resulta  posible  es  realizar  un  diseño  del  esquema  o  plano  que  podría  corresponder  al  de  esta  pirámide,  trazado  a  partir  de  una  circunferencia,  y  verificar  que  las  medidas  obtenidas  del dibujo, comparadas con las medidas reales, son de  una  gran  aproximación  y  muestran  también  una  relación de proporciones especialmente significativa.  En cualquier caso, lo que si puede afirmarse es que  el método que pudo haber sido utilizado para el diseño  del  plano  o  esquema  de  la  pirámide  de  Keops,  no  se  corresponde con el modelo que se ha mostrado en los  capítulos  anteriores,  referido  a  cómo  habría  sido  realizado  el  diseño  de  la  pirámide  de  Kefrén  y  de  algunas otras pirámides en Egipto.  Siguiendo  el  trazado  a  escala  que  se  desarrolla  a  continuación,  utilizando  para  ello  una  circunferencia  cuyo radio sea igual a la suma de la mitad del lado de la  base, más la apotema de una de sus caras, se obtienen  unas  medidas  que  son  de  una  gran  aproximación,  respecto a las medidas reales de la Gran Pirámide.    El  desarrollo  del  dibujo  para  realizar  el  esquema  mencionado, se ejecuta con los siguientes pasos:            195

1.  Partiendo  de  que  se  trata  de  un  supuesto,  el  diseño  de  la  pirámide  de  Keops  pudo  haber  sido  realizado  a  partir  de  una  circunferencia,  en  la  cual  se  trazan  los  dos  ejes  perpendiculares,  el  vertical  y  el  horizontal  y  los  dos  ejes  transversales,  de  forma  que  quede dividida en ocho partes iguales.   Trazando las líneas que unen los vértices de forma  consecutiva de dichos ejes se forma un octógono.    2.  Para  obtener  el  cuadrado  de  la  base,  se  trazan  las  líneas  que  unen  los  vértices  de  cuatro  de  los  lados  de forma alterna de dicho octógono, hasta los vértices  de  sus  lados  opuestos,  formándose  en  el  centro  un  cuadrado que es la base de la pirámide.   El  lado  del  cuadrado  de  la  base  tendrá  la  misma  medida que el lado del octógono.    3. Desde cada uno de los cuatro vértices del citado  cuadrado, se trazan las líneas hasta los vértices de los  ejes  horizontal  y  vertical,  respectivamente,  formando  los cuatro triángulos de las caras de la pirámide.    4. Desde un punto medio del lado del cuadrado de  la  base,  con  el  compás  se  traslada  la  medida  de  la  apotema  del  triángulo  de  una  de  sus  caras,  hasta  marcar  el  punto  (h)  sobre  el  eje  vertical  al  centro  del  cuadrado, con lo cual se obtiene la medida de la altura  de la pirámide.       La figura resultante es la siguiente:   

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h

  Esquema del plano de la pirámide de Keops.     

 

El  lado  de  la  base  mide  230,36  metros.  La  mitad  del  lado  mide  115,18  y  la  apotema  mide  186,43.  La  suma de ambas medidas es de 301,61 metros.   Trazando una circunferencia con la misma medida  de  radio  indicada,  se  obtienen  para  el  resto  de  las  diferentes  líneas,  las  medidas  que  se  detallan  en  el  siguiente cuadro:                    

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  Comparación de las medidas de la Pirámide de Keops   

 

