Determinación De La Densidad De La Plastilina. Incertidumbre De Medidas Indirectas. 5p2j28

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química Práctica 2. “Densidad Como Medida Indirecta (Relaciones Lineales)”

Equipo 2 Roque Narciso Monserrat Rosas Álvarez Magdalena Torres Ávila Margarita Vázquez Cortés Edgar Josué

Grupo 1

Fecha de elaboración de la práctica: 5 y 7|Sep|16

Fecha de entrega del informe: 24|Sep|16

Resumen Para el experimento se utilizaron 30 muestras de plastilina de distintas magnitudes, con el fin de poder observar que la densidad actuaría como una propiedad intensiva de la materia al no verse perjudicada por la cantidad de materia o volumen que estas tuvieran. Se utilizó una probeta graduada para poder contener cierta cantidad de volumen la cual sería desplazada al agregar la masa de plastilina y el cual sería medido con una bureta para registrar el volumen desprendido. Al realizar una gráfica de masa vs volumen obtuvimos algo muy similar a una línea recta, salvo algunos errores, con esto pudimos corroborar que sin importar la cantidad de materia ni de volumen, la densidad actúa como una constante.

Desarrollo experimental Instrumentos utilizados

Bureta graduada de 50 mL con graduación mínima de 0.1 mL Jeringa graduada de 10 mL con graduación mínima de 0.2 mL Balanza analítica con incertidumbre de 0.001 g para una masa máxima de 144.000 g instrumento marca Mensurando incertidumbre Intervalo capacidad unidades

Ilustración

bureta KIMAX volumen ±0.1 de 0-50 ml

probeta KIMAX volumen ±1 0-50

Bascula analítica RADWAG masa ± 0.001 0-360

ml

g

Procedimiento

Datos y resultados 1. Por Histograma Tabla 1 Dispersión no.muestra 1 2 3 % dispersion

masa (g) 3.111 2.716 5.255 68.73

volumen [mL] 2.9 1 3.2 92.95

Tabla 2 Masa No. Medidas media maximo minimo intervalo num clases tamaño de clase Mediana

30 3.122 8.559 0.941 7.618 12 0.635 2.825

Tabla 3 Clases Masa No de clase 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L inf 0.941 1.582 2.223 2.864 3.505 4.146 4.787 5.428 6.069 6.71 7.351 7.992

L sup 1.581 2.222 2.863 3.504 4.145 4.786 5.427 6.068 6.709 7.35 7.991 8.632

Densidad[g/mL] 1.1 2.7 1.6 88.9

Gráfico 1 Histograma masa

Tabla 4 Volumen No. Medidas media maximo minimo intervalo num clases tamaño de clase Mediana

30 1.9 4.8 0.3 4.5 12 0.4 1.8

Tabla 5 Clases volumen No de clase 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L infL 0.3 0.8 1.3 1.8 2.3 2.8 3.3 3.8 4.3 4.8 5.3 5.8

Gráfico 2 Histograma volumen

Tabla 6 Densidad No. Medidas media maximo

30 1.8 3.1

L sup 0.7 1.2 1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.7 5.2 5.7 6.2

minimo intervalo num clases tamaño de clase Mediana

0.8 2.3 12 0.2 1.8

Tabla 7 Clases densidad No de clase 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L inf 0.8 1.1 1.4 1.7 2.0 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Gráfico 3 Histograma densidad

L sup 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 4.3

Tabla 8 Resultados histogramas Magnitud Media Mediana Moda Intervalo principal Desviación estándar Varianza

Masa(g) 3.122 2.825 No 7.618 1.756 3.084

Medida ± incertidumbre (desviación estándar) 3.122±1.756

Volumen(cm³) 1.9 1.8 2 4.5 1.0 1.0

Densidad 1.8 1.8 1.9 2.3 0.5 0.3

1.9±1.0

1.8±0.5

2.

