18.6 - Coordonnées De Clapeyron - équation De Van Der Waals 6u1h4i

Physique

thermodynamique exercice

Exercice 18. 6 Equation de Van der Waals point critique , équation réduite Un fluide est caractérisé pour une mole, par l'équation d'état : a ( p + 2 )(Vm − b ) = RT Vm 1°) Montrer qu'en coordonnées de Clapeyron, il existe une isotherme qui et une tangente horizontale à point d'inflexion. Déterminer les coordonnées Pc , Tc , Vc correspondant à ce point. 2°) On définit les coordonnées réduites : Pr = P/Pc ,, Vr = V/Vc ,Tr = T/Tc Établir l'équation de Van der Waals en coordonnées réduites.

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Odile BAYART

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Corrigé exercice 18. 6 équation de Van der Waals 1°) La courbe et une tangente inflexionelle horizontale si la dérivée première de p par rapport à v et la dérivée seconde de p par rapport à v s’annulent . RT a p= − (1) Or v −b v2 RTc dp dp RT 2a 2a =− + 3 donc =0⇒ = 3 (2) 2 2 d’autre part dv dv (v − b ) v (v c − b ) v c d2p dv

2

=

2 RT

(v − b )

3

−

6a v

4

donc

d2p dv

2

=0⇒

2 RTc

(v c − b )

3

=

6a vc 4

(3)

A partir des équations (2) et (3) on obtient vc =3b vient

Pc =

et

Tc =

8a 27 Rb , en remplaçant dans (1) il

a 27 b 2

2°) A partir des trois relations précédentes on peut exprimer a, b, et R en fonction de vc , pc, et Tc, on obtient : b = v c / 3 a = 3 Pc v c 2

R=

8 Pc v c 3Tc

Il suffit de remplacer a, b, et R par ces valeurs dans l’équation de Van der Waals et l’on obtient : 2    p + 3 p c v c (v − v / 3 ) = 8 p c v c T c  3Tc v 2   Soit en utilisant les coordonnées réduites on obtient l’équation réduite, valable quelque soit la nature du gaz :

 p + 3  r v 2 r 

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 (3v − 1) = 8T r  r 

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