Al  comparar  las  medidas  obtenidas  a  partir  del  dibujo con las medidas reales atribuidas a la pirámide,  apenas difieren en unos pocos centímetros.     La relación entre el lado del cuadrado de la base y  la altura de la pirámide (1) es que la medida de ésta, es  igual a la medida del lado multiplicado por 4 y dividido  por  2*PI  (6,2832).  O  lo  que  es  lo  mismo,  el  perímetro  de la base es igual al perímetro de una circunferencia,  cuyo radio es igual a la altura de la pirámide.    Recordemos  que,  en  esta  misma  relación  en  la  pirámide de Kefrén, la altura es igual al perímetro de la  base dividido por 6. Se destaca este detalle, en razón a  que la diferencia de la relación entre la base y la altura  de las dos pirámides, corresponde al factor decimal de  PI:  La  altura  está  en  función  del  perímetro  de  los  cuadrados de las bases que se dividen por 6,2832 en la  de Keops y por 6 en la de Kefrén.        198 

Finalmente,  destacar  que  la  característica  más  importante, sobre la relación de proporciones entre la  circunferencia y la pirámide de Keops, es que el lado de  la base tiene la misma medida que el lado del octógono.     ¡El  octógono!  Casualmente  es  la  figura  que  Leonardo  da  Vinci  parece  sugerir  en  su  dibujo  con  la  figura humana: Las dos posiciones distintas de brazos y  piernas,  parecen  señalar  unos  ejes  que  suponen  una  división en ocho partes.      ¿Puede  tener  algún  sentido  relacionar  esta  clave  de Leonardo con la Gran Pirámide y el problema de la  cuadratura del círculo?                                        199

                                                             

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El enigma de las dos pirámides.   

 

 

Las  dos  pirámides  más  famosas  de  la  meseta  de  Gizeh son muy semejantes, pero no presentan ninguna  evidencia  aparente,  como  para  considerar  que  están  relacionadas entre sí de alguna forma.   Sin  embargo,  las  pequeñas  diferencias  señaladas  en  el  capítulo  anterior,  podrían  no  ser  fruto  de  la  casualidad por lo que en consecuencia, responderían a  unos  esquemas  de  diseño  perfectamente  estudiados  y  planificados.   Al comparar los esquemas de los planos de las dos  pirámides,  buscando  una  posible  relación  entre  sus  medidas  o  proporciones,  podemos  encontrarnos  con  unos resultados que, cuando menos, no dejaran de ser  sorprendentes.   201

Esquema del plano de la Pirámide de Kefrén    Recordemos  brevemente  que  para  obtener  el  esquema  del  plano  de  esta  pirámide,  se  parte  de  una  circunferencia inicial cuyo radio a escala, es la suma de  la  mitad  del  lado  de  la  base  más  la  apotema  del  triángulo, una suma que es igual a 287,0000 metros.   Sobre  el  dibujo  del  esquema  de  esta  pirámide,  tal  como  quedó  en  al  capítulo  21,  se  traza  una  segunda  circunferencia,  desde  el  centro  del  cuadrado,  pasando  por los ocho puntos marcados sobre sus lados.   Se  forma  un  círculo  sombreado  como  el  que  aparece en la siguiente imagen.    

  Círculo sombreado en el esquema de la pirámide de Kefrén.   

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Esquema del plano de la Pirámide de Keops    Recordemos  igualmente  el  dibujo  utilizado  para  obtener el esquema de la pirámide de Keops, en el que  se  parte  del  trazado  de  una  circunferencia  inicial  con  un radio a escala de 301,6185 metros., igual a la suma  de  la  mitad  del  lado  del  cuadrado  de  la  base,  más  la  apotema del triángulo de una de sus caras.   Se traza el dibujo tal como se señaló en el capítulo  anterior, para finalmente trazar las líneas que unen los  cuatro  vértices  de  los  triángulos,  para  formar  un  cuadrado  inscrito  sombreado  como  el  que  aparece  en la siguiente imagen.   

  Cuadrado inscrito en el esquema de la pirámide de Keops. 

 

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Las  medidas  correspondientes  de  cada  una  de  las  líneas,  obtenidas  a  partir  de  los  dibujos  de  ambos  esquemas, son las reflejadas en el siguiente cuadro.   