Por ley de propagación

Tabla 9 Medidas directas e indirectas y sus respectivas incertidumbres

Masa(g)

Incertidumbre relativa

Incertidumbre porcentual

Volumen (cm³)

Incertidumbre relativa

Incertidumbre porcentual

Densidad (g/cm³)

1

3.111

0.10

10.31

2.9

0.07

7.15

1.1

2

2.716

0.11

11.00

1.0

0.11

10.64

2.7

3

5.255

0.09

8.68

3.2

0.09

8.76

1.6

4

0.941

0.11

10.67

0.3

0.11

11.21

3.1

5

3.313

0.10

10.45

1.7

0.11

11.40

1.9

6

1.955

0.11

11.13

1.2

0.12

12.08

1.6

7

8.370

0.09

8.75

4.6

0.10

9.74

1.8

8

8.559

0.07

7.50

4.8

0.08

8.42

1.8

9

1.028

0.08

8.19

1.3

0.09

8.89

0.8

10

2.078

0.09

8.59

1.4

0.09

9.26

1.5

11

1.967

0.09

8.98

1.1

0.10

9.71

1.8

12

1.762

0.09

9.37

0.9

0.10

10.22

2.1

13

2.034

0.10

9.67

1.4

0.10

10.47

1.5

14

1.547

0.10

10.06

0.5

0.11

11.06

3.1

15

2.264

0.10

10.25

1.6

0.11

11.17

1.4

16

3.784

0.10

10.12

2.0

0.11

11.12

1.9

17

2.933

0.10

10.17

2.0

0.11

11.07

1.5

18

4.956

0.10

9.85

2.6

0.11

10.84

1.9

19

2.259

0.10

10.01

2.1

0.11

10.78

1.1

20

2.599

0.10

10.11

1.8

0.11

10.82

1.4

21

1.398

0.10

10.39

1.3

0.11

10.98

1.1

22

1.726

0.11

10.60

0.7

0.11

11.31

2.5

23

3.140

0.11

10.58

2.0

0.11

11.26

1.6

24

3.145

0.11

10.56

1.7

0.11

11.30

1.9

25

3.045

0.11

10.56

2.1

0.11

11.23

1.5

26

3.182

0.11

10.54

1.8

0.11

11.25

1.8

27

2.715

0.11

10.59

1.5

0.11

11.32

1.8

28

3.603

0.11

10.51

1.9

0.11

11.31

1.9

29

3.841

0.10

10.42

2.3

0.11

11.21

1.7

30

4.011

0.10

10.32

2.1

0.11

11.16

1.9

s

1.756

1.0

Ua

0.321

0.2

Ub 0.001

0.1

Uc

0.2

0.321

0.4

Tabla 10 Derivadas para el cálculo de la propagación de la incertidumbre

media

f(x)= m/v

d/dm=1/v

d/dv=-m/ v²

1.1

0.3

-0.4

2.7

1.0

-2.7

1.6

0.3

-0.5

3.1

3.3

-10.5

1.9

0.6

-1.1

1.6

0.8

-1.4

1.8

0.2

-0.4

1.8

0.2

-0.4

0.8

0.8

-0.6

1.5

0.7

-1.1

1.8

0.9

-1.6

2.1

1.2

-2.4

1.5

0.7

-1.0

3.1

2.0

-6.2

1.4

0.6

-0.9

1.9

0.5

-0.9

1.5

0.5

-0.7

1.9

0.4

-0.7

1.1

0.5

-0.5

1.4

0.6

-0.8

1.1

0.8

-0.8

2.5

1.4

-3.5

1.6

0.5

-0.8

1.9

0.6

-1.1

1.5

0.5

-0.7

1.8

0.6

-1.0

1.8

0.7

-1.2

1.9

0.5

-1.0

1.7

0.4

-0.7

1.9

0.5

-0.9

1.8

0.8

-1.6

Expresión final de la medida de la densidad= 1.8±0.4g/mL

3.