    Se  puede  verificar  que  las  medidas  de  los  dibujos  son de una gran aproximación, respecto a las medidas  reales de ambas pirámides.   El  dato  correspondiente  del  radio  en  el  esquema  de  la  pirámide  de  Keops  (301,6185  metros),  ha  sido  ajustado en las dos últimas cifras decimales en 0,0085  metros,  de  forma  intencionada,  con  el  propósito  de  realizar los cálculos con cifras decimales de 4 dígitos.  En  la  siguiente  imagen,  se  muestran  juntos  los  esquemas  de  las  dos  pirámides,  tal  como  han  sido  trazados  y  con  las  mismas  medidas  que  figuran    en  el  cuadro anterior.   El  esquema  de  la  izquierda  corresponde  a  la  pirámide de Kefrén, con el círculo sombreado que pasa  por  los  ocho  puntos  de  los  lados  del  cuadrado.  El  esquema  de  la  derecha,  corresponde  a  la  pirámide  de  Keops,  con  el  cuadrado  inscrito  sombreado,  formado  entre  los  cuatro  vértices  de  los  triángulos  que  forman  las caras.  

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  El enigma de las dos pirámides.   

El resultado que pone de manifiesto la relación de  estas  dos  figuras,  es  que  el  círculo  sombreado  en  el  esquema  de  la  pirámide  de  Kefrén,  tiene  una  superficie  igual  a  la  del  cuadrado  sombreado  en  el  esquema de la pirámide de Keops.    En  el  siguiente  cuadro  se  detallan  las  medidas  correspondientes al radio de la circunferencia y al lado  del cuadrado, ambos sombreados, así como los cálculos  realizados.   

 

  Las superficies del círculo y del cuadrado son iguales.   

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¿Un enigma o una casualidad? 

  Los cálculos reflejan el resultado expresado, según  el  cual,  al  comparar  los  esquemas  de  estas  dos  pirámides,  las  superficies  del  círculo  y  del  cuadrado  que se trazan a partir de los mismos, son iguales.   De entre los datos señalados, conviene resaltar dos  detalles  relevantes:  Que  los  cálculos  se  han  realizado  con  4  decimales  y  que  los  resultados  son  tan  exactos  debido  al  ajuste  de  0,0085  metros  (8,5  milímetros),  que, como se ha señalado, se ha efectuado en la medida  del  radio  de  la  circunferencia  del  esquema  de  la  pirámide  de  Keops;  un  ajuste  insignificante  si  se  tiene  en  cuenta  que  se  hace  sobre  una  medida  total  de  casi  302 metros.   También  ha  de  valorarse  que  las  medidas  reales  utilizadas, correspondientes a los lados de las bases en  ambas  pirámides,  han  sido  tomadas  a  partir  de  sus  valores  medios,  con  lo  cual  resulta  cuando  menos  sorprendente que del resultado expresado la diferencia  de ambas superficies sea de 0,0613 metros cuadrados,  un valor despreciable si se compara con el valor de las  superficies  totales  de  las  dos  figuras,  que  es  de  unos  182.000 metros cuadrados.   Este  hecho  sorprendente  puede  ser  una  simple  casualidad, o puede significar un enigma, ya que puede  ser  una  extraordinaria  y  desconocida  relación,  entre  las  proporciones  y  medidas  con  las  que  fueron  construidas las dos pirámides citadas, cuyo significado  sería que estarían vinculadas entre sí con el problema  de la cuadratura del círculo, y quizás también, tras este  enigma podría ocultarse la solución del problema.  206 

Podría  existir  una  vinculación  intencionada  en  la  construcción  de  ambas  pirámides,  o  podría  ser  una  extraña  e  incomprensible  casualidad.  De  significar  un  enigma, sería otro más de los muchos y extraordinarios  misterios  que  rodean  a  las  pirámides  del  antiguo  pueblo egipcio.   Detrás de las muchas teorías que existen acerca de  la  pirámide  de  Keops,  hay  misterios  que  parecen  no  tener  explicación.  Sin  embargo,  tras  cada  uno  de  esos  misterios  se  encuentran  acciones  de  antepasados  nuestros, de seres humanos que realizaron unas obras  colosales y a la vez geniales, algunas de las cuales nos  parecen  incomprensibles  porque  nos  resultan  difíciles  de explicar, o porque las explicaciones que se intentan  dar,  se  alejan  de  la  realidad  y  de  la  intención  para  las  que  fueron  construidas,  ya  que  muy  probablemente,  fueran obras que responden a actuaciones elementales,  sencillas,  basadas  en  la  lógica  y  la  naturalidad,  y  en  unos conocimientos  que con el transcurso del tiempo,  dejaron de utilizarse y por ello se perdieron.                              207

                                                             

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El Secreto de la Cuadratura del  Círculo.    La  coincidencia  casi  matemática  de  los  cálculos  que  se  desprenden  de  la  comparación  de  las  medidas  de  los  esquemas  o  planos  de  estas  dos  pirámides,  reflejarían  lo  que  ya  es  sobradamente  conocido,  y  es  que  sus  constructores  tenían  unos  conocimientos  extraordinarios  en  materias  como  la  Geometría  y  la  Arquitectura, aunque cueste creer que en lo referido a  este  problema,  quisieran  dejar  una  constancia  tan  oculta o secreta, y a la vez tan magnificada del mismo,  como si hubieran tenido la seguridad de que nunca se  lograría  descubrir  o  llegar  a  comprender  esta  extraña  relación que parece existir entre ambas pirámides.   Alguna  de  las  consecuencias  de  todo  este  planteamiento,  es  que  no  resultaría  muy  aventurado  pensar  que  Leonardo  da  Vinci,  pudo  haber  tenido   a informaciones o documentos relacionados con  los  maestros  constructores  egipcios,  si  se  tiene  en  cuenta  la  semejanza  existente  entre  el  trazado  del  dibujo  de  Vitruvio,  con  el  trazado  del  esquema  de  la  pirámide de Kefrén y de otras pirámides semejantes.   Del citado dibujo se ha visto como Leonardo ocultó  el  “secreto”  cuyo  conocimiento  hace  posible  el  comprender  como  se  puede  buscar  la  solución  del  problema.     209

Sin embargo el verdadero Secreto de la Cuadratura  del  Círculo,  parece  que  está  contenido  en  las  Dos  Pirámides de Gizeh y más concretamente en la relación  de  sus  medidas.  Un  “secreto  muy  bien  guardado”  que  significaría  la  constatación  del  origen  del  milenario  problema.  En el siguiente dibujo, aparecen representados los  esquemas  superpuestos  de  ambas  pirámides.  Sobre  el  esquema  de  la  pirámide  de  Kefrén  que  representa  el   círculo, se ha trasladado el correspondiente al esquema  de  la  pirámide  de  Keops  que  representa  el  cuadrado  inscrito, formando así lo que podría denominarse como  la “Figura Plena de la Cuadratura del Círculo”.    

  Figura Plena de la Cuadratura del Círculo. 