Por ajuste lineal

Tabla 11 Datos Volumen (cm³) 2.9 1.0 3.2 0.3 1.7 1.2 4.6 4.8 1.3 1.4 1.1 0.9 1.4 0.5 1.6 2.0 2.0 2.6 2.1 1.8 1.3 0.7 2.0 1.7 2.1 1.8 1.5 1.9 2.3 2.1

Masa(g) 3.111 2.716 5.255 0.941 3.313 1.955 8.370 8.559 1.028 2.078 1.967 1.762 2.034 1.547 2.264 3.784 2.933 4.956 2.259 2.599 1.398 1.726 3.140 3.145 3.045 3.182 2.715 3.603 3.841 4.011

Tabla 12 Sumatorias n 30

a [mL/g] b[mL] Σx Σy Σxy Σx² Σy² Σ(yᵢ-axᵢ-b)² 0.2131 0.5294 93.8370 223.0215 223.0215 383.8815 133.3125 26.3704

Gráfico

4

Ajuste

6.0

lineal y = 0.5294x + 0.2131 R² = 0.8726

Dispersión de masa vs volumen 5.0

Volumen [mL]

4.0

3.0

2.0

1.0

0.0 0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

Masa [g)

Tabla 13 Cálculo de Incertidumbre V=0.5294M+0.2131 Pendiente 0.5294 1/0.5294= Densidad 1.89 σ 0.97 Δm 0.10 Mínimo 1.79 Máximo 1.99 Inverso mínimo 0.56 Inverso máximo 0.50 Ancho del intervalo 0.20 Incertidumbre 0.10 Expresión final de la medida 1.89±0.10

mL/g g/mL mL/g mL/g mL/g g/mL g/mL g/mL g/mL g/mL

6.000

7.000

8.000

9.000

Medidas de dispersión: %D = %D =

valor mayor − valor menor x100 prom.

5.255 − 2.716 x100 = 68.73 3.694

Para incertidumbre por histograma Media

𝑋̅ = 𝑋̅ =

∑𝑛𝑖 𝑋𝑖 𝑛 93.8370 (3.111 ) 30

= 9.7308

93.8370 (3.111) 𝑋̅ = 30

Mediana

𝑀𝐸 = 𝑀𝐸 =

𝑋𝑘 − 𝑋(𝐾+1) 𝑛 2.933 − 3.933 30

= 3.433

𝑀𝐸 =

1.7− 2.7 30

= 0.1466

Moda

MASA: NO

VOLUMEN: 2

Intervalo principal (rango)

T=max (Xi)-min (Xi) T=8.559-0.941= 7.618

T=4.8-0.3= 4.5

Numero de clases √𝑛 = 5.4772 Regla de sturges =1+3.332log10(n)= 5.9217 TAMAÑO DE CLASE 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 5.4772 = = 1.87 𝑁𝑜. 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 5.9217

(b)Incertidumbre por Ley de propagación Incetidumbre relativa

MASA:

VOLUMEN

𝐼𝑟

∆𝑋 𝑋̅

=

0.321 3.1079

= 0.10

𝐼𝑟

∆𝑋 𝑋̅

Incetidumbre porcentual

I%= Ir x 100 I%= 0.10X100=10

I%= 0.11X100=11

𝑠

𝑈𝑎 =

√𝑛

1.756

𝑈𝑎 =

√ 30

= 0.32

2 ∑𝑛 𝑖=1 (𝑥−𝑥𝑝𝑟𝑜𝑚)

𝑠=√

𝑛−1

= 1.756

Ub= Incertidumbre del instrumento 𝑈𝑐 = √𝑈𝑎 2 + 𝑈𝑏 2 = √0.3212 + 0.0012=0.321

Uc (ley de propagación) 𝑈𝑐 = √(0.8)2 (0.3212 ) + (−1.6)2 (0.2)2=0.4

(c) Incertidumbre por mínimos cuadrados Varianza

𝑆2 = 𝑆2 =

∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑖𝑋 − 𝑎𝑜 )2 𝑛−2 26.3704 28

= 0.9418

La desviación típica

𝑆 = √𝑆 2 𝑆 = √0.9418 = 0.97 Incertidumbre de la pendiente

∆𝑚 =

√𝑁𝜎 2 2 √𝑁 ∑𝑁 ∑𝑁 𝑖 =1 𝑋𝑖 − ( 𝑖=1 𝑋𝑖 )