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Una Figura que contendría en su trazado completo,  un  círculo  y  un  cuadrado  que  tienen  la  misma  superficie.   En un capítulo anterior, se han mostrado los pasos  necesarios y las proporciones precisas, para ejecutar el  trazado  con  el  que  se  obtiene  la  circunferencia  sombreada  del  esquema  de  la  pirámide  de  Kefrén,  es  decir,  como  se  trazaría  la  primera  fase  de  esta  Figura  Plena.   La  siguiente  fase,  necesaria  para  encontrar  la  “hipotética”  solución  de  este  enigma,  consistiría  en  encontrar  los  pasos  necesarios  para  obtener  la  circunferencia y el cuadrado inscrito del esquema de la  pirámide de Keops, teniendo en cuenta que el trazado  completo, pueda realizarse utilizando un compás y una  regla sin graduar.  Como ya se ha indicado, Leonardo da Vinci realizó  el  dibujo  de  Vitruvio  utilizando  unas  fases  y  unas  proporciones  muy  similares  a  las  del  esquema  de  la  Pirámide  de  Kefrén:  Partiendo  de  una  circunferencia  inicial, para trazar un cuadrado con el que obtener una  segunda  circunferencia.  A  continuación,  de  la  relación  de las medidas de los radios de ambas circunferencias,  se  obtiene  el  centro  y  la  medida  del  radio  de  una  tercera  circunferencia,  en  ese  caso  con  un  radio  de  medida  intermedia  para,  perfectamente  encajada  con  el  cuadrado,  marcar  los  puntos  por  donde  se  ha  de  trazar el cuadrado final.  Para  el  trazado  de  la  supuesta  Figura  Plena,  la  primera  fase  resultaría  ser  idéntica.  En  la  fase  siguiente,  el  objetivo  sería  obtener  el  radio  de  una  tercera circunferencia, en este caso de radio mayor que  las otras dos, cuyo cuadrado inscrito tendría la misma  211

superficie  que  la  circunferencia  inicial  de  la  primera  fase.   Una  Figura  Plena  que  puede  ser  trazada  en  su  conjunto utilizando un compás y una regla sin graduar,  y  que  resultaría  ser  la  solución  del  problema  de  la  cuadratura del círculo.   Tal  como  se  ha  reflejado  en  uno  de  los  capítulos  anteriores, el trazado completo de la primera fase de la  misma,  podría  realizarse  en  cualquiera  de  los  dos  sentidos, es decir, partiendo de la circunferencia inicial  mayor,  de  la  que  se  obtiene  un  cuadrado  cuyo  lado  guarda  unas  medidas  proporcionales  con  el  radio  de  aquella,  para  obtener  a  partir  de  éste  una  segunda  circunferencia menor, o viceversa.   Tan  sólo  faltaría  encontrar  la  relación  de  proporciones  entre  ambos  esquemas  para,  a  partir  de  esa  primera  fase  localizar  la  medida  del  radio  de  la  circunferencia de la segunda.                                212 

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Una reflexión final.    A  las  dos  pirámides  de  Gizeh  se  les  atribuye  una  antigüedad  de  unos  4.500  años.  Apenas  tan  sólo  unas  pocas  décadas  parece  que  transcurrieron  entre  la  construcción  de  ambas.  La  de  Keops  fue  construida  primero  y  su  finalización  se  data  hacia  el  año  2570  a.  de  C.,  mientras  que  la  de  Kefrén  se  data  hacia  el  año  2520 a. de C, es decir, unos 50 años después.   Como  consecuencia  de  lo  expuesto  en  el  capítulo  anterior  y  aceptando  que  los  datos,  los  cálculos  y  los  resultados  que  se  detallan  sean  correctos,  se  podrían  plantear  algunas  hipótesis,  o  más  bien,  bastantes  interrogantes,  aún  cuando  las  explicaciones  o  las  respuestas, no pasarían de ser meras conjeturas.   Entre  las  interrogantes  cabría  plantearse  si  realmente  fueron  los  constructores  de  estas  dos  pirámides,  los  que  enunciaron  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo,  o  que  muy  probablemente  los  que  conocieron  la  solución,  lo  cual,  a  tenor  de  los  conocimientos  que  poseían,  no  supondría  una  gran  sorpresa,  pues  se  trata  de  un  problema  milenario,  sobre  cuyo  origen  existen  referencias  indudables  que  lo sitúan en el antiguo Egipto.   Como  ya  se  ha  expresado,  sería  esta  una  circunstancia según la cual, se podría considerar que se  trataría  de  otro  misterio,  uno  más  de  los  muchos  que  rodean a estas impresionantes construcciones.  213

Un  misterio  que  se  desprende  de  las  medidas  reales  de  ambas  pirámides,  construidas  hace  miles  de  años y que aparentemente estarían relacionadas entre  sí  con  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo,  a  la  vista  de  unos  resultados  que  se  han  obtenido  de  los  dibujos  de  unos  planos  o  esquemas,  utilizando  unas  medidas  reales,  muy  aproximadas,  de  las  que  únicamente se ha ajustado en unos pocos milímetros la  medida  de  uno  de  los  radios  de  las  circunferencias  utilizadas  y  realizando  unos  cálculos  que  incluyen  la  constante PI…. ¡¡Con el mismo valor que se utiliza en la  actualidad!!   Al realizar una reflexión final, ha de constar que se  hace  planteando  dos  únicas  hipótesis,  de  entre  las  múltiples  que  se  podrían  considerar,  eso  sí,  siempre  descartando  que  los  resultados  que  se  han  mostrado  en  el  capítulo  anterior,  sean  fruto  de  la  casualidad  o  una pura coincidencia.    La  primera  hipótesis,  y  quizás  la  más  ilusionante,  sería  la  de  considerar  que  los  constructores  de  estas  dos pirámides, conocieron la solución del problema de  la  cuadratura  del  círculo.  Significaría  creer  algo  así  como que diseñaron los esquemas o planos de ambas a  partir de esa solución, representada por lo que sería un  único esquema como el que se ha denominado “Figura  Plena”, reflejado en el capítulo anterior.   Un único esquema que representaría la relación de  proporciones  existentes  entre  tres  circunferencias  y  dos cuadrados, a partir de las cuales se pueden obtener  los planos y las medidas de ambas pirámides.   La  segunda  hipótesis,  algo  decepcionante,  sería  la  de  suponer  que  la  segunda  pirámide  hubiera  sido  diseñada  y  construida  a  partir  de  las  medidas  de  la  214 

primera,  de  forma  que  los  constructores  hubieran  ajustado sus medidas  de una  forma intencionada para  dicho  propósito,  es  decir,  a  partir  de  las  medidas  tomadas  de  la  pirámide  de  Keops,  o  de  un  supuesto  plano  de  la  misma,  hicieron  los  cálculos  precisos  para  obtener  así,  la  medida  del  radio  de  la  circunferencia  inicial utilizada para realizar después el supuesto plano  con el diseño de la pirámide de Kefrén.   Probablemente,  ambas  conclusiones  deberían  ser  consideradas  como  increíbles,  aunque  tratándose  de  los  antiguos  egipcios,  todo  parece  resultar  posible.  Significaría creer que dejaron constancia intencionada  de su conocimiento acerca del problema de una forma  megalómana,  oculto  en  la  relación  de  las  medidas  de  tan grandiosos monumentos, manteniendo a la vista de  todo el mundo un “Secreto” muy bien guardado.   Efectivamente,  no  resulta  creíble  que  en  un  período de tiempo tan corto, apenas de unos cincuenta  años,  los  mismos  constructores  o  los  herederos  de  estos  conocimientos,  hubieran  realizado  unos  diseños  que  difieren  en  lo  más  elemental  que  a  la  vez  resulta  ser  lo  más  importante,  como  es  la  forma  de  trazar  los  diseños  o  esquemas  para  obtener  las  medidas  de  las  caras  y  de  las  bases,  a  la  hora  de  realizar  unas  construcciones  tan  extraordinarias  que  tienen  unas  medidas  muy  similares,  pero  que  difieren  también,  básicamente y de forma fundamental, en la concepción  espacial de sus estructuras internas.   A  menos  que  la  datación  que  se  ha  señalado  para  la  pirámide  de  Keops  no  fuera  la  correcta  y,  como  sugieren  algunas  teorías,  hubiera  sido  construida  algunos  siglos  o  milenios  antes  de  la  fecha  reconocida  como oficial.   215