=

0.207 1.95

= 0.11

∆𝑚 =

√ 30(0.97) √(30)(383.8815) − (93.8370)2

Análisis de resultados Al tomar las medidas de dispersión se pudo observar que tenían un porcentaje de dispersión muy elevado, esto es debido a que las muestras utilizadas fueron hechas de forma aleatoria y por diversos integra ntes del equipo por lo que presentaban irregularidades en la forma, el volumen y el tamaño entre sí. Estas mismas condiciones justifican los espacios vacíos en el histograma. A su vez, la medición del volumen se vio afectada por errores sistemáticos como ligeras fallas con la paralaje del menisco y errores del medidor. Así mismo, errores aleatorios como la pequeña pérdida de volumen al transportar el líquido de la probeta a la bureta con la jeringa y unas pequeñas burbujas de aire que se formaban dentro del líquido al introducir las masas y los errores asociados a los instrumentos.

Conclusiones Es posible determinar la densidad a través de modelos matemáticos tales como el método de mínimos cuadrados, así como su incertidumbre utilizando métodos distintos como mínimos cuadrados, propagación de la incertidumbre e incertidumbre combinada, siendo el método de mínimos cuadrados el más exacto y con menos incertidumbre. Estos modelos necesitaron de mensurados, el volumen y la masa.

Cuestionario 1. ¿Cómo determinas el valor de la incertidumbre de cada una de las variables directas? Primero se calcula la incertidumbre tipo a (Ua) obtenida por la relación de la desviación estándar y la raíz del número de datos. Ua

𝑠

=

√𝑛

La desviación tipo b (Ub) estará dada por la resolución del instrumento utilizado para cada

mensurando. Finalmente se calcula la desviación Uc Esta será la incertidumbre que se reporta con la medida directa.

combinada (Uc) 2 =√𝑈𝑎 + 𝑈𝑏2

2. ¿Qué precauciones se tomaron en cuenta durante la experimentación para obtener el valor de densidad como medida indirecta en la primera parte de esta práctica?

Se procuró utilizar el instrumento más exacto, para esto se midió el volume n desplazado con la bureta y la masa con las balanzas digitales, se tuvo el cuidado de que el menisco siempre coincidiera en las marcas de la bureta. 3. ¿Qué tipo de comportamiento presenta la curva obtenida al graficar la masa en función del volumen en el fenómeno estudiado? Obtuvimos una recta mx + b 4. ¿El gráfico obtenido pasa por el origen?, Sí o no ¿Por qué? Se acerca mucho al origen, tiene una ordenada de 0.2131. Debería pasar por el origen debido a que cuando hubo 0 mL de volumen, hubo 0 g de plastilina, este desfase lo podemos atribuir como un error en los instrumentos o un error al medir 5. ¿Qué representa la Es el inverso de la densidad de nuestra plastilina

pendiente

en

el

gráfico?

6. ¿Al tomar en cuenta las incertidumbres con el método de cuadrados mínimos esa primera gráfica mejoro? ¿Por qué? Sí, al hacer la corrección logramos hacer que un número mayor de puntos experimentales se encontraran dentro de nuestra recta mientras que con la primera gráfica únicamente dos coincidían tres puntos 7. Para obtener la incertidumbre de una medida indirecta, ¿Cuál de los métodos usados es mejor y por qué? El método de los cuadrados mínimos debido a que en este método lo que se busca es minimizar el cuadrado del residuo haciendo que tienda a cero. 8. Considerando el valor teórico de densidad de la plastilina, ¿cuál de los valores obtenidos se acerca más al valor teórico? ¿Por qué? Encontramos que el valor teórico de la densidad El valor más cercano a este es de 1.4 y se repite dos veces.

de la

plastilina

es de 1.3

g/mL.

9. ¿Qué factores influyeron en la determinación del valor de densidad de la plastilina? Que el agua se fuera contaminando levemente con residuos de plastilina, lo que hacía que del agua se incrementara levemente, aunque, el agua se cambió cada 10 tomas.

Bibliografía - Ohanian Hans C., Markert John T. Física para ingeniería y ciencias. Volumen 1. Tercera Edición. Editorial Mc Graw Hill, 2009.