Quizás  también,  la  explicación  que  permita  la  comprensión de todo esto puede llegar algún día, si se  descubren  cuales  fueron  las  finalidades  o  intenciones  reales  para  las  que  fueron  construidos  estas  dos  pirámides.    Las  nuevas  tecnologías  informáticas  trasladan  el  problema  de  la  cuadratura  del  círculo  a  una  nueva  dimensión.  Permiten  ejecutar  múltiples  y  diferentes  formas  de  realizar  los  dibujos,  para  la  búsqueda  de  la  posible solución, con una precisión en la obtención de  unas  medidas  que  resultan  imposibles  de  obtener  de  los  mismos  dibujos,  si  estos  son  ejecutados  de  forma  manual.   Lo  que  se  ha  mostrado  en  este  trabajo,  no  es  la  solución  del  problema,  sino  el  “secreto”  que  posibilita  el acometer la forma de resolverlo. Al fin y a la postre,  del problema de la cuadratura, lo único que realmente  faltaría  por  cuadrar  son  los  números,  ya  que,  como  se  ha  visto  en  algunos  de  los  ejemplos,  presentan  unas  diferencias de unos valores tan ínfimos, con unas cifras  decimales que apenas representarían poco más que un  punto, o que si se aplica literalmente al enunciado del  problema  y  éste  hubiera  de  resolverse  únicamente  de  forma  manual,  utilizando  un  compás  y  una  regla  sin  graduar,  los  resultados  son  imposibles  de  verificar  o  justificar en su completa exactitud.   En la actualidad, hallar esa solución exacta, es algo  que  únicamente  se  podrá  lograr  y  verificar  utilizando  medios  informáticos,  una  circunstancia  que  sitúa  el  problema de la cuadratura del círculo en la dimensión  conocida como Realidad Virtual.       216 

Bibliografía    A través de Internet se puede acceder a numerosas  páginas web, en las que se tratan los temas referidos a  la cuadratura del círculo, a la biografía de Leonardo da  Vinci  y  sobre  el  antiguo  Egipto.  En  esas  páginas  se  pueden encontrar una amplia información, contenidos  y datos muy interesantes.   De  algunas  de  las  páginas  web  que  se  citan  a  continuación,  se  han  obtenido  algunos  de  los  datos  y  referencias  históricas  que  han  sido  utilizados  como  citas para documentar este texto.   He  de  hacer  una  mención  especial  y  mostrar  mi  agradecimiento  a  la  página  web  de  Amigos  de  la  Egiptología,  por su permiso para utilizar varias de las  imágenes que aparecen en esta publicación.     http://www.egiptologia.com    http://www.bib.ub.es/www7/llull/quadratura.htm    http://www.bib.ub.es/www7/llull/llullu.htm    http://www.leonardo.net/    http://agaudi.wordpress.com/2007/10/09/leonardo­ da­vinci­el­hombre­de­vitrubio/  http://bvpb.mcu.es/ca/catalogo_imagenes/grupo.cmd? posicion=1&path=11000998&forma=&presentacion=pa gina 

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http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveObras/5 6812842103436117565679/index.htm    http://www.artifexbalear.org/vitrubio/58.jpg  http://www.arqweb.com/vitrum/hombre.asp    http://webs.adam.es/rllorens/picuad/picarta01.htm    http://webs.adam.es/rllorens/picuad/leonardo.htm    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99­0430­ 01/ed99­0430­01.html    http://www.arrakis.es/~mcj/clasicos.htm    http://www.egiptomania.com/    http://www.egiptologos.es/antiguoegipto.htm    http://www.egiptologia.com/content/view/600/101/    http://www.egiptologia.com/content/view/740/74/    http://www.geocities.com/antologia_hermes/018egipci o.htm    http://www.institutoestudiosantiguoegipto.com/senen mut/es/presentacion.shtml    http://www.piramides.org/    http://freepages.history.rootsweb.ancestry.com/~catsha man/14Egyptian/04calendars.htm